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微专题3　三角函数中的ω，φ的范围问题
[考情分析]　三角函数是高考的必考考点，其中求ω，φ的取值范围问题是热门考点.主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象.从近几年的高考情况来看，常在选择题中出现，难度稍大.
微点一　三角函数的最值(极值)与ω，φ的取值范围
1.(2025·驻马店模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)在区间(0，π)上恰有3个极值点，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
2.已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)相邻两个对称轴之间的距离为π，且f(x)>2对于任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
微点二　单调性与ω，φ的取值范围
3.(2025·厦门质检)函数f(x)=2sin ωx(sin ωx+cos ωx)(ω>0)在上单调递增，且对任意的实数a，f(x)在(a，a+π)上不单调，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象在区间上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
微点三　零点与ω，φ的取值范围
5.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
6.已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是　　　　　.
微点四　对称性与ω，φ的取值范围
7.(2025·贵州模拟)已知函数f(x)=3cos(ω>0)，若f(x)在区间[0，π)上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
8.(2025·镇江模拟)已知函数f(x)=cos，将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，则φ的最小值等于(　　)
A. B.
C. D.
[总结提升]
求ω，φ题型多为复杂题，大多数是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用整体换元的思想，进行图象的变换，或者利用函数的单调区间、对称性、最值、零点、极值点等性质，再结合图形解出ω，φ的值或取值范围.
专题突破练
[分值：52分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若函数f(x)=sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2025·泸州模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(0，1]
C. D.
3.(2025·烟台模拟)若函数f(x)=sin在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数ω的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
4.设函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)，当x∈时，方程f(x)=2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
5.将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·长沙模拟)已知f(x)=sin ·cos +cos2-，ω>0，下列结论正确的是(　　)
A.若f(x)的最小正周期为π，则ω=2
B.若f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ωmin=1
C.若f(x)在[0，2π)上恰有4个极值点，则ω的取值范围为
D.存在ω，使得f(x)在上单调递减
8.(2025·南充模拟)已知函数f(x)=2sin，ω>0，则下列说法正确的是(　　)
A.当ω=2时，点是函数f(x)图象的一个对称中心
B.当ω=2时，函数y=f(x)-1在上有4个零点
C.若将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则ω的最小值为3
D.当x∈[0，1]时，f(x)恰有4个最大值，则实数ω的取值范围为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·绥化模拟)已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0，2π)上有最小值，没有最大值，则ω的取值范围是　　　　.
10.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，点A，B，C是函数f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是　　　　　. 微专题3　三角函数中的ω，φ的范围问题
[考情分析]　三角函数是高考的必考考点，其中求ω，φ的取值范围问题是热门考点.主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象.从近几年的高考情况来看，常在选择题中出现，难度稍大.
微点一　三角函数的最值(极值)与ω，φ的取值范围
1.(2025·驻马店模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)在区间(0，π)上恰有3个极值点，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　∵ω>0，x∈(0，π)，
∴ωx-∈，
令t=ωx-，
则y=2sin t，t∈，
作出y=2sin t的图象，如图所示，
要使函数f(x)在区间(0，π)上恰有3个极值点，
则<ωπ-≤，
解得<ω≤，
则ω的取值范围为.
2.已知函数f(x)=4sin(ωx+φ)相邻两个对称轴之间的距离为π，且f(x)>2对于任意的x∈恒成立，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意，得T==2π，解得ω=1.
由4sin(x+φ)>2，即sin(x+φ)>，
得+2kπ即+2kπ-φ因为f(x)>2对于任意的x∈恒成立，且|φ|≤，
所以 ，
即解得≤φ≤.
微点二　单调性与ω，φ的取值范围
3.(2025·厦门质检)函数f(x)=2sin ωx(sin ωx+cos ωx)(ω>0)在上单调递增，且对任意的实数a，f(x)在(a，a+π)上不单调，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为f(x)=2sin ωx(sin ωx+cos ωx)
=2sin2ωx+2sin ωxcos ωx
=sin 2ωx-cos 2ωx+
=2sin+，
又因为x∈，且ω>0，
则2ωx-∈，
因为f(x)在上单调递增，
所以-≤，所以0<ω≤，
因为对任意的实数a，f(x)在(a，a+π)上不单调，
所以f(x)的周期T=<2π，
所以ω>，所以<ω≤.
4.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的图象的一条对称轴与其相邻的一个对称中心的距离为，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象.若函数g(x)的图象在区间上单调递增，则φ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设最小正周期为T，由题意，知=，
∴T=π=，∴ω=2，
∴f(x)=cos(2x+φ)，
∵将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，
∴g(x)=cos=cos，
由2kπ-π≤2x+φ-≤2kπ，k∈Z，
得kπ--≤x≤kπ+-，k∈Z，
即g(x)的单调递增区间为，k∈Z，
∴ ，k∈Z，
∴k∈Z，
∴2kπ-≤φ≤2kπ-，k∈Z，
∵0<φ<π，∴≤φ≤.
微点三　零点与ω，φ的取值范围
5.(2023·新课标Ⅰ卷)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
答案　[2，3)
解析　因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cos ωx-1=0，
则cos ωx=1有3个根，
令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
6.已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间(π，2π)内没有零点，则ω的取值范围是　　　　　.
答案　∪
解析　设函数f(x)的最小正周期为T，
根据函数周期性可知≥2π-π=π，即T≥2π，
且ω>0，则≥2π，可得0<ω≤1，
因为x∈(π，2π)，
则ωx+∈，
且πω+∈，2πω+∈，
因为函数f(x)在区间(π，2π)内没有零点，可知y=sin t在区间内没有零点，
可得或
解得0<ω≤或≤ω≤，
所以ω的取值范围是∪.
微点四　对称性与ω，φ的取值范围
7.(2025·贵州模拟)已知函数f(x)=3cos(ω>0)，若f(x)在区间[0，π)上有且仅有3个零点和2条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为x∈[0，π)，ω>0，
所以2ωx+∈，
由于函数f(x)在区间[0，π)上有且仅有3个零点和2条对称轴，
所以<2πω+≤3π，
解得<ω≤，
故ω的取值范围是.
8.(2025·镇江模拟)已知函数f(x)=cos，将f(x)的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象与f(x)的图象关于原点对称，则φ的最小值等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　将f(x)=cos的图象向左平移φ个单位长度后，
得到g(x)=cos=cos的图象.
因为g(x)，f(x)的图象关于原点对称，
所以g(x)=-f(-x)，
即cos=-cos.
则2φ-=+π+2kπ，k∈Z，
即φ=+kπ，k∈Z，
又φ>0，当k=0时，φ取最小值为.
[总结提升]
求ω，φ题型多为复杂题，大多数是代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用整体换元的思想，进行图象的变换，或者利用函数的单调区间、对称性、最值、零点、极值点等性质，再结合图形解出ω，φ的值或取值范围.
专题突破练
[分值：52分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若函数f(x)=sin(ω>0)在[0，π]上的值域为，则ω的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为0≤x≤π，ω>0，
所以-≤ωx-≤ωπ-.
又f(x)的值域为，
所以≤ωπ-≤，
所以≤ω≤.
2.(2025·泸州模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，则ω的取值范围是(　　)
A.(0，2] B.(0，1]
C. D.
答案　B
解析　由题意设t=ωx+，
由x∈，ω>0，
所以t∈，
则y=sin t在上单调递增，
所以ω+≤，
解得ω≤1，
又ω>0，所以0<ω≤1，
即ω的取值范围是(0，1].
3.(2025·烟台模拟)若函数f(x)=sin在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，则正整数ω的值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　由题意ω>0且ω是正整数，
若x∈，
则ωx+∈，
若函数f(x)=sin在上有且只有一条对称轴和一个对称中心，
所以π<+≤，ω∈N*，
解得<ω≤，ω∈N*，即ω=3.
4.设函数f(x)=sin2ωx-cos2ωx+2sin ωxcos ωx(ω>0)，当x∈时，方程f(x)=2有且只有两个不相等的实数解，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由已知易知f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin，
当x∈时，2ωx-∈，所以要满足题意有≤πω-<，
所以ω的取值范围是.
5.将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间(0，φ)上恰有两个零点，则φ的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　将函数f(x)=2sin的图象向右平移φ个单位长度，
得到函数g(x)=2sin的图象，由0又g(x)在(0，φ)上有2个零点，
所以-2π≤-3φ<-π，
解得<φ≤，即φ的取值范围为.
6.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx+∈.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω+≤，得<ω≤.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω+≤3π，得<ω≤.
综上，ω的取值范围为.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·长沙模拟)已知f(x)=sin ·cos +cos2-，ω>0，下列结论正确的是(　　)
A.若f(x)的最小正周期为π，则ω=2
B.若f(x)的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则ωmin=1
C.若f(x)在[0，2π)上恰有4个极值点，则ω的取值范围为
D.存在ω，使得f(x)在上单调递减
答案　ABC
解析　由f(x)=sin cos +cos2-
=sin ωx+cos ωx=sin，
对于A，若f(x)的最小正周期为π，
则T= ω=2，故A正确；
对于B，若f(x)的图象向左平移个单位长度后得函数y=sin
=sin的图象，
其图象关于y轴对称，
则有ω+=+kπ(k∈Z) ω=1+3k(k∈Z)，显然ωmin=1，故B正确；
对于C，x∈[0，2π) ωx+∈，
根据题意有<2ωπ+≤ ω∈，故C正确；
对于D，x∈ ωx+∈，
显然+>，-+<，即该区间为包含的连续区间，
根据正弦函数的单调性可知，f(x)在该区间上不可能单调递减，故D错误.
8.(2025·南充模拟)已知函数f(x)=2sin，ω>0，则下列说法正确的是(　　)
A.当ω=2时，点是函数f(x)图象的一个对称中心
B.当ω=2时，函数y=f(x)-1在上有4个零点
C.若将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于y轴对称，则ω的最小值为3
D.当x∈[0，1]时，f(x)恰有4个最大值，则实数ω的取值范围为
答案　ACD
解析　当ω=2时，f(x)=2sin，
则f=2sin=0，
即点是函数f(x)图象的一个对称中心，故A对；
令2sin-1=0，
可得sin=，
因为x∈，
则t=2x-∈，
故sin t=在区间上共有3个解，
t=-，t=-和t=，
所以函数y=f(x)-1在上有3个零点，
x=-，x=-和x=，故B错；
由f=2sin的图象关于y轴对称，则=+kπ，k∈Z，
所以ω=3+4k，k∈Z，且ω>0，故ω的最小值为3，故C对；
由x∈[0，1]，则t=ωx-∈，
即y=sin t在上有4个最大值，
所以≤ω-<，
可得≤ω<，故D对.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·绥化模拟)已知函数f(x)=cos ωx-2sin 2ωxsin ωx(ω>0)在(0，2π)上有最小值，没有最大值，则ω的取值范围是　　　　.
答案　
解析　f(x)=cos(2ωx-ωx)-2sin 2ωxsin ωx=cos(2ωx+ωx)=cos 3ωx，ω>0，
当x∈(0，2π)时，3ωx∈(0，6ωπ)，
若f(x)在(0，2π)上有最小值，没有最大值，
则π<6ωπ≤2π，所以<ω≤，
故ω的取值范围是.
10.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)，将函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，点A，B，C是函数f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，若△ABC是钝角三角形，则ω的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　由已知可得g(x)=sin
=sin，f(x)，g(x)的周期T=，
在同一坐标系内作出f(x)，g(x)的图象如图，
点A，B，C是函数f(x)与g(x)图象的连续相邻的三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC中点，
由对称性可知△ABC是以AC为底边的等腰三角形，2AD=AC=T=，
由sin ωx=sin=sin ωxcos -cos ωxsin ，
得sin ωx=-cos ωx，
又sin2ωx+cos2ωx=1，解得sin ωx=±，
所以A，B的纵坐标yA=-yB=，
即BD=2=，
要使△ABC为钝角三角形，
只需要∠CAB<即可，
所以0解得0<ω<.

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