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第六章 平行四边形
1　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形的边、角的性质
北师版-数学-八年级下册
1　平行四边形的性质和判定
情景导入
这几幅图片里有你所熟悉的哪些图形？
【探究1】平行四边形的概念
探究新知
请将你准备的纸片对折，剪下两张叠放的三角形纸片，把它们相等的一组对边拼接，想办法拼出一个平行四边形，并完成下面的问题．
1．两张三角形纸片你可以拼出几种形状不同的平行四边形？展示你们所拼成的平行四边形．
2．在你拼成的图形中有没有互相平行的线段？你是怎样得到的？
请用尺子等工具度量你手中平行四边形的四条边
平行四边形的概念
定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
平行四边形用“ ”表示，如图，平行四边形ABCD记作“ ”.
ABCD
平行四边形的有关概念：
1.平行四边形中相对的边称为对边，
相对的角称为对角。
2.平行四边形中相邻的边称为邻边，相邻的角称为邻角。
A
B
C
D
3.平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线。如图：AC、BD.
思考
若已知四边形ABCD是平行四边形，则能得到哪些结论？
平行四边形的两组对边分别平行．
A
B
C
D
用几何语言表述：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥DC.
【探究2】平行四边形的性质
平行四边形的对称性.平行四边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？如果是，你能找出它的对称中心、对称轴吗？
平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
我们还发现：平行四边形的对边相等、对角相等.请你尝试证明这些结论.
【探究3】平行四边形的性质定理
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形.
求证：AB=CD，BC=DA.
证明：连接AC.
1
4
2
3
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD， BC∥DA
（平行四边形的定义）.
∴∠1=∠2，∠3=∠4.
∵AC=CA，
∴△ABC≌△CDA.
∴AB=CD，BC=DA.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
请证明：平行四边形的对角相等.
∴AB∥CD， BC∥DA（平行四边形的定义）.
∴∠A+∠B =180°，∠B+∠C =180°.
∴∠A =∠C.
同理可得： ∠B =∠D.
定理 平行四边形的对边相等.
定理 平行四边形的对角相等.
应用举例
【例1】已知：如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：BE＝DF.
【方法指导】平行四边形的对边平行且相等，可得到AB＝CD，AB∥CD，所以∠BAC＝∠ACD，再因为AE＝CF，利用SAS证明△ABE≌△CDF，得到BE＝DF.
A
B
C
D
E
F
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
∴AB＝CD(平行四边形的对边相等)，
AB∥CD(平行四边形的定义)，
∴∠BAE＝∠DCF.
又∵AE＝CF，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF.
【例2】如图，在 ABCD中，∠A－∠B＝40°，求 ABCD各个内角的度数．
【方法指导】由平行四边形的对角相等，可得出∠A＝∠C，∠B＝∠D.由平行四边形的定义，可得AD∥BC，故∠A＋∠B＝180°，结合已知条件列二元一次方程组可求得各角度数．
A
B
C
D
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
D
∴AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°.①
又∵∠A－∠B＝40°， ②
∴由①②组成方程组，解得
∠A＝110°，∠B＝70°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝110°，∠D＝∠B＝70°.
归纳总结
平行四边形
中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对称性
定义
性质
对边平行,
对边相等，
对角相等
随堂练习
1．在 ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是(　　)
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1
C．1∶1∶2∶2 D．2∶1∶2∶1
2．若 ABCD的周长为20 cm，△ABC的周长为16 cm，则对角线AC的长是(　　)
A．5 cm B．15 cm
C．6 cm D．16 cm
D
C
3．如图，在 ABCD中，M是BC延长线上的一点．若∠A＝135°，则∠MCD的度数是 ( )
A．45° B．55°
C．65° D．75°
A
4．在 ABCD中，∠A＋∠C＝260°，则∠B＝____，∠C＝____．
5．如图， ABCD中，AD＝BD，∠ADB＝32°，则∠C的度数为_____．
50°
130 °
74°
6．如图，在 ABCD中，AE⊥BC交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE.过点F作FG⊥CD，交边AD于点G.求证：DG＝DC.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠D＝∠B.
∵AE⊥BC，FG⊥CD，
∴∠DFG＝∠BEA＝90°.
∵DF＝BE，
∴△DFG≌△BEA(ASA).
∴DG＝AB，
∴DG＝DC.
7．已知平行四边形一个内角的度数，能确定其他内角的度数吗 请说明理由。
已知平行四边形的一个内角的度数，就可以确定其他三个内角的度数。
与已知角相邻的角的度数为180度减去已知角的度数，而与已知角相对的角的度数等于已知角的度数。
8．如图，四边形 ABCD是平行四边形。
求:(1)∠ ADC和∠BCD的度数;
(2)AB和BC的长度。
∴ ∠ADC=∠B=56°
（邻角互补）
∵四边形ABCD是平行四边形，
（对角相等）
∴ ∠BCD=180° ∠B=124°
AB=CD=25
AD=BC=30
（对边相等）
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P157习题6.1中的T1、T2、T3、T4.
课后作业

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