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北师版-数学-八年级下册
第二章 不等式与不等式组
2 一元一次不等式
第1课时 一元一次不等式的解法
导入新课
完成下列问题．
10x－(20－x)×5＝80
方程
只含有一个未知数，并且未知数的最高
次数是1的方程
(1)设他答对了x道题，则x所满足的关系式为___________________；
(2)这个关系式我们称之为_________；
(3)一元一次方程是____________________________________
_______________．
问题1：
某次知识竞赛中共有20道题，对于每一道题，答对了得10分，答错了或不答扣5分，若某同学得分80分．
问题2：如果把某同学得分80分改成至少得80分，其他条件不变．
(1)得出的关系式是_____________________；
(2)这个关系式叫作_______，今天我们来学习解不等式．
10x－(20－x)×5≥80
不等式
探究新知
探究1
【一元一次不等式的定义】
问题1：你能找出一元一次方程10x－5(20－x)＝80与10x－5(20－x)≥80之间的相同点和不同点吗？
问题2：类比一元一次方程的定义，你能给出一元一次不等式的定义吗？
观察下列不等式：
x+6＞10，x-1≤2x，3x＞27，
它们有什么共同特点？
①等式两边都是整式
②只含有一个未知数
③未知数的次数是1
跟踪训练
判断下列不等式是否是一元一次不等式，并说明理由。
（1）3 + 5 > 7
（3）3x + 2 > x-1
（5）x - y ≤ 2
（2）x2 + 3 < 2
（4）-2x < 5
（6）3 – 2a ≥ 5
（8）x(x-1) < 2x
不是
不是
是
是
不是
是
不是
不是
（7）+3＜5x－1
归纳总结
不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的不等式，叫作一元一次不等式。
一元一次不等式的概念：
探究新知
探究2
【一元一次不等式的解法】
问题1：不等式的三条基本性质是什么？
不等式的性质1 不等式的两边加（或减）同一个数
(或式子)，不等号的方向不变.
不等式的性质3 不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
不等式的性质2 不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
问题2：运用不等式基本性质把下列不等式化成 x > a或 x < a的形式.
①x - 4 < 6 x ②2x > x – 5
问题3：一元一次方程10x－5(20－x)＝80的解是多少？
问题4：解一元一次方程的步骤是什么？
问题5：试一试，求出一元一次不等式10x－5(20－x)≥80的解．
问题6：你能否归纳解一元一次不等式的基本步骤？
你能归纳出解一元一次不等式的基本步骤吗？
步骤 依据 具体方法
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
不等式的基本法则2或3
同时乘分母的最小公倍数
去括号法则
利用法则把括号都去掉
不等式的基本法则1
含未知数的项移到不等号的左边，常数项移到不等号的右边
合并同类项法则
不等号两边同时合并同类项
不等式的基本法则2或3
两边同时除以未知数的系数
系数是负数时，不等号的方向要改变！
跟踪训练
解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x-5 ＜ 2(2+x)；（2）。
解：(1)去括号，得 5x-5 < 4+2x。
0
1
2
3
4
5
移项、合并同类项，得 3x < 9。
两边都除以3，得 x < 3。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
(2) 去分母，得 3(x - 2) ≤ 5x-2。
-4
-3
-2
-1
0
（2）。
去括号，得 3x-6 ≤ 5x-2 。
移项、合并同类项，得 -2x ≤ 4。
两边都除以-2，得 x ≥ -2。
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示：
一元一次不等式 一元一次方程
相同点 解法 步骤 ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1
不同点 依据 不等式的基本性质 等式的基本性质
解的 个数 有无数个解 只有一个解
解(集)的形式 xa(x≥a) x=a
解一元一次不等式与解一元一次方程
你认为解一元一次不等式有哪些需要注意的事项？与同伴进行交流。
思考交流
归纳总结
解一元一次不等式的步骤及依据如下表所示：
步骤 具体方法 依据
去分母 不等式两边同乘各分母的最小公倍数 不等式的基本性质2或3
去括号 根据去括号法则去括号 去括号法则
移项 一般情况下，把含有未知数的项移到不等号的左边，常数项移到不等号的右边 不等式的基本性质1
步骤 具体方法 依据
合并同类项 根据合并同类项法则合并同类项 合并同类项法则
未知数的 系数化为1 不等式两边同时乘未知数的系数的倒数 不等式的基本性质2或3
例1 解不等式3－x<2x＋6.
应用举例
【方法指导】要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式两边的x或常数项转移到同一侧，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质求得．
解：移项，得－x－2x＜6－3.
合并同类项，得－3x＜3.
两边都除以－3，得x＞－1.
例2 解不等式，并把它的解集表示在数轴上。
【方法指导】要化成“x＞a”或“x＜a”的形式，首先要把不等式左右两边的分母去掉，然后再去括号、移项、合并同类项，变成“ax＞b”或“ax＜b”的形式，再根据不等式的基本性质把未知数系数化为1求得．
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
解：去分母，得3(x－2)≥2(7－x).
去括号，得3x－6≥14－2x.
移项、合并同类项，得5x≥20.
两边都除以5，得x≥4.
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
随堂练习
1．下列各式中是一元一次不等式的为 ( )
A．2x＋3y≥0 B．x2－4x－8<0
C．－4>0 D． < －5
2．若不等式5x2m+3－x<8是一元一次不等式，则m＝___．
3．不等式x＋2＞3(a－x)的解集为x＞1，则a＝____．
D
－1
2
4.解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x < 200； （2）－＜3；
（3）x - 4 ≥ 2(x + 2)；（4） ＜ 。
解：（1）x < 40
10
20
30
40
50
60
0
（2）x > -7
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
4.解下列不等式，并把它们的解集分别表示在数轴上：
（1）5x < 200； （2）－＜3；
（3）x - 4 ≥ 2(x + 2)；（4） ＜ 。
（3）x ≤ -8
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
（2）x >
0
1
2
3
4
-1
5.求不等式 4(x + 1) ≤ 24的正整数解。
解：去括号，得 4x + 4 ≤ 24。
移项、合并同类项，得 4x ≤ 20。
两边都除以4，得 x ≤ 5。
所以原不等式的正整数解为 1，2，3，4，5。
课堂小结
一元一次不等式
特点
1.不等式的两边都是整式
2.只含有一个未知数
解一元一次不等式
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为 1
3.未知数的次数是 1
注：系数化为 1 时，两边同时乘(或除以)同一个负数时，不等号方向改变。
课本P65－66习题2.2中的T1、T2、T3、T4.
课后作业