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第六章 平行四边形
2　平行四边形的判定
第3课时　平行线之间的距离及平行四边形判定与性质的综合
北师版-数学-八年级下册
1　平行四边形的性质和判定
情景导入
在笔直的铁轨上,夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长 你能说明理由吗
【探究1】
探究新知
已知：如图，直线 a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.
求证：AC=BD.
A
B
C
D
a
b
1
2
┐
┐
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义)，
A
B
C
D
a
b
1
2
┐
┐
∴∠1＝∠2＝90°，
∴AC∥BD.
∵AB∥CD，
∴AC＝BD(平行四边形的对边相等)．
如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离．
注意：距离是指垂线段的长度大于0.
A
B
C
D
a
b
1
2
┐
┐
【探究2】
观察图片
思考
夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
由“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可知其围成的封闭图形为平行四边形，所以夹在平行线之间的平行线段一定相等．
夹在两条平行线间的平行线段一定相等．
两条平行线之间的距离处处相等.
归纳小结
如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理．
(1)根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(2)根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
(3)根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
应用举例
【例1】如图，直线l1∥l2，点P在直线l1上，点A，B在直线l2上．设△PAB的面积为S.
(1)当点P运动到P1的位置时，△PAB与△P1AB的面积相等吗？为什么？
A
B
l1
l2
p
p1
解：(1)相等．理由如下：
A
B
l1
l2
p
p1
C
D
┐
┐
∵l1∥l2，
如图，过点P作PC⊥l2于点C，P1D⊥l2于点D.
∴PC＝P1D(平行线间的距离处处相等)．
∵S△PAB＝ AB·PC，S△P1AB＝ AB·P1D，
∴S△PAB＝S△P1AB；
(2)当点P运动到异于P，P1两点的位置时，△PAB的面积有何变化？请你直接写出结果(写变大、变小或不变)
(2)不变．
A
B
l1
l2
p
p1
C
D
┐
┐
【例2】已知：如图，在 ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM＝BN，DF＝BE.
求证：四边形MENF是平行四边形．
A
B
C
D
E
M
F
N
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
E
M
F
N
∴AD∥BC(平行四边形的定义)，
∴∠MDF＝∠NBE.
又∵DM＝BN，DF＝BE，
∴△MDF≌△NBE，
∴MF＝NE，∠MFD＝∠NEB，
∴∠MFE＝∠NEF，
∴MF∥EN，
∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
归纳总结
平行四边形
五种判定方法
对边平行,对边相等，对角相等
判定
性质
夹在两条平行线间的平行线段处处相等
随堂练习
1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，点M到直线b的距离是3 cm，那么直线a，直线b之间的距离是(　　)
A．2 cm B．8 cm
C．2 cm或8 cm D．4 cm
C
2．如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为12，则△DBC的面积(　　)
A．大于12 B．小于12
C．等于12 D．不确定
C
3．两条平行铁轨间的枕木长度都相等，依据的数学原理是_________________________________．
4．如图，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，如果OE＝2 cm，那么AB，CD间的距离是____cm.
两平行线间的距离一定相等
4
5．如图，M是 ABCD的边AB上的任意一点．设△ADM，△BCM，△CDM的面积分别为S1，S2，S，则S1＋S2与S的关系是 ( )
A．S1＋S2＝S
B．S1＋S2>S
C．S1＋S2D．不能确定
A
6．如图，直线AE∥BD，点C在BD上，若AE＝4，BD＝6.
△ABD的面积为12，则△ACE的面积为____．
8
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.
求证：(1)AE＝CF；
证明：(1)连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD BC，
∴∠OAD＝∠BCA，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠DAC＋∠ADE，∠2＝∠BCA＋∠CBF，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，
∴AE＝CF；
∥
=
A
B
C
D
E
1
F
2
O
(2)四边形EBFD是平行四边形．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∵AE＝CF，
∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
A
B
C
D
E
1
F
2
O
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P167习题6.2中的T4、T5、T8、T12.
课后作业

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