资源简介

微专题1　三角恒等变换
[考情分析]　三角恒等变换是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要利用三角恒等变换解决给值求值、给值求角及范围与最值问题，利用同角三角函数关系式、诱导公式，利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用，考查三角恒等变换两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用，最近题目中常考积化和差、和差化积等.
微点一　给值求值
1.已知2sin α=1+2cos α，则sin等于(　　)
A.- B.-
C. D.
2.(2025·蚌埠模拟)已知cos=，θ∈，则sin等于(　　)
A.- B.
C.- D.
3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B.
C.- D.-
4.(2025·常德模拟)已知cos 2α=2sin2β-，cos(α-β)=，则tan αtan β等于(　　)
A. B.7
C.- D.-7
微点二　给值求角
5.已知α，β为锐角，sin=，cos(α+β)=-，则β等于(　　)
A. B.
C. D.
6.若α，β∈，cos=，sin=-，则α+β=　　　　.
7.(2025·黄山模拟)已知α，β都是锐角，2α+β=，tan αtan=2-，则α=　　　　.
微点三　范围与最值问题
8.已知β∈，且3sin α=sin(2β-α)，则tan α的最大值为(　　)
A.- B.
C.- D.
9.函数y=(1+2sin x)(1+2cos x)在区间上的最大值与最小值之和是　　　.
10.已知函数f(x)=sin x(sin x+cos x)-1，若存在x∈，使等式[f(x)]2+f(x)+m=0成立，则实数m的取值范围为　　　　.
[总结提升]
三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=+，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算.
专题突破练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos =，则sin等于(　　)
A. B.
C. D.
2.(2025·亳州期末)若tan α=2，则sin2α+sin 2α等于(　　)
A. B.1
C. D.
3.(2025·洛阳模拟)已知α，β∈，cos(α-β)=，tan αtan β=5，则α+β等于(　　)
A. B.
C. D.
4.已知cos+sin=，则sin等于(　　)
A. B.-
C. D.-
5.( 2025·秦皇岛模拟)已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=1，则sin 4β等于(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan等于(　　)
A.- B.
C.3 D.-3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·安康模拟)已知tan α+tan β=-tan(α+β)≠0，则tan α+tan β的值可以为(　　)
A.-3 B.2
C.- D.2
8.(2025·南昌模拟)下列各式一定正确的是(　　)
A.sin 3α-sin 5α=2sin 4αcos α
B.tan=
C.cos 2αcos 4α=(cos 6α+cos 2α)
D.tan 4α=
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若<β<π<α<，且cos(α+β)=-，sin 2β=，则α-β=　　　　.
10.不等式sin 2θ-(2+a)sin->-3-2a对θ∈恒成立，则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·南京模拟)已知α∈，sin α=.
(1)求tan α和sin 2α的值；(4分)
(2)若sin(α+β)=-，β为锐角，求sin(α-β)的值；(4分)
(3)若tan β=，β为锐角，求角α+2β.(5分)
12.(15分)某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，在边长为20米的正方形EFGH内种植红色郁金香，在正方形ABCD的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香.现要在矩形ABMN内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积.设∠GFB=θ，AN=y米.
(1)求y与θ之间的函数关系式；(7分)
(2)求AN的最大值.(8分)微专题1　三角恒等变换
[考情分析]　三角恒等变换是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要利用三角恒等变换解决给值求值、给值求角及范围与最值问题，利用同角三角函数关系式、诱导公式，利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用，考查三角恒等变换两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用，最近题目中常考积化和差、和差化积等.
微点一　给值求值
1.已知2sin α=1+2cos α，则sin等于(　　)
A.- B.-
C. D.
答案　D
解析　由2sin α=1+2cos α，
得4=1，即sin=，
所以sin=sin
=cos 2=1-2sin2=.
2.(2025·蚌埠模拟)已知cos=，θ∈，则sin等于(　　)
A.- B.
C.- D.
答案　D
解析　因为 θ∈，
所以θ+∈，
因为 cos=，
所以sin=
==，
所以sin=sin
=sin=cos
=cos=cos
=coscos-sinsin
=×-×=.
3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B.
C.- D.-
答案　B
解析　因为sin(α-β)
=sin αcos β-cos αsin β=，
而cos αsin β=，
因此sin αcos β=，
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=，
所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)
=1-2sin2(α+β)=1-2×=.
4.(2025·常德模拟)已知cos 2α=2sin2β-，cos(α-β)=，则tan αtan β等于(　　)
A. B.7
C.- D.-7
答案　C
解析　因为cos 2α=2sin2β-，
所以cos 2α+cos 2β=，
由和差化积公式可得2cos(α+β)cos(α-β)=，
因为cos(α-β)=，
所以cos(α+β)=，
由cos αcos β+sin αsin β=，
cos αcos β-sin αsin β=，
可得cos αcos β=，sin αsin β=-，
所以tan αtan β==-.
微点二　给值求角
5.已知α，β为锐角，sin=，cos(α+β)=-，则β等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为α∈，
所以α-∈，
所以cos>0，
又因为sin=，
所以cos==，
所以cos α=cos
=coscos-sinsin
=×-×
=，
则sin α==，
因为α，β∈，
所以α+β∈(0，π)，所以sin(α+β)>0，
又因为cos(α+β)=-，
所以sin(α+β)==，
所以sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=×-×
=，
所以β=.
6.若α，β∈，cos=，sin=-，则α+β=　　　　.
答案　
解析　由α，β∈，
则∈，-∈，α-∈，
又cos=，
所以α-=或α-=-.
而∈，-β∈，-β∈，
sin=-，
则-β=-.
当α-=时，-=+=，
则α+β=；
当α-=-时，-=+=0，
则α+β=0，
又α+β∈(0，π)，
故α+β=.
7.(2025·黄山模拟)已知α，β都是锐角，2α+β=，tan αtan=2-，则α=　　　　.
答案　
解析　由2α+β=，
可得α+=，
故tan==，
因为tan αtan=2-，
代入解得tan α+tan=3-，
可将tan α，tan看成方程t2-(3-)t+2-=0的两根，
解得 t=2-或t=1，
因为α，β都是锐角，且2α+β=，
由
解得<α<，
而tan=tan
==2-，
故tan α=1，则α=.
微点三　范围与最值问题
8.已知β∈，且3sin α=sin(2β-α)，则tan α的最大值为(　　)
A.- B.
C.- D.
答案　B
解析　3sin α=sin 2βcos α-cos 2βsin α，
即(3+cos 2β)sin α=sin 2βcos α，
即=，
故tan α==
==，
令t=tan β，
又β∈，则t∈(0，+∞)，
则tan α==
=≤=，
当且仅当t=时等号成立，
故tan α的最大值为.
9.函数y=(1+2sin x)(1+2cos x)在区间上的最大值与最小值之和是　　　.
答案　1+2
解析　由函数y=(1+2sin x)(1+2cos x)
=4sin xcos x+2(sin x+cos x)+1，
令sin x+cos x=t，则t2=1+2sin xcos x，
即sin xcos x=，
所以y=4·+2t+1=2t2+2t-1，
又因为t=sin，且-≤x≤，可得0≤x+≤<，
而sin =sin=sin cos +cos sin =，则0≤t≤，
又由y=2t2+2t-1在上单调递增，
当t=0时，ymin=-1；当t=时，ymax=2×+1+-1=2+2，
所以ymin+ymax=1+2.
10.已知函数f(x)=sin x(sin x+cos x)-1，若存在x∈，使等式[f(x)]2+f(x)+m=0成立，则实数m的取值范围为　　　　.
答案　
解析　f(x)=sin x(sin x+cos x)-1=sin2x+sin xcos x-1
=sin 2x+-1
=sin-.
当x∈时，-≤2x-≤，
则-1≤sin-≤，
即-1≤f(x)≤，
令t=f(x)，-1≤t≤，
则关于t的方程t2+t+m=0在上有解，
即-m=t2+t在上有解，
当-1≤t≤时，-≤t2+t≤，
由-≤-m≤，得-≤m≤，
即实数m的取值范围是.
[总结提升]
三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=+，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算.
专题突破练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos =，则sin等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得cos α=2cos2-1
=2×-1=-，
因为0<α<π，则sin α===，
所以sin=sin αcos -cos αsin =×-×=.
2.(2025·亳州期末)若tan α=2，则sin2α+sin 2α等于(　　)
A. B.1
C. D.
答案　B
解析　sin2α+sin 2α=sin2α+
=
=
==1.
3.(2025·洛阳模拟)已知α，β∈，cos(α-β)=，tan αtan β=5，则α+β等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由tan αtan β=5，
得=5，
所以sin αsin β=5cos αcos β，
又cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=，
所以cos αcos β=，
sin αsin β=，
所以cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=-，
又α，β∈，
所以α+β∈(0，π)，
所以α+β=.
4.已知cos+sin=，则sin等于(　　)
A. B.-
C. D.-
答案　A
解析　∵cos+sin
=cos+sin
=2cos=，
∴cos=，
∴cos=2cos2-1
=-，
sin=sin
=-cos=.
5.( 2025·秦皇岛模拟)已知tan(α+β)=3，tan(α-β)=1，则sin 4β等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意有tan 2β=tan[(α+β)-(α-β)]
=
==，
所以sin 4β=2sin 2βcos 2β
=
=
==.
6.(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan等于(　　)
A.- B.
C.3 D.-3
答案　A
解析　因为cos2α-cos2β=(cos 2α-cos 2β)
=-sin(α+β)sin(α-β)=，
又因为cos(α+β)=，
且α，β∈，α+β∈(0，π)，
所以sin(α+β)=，
故sin(α-β)=-，
又由于α，β∈，α-β∈，
所以cos(α-β)=，
所以tan==-.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·安康模拟)已知tan α+tan β=-tan(α+β)≠0，则tan α+tan β的值可以为(　　)
A.-3 B.2
C.- D.2
答案　AD
解析　由题可得tan α+tan β=-tan(α+β)=-，
由于tan α+tan β≠0，
得tan αtan β=2，
所以tan α+tan β=tan α+.
当tan α>0时，tan α+≥2=2，当且仅当tan α=时等号成立；
当tan α<0时，tan α+=-≤-2=-2，当且仅当tan α=-时等号成立.
所以tan α+tan β∈(-∞，-2]∪[2，+∞)，
故可能取值有2，-3.
8.(2025·南昌模拟)下列各式一定正确的是(　　)
A.sin 3α-sin 5α=2sin 4αcos α
B.tan=
C.cos 2αcos 4α=(cos 6α+cos 2α)
D.tan 4α=
答案　BC
解析　由和差化积公式sin α-sin β=2cossin，
得sin 3α-sin 5α=2cos 4αsin(-α)=-2cos 4αsin α，故A错误；
根据半角公式tan=，
得tan=，故B正确；
由积化和差公式cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]，
得cos 2αcos 4α=cos 4αcos 2α=(cos 6α+cos 2α)，故C正确；
当α=时，等式左边有意义，右边无意义，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若<β<π<α<，且cos(α+β)=-，sin 2β=，则α-β=　　　　.
答案　
解析　因为<β<π，
所以<2β<2π，
又sin 2β=>0，
所以<2β<π，
则cos 2β=-=-，
因为π<α<，<β<，
所以<α+β<2π，
又cos(α+β)=-，
所以<α+β<，
所以sin(α+β)=-=-，
因为<α+β<，-π<-2β<-，
所以<α-β<π，
所以cos(α-β)=cos(α+β-2β)=cos(α+β)cos 2β+sin(α+β)sin 2β
=-×-×=-，
所以α-β=.
10.不等式sin 2θ-(2+a)sin->-3-2a对θ∈恒成立，则实数a的取值范围为　　　　.
答案　(3，+∞)
解析　由原不等式得，2sin θcos θ-(2+a)(sin θ+cos θ)->-3-2a.
令sin θ+cos θ=t，t=sin，
又θ∈，则t∈，
则t2-1-(2+a)t->-3-2a，
即t2-2t+2-+a(-t+2)>0，
从而a(t-2)<，
又t-2<0，
∴a>=，
∴a>，
又f(t)==t+在[1，]上单调递减，
故f(t)max=f(1)=1+=3，即a>3，
故实数a的取值范围为(3，+∞).
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·南京模拟)已知α∈，sin α=.
(1)求tan α和sin 2α的值；(4分)
(2)若sin(α+β)=-，β为锐角，求sin(α-β)的值；(4分)
(3)若tan β=，β为锐角，求角α+2β.(5分)
解　(1)因为sin α=，
α∈，
所以cos α=-，
因此tan α==-，
sin 2α=2sin αcos α=-.
(2)因为α∈，β∈，
所以α+β∈，
又sin(α+β)=-，
则cos(α+β)=-，
则sin β=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=-×-×=，
则cos β=，
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
=×-×
=.
(3)因为tan β=<=tan，且β为锐角，
则β∈，
则tan 2β==，且2β∈，
则tan(α+2β)==1，
又α+2β∈，
所以α+2β=.
12.(15分)某公园欲将一块空地规划成如图所示的区域，在边长为20米的正方形EFGH内种植红色郁金香，在正方形ABCD的剩余部分(即四个直角三角形内)种植黄色郁金香.现要在矩形ABMN内种植绿色草坪，要求绿色草坪的面积等于黄色郁金香的面积.设∠GFB=θ，AN=y米.
(1)求y与θ之间的函数关系式；(7分)
(2)求AN的最大值.(8分)
解　(1)在Rt△GFB中，FG=20，∠GFB=θ，
则FB=20cos θ，
同理，在Rt△FEA中，FE=20，∠FEA=θ，
则FA=20sin θ，
所以AB=20(sin θ+cos θ)，
因为要在矩形ABMN内种植与黄色郁金香面积相等的草坪，
设矩形ABMN的面积为S，
则S=AB·AN=4S△GFB，
从而AN=
==，
所以y=，其中θ∈.
(2)令sin θ+cos θ=t，
则t=
=sin，
t2=sin2θ+2sin θcos θ+cos2θ=1+2sin θcos θ，
因为θ∈，
所以θ+∈，
则sin∈，
即t∈(1，]，
由(1)得AN==20，
因为y=t-在(1，]上单调递增，
所以ANmax=20×=10，
即AN的最大值为10米.

展开更多......

收起↑