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北师版-数学-八年级下册
第四章 因式分解
1　因式分解
导入新课
长兴龙山公园有许多漂亮的花坛，其中有一块如图所示，你能用不同的方法求出花坛的面积吗？
花坛的面积S＝a(m＋n)或S＝am＋an.
由此可知：①a(m＋n)＝am＋an；
②am＋an＝a(m＋n).
①等式的左边是整式的积，右边是多项式；
②等式的左边是多项式，右边是整式的积．
探究新知
探究1
【因式分解的定义】
993－99能被100整除吗？你是怎么想的？
小明同学是这样做的：
993－99＝99×992－99×1
＝99×(992－1)
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－99能被100整除．
(1)在判断993－99能否被100整除时，你和小明都是怎样做的？
(2)993－99还能被哪些正整数整除？
解：(1)小明通过分解因数的方法，说明993－99这个算式是100的倍数，所以993－99能被100整除；
(2)993－99还能被98，49，2，11，9，99等正整数整除．
议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？
解：a3－a
＝a×a2－a×1
＝a(a2－1)
＝a(a＋1)(a－1).
做一做
观察下面拼图过程，写出相应的关系式．
_____________________________
_____________________________
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
x2＋x＋x＋1＝(x＋1)(x＋1)
归纳总结
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解．因式分解也可称为分解因式．
应用举例
例1 下列式子从左到右的变形是因式分解的是 ( )
A．a2＋5a－24＝a(a＋5)－24 B．a2＋5a－24＝(a－3)(a＋8)
C．(a－3)(a＋8)＝a2＋5a－24 D．a2＋5a－24＝(a＋2)2－24
例2 下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是( )
A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2
C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－xy＋y2＝(x－y)2
B
C
例3 (3a－y)(3a＋y)是下列哪一个多项式因式分解的结果
( )
A．9a2＋y2 B．－9a2＋y2
C．9a2－y2 D．－9a2－y2
例4 如果x2＋mx－15＝(x＋3)(x＋n)，那么m的值是___，n的值是____．
C
－2
－5
探究1
【因式分解与整式乘法的关系】
1．计算下列各式：
(1)3x(x－1)＝___________；
(2)m(a＋b－1)＝_____________；
(3)(m＋4)(m－4)＝_________；
(4)(y－3)2＝____________．
3x2－3x
ma＋mb－m
m2－16
y2－6y＋9
2．根据上面的算式进行因式分解：
(1)3x2－3x＝(　　)(　 　)；
(2)ma＋mb－m＝(　　)(　 　)；
(3)m2－16＝(　 　)(　 　)；
(4)y2－6y＋9＝(　 　)(　　 ).
3x
x－1
m
a＋b－1
m＋4
m－4
y－3
y－3
你有什么发现？
第一组是把几个整式的积展开整理之后的结果，第二组是把多项式写成了几个整式的积的形式，它们之间恰好是一个互逆的关系．
归纳总结
应用举例
例1 下列由左到右的变形，哪些是因式分解？为什么？
(1)(a＋3)(a－3)＝a2－9；
(2)m2－4＝(m＋2)(m－2)；
(3)a2－b2＋1＝(a＋b)(a－b)＋1；
(4)2mR＋2mr＝2m(R＋r).
【方法指导】判断一个由左到右的变形是不是因式分解，关键是看这个变形是不是把一个多项式改写成几个整式的积的形式．
解：(2)(4)是因式分解，因为符合因式分解的定义．
例2 因式分解6x2＋ax＋10＝(3x＋2)(2x＋5)，则a＝________．
19
【方法指导】因式分解与整式乘法互逆，计算(3x＋2)(2x＋5)＝6x2＋19x＋10，所以a＝19.
例3 将如图所示四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解．
【方法指导】由题意可知，拼成的大长方形的长是(x＋2)，宽是(x＋1)，面积是(x＋2)(x＋1)，同时这四个图形的面积和这个大长方形面积相等．
解：x2＋x＋2x＋2＝(x＋2)(x＋1).
因式分解 整式变形
区别
联系
把一个多项式转化为几个整式的积的形式
把几个整式相乘的形式转化为一个整式的形式
m(a+b+c)
ma+mb+mc
整式乘法
因式分解
(a+b)(a-b)
a2-b2
整式乘法
因式分解
(a±b)2
a2±2ab+b2
整式乘法
因式分解
例4 利用简便方法计算57×99＋44×99－99正确的是 ( )
A．99×(57＋44)＝99×101＝9 999
B．99×(57＋44－1)＝99×100＝9 900
C．99×(57＋44＋1)＝99×102＝10 098
D．99×(57＋44－99)＝99×2＝198
例5 通过计算说明255＋511能被30整除．
解：∵255＋511＝510＋511＝510×(1＋5)＝510×6＝59×30，
B
∴255＋511能被30整除．
随堂练习
1．下列变形属于因式分解的是 ( )
A．x2－7x＋12＝x(x－7)＋12 　　
B．x2－7x＋12＝(x－3)(x＋4)
C．(x－3)(x－4)＝x2－7x＋12 　　
D．x2＋7x＋12＝(x＋3)(x＋4)
D
2．对于①x－3xy＝x(1－3y)，②(x＋3)(x－1)＝x2＋2x－3，从左到右的变形，表述正确的是( )
A．都是因式分解 　　
B．都是整式乘法运算
C．①是因式分解，②是整式乘法运算 　　
D．①是整式乘法运算，②是因式分解
3．3x(2x－y2)＝6x2－3xy2是__________运算；6x2－3xy2＝3x(2x－y2)是_________运算．
C
整式乘法
因式分解
课堂小结
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式.
其中，每个整式叫做这个多项式的因式.
与多项式乘法运算的关系
相反的变形过程.
前者是把一个多项式化为几个整式的乘积，后者是把几个整式的乘积化为一个多项式.
课本P113习题4.1中的T1、T2、T3、T4.
课后作业

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