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第六章 平行四边形
2　平行四边形的判定
第2课时　平行四边形的判定定理3
北师版-数学-八年级下册
1　平行四边形的性质和判定
复习导入
1．判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
2．将两根木条的中点重叠，并用钉子固定，得到如图的四边形，你认为这个四边形是平行四边形吗？
要如何证明呢？
【探究】对角线互相平分的四边形是平行四边形．
探究新知
已知：如图，四边形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，并且OA＝OC，OB＝OD.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
C
B
D
O
证明：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，
A
C
B
D
O
∴△AOD≌ △COB.
∴AD=CB，∠ADO=∠CBO.
∴AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
判定定理3：对角线互相平分的四边形是
平行四边形．
几何语言：
A
C
B
D
O
四边形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
应用举例
【例1】已知：如图，E，F是 ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形．
A
C
B
D
E
F
【方法指导】先利用 ABCD的性质得到对角线互相平分，即OA＝OC，OB＝OD.又因为AE＝CF，所以OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，利用平行四边形的判定定理3得到四边形BFDE是平行四边形．
证明：连接BD，交AC于点O.
A
C
B
D
E
F
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.
O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD(平行四边形的对角线互相平分)．
∵AE＝CF，
∴四边形BFDE是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)．
【例2】(1)对于上述例题，若将条件“AE＝CF”改为“E，F是OA，OC的中点”，则结论还成立吗？
A
C
B
D
E
F
O
解：(1)成立．理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵E，F是OA，OC的中点，
∴OE＝OA，OF＝OC，即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形；
(2)成立．理由如下：
(2)对于上述例题，如图，若将点E，F继续移动至OA，OC的延长线上，仍使AE＝CF，则结论还成立吗？
A
C
B
D
E
F
O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，OA＝OC.
∵AE＝CF，
∴OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF，
∴四边形BEDF是平行四边形．
归纳总结
从边考虑
两组对边分别平行的四边形是平行四边形(定义法)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形(判定定理1)
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形（判定定理2）
从角考虑
从对角线考虑
平行四边形的判定方法
两组对角分别相等的四边形是平行四边形（定义拓展）
对角线互相平分的四边形是平行四边形（判定定理3）
随堂练习
1．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　)
A．AB∥CD，AD∥BC
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AD＝BC，AB∥CD
D．AB＝CD，AD＝BC
C
2．A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB＝CD；③BC＝AD；④BC∥AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有　
(　　)
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
B
3．如图，在 ABCD中，∠ABC＝70°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交BC于点F，求∠CDF的度数．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝70°，AD∥BC.
∵∠ABC＝70°，BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝35°.
∵BE∥DF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
∴∠FBE＝∠EDF＝35°.
∴∠CDF＝∠ADC－∠EDF＝35°.
4．如图， ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作两条直线分别与AB，BC，CD，AD交于G，F，H，E四点．求证：四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，AD∥CB，
∴∠OAE＝∠OCF.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA).
∴OE＝OF.
同理可得：OG＝OH.
∴四边形EGFH为平行四边形．
5．如图，已知BD垂直平分AC，∠BCD＝∠ADF，AF⊥AC.
(1)求证：四边形ABDF是平行四边形；
解：(1)∵BD垂直平分AC，
∴AB＝BC，AD＝CD.
∴∠BAC＝∠BCA，∠DAC＝∠DCA.
∴∠BCD＝∠BAD.
又∵∠BCD＝∠ADF，
∴∠BAD＝∠ADF，
∴AB∥DF.
∵AF⊥AC，BD⊥AC，
∴四边形ABDF是平行四边形；
∴AF∥BD.
(2)若AF＝DF＝5，AD＝6，求AC的长．
(2)∵AF＝DF＝5，四边形ABDF是平行四边形，
∴AB＝BD＝5.
设BE＝x，则DE＝5－x.
在Rt△ABE中，BE2＋AE2＝AB2，即x2＋AE2＝52，
在Rt△ADE中，DE2＋AE2＝AD2，即(5－x)2＋AE2＝62，
∴(5－x)2－x2＝62－52.
解得x＝，
把x＝代入x2＋AE2＝52，得AE＝.
∴AC＝2AE＝.
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P168习题6.2中的T7.
课后作业

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