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微专题5　解三角形中的范围与最值问题
[考情分析]　解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难度中等.
微点一　利用基本不等式求最值(范围)
1.(2025·中卫模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=，(sin A-sin B)(b+a)=c(sin B+sin C)，则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，(sin A-sin B)(b+a)=c(sin B+sin C)，
由正弦定理得(a-b)(b+a)=c(b+c)，即a2-b2=c2+bc，
由余弦定理得cos A===-，
∵0∴sin A===，
∵()2=a2=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，
当且仅当b=c=1时取等号，
因此bc≤1，
∴△ABC的面积S=bcsin A=bc≤，
∴△ABC面积的最大值为.
2.(2025·绥化模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C+asin C-b-c=0，若a=，则△ABC周长的取值范围是　　　　.
答案　(2，3]
解析　在△ABC中，由acos C+asin C-b-c=0及正弦定理得sin Acos C+sin Asin C-sin C=sin B，
即sin Acos C+sin Asin C-sin C=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C，
整理得sin Asin C=sin C+cos Asin C，而sin C>0，
则sin A=1+cos A，
于是(1+cos A)2=3sin2A=3(1-cos2A)，
整理得2cos2A+cos A-1=0，
即(2cos A-1)(cos A+1)=0，而0解得cos A=，
所以A=.
由余弦定理得3=a2=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-3=(b+c)2，
当且仅当b=c=时取等号，
因此b+c≤2，而b+c>a=，
则所以2所以△ABC周长的取值范围是(2，3].
3.(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=.
(1)若C=，求B；
(2)求的最小值.
解　(1)因为=，
所以=，
所以=，
所以cos Acos B=sin B+sin Asin B，
所以cos(A+B)=sin B，
所以sin B=-cos C=-cos =.
因为B∈，所以B=.
(2)由(1)得cos(A+B)=sin B，
所以sin=sin B，且0所以0所以-(A+B)=B，解得A=-2B，
由正弦定理得=
==
==
==4cos2B+-5
≥2-5=4-5，
当且仅当cos2B=时取等号，
所以的最小值为4-5.
微点二　转化为三角函数求最值(范围)
4.(2025·杭州模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bsin=asin(A+C)，则的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由2bsin =asin(A+C)，
得2bsin =asin B，
即2bcos =asin B，
即2sin Bcos =sin Asin B，
又00，
故2cos =sin A=2sin cos ，
因为0所以sin =，
故cos =，
得sin A=2sin cos =，
cos A=cos2-sin2=，
因为====+，
因为0所以-A故tan B>tan==，
所以tan B∈，∈，
所以的取值范围为.
5.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=，B=，且△ABC的外接圆半径为4.
(1)若BC=4，AD=2，求△ACD的面积；
(2)若D=，求BC-AD的最大值.
解　(1)因为B=，△ABC的外接圆半径为4，
所以=8，解得AC=4.
在△ABC中，BC=4，
则==8，
解得sin∠CAB=.
又∠CAB∈，所以∠CAB=.
在△ACD中，AC=4，∠DAC=-∠CAB=，AD=2，
所以S△ACD=×4×2×=4.
(2)设∠DAC=θ，θ∈.
又D=，所以∠ACD=-θ.
因为∠DAB=，所以∠CAB=-θ.
在△DAC中，由(1)得AC=4，
由正弦定理得=，
即=，
解得AD=sin
==4cos θ-sin θ.
在△ABC中，AC=4，
由正弦定理得=，
即=，
解得BC=8sin=8cos θ，
所以BC-AD=4
=sin.
又θ∈，所以θ+∈，
当且仅当θ+=，即θ=时，sin取得最大值1，
所以BC-AD的最大值为.
微点三　转化为其他函数求最值(范围)
6.已知角α为锐角，则+-tan α的最小值为(　　)
A.2 B.-
C.1 D.-
答案　A
解析　+-tan α=(sin2α+cos2α)·-tan α =+tan2α+-tan α.
令t=tan α，因为α为锐角，所以t>0.
令f(t)=+t2+-t，
则f'(t)=2t-1-，设g(t)=f'(t) g'(t)=2+>0，所以f'(t)在t>0时单调递增.
又f'(1)=0，所以当t∈(0，1)时，f'(t)<0，f(t)单调递减；
当t∈(1，+∞)时，f'(t)>0，f(t)单调递增，
所以f(t)≥f(1)=2.
所以当t>0时，f(t)的最小值为2.
7.(2025·广州模拟)在△ABC中，D为边BC上靠近点B的三等分点，且∠DAB=2∠DAC，AD=1，则BC长度的取值范围为　　　　　.
答案　
解析　设∠DAC=α，
则∠DAB=2α，
∠BAC=3α，
又0<3α<π，
即0<α<，
因为D为边BC上靠近点B的三等分点，
设BD=m，则CD=2m，m>0，
在△ABD中，根据正弦定理得=，
即=，
得m·sin∠ADB=AB·sin 2α，①
在△ACD中，根据正弦定理得=，
即=，
得2m·sin∠ADC=AC·sin α，②
又sin∠ADC=sin∠ADB，
由①②得，2ABsin 2α=ACsin α，
所以4ABcos α=AC，
在△ABD中，由余弦定理得AB2=1+m2-2mcos∠ADB，
在△ACD中，由余弦定理得AC2=1+4m2-4mcos∠ADC，
又cos∠ADB=-cos∠ADC，
有2AB2+AC2=3+6m2，代入4ABcos α=AC得，
2AB2+16AB2cos2α=3+6m2，
所以AB2=，
在△ABC中，由余弦定理，得
9m2=AB2+AC2-2AB·ACcos 3α
=AB2+16AB2cos2α-8AB2cos αcos 3α
=(1+16cos2α-8cos αcos 3α)，
整理得=，
又cos 3α=cos(2α+α)
=cos 2αcos α-sin 2αsin α
=4cos3α-3cos α，
所以=
=，
令1+8cos2α=t，
所以cos2α=，
则
=
=
==-+6，
因为α∈，
则cos α∈，所以t∈(3，9)，
而对勾函数y=+在(3，9)上单调递增，
所以+∈(3，5)，则-+6∈(1，3)，
则1<<3，
所以1+2m2<6m2<3+6m2，
即4m2>1，
又m>0，所以m>，
故BC=3m>，
则BC长度的取值范围为.
8.(2025·合肥模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足=.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形且a=2，求的取值范围.
解　(1)由=，
得=，
则acos B+bcos A=2ccos A，
根据正弦定理得，sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B)=sin C=2sin Ccos A，
因为0所以sin C≠0，则cos A=，
又0(2)由正弦定理得，====，
则b=sin B，c=sin C，
所以b2=sin2B，c2=sin2C，
则=
=
=
=
=1+·+·，
因为△ABC为锐角三角形，
所以
解得，
所以0<<，
设t=，0则=t2+t+1=+，
所以当0[总结提升]
任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的最值(范围)问题也不例外.三角形中的最值(范围)问题的解法主要有两种.一是用函数求解，二是利用基本不等式求解，常见的思路有：
(1)余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
(2)采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
(3)巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值；
(4)外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.
专题突破练
[分值：70分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在锐角△ABC中，A=60°，AB=2，则AC的取值范围是(　　)
A.(0，3) B.(1，3)
C.(0，4) D.(1，4)
答案　D
解析　因为在锐角△ABC中，考虑极限情况，
当C=90°时，AC=ABsin 30°=1；
当B=90°时，AC==4，
所以AC的取值范围是(1，4).
2.(2025·南京模拟)在△ABC中，∠ABC=，D为边AC上一点，∠DBC=且BD=1，则△ABC面积的最小值为(　　)
A. B.
C.2 D.
答案　D
解析　设在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
因为∠ABC=，∠DBC=，
所以∠ABD=-=.
又因为BD=1，
所以S△ABD=×BD×AB=，
S△CBD=×BD×BC×sin∠DBC=.
根据等面积法可得S△ABC=S△ABD+S△CBD，
即acsin=+，
整理得ac=2c+a.
由基本不等式可得2c+a≥2，当且仅当2c=a时等号成立.
则ac≥2，解得ac≥，当且仅当a=，c=时等号成立.
故S△ABC=acsin=ac≥×=.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若+=，则tan A+tan C的最小值是(　　)
A. B.
C.2 D.4
答案　B
解析　因为+=，
由正弦定理得+=，
所以tan A+tan B=3tan C，
又因为C=π-(A+B)，
所以tan A+tan B=-3·，
又tan A+tan B不为零，
所以1=，即tan Atan B=4.
所以tan B=，tan C=(tan A+tan B)
=，
显然tan A必为正(否则tan A和tan C都为负，A，C均为钝角，不符题意)，
所以tan A+tan C=tan A+≥2
=，
当且仅当tan A=，即tan A=1，A=时取等号.
所以tan A+tan C的最小值是.
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，且C∈，则的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　在△ABC中，由=及正弦定理得=，即c2=6ab，
又=，
令=t，
由a+b>c，得t>1，
由余弦定理得cos C==
==3t2-4，
由C∈，
得cos C∈，
因此<3t2-4<1，
整理得解得t∈，
所以的取值范围为.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin B+bcos A=0，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b+c的可能取值有(　　)
A.21 B.24
C.27 D.36
答案　CD
解析　在△ABC中，asin B+bcos A=0，
由正弦定理得sin Asin B+sin Bcos A=0，
又sin B≠0，则2sin=0，
而0角A的内角平分线AD的长为3，
由S△BAD+S△CAD=S△BAC得，
c·ADsin∠BAD+b·ADsin∠CAD
=bcsin∠BAC，
即3csin +3bsin =bcsin ，因此+=，
则4b+c=3(4b+c)=3
≥3=27，
当且仅当=，即c=2b=9时取等号，所以当c=2b=9时，4b+c取得最小值27.
若4b+c=36，又+=，联立得到4b2-45b+108=0，
因为Δ=(-45)2-4×4×108=297>0，结合根与系数的关系，得到两根之和，两根之积均大于0，
故方程有正根，故满足要求.
6.(2025·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，则下列说法正确的是(　　)
A.4b+c的最小值为6
B.=
C.+的最大值是
D.△ABC的周长的取值范围是[4，+∞)
答案　ACD
解析　由等面积法有S△ABC=S△ABD+S△ACD，即bcsin∠BAC=AD·csin∠BAD+AD·bsin∠CAD，
由AD=2，∠BAC=60°，∠BAD=∠CAD=∠BAC，
所以bc=b+c，
即+=，
所以4b+c=(4b+c)=≥=6，
当且仅当2b=c，即b=，c=2时取等号，
故4b+c的最小值为6，故A正确；
在△ABD中，=，
在△ACD中，=，
又∠BAD=∠CAD，
故=，故B错误；
由∠BAD=∠CAD=30°，AD=2，
则BD==，
CD==，
所以+=sin B+sin C
=sin B+sin(120°-B)
=sin B+cos B
=sin(B+30°)，
又0°所以当B=60°时，+取最大值，故C正确；
由A分析有bc=b+c，
又bc≤，
故b+c≤，
所以b+c≥，
当且仅当b=c=时取等号，
由a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(b+c)2-3bc=(b+c)2-2(b+c)，
所以a=，
故△ABC的周长L=b+c+，
令t=b+c，则t≥，
则周长L=t+=t+在上单调递增，
所以L≥+=4，
即△ABC的周长的取值范围是[4，+∞)，故D正确.
三、填空题(共10分)
7.(2025·江门模拟)已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，b=2，则最大边c的取值范围是　　　　.
答案　(，3)
解析　因为△ABC是钝角三角形，a=1，b=2，且c是最大边，
则由余弦定理得cos C=<0，
得c2>b2+a2=22+12=5，c>0，
解得c>，
又c所以最大边c的取值范围是(，3).
8.(2025·合肥模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(tan A+tan B)=，a=2，则b-c的取值范围是　　　　.
答案　(2，2)
解析　∵tan(A+B)=，
∴-tan C=，
∴tan A+tan B=tan C(tan Atan B-1)
=·
=·
=
=
=，
由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，
得a2+c2-b2=2accos B，
∴=
==，
∴由(tan A+tan B)=，
得=，
∴=，
∴tan A=，
∵A∈，∴A=.
又由正弦定理得=
===4，
∴b=4sin B，c=4sin C，
∴b-c=4(sin B-sin C)
=4[sin B-sin(A+B)]
=4
=4
=4
=4sin，
∵△ABC是锐角三角形，A=，
∴ ∴B-∈，
∴sin∈，
∴b-c的取值范围是(2，2).
四、解答题(共28分)
9.(13分)如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D两点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.
(1)当α=时，求AC；(5分)
(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.(8分)
解　(1)因为AB=1，BC=2，B=，
由余弦定理可得
AC=
==.
(2)由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos α=1+4-2×1×2cos α=5-4cos α，
因为△ACD为正三角形，
所以S△ACD=AC2=-cos α，
S△ABC=AB·BCsin α=×1×2sin α=sin α，
所以S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=sin α-cos α+=2sin+，
因为α∈，所以α-∈，
所以sin∈，
所以S四边形ABCD∈，
故当α=时，四边形ABCD面积的最大值为2+.
10.(15分)(2025·镇江模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，a=2c.
(1)若cos B=，求△ABC的周长；(6分)
(2)若△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r，R，求r·R的取值范围.(9分)
解　(1)∵b=3，a=2c，由余弦定理得，
cos B==，
∴=，
解得c=或c=-(舍去)，
∴a=2c=2，
∴△ABC的周长为a+b+c=2+3+=3+3.
(2)由余弦定理得，b2=a2+c2-2accos B=9，
整理得c2(5-4cos B)=9，
∵cos B∈(-1，1)，
∴c2=∈(1，9)，即c∈(1，3)，
由正弦定理得2R==，
∴R=，
∵S△ABC=(a+b+c)r=acsin B，
∴r=，
∴r·R=·===，
令t=c+1，t∈(2，4)，
∴r·R===t+-2，
∵函数y=t+-2在(2，4)上单调递增，
∴r·R∈，
即r·R的取值范围是.微专题5　解三角形中的范围与最值问题
[考情分析]　解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问题，解决此类问题的关键点是如何建立起角与边的数量关系，并在解决问题的过程中感悟边角互化的思想方法，难度中等.
微点一　利用基本不等式求最值(范围)
1.(2025·中卫模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=，(sin A-sin B)(b+a)=c(sin B+sin C)，则△ABC面积的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2025·绥化模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acos C+asin C-b-c=0，若a=，则△ABC周长的取值范围是　　　　.
3.(2022·新高考全国Ⅰ)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=.
(1)若C=，求B；
(2)求的最小值.
微点二　转化为三角函数求最值(范围)
4.(2025·杭州模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bsin=asin(A+C)，则的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
5.如图，在四边形ABCD中，∠DAB=，B=，且△ABC的外接圆半径为4.
(1)若BC=4，AD=2，求△ACD的面积；
(2)若D=，求BC-AD的最大值.
微点三　转化为其他函数求最值(范围)
6.已知角α为锐角，则+-tan α的最小值为(　　)
A.2 B.-
C.1 D.-
7.(2025·广州模拟)在△ABC中，D为边BC上靠近点B的三等分点，且∠DAB=2∠DAC，AD=1，则BC长度的取值范围为　　　　　.
8.(2025·合肥模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足=.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC为锐角三角形且a=2，求的取值范围.
[总结提升]
任何最值(范围)问题，其本质都是函数问题，三角形中的最值(范围)问题也不例外.三角形中的最值(范围)问题的解法主要有两种.一是用函数求解，二是利用基本不等式求解，常见的思路有：
(1)余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；
(2)采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；
(3)巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值；
(4)外接圆动点范围问题，可转化为动点到某个定点的距离问题，结合几何图形性质分析得出范围.
专题突破练
[分值：70分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在锐角△ABC中，A=60°，AB=2，则AC的取值范围是(　　)
A.(0，3) B.(1，3)
C.(0，4) D.(1，4)
2.(2025·南京模拟)在△ABC中，∠ABC=，D为边AC上一点，∠DBC=且BD=1，则△ABC面积的最小值为(　　)
A. B.
C.2 D.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若+=，则tan A+tan C的最小值是(　　)
A. B.
C.2 D.4
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=，且C∈，则的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin B+bcos A=0，若角A的内角平分线AD的长为3，则4b+c的可能取值有(　　)
A.21 B.24
C.27 D.36
6.(2025·合肥模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=2，则下列说法正确的是(　　)
A.4b+c的最小值为6
B.=
C.+的最大值是
D.△ABC的周长的取值范围是[4，+∞)
三、填空题(共10分)
7.(2025·江门模拟)已知△ABC是钝角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，b=2，则最大边c的取值范围是　　　　.
8.(2025·合肥模拟)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(tan A+tan B)=，a=2，则b-c的取值范围是　　　　.
四、解答题(共28分)
9.(13分)如图，在平面内，四边形ABCD满足B，D两点在AC的两侧，AB=1，BC=2，△ACD为正三角形，设∠ABC=α.
(1)当α=时，求AC；(5分)
(2)当α变化时，求四边形ABCD面积的最大值.(8分)
10.(15分)(2025·镇江模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b=3，a=2c.
(1)若cos B=，求△ABC的周长；(6分)
(2)若△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r，R，求r·R的取值范围.(9分)

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