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北师版-数学-八年级下册
第二章 不等式与不等式组
1 不等式及其性质
第1课时 不等关系
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1．猜猜A，B，C谁最重．
____最重，理由是_____________________________．
A
B
A
C
A比B重，C比A重，所以C最重
C
你是否想过这些生活场景与某种“不等关系”有关？
跷跷板
拔河比赛
汽车限速/限重
思考：生活中的这些不等关系怎样在数学上表示出来呢？
探究新知
探究1
如图，用两根长度均为l cm的绳子分别围成一个正方形和圆．
(1)如果要使正方形的面积不大于25 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
解：(1)()2≤25，即≤25.
(2)如果要使圆的面积不小于100 cm2，那么绳长l应满足怎样的关系式？
(2)π()2≥100，即≥100.
(4)你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试．
解：l＝8时，S正方形＜S圆，
(3)当l＝8时，正方形和圆的面积哪个大？l＝12呢？
解：无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积．
l＝12时，S正方形＜S圆；
探究2
（1）铁路部门对旅客随身携带的行李有如下规定：每件行李外部尺寸的长、宽、高之和不得超过160cm。设行李外部尺寸的长、宽、高分别为 a cm，b cm，c cm，请你列出行李外部尺寸的长、宽、高满足的关系式。
根据题意可得： a+b+c ≤ 160。
【方法指导】(1)题中不等关系：长＋宽＋高≤160 cm；
（2）通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以估算出它的树龄。通常规定以树干离地面 1.5 m 的地方为测量部位。某树栽种时的树围为 6 cm，在一定生长期内每年增加约 1 cm，设经过 x 年后这棵树的树围超过 10 cm，请你列出 x 满足的关系式。
根据题意，得6＋3x＞30.
【方法指导】(2)题中不等关系：栽种时树围＋x年增长树围＞30cm.
归纳总结
一般地，用符号“<”(或“≤”)，“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式．
不等号共有五种．见下表：
不等号 读法
>
≥
<
≤
≠
大于
大于或等于(不小于)
小于
小于或等于(不大于)
不等于
应用举例
例1 下列数学表达式：①－5＜0；②3x＋4＞0；③x＝2；④x2＋x；⑤x≠－1；⑥x＋3＞x＋6，其中不等式有(　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【方法指导】由不等式的意义可知①②⑤⑥是不等式，③是等式，④是代数式．
C
例2 用适当的符号表示下列关系．
(1)x的与x的3倍的和是非负数；
(2)x与y的平方和与它们的和的平方的积至多为10；
(3)x除以5的商加上2不大于5.
【方法指导】列不等式应注意抓住关键词语的含义．
(1)中的和是非负数就是大于或等于0；
(2)中的积至多为10就是小于或等于10；
(3)中不大于5就是小于或等于5.
(2)(x2＋y2)(x＋y)2≤10；
解：(1) x＋3x≥0.
解：根据题意，得1.5×10＋2(x－10)≥25.
例3 某市自来水公司按如下标准收取水费：若每户每月用水不超过10 m3，则每立方米收费1.5元；若每户每月用水超过10 m3，则超过的部分每立方米收费2元．小亮家某月的水费不少于25元，那么他家这个月的用水量x(m3)至少是多少？请列出关于x的不等式．
【方法指导】由题意可知，不超过10 m3，就是小于或等于10 m3的每立方米收费1.5元，10 m3水费为15元，小亮家水费不少于25元，也就是大于或等于25元，水费包括两部分，10 m3水费加上10 m3以上的水费．
跟踪训练
1.下列式子：①3＞0；②4x+y≤1；③x+3=0；④y-7；⑤m-2.5＜3。其中不等式有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
C
一个式子是不等式的判定：
①含有不等号；
②表示不等关系，而与不等式是否成立无关；
②不等式中可以含有未知数，也可以不含未知数。
2.某次数学测验，共20道选择题，评分方法是答对一道题得5分，答错或不答扣3分。某同学要想在选择题上至少得60分，他至少要答对多少道题(只列不等式)？
解：设答对x道题，则不答或答错的题目数量为(20-x)道题，根据题意可得5x-3(20-x)≥60。
随堂练习
1．某人的心脏平均每分钟跳动的次数a的正常范围为不少于70次，且不多于75次，则可用不等式表示为(　 　)
A．70C．70≤a<75 D．702．某公司打算至多用1 000元印制广告单．已知制版费80元，每印一张广告单还需支付0.5元的印刷费，则该公司可印制的广告单数量x(张)满足的不等式为____________________．
B
80＋0.5x≤1000
3．用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：
原料 甲种原料 乙种原料
维生素C含量/(单位/kg) 600 100
现在用这两种原料10 kg配制这种饮料，要求至少含有4 200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x(kg)应满足的不等式．
解：600x＋100(10－x)≥4 200.
4.用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非负数.
（2）直角三角形斜边c比它的两直角边a，b都长.
（3）x与17的和比它的5倍小.
（4）两数的平方和不小于这两数积的2倍.
a ≥ 0
c > a，c > b
x +17 < 5x
a2+ b2 ≥ 2ab（a表示一个数，b表示另一个数）
5.根据下列信息，写出有关不等式：2021 年，我国自主研制的“海斗一号”全海深自主遥控潜水器打破了多项无人潜水器的世界纪录，包括最大下潜深度达到 10908 m，海底连续作业时间超过 8 h，近海底航行距离超过 14 km。
解：设下潜深度为 h m，则 h ≤ 10908；
设海底连续作业时间为 t h，则 t ＞ 8；
设近海底航行距离为 s km，则 s ＞ 14。
课堂小结
不等式
概念
用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”）连接的式子
列不等式
1.理解题意；
2.找出数量关系；
3.列出关系式。
课本P60－61习题2.1中的T1、T6.
课后作业

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