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北师版-数学-八年级下册
第二章 不等式与不等式组
3 一元一次不等式与一次函数
第1课时 一元一次不等式与一次函数
导入新课
议一议：
问题1：我们学习了一元一次不等式的定义和解法，无论是定义还是解法都雷同于一元一次方程，那么不等式与方程二者是否存在某种内在的关联呢？
问题2：在一次函数y＝2x－5中，当y＝0时，有方程________；当y>0时，有不等式__________；当y<0时，有不等式________．
2x－5＝0
2x－5>0
2x－5<0
由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式．
探究新知
探究
【探讨一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系】
问题1：作出函数y＝2x－5的图象．
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
A(2.5,0)
b(3,1)
问题2：观察图象回答下列问题：
(1)x取什么值时，2x－5＝0?
解：由图象可知（1）当x = ???????? 时，2x-5=0.
?
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
(2)x取哪些值时，2x－5＞0?
（2）当x > ????????时，直线y=2x-5在x轴的上方，则2x-5>0.
?
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
(3)x取哪些值时，2x－5＜0?
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
解：当x < ????????时，直线y=2x-5在x轴的下方，则2x - 5 < 0.
?
(4)x取哪些值时，2x－5>1?
解：当直线y=2x-5上的点的纵坐标的值为1时，这点的横坐标的值为3.
当x>3时，直线y = 2x-5在直线y=1的上方，则2x - 5 > 1.
O
1
2
3
4
5
-2
-1
x
2
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
-1
y=2x-5
问题3：如果y＝－2x－5，那么当x取哪些值时，y＞0？当x取哪些值时，y＜1?
解：首先要画出函数y＝－2x－5的图象，如图：
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
A(-2.5,0)
B(-3,1)
从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在点A的左侧，即为小于－2.5的数，所以当x＜－2.5时，y＞0.
也可因为－2x－5＞0，解不等式即得x＜－2.5.同理可得，当x＞－3时，y＜1.
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
A(-2.5,0)
B(-3,1)
思考：如果y＝－2x－5，那么当x取哪些值时，y＞0？当x取哪些值时，y＜1？你是怎样求解的？
方法一：运用函数图象
作一次函数 y=-2x-5 的图象。
当x＞-2.5时，y＜0；
当x＞-3时， y＜1。
0
-3
-2
-1
1
2
-5
-4
x
2
-1
3
1
4
-3
-5
-2
-4
y
y=-2x-5
A(-2.5,0)
B(-3,1)
方法二：将函数转化为不等式
解不等式 -2x-5＜0，-2x-5 ＜1。
故当x＞-2.5时，y＜0；当x＞-3时， y＜1。
-2x-5＜0
解得：x＞-2.5
-2x-5＜1
解得：x＞-3
应用举例
例1 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m．若哥哥与弟弟所跑的路程分别为s1，s2(单位：m)，哥哥跑的时间为t(单位：s)，分别列出s1，s2关于t的函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题：
(1)何时哥哥追上弟弟？
(2)何时弟弟跑在哥哥前面？
(3)何时哥哥跑在弟弟前面？
(4)谁先跑过20 m？谁先跑过100 m?
【方法指导】哥哥跑了t s，速度为4 m/s，则路程s1＝4t，弟弟先跑9 m，速度为3 m/s，则路程s2＝3t＋9，根据题意画出一次函数图象．
解：根据题意，得s1＝4t，s2＝3t＋9.
3
O
9
t/s
s/m
函数图象如图：
从图象上来看：
S1
S2
36
(1)9 s时哥哥追上弟弟；
(2)当0＜t＜9时，弟弟跑在哥哥前面；
(3)当t＞9时，哥哥跑在弟弟前面；
(4)弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m.
例2 一次函数y1＝kx＋b与y2＝x＋a的图象如图，则kx＋b＞x＋a的解集是_____________．
【方法指导】由图象可以看出，y1＝kx＋b与y2＝x＋a的交点的横坐标为－2，当x＜－2时，对于同一个x值，直线y1＝kx＋b上的点在直线y2＝x＋a上相应点的上方，这时kx＋b＞x＋a，即不等式kx＋b＞x＋a的解集为x＜－2.
O
x
y
y1=kx+b
－2
x＜－2
我们既可以运用函数图象解不等式，也可以运用解不等式帮助研究函数问题，二者相互渗透，互相作用。
一元一次不等式问题
一次函数问题
转化
归纳总结
随堂练习
A
1．已知函数y＝8x－12，要使y>0，那么x应取 ( )
A．x>???????? B．x0 D．x<0
?
2．如图是一次函数y＝kx＋b的图象，当y＜2时，x的取值范围是
( )
A．x＜1 B．x＞1
C．x＜3 D．x＞3
3．已知一次函数y＝kx＋b的图象如图所示，当x<0时，y的取值范围是 ( )
A．y>0 B．y<0
C．－2C
D
4.已知 y1=-x+3，y2=3х-4，当 x 取哪些值时，y1＞y2？当 х 取哪些值时，y1＜y2？
当x > ????????时，y1 < y2 ；
?
O
x
y
3
3
-4
y1=-x+3
y2=3х-4
解：函数图像如图所示。
当x >????????? 时，y1 < y2 。
?
5.如图，方方、元元两人同时出发，均沿同一方向在同一直线上行走，OA，BA分别表示方方、元元两人在行走过程中离方方的出发点的距离s（单位：m）与行走时间t（单位：s）之间的函数关系。试根据图象回答下列问题：
（1）方方、元元两人中，谁的速度较快？
（2）在什么时间段内，方方在元元的前面？
在什么时间段内，方方在元元的后面？
在什么时间，方方、元元两人相遇？
解：（1）方方的速度较快。
（2）由图象可看出，在8 s之后，方方在元元的前面；在8 s之前，方方在元元的后面；在8 s时，方方、元元两人相遇。
6．如图，某航空公司托运行李的费用与托运行李的质量的关系为一次函数，由图可知行李的质量只要不超过______kg，就可以免费托运．
20
课堂小结
一元一次不等式
可以研究一次函数的图象走向
通过图象可直接解不等式
一次函数
数形结合
课本P69习题2.3中的T1、T2.
课后作业

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