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第六章 平行四边形
1　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形的对角线的性质及梯形
北师版-数学-八年级下册
1　平行四边形的性质和判定
情景导入
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，他已经拥有一块近似平行四边形的土地．他决定将这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
A
B
C
D
O
老大
老二
老三
老四
老人这样分地合理吗？
【探究1】探索平行四边形对角线的性质
探究新知
如图，把两张完全相同的平行四边形纸片叠合在一起，在它们的中心O 钉一个图钉，将一个平行四边形绕O旋转180°，你发现了什么
A
B
D
C
O
A
B
D
C
O
●
A
D
O
C
B
O
发现：平行四边形ABCD绕它的中心O旋转180°后能够与自身重合。
B
A
D
C
你能证明它吗
(1)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；
(2)平行四边形的对角线互相平分．
【探究2】平行四边形对角线性质的证明
已知：如图， ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O.
求证：OA=OC，OB=OD.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
思考：你还有其他方法吗
∴AB=CD（平行四边形的对边相等），
AB∥CD（平行四边形的定义）.
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO.
∴△ABO≌△CDO.
∴OA=OC，OB=OD.
平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB，CD是它的两条对角线，
∴OA＝OC，OB＝OD.
【探究3】等腰梯形的性质
一组对边平行、另一组对边不平行的四边形叫作梯形。
较长的底通常称为下底。
平行的两边称为梯形的底，
较短的底通常称为上底，
不平行的两边称为梯形的腰，
上底
下底
腰
腰
两腰相等的梯形称为等腰梯形。
高
1．动手操作：请学生拿出准备好的等腰梯形纸片．
A
B
C
D
任务一：用量角器量一量等腰梯形的同一底上的两个角(如∠A和∠D，∠B和∠C)，你发现了什么？
∠D=73°
∠C=73°
∠B=107°
∠A=107°
∠A+∠D=180°
∠B+∠C=180°
任务二：将等腰梯形纸片沿它的对称轴对折，你发现了什么？
A
B
C
D
对折后两边能完全重合．
性质1(边角关系)：等腰梯形同一底上的两个角相等．
性质2(对称性)：等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴．
应用举例
【例1】如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝6，CD＝4，高为3，则梯形的周长为___________.
【方法指导】由等腰梯形得AD＝BC，∠A＝∠B，证明△AED≌△BFC(AAS)，则有DE＝CF，AE＝BF，再通过勾股定理得AD＝＝＝.
2＋10
D
C
B
A
E
F
【方法指导】平行四边形的对边相等，可得到AB＋AD＝30 cm，由平行四边形的对角线互相平分可得到OB＝OD，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，
【例2】已知 ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长．
D
C
B
A
O
实际上就是AB－AD＝5 cm，根据AB＋AD＝30 cm，AB－AD＝5 cm，求出 ABCD的各边长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
D
C
B
A
O
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，
∴AB－AD＝5 cm.
又∵ ABCD的周长为60 cm，
∴AB＋AD＝30 cm，
∴AB＝17.5 cm，AD＝12.5 cm，
则AB＝CD＝17.5 cm，AD＝BC＝12.5 cm.
【例3】 已知：如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线与AD，BC分别相交于点E，F.
求证：OE=OF.
【方法指导】利用平行四边形的性质证明△DOE≌△BOF，从而得到所要求证的OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DO=BO（平行四边形的对角线互相平分），
AD∥BC（平行四边形的定义）.
∴∠ODE=∠OBF，
∵ ∠DOE=∠BOF.
∴△DOE≌△BOF. (ASA)
∴OE=OF.
【例4】如图，在平行四边形ABCD中(BC>AB)，对角线AC，BD交于点O.已知△BOC与△AOB的周长之差为3，平行四边形ABCD的周长为26，则BC的长度为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
D
【例5】如图，EF过 ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.若 ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为____．
12
【例6】 如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，∠B＝60°，AD＝4，BC＝10.求腰AB的长．
通过作高(AE，DF)，将梯形分割为两个直角三角形和一个矩形．在Rt△ABE中，利用∠B＝60°和BE的长度，即可求出AB.
A
D
C
B
E
F
解：分别过点A，D作AE⊥BC于点E，DF⊥BC于点F.
A
D
C
B
E
F
在Rt△ABE中，∵∠B＝60°，
∴∠BAE＝30°.
∵在等腰梯形中，AB＝DC.
又∵AD∥BC，
∴AE＝DF.
∴Rt△ABE≌Rt△DCF(HL).
∴BE＝CF.
易得EF＝AD＝4.
∵BC＝10，
∴BE＋CF＝BC－EF＝6.
∴BE＝CF＝3.
在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE＝6.
归纳总结
平行四边形的对角线的性质及梯形
平行四边形
梯形
对角线互相平分
概念
等腰梯形的性质:等腰梯形同一底上的两个角相等．
随堂练习
1．等腰梯形的一个内角是70°，则另外三个内角的度数分别是___________________．
2．如图，在 ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是_______________．
1＜OA＜5
70°，110°，110°
3．如图， ABCD的对角线交于点O，且AB＝4，△OCD的周长为12，则 ABCD的两条对角线长度的和是____．
16
4．如图，已知在 ABCD中，∠BDA＝90°，AC＝12 cm，BD＝6 cm，求BC的长．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，
OA＝OC＝AC＝6 cm，
OD＝OB＝BD＝3 cm.
在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD＝＝3.
∴BC＝AD＝3cm.
5.已知ABCD的对角线AC与BD相交于点O，OA，OB，AB的长分别为3，4，5，求其他各边及两条对角线的长度。
在△ABO中，∵OA = 3,OB = 4,AB = 5,
解:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴ AD = BC = 5.
A
B
C
D
O
3
4
5
在Rt△OBC中由勾股定理得BC==5
∴OC = OA = 3，OD = OB = 4，CD = AB = 5.
∴AC = 6，BD = 8.
∴OA2＋OB2 = 32＋42 = 25 = 52 = AB2.
∴∠AOB = 90°.
∴∠BOC = 90°.
6.如图，一块梯形玻璃破损成三块，测量发现a∥b，∠1=110°，∠4=125°，求∠2和∠3的度数。
这节课的收获是什么？
课堂小结
课本P157习题6.1中的T5、T6、T7.
课后作业

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