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微专题6　平面向量数量积及最值与范围问题
[考情分析]　平面向量的数量积及有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难度较大.
微点一　求参数值及最值(范围)
1.(2025·铜川模拟)在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足=2，若=λ+μ，则λ+μ的值为(　　)
A. B.
C.- D.-
答案　D
解析　因为点D为线段BC的中点，点E满足=2，所以
所以
消去，得2-3=4，
所以=-=λ+μ，
所以λ=，μ=-，所以λ+μ=-.
2.(多选)已知平面向量a=(2，3)，b=(4，λ)，则(　　)
A.若a∥b，则λ=6
B.若a⊥b，则λ=
C.若b在a方向上的投影向量为，则λ=
D.若a·(a+b)=24，则λ=1
答案　ACD
解析　对于A，若a∥b，
则有2λ-3×4=0，解得λ=6，故A正确；
对于B，若a⊥b，则有2×4+3×λ=0，
解得λ=-，故B错误；
对于C，若b在a方向上的投影向量为，
则有·=··=，
化简得8+3λ=9，即λ=，故C正确；
对于D，若a·(a+b)=24，则有2×+3×=24，解得λ=1，故D正确.
3.(2025·廊坊模拟)已知A(-1，0)，B(0，1)，M是平面内一动点，且=，若=λ+μ(λ，μ∈R)，O为坐标原点，则λ+μ的取值范围是(　　)
A.[-2，2] B.[1-2，1+2]
C.[2-2，2+2] D.[3-2，3+2]
答案　B
解析　方法一　设M(x，y)，
则=，
整理得x2+y2-2x-4y+1=0，
即(x-1)2+(y-2)2=4，
由题意可设x=1+2cos θ，y=2+2sin θ，
得=(1+2cos θ，2+2sin θ)，
又=(-1，0)，=(0，1)，
由=λ+μ，
得(1+2cos θ，2+2sin θ)=λ(-1，0)+μ(0，1)=(-λ，μ)，
则λ=-1-2cos θ，μ=2+2sin θ，
得λ+μ=2sin θ-2cos θ+1=2sin+1，
所以λ+μ的取值范围为[1-2，1+2].
方法二　(等和线)
设M(x，y)，则=，
整理得x2+y2-2x-4y+1=0，
即(x-1)2+(y-2)2=4，
由=λ+μ=(-λ，μ)，
得x=-λ，y=μ，则λ+μ=-x+y，
因为直线AB的斜率为1，
设斜率为1且与圆(x-1)2+(y-2)2=4相切的直线方程为x-y+b=0，
所以=2，所以b=1±2，
所以λ+μ的取值范围为[1-2，1+2].
微点二　求向量模、夹角及最值(范围)
4.(2025·合肥模拟)已知非零向量a与b不共线，且满足|b|=2|a|，2a-b与b的夹角为，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设向量a与向量b的夹角为θ，θ∈(0，π)，
设|b|=2|a|=2，
则a·b=|a||b|cos θ=2cos θ，
则|2a-b|=
=
=，
又2a-b与b的夹角为，
所以cos =，
则-=，
即-=，
可得2cos2θ-3cos θ+1=0，
解得cos θ=1(舍去)或cos θ=，
则θ=.
5.已知向量a，b满足|a|=4，b在a方向上的投影向量为a，且b⊥(2a-b)，则|a+b|的值为(　　)
A.4 B.4
C.16 D.48
答案　B
解析　由题意可知，=4，
因为b在a方向上的投影向量为a=a=a，可得a·b=8，
又因为b⊥，则b·=2a·b-b2=16-b2=0，可得=4，
则=a2+2a·b+b2=48，
所以=4.
6.在△ABC中，∠ACB=120°，||=3，||=4，·=0，则|+|的最小值为(　　)
A.6-2 B.2-4
C.3-1 D.-2
答案　A
解析　由题意，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，过C垂直CB的直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A，B(4，0)，由·=0，可得D是以BC为直径的圆上一点，
所以D的轨迹方程为(x-2)2+y2=4，
取BD的中点为M，设M(x，y)，D(x0，y0)，
可得所以
所以(2x-6)2+(2y)2=4，
所以点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=1，圆心为H(3，0)，半径为1，
由+=2，
所以|+|=2||，
所以|+|min=2||min，
所以||min=||-1
=-1=3-1，
所以|+|min=6-2.
7.(2025·苏州模拟)已知向量a在向量b上的投影向量为2b，若|b|=1，则向量2a+b与a+2b夹角余弦值的最小值为　　　　.
答案　
解析　设向量b=(1，0)，
因为向量a在向量b上的投影向量为2b，
所以b=2b，
即a·b=2，故可设a=(2，m)，
所以2a+b=(5，2m)，a+2b=(4，m)，
所以cos〈2a+b，a+2b〉=
=
=
=2，
由二次函数的性质，当=时，cos〈2a+b，a+2b〉取最小值，最小值为2=.
微点三　求数量积及最值(范围)
8.(2025·商洛模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，|a-b|=2，则a·b等于(　　)
A.-2 B.-2
C.2 D.6
答案　A
解析　因为=2，所以=12，
所以a2+b2-2a·b=12，
又==2，所以a·b=-2.
9.在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上.当·取得最小值时，PA等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　如图，以BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，
由AB=AC=2，BC=2，
则OA==1，
所以A(0，1)，B(-，0)，C(，0)，设P(x，0)，
则=(-x，1)，=(--x，0)，
则·=-x·(--x)=x2+x=-，
当x=-时，·取得最小值，此时=，PA==.
10.点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为(　　)
A.2 B.
C.3 D.
答案　C
解析　方法一　取AB的中点Q，连接PQ，QD，BD，如图，
则由题意得QA=QB=，
BD=，
所以QD===，
由图可知当P运动到D或E时，PQ最大，
所以·=(+)·(+)
=(+)·(-)
=-=-≤-=3，
所以·的最大值为3.
方法二　取AB的中点Q，连接PQ，QD，BD，利用极化恒等式，
·=-=-，
如图，由图可知当P运动到D或E时，PQ最大，
因为QD===，
所以·≤-=3.
[总结提升]
平面向量中有关最值问题的求解思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
专题突破练
[分值：62分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
答案　D
解析　因为b⊥(b-4a)，
所以b·(b-4a)=0，
所以b2-4a·b=0，
即4+x2-4x=0，解得x=2.
2.若平面向量a，b满足|a|=，|b|=1，|a+b|=，则向量a，b夹角的余弦值为(　　)
A. B.-
C. D.-
答案　A
解析　设向量a，b的夹角为θ，
=两边平方得a2+b2+2a·b=5，
又=，=1，
即2+1+2××1×cos θ=5，解得cos θ=.
3.(2025·宜昌模拟)已知△ABC是边长为1的正三角形，点N在AC上且=，P是BN上一点且=m+(m∈R)，则·等于(　　)
A. B.
C. D.1
答案　C
解析　∵=，
∴=，
∵B，P，N三点共线，
∴=m+(1-m)
=m+(1-m)×
=m+，
∴(1-m)×=，
∴m=.
∴=+，
∴·=·
=+·
=×1+×1×1×=.
4.(2025·呼和浩特模拟)已知平面向量满足|a-b|=1，b=(1，)，则a，b夹角的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为|a-b|=1，所以(a-b)2=1，
即|a|2-2a·b+|b|2=1，
因为|b|==2，
所以|a|2-4|a|cos〈a，b〉+3=0，
所以cos〈a，b〉=≥=，
因为〈a，b〉∈[0，π]，
所以〈a，b〉的取值范围为.
5.(2025·北京模拟)已知△ABC中，AB=4，AC=2，且|λ+(2-2λ)|(λ∈R)的最小值为2，若P为边AB上任意一点，则·的最小值为(　　)
A.0 B.-
C.- D.-
答案　C
解析　如图，延长AC至点D，使得CD=AC=2，连接BD，点E为△ABD所在平面内的点，连接AE，
则λ+(2-2λ)=λ+(1-λ)，
令λ+(1-λ)=，
则点E在直线BD上，
由|λ+(2-2λ)|的最小值为2，
得||min=2，
当且仅当AE⊥BD时，||取得最小值，
则sin∠ABD==，
又∠ABD是锐角，则∠ABD=，
而AD=AB=4，即△ABD为正三角形，
于是∠BAC=，·=4×2cos=4，
令=x(0≤x≤1)，则=(1-x)，
因此·=x·(-)
=x·-x(1-x)=16x2-12x
=-≥-，
当且仅当x=时取等号，
所以·的最小值为-.
6.(2025·昆明模拟)已知a，b是单位向量，a，b的夹角为60°，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为(　　)
A.-1 B.
C.3 D.+1
答案　D
解析　|a|=|b|=1，且a，b的夹角为60°，
在平面直角坐标系中，令a=(1，0)，b=，
设c=(x，y)，
则c-a-b=，
由|c-a-b|=1，
得+=1，
因此点(x，y)的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，
所以|c|的最大值为+1=+1.
7.(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则·的最大值为(　　)
A. B.
C.1+ D.2+
答案　A
解析　连接OA(图略)，由题可知|OA|=1，OA⊥PA，因为|PO|=，
所以由勾股定理可得|PA|=1，则∠POA=.
设直线PO绕点P按逆时针旋转θ后与直线PD重合，则-<θ<，∠APD=+θ，
且|PD|=cos θ.
所以·=||||cos
=cos θcos=cos θ
=cos2θ-sin θcos θ=+cos 2θ-sin 2θ
=+cos，
所以当θ=-时，
·取得最大值为.
8.已知I为△ABC的内心，cos A=，若=x+y，则x+y的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是=，
其中BC=a，AC=b，AB=c，
将O点取作A点代入得到
=+，
故x+y= =1+，
由余弦定理得到cos A== b2+c2-bc=a2，
故==，
又因为+≥2(当且仅当b=c时取等号)，
所以1-≥1-=，
所以=1+≥1+=，故x+y≤.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9.已知向量a=(sin θ，cos θ)，b=(1，)，c=(3，)，则(　　)
A.若a⊥b，则tan θ=-
B.c在b方向上的投影向量为b
C.存在θ，使得a在c-b方向上投影向量的模为1
D.的取值范围为
答案　ACD
解析　对于A，若a⊥b，则a·b=sin θ+cos θ=2sin=0，
则θ+=kπ，即θ=kπ-，所以tan θ=tan=-，故A正确；
对于B，c在b方向上的投影向量为b=b=b，故B错误；
对于C，a在c-b方向上的投影向量的模为===|sin θ|，
所以存在θ=+kπ，k∈Z，使得a在c-b方向上的投影向量的模为1，故C正确；
对于D，|a-b|===，
因为-1≤sin≤1，
所以-4≤-4sin≤4，
所以1≤5-4sin≤9，
所以1≤|a-b|≤3，故D正确.
10.(2025·衡水模拟)在边长为3的等边三角形ABC中，=2，=2，则下列结论正确的是(　　)
A.=+
B.·=-
C.||=
D.·=
答案　BCD
解析　=+=+=+-)=+，故A错误；
=-=-，
所以·=·
=·-+-·
=--·
=×9-×9-×3×3×=-，故B正确；
因为=-=-=--，
所以=+·+
=×9+×3×3×+×9=3，
所以||=，故C正确；
·=·
=-+·-·+
=-+·+
=-×9+×3×3×+×9=3，
由C选项得||2=3，即·=||2，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
11.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若=m+n(m，n∈R)，则m+n的取值范围是　　　　　　.
答案　(-1，0)
解析　如图，作，的相反向量，，则AB∥A1B1，过O作直线l∥AB，则直线l，A1B1分别为以{，}为基底的值为0，-1的等和线，因为线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，所以点C在上(不含端点)，所以m+n的取值范围是(-1，0).
12.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=，|c|=2，若(c-a)·(c-b)=0，则|a-b|的最小值为　　　　.
答案　2
解析　由于a·b
=[(a2+b2+2a·b)-(a2+b2-2a·b)]
=[(a+b)2-(a-b)2]，
且(a+b)2+(a-b)2=(|a|2+|b|2+2a·b)+(|a|2+|b|2-2a·b)
=2(|a|2+|b|2)=2(10+10)=40，
故有0=(c-a)·(c-b)=|c|2-(a+b)·c+a·b
≥|c|2-|a+b||c|+a·b =4-2|a+b|+a·b
=4-2|a+b|+[(a+b)2-(a-b)2]
=4-2|a+b|+[40-2(a-b)2]
=4-2+(40-2|a-b|2)
=14-2-|a-b|2，
所以28-|a-b|2≤4，
令|a-b|2=t，t≥0，则28-t≤4，
即t2-40t+144≤0，
解得4≤t≤36，故4≤|a-b|2≤36，
所以2≤|a-b|≤6，所以|a-b|的最小值为2.微专题6　平面向量数量积及最值与范围问题
[考情分析]　平面向量的数量积及有关的最值和范围问题是高考的热点之一，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、夹角、系数的范围等.解决思路是建立目标函数的解析式，转化为求函数(二次函数、三角函数)等的最值或应用基本不等式.同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以还有一种思路是数形结合，应用图形的几何性质.一般难度较大.
微点一　求参数值及最值(范围)
1.(2025·铜川模拟)在△ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足=2，若=λ+μ，则λ+μ的值为(　　)
A. B.
C.- D.-
2.(多选)已知平面向量a=(2，3)，b=(4，λ)，则(　　)
A.若a∥b，则λ=6
B.若a⊥b，则λ=
C.若b在a方向上的投影向量为，则λ=
D.若a·(a+b)=24，则λ=1
3.(2025·廊坊模拟)已知A(-1，0)，B(0，1)，M是平面内一动点，且=，若=λ+μ(λ，μ∈R)，O为坐标原点，则λ+μ的取值范围是(　　)
A.[-2，2] B.[1-2，1+2]
C.[2-2，2+2] D.[3-2，3+2]
微点二　求向量模、夹角及最值(范围)
4.(2025·合肥模拟)已知非零向量a与b不共线，且满足|b|=2|a|，2a-b与b的夹角为，则向量a与向量b的夹角为(　　)
A. B.
C. D.
5.已知向量a，b满足|a|=4，b在a方向上的投影向量为a，且b⊥(2a-b)，则|a+b|的值为(　　)
A.4 B.4
C.16 D.48
6.在△ABC中，∠ACB=120°，||=3，||=4，·=0，则|+|的最小值为(　　)
A.6-2 B.2-4
C.3-1 D.-2
7.(2025·苏州模拟)已知向量a在向量b上的投影向量为2b，若|b|=1，则向量2a+b与a+2b夹角余弦值的最小值为　　　　.
微点三　求数量积及最值(范围)
8.(2025·商洛模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，|a-b|=2，则a·b等于(　　)
A.-2 B.-2
C.2 D.6
9.在△ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P在线段BC上.当·取得最小值时，PA等于(　　)
A. B.
C. D.
10.点P是边长为1的正六边形ABCDEF边上的动点，则·的最大值为(　　)
A.2 B.
C.3 D.
[总结提升]
平面向量中有关最值问题的求解思路通常有两种：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决.
专题突破练
[分值：62分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0，1)，b=(2，x)，若b⊥(b-4a)，则x等于(　　)
A.-2 B.-1
C.1 D.2
2.若平面向量a，b满足|a|=，|b|=1，|a+b|=，则向量a，b夹角的余弦值为(　　)
A. B.-
C. D.-
3.(2025·宜昌模拟)已知△ABC是边长为1的正三角形，点N在AC上且=，P是BN上一点且=m+(m∈R)，则·等于(　　)
A. B.
C. D.1
4.(2025·呼和浩特模拟)已知平面向量满足|a-b|=1，b=(1，)，则a，b夹角的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
5.(2025·北京模拟)已知△ABC中，AB=4，AC=2，且|λ+(2-2λ)|(λ∈R)的最小值为2，若P为边AB上任意一点，则·的最小值为(　　)
A.0 B.-
C.- D.-
6.(2025·昆明模拟)已知a，b是单位向量，a，b的夹角为60°，若向量c满足|c-a-b|=1，则|c|的最大值为(　　)
A.-1 B.
C.3 D.+1
7.(2023·全国乙卷)已知☉O的半径为1，直线PA与☉O相切于点A，直线PB与☉O交于B，C两点，D为BC的中点，若|PO|=，则·的最大值为(　　)
A. B.
C.1+ D.2+
8.已知I为△ABC的内心，cos A=，若=x+y，则x+y的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9.已知向量a=(sin θ，cos θ)，b=(1，)，c=(3，)，则(　　)
A.若a⊥b，则tan θ=-
B.c在b方向上的投影向量为b
C.存在θ，使得a在c-b方向上投影向量的模为1
D.的取值范围为
10.(2025·衡水模拟)在边长为3的等边三角形ABC中，=2，=2，则下列结论正确的是(　　)
A.=+
B.·=-
C.||=
D.·=
三、填空题(每小题5分，共10分)
11.如图所示，A，B，C是圆O上的三点，线段CO的延长线与BA的延长线交于圆O外的一点D，若=m+n(m，n∈R)，则m+n的取值范围是　　　　　　.
12.已知平面向量a，b，c满足|a|=|b|=，|c|=2，若(c-a)·(c-b)=0，则|a-b|的最小值为　　　　.

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