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第六章 平行四边形
2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定定理1，2
北师版-数学-八年级下册
1　平行四边形的性质和判定
复习导入
1.什么是平行四边形？
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
A
B
C
D
2.我们学行四边形的哪些性质？
平行四边形的两组对边分别相等；
平行四边形的两组对角分别相等；
边
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，AD=BC .
角
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠A=∠C，∠D=∠B .
A
B
C
D
平行四边形的对角线互相平分.
对角线
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD .
A
B
C
D
O
3．小华家准备安装一块平行四边形的装饰玻璃ABCD，但他不小心碰碎了一部分，他只好拿着剩下的玻璃去玻璃店，聪明的技师很快将原来的平行四边形画了出来.
你知道他用的是什么方法吗？
【探究1】两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
探究新知
取四根木条，其中两根长度相等，另两根长度也相等，能否在平面内将这四根木条首尾顺次相接搭成一个平行四边形？说说你的理由，并与同伴交流．
定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
条件：四边形的两组对边分别相等．
结论：四边形一定是平行四边形．
你能证明它吗
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD= CB.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
A
C
B
D
证明：如图，连接BD，在△ABD和△CDB中
判定定理1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
A
C
B
D
1
4
3
∵ AB=CD，AD=BC，BD=DB，
∴△ABD≌ △CDB.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∴AB∥CD，AD∥CB.
∴四边形ABCD是平行四边形（平行四边形的定义）.
【探究2】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
如图，在方格纸中，画出线段AD＝BC，四边形ABCD是平行四边形吗？说说你的理由．
A
B
C
D
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号“ ”表示平行且相等，读作“平行且等于”．
∥
=
A
C
B
D
已知：如图，在四边形ABCD中，AB CD.
求证：四边形ABCD是平行四边形.
∥
=
证明：如图，连接AC.
A
C
B
D
判定定理2 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
∵ AB∥CD，
∴∠BAC = ∠DCA.
又∵AB = CD，AC = CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴BC = DA.
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）.
思考
我们进行证明时都用到了哪些辅助线？证明的过程都用到了什么方法呢？
A
C
B
D
1
4
3
A
C
B
D
证明时连接对角线，将四边形化为三角形，然后用到了证明三角形全等的方法．
一组对边相等，另一组对边平行的四边形一定是平行四边形吗？
答案：不一定，如图．
A
C
B
D
想一想
应用举例
【例1】已知：如图，在四边形PONM中，MO⊥ON于O，各边长在图上已标出，试证明：四边形PONM是平行四边形．
【方法指导】在Rt△MON中，应用勾股定理可求出x，从而确定四边形PONM中PM，MN，ON的边长，根据对边相等的四边形是平行四边形判定．
解：在Rt△MON中，由勾股定理，得42＋(x－5)2＝(x－3)2，解得x＝8，
∴11－x＝3，x－5＝3，x－3＝5，
∴PM＝ON，PO＝MN，
∴四边形PONM是平行四边形．
【例2】已知：如图，在 ABCD中，E，F分别是AD和CB的中点．
求证：四边形BFDE是平行四边形．
【方法指导】利用平行四边形的判定定理证明ED BF，从而可得四边形BFDE是平行四边形．
∥
=
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形BFDE是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
∴AD＝CB(平行四边形的对边相等)，
AD∥CB(平行四边形的定义)．
∵E，F分别是AD和CB的中点，
∴ED＝AD，FB＝CB，
∴ED＝FB，ED∥FB，
归纳总结
平行四边形的判定
定义法
判定理理1
判定定理2
①已知一组对边平行，可以证另一组对边平行；也可证这组对边相等.
②已知一组对边相等，可以证另一组对边相等；也可证这组对边平行.
③已知一组对角相等，再证另一组对角相等.
随堂练习
1．不能判定四边形ABCD是平行四边形的是(　　)
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB＝CD，AB∥CD
C. AB＝CD，AD∥BC
D．AB∥CD，AD∥BC
C
2．下列能判定一个四边形为平行四边形的条件是(　　)
A．一组对边平行，另一组对边相等
B．一组对边平行，一组对角互补
C．一组对角相等，一组邻角互补
D．一组对角相等，另一组对角互补
C
3．如图，已知AD∥BC，要使四边形ABCD为平行四边形，需要添加的条件是____________________．(只需填写一个)
A
C
B
D
AD＝BC(或AB∥CD)
4．如图，在 ABCD中，AE＝CF.求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，且AB＝CD，
又∵AE＝CF，
∴AB－AE＝CD－CF，即BE＝DF，
∴BE∥DF且BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
5．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
证明：(1)∵BE＝CF，
∴BE＋EC＝CF＋EC，即BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF(SSS).
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)连接AD，求证：四边形ABED是平行四边形．
(2)由(1)，得△ABC≌△DEF，
∴∠B＝∠DEF，AB＝DE，
∴AB∥DE，
∴四边形ABED是平行四边形．
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P166习题6.2中的T1、T2、T3、T6.
课后作业

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