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微专题2　三角函数的图象与性质
[考情分析]　三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要考查三角函数图象，利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调区间、含参问题等，以及图象变换问题，高考多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等.
微点一　三角函数的图象与解析式
1.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
2.(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
3.(2025·兰州模拟)一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足y=Asin(ωx+φ)，则当y=1时，x不可能是(　　)
A. B.π
C. D.2π
4.(2025·葫芦岛模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，若 x∈R，f(x+m)=-f(x)，则正整数m的取值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
微点二　图象变换
5.将函数f(x)=sin 2x-cos 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到一个奇函数，则φ的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
6.(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ等于(　　)
A.- B.
C.- D.
7.(2025·萍乡模拟)将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，设h(x)=g(x)+，则h(x)在(-π，π)内的极大值点为(　　)
A. B.-
C. D.-
8.(2025·温州模拟)已知函数f(x)=sin x，g(x)=cos x，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(　　)
A.y=f(x)-g(x)与y=f(x)
B.y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x)
C.y=f(f(x))与y=f(g(x))
D.y=f(f(x))与y=g(f(x))
微点三　三角函数的性质
9.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为4π，则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.点为曲线y=f(x)的一个对称中心
C.直线x=为曲线y=f(x)的一条对称轴
D.函数f(x)在区间上单调递增
10.(2025·佛山模拟)将函数f(x)=4cos的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.g(x)是奇函数
B.g(x)的图象关于直线x=对称
C.g(x)在上的值域为[-2，4]
D.g(x)在上单调递增
11.(多选)已知函数f(x)=|cos x|-|sin|x||，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是周期为π的函数
C.f(x)在区间上单调递减
D.f(x)的最大值为
12.(2025·宜春模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.若对任意的x1，x2∈，都有|g(x1)-g(x2)|≤2a-1，求实数a的取值范围.
[总结提升]
利用三角函数的图象求函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性质，主要是换元思想，结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项.
专题突破练
[分值：62分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
2.(2025·汉中模拟)将函数y=sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标伸长为原来的倍，则所得到的图象的函数解析式是(　　)
A.y=-cos 4x B.y=-cos x
C.y=sin 4x D.y=sin x
3.(2025·安庆模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图，则曲线y=lg x与y=f(x)的交点个数为(　　)
A.5 B.7
C.9 D.11
4.若将函数f(x)=2cos x(cos x+sin x)-1的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
5.(2025·绍兴模拟)将函数y=sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y=cos 2x的图象，则φ可以是(　　)
A. B.
C. D.π
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)B.f(0)C.f(-2)D.f(2)7.如图，将绘有函数f(x)=Msin(M>0，0<φ<π)的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
8.(2025·定西质检)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，D(5，0)，B(2，A)，BC⊥CD，则f等于(　　)
A.4 B.2
C.4 D.2
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在[0，π]上有两个极值点
B.f=1
C.函数y=f的图象关于y轴对称
D.若|f(x1)-f(x2)|=4，则|x1-x2|的最小值为π
10.钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，而破碎的涌潮的图象近似f'(x)(f'(x)是函数f(x)的导函数)的图象.已知当x=2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为-4，则(　　)
A.ω=2
B.f=+
C.f'是偶函数
D.f'(x)在区间上单调
三、填空题(每小题5分，共10分)
11.(2025·喀什模拟)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+，将函数f(x)的图象向左平移　　　　个单位长度得到y=sin 2x的图象.
12.近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2π rad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB=，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t=0秒时，点A位于圆心正下方，则t=　　　　秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)=　　　　　　　　　　　　. 微专题2　三角函数的图象与性质
[考情分析]　三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要考查三角函数图象，利用三角函数的图象与性质来求解三角函数的值域、最值、单调区间、含参问题等，以及图象变换问题，高考多以选择题和填空题的形式考查，也在解答题中出现，难度中等.
微点一　三角函数的图象与解析式
1.(2024·新课标Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　　)
A.3 B.4
C.6 D.8
答案　C
解析　因为函数y=sin x的最小正周期
T=2π，
函数y=2sin的最小正周期T1=，
所以在x∈[0，2π]上，函数y=2sin有三个周期的图象，
在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点.
2.(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f(x)=sin+b(ω>0)的最小正周期为T.若A.1 B.
C. D.3
答案　A
解析　因为解得2<ω<3.
因为y=f(x)的图象关于点中心对称，所以b=2，且sin+b=2，
即sin=0，所以ω+=kπ(k∈Z)，
又2<ω<3，所以<ω+<，
所以ω+=4π，解得ω=，
所以f(x)=sin+2，
所以f=sin+2=sin +2=1.
3.(2025·兰州模拟)一个铅垂做单摆运动时，离开平衡位置的位移y关于时间x的函数图象如图所示，函数关系满足y=Asin(ωx+φ)，则当y=1时，x不可能是(　　)
A. B.π
C. D.2π
答案　A
解析　由图可知A=2，最小正周期T=2×=π，
则ω==2，
由×=，
则函数图象过点，
即2sin=-2，
解得+φ=+2kπ(k∈Z)，
即φ=+2kπ(k∈Z)，
又0<φ<，可得φ=，
故y=2sin，
由y=1，则sin=，
解得2x+=+2k1π(k1∈Z)或2x+=+2k2π(k2∈Z)，
可得x=k1π(k1∈Z)或x=+k2π(k2∈Z)，
当k1=1时，x=π；当k2=1时，x=；
当k1=2时，x=2π.
故x不可能是.
4.(2025·葫芦岛模拟)已知函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，若 x∈R，f(x+m)=-f(x)，则正整数m的取值为(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　C
解析　因为f(0)=cos φ=，0<φ<，
所以φ=，
又f=cos=0，
所以+=+2kπ，k∈Z，
即ω=+4kπ，k∈Z，
而ω>0，所以k是非负整数，
又由图象可得-0<=，
所以ω<π，
综上，只能k=0，ω=，
所以f(x)的最小正周期为T==6，
而由f(x+m)=-f(x)，且m为正整数，
可得m=T=3+6n(n∈N)，比对选项知C正确，A，B，D错误.
微点二　图象变换
5.将函数f(x)=sin 2x-cos 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到一个奇函数，则φ的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　依题意，函数f(x)=2sin，
则f(x-φ)=2sin
=2sin，由函数f(x-φ)是奇函数，得2φ+=kπ，k∈Z，解得φ=-+，k∈Z，
由φ>0，得k∈N*，因此当k=1时，φmin=.
6.(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ等于(　　)
A.- B.
C.- D.
答案　C
解析　将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到图象对应的新函数为
g(x)=sin+1=sin+1.
当x=时，g=sin+1=2，
化简得sin=1，
则+θ=+2kπ，k∈Z，
解得θ=-+2kπ，k∈Z，
又因为-<θ<，
所以θ=-.
7.(2025·萍乡模拟)将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，设h(x)=g(x)+，则h(x)在(-π，π)内的极大值点为(　　)
A. B.-
C. D.-
答案　A
解析　将函数f(x)=sin的图象向右平移个单位长度，得到函数y=sin=sin 2x的图象，
再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)=sin x的图象，
所以h(x)=g(x)+=sin x+，x∈(-π，π).
则h'(x)=cos x+，
令h'(x)=0，得x=-或x=.
当x∈时，h'(x)<0，h(x)单调递减；
当x∈时，h'(x)>0，h(x)单调递增；
当x∈时，h'(x)<0，h(x)单调递减，
所以h(x)在(-π，π)内的极大值点为.
8.(2025·温州模拟)已知函数f(x)=sin x，g(x)=cos x，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是(　　)
A.y=f(x)-g(x)与y=f(x)
B.y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x)
C.y=f(f(x))与y=f(g(x))
D.y=f(f(x))与y=g(f(x))
答案　C
解析　若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，
对于A，f(x)-g(x)=sin x-cos x=sin，
所以函数y=f(x)-g(x)的振幅为，函数y=f(x)的振幅为1，
这两个函数的振幅不相等，
故y=f(x)-g(x)与y=f(x)的图象不能通过平移重合，故A错误；
对于B，[f(x)]2-[g(x)]2=sin2x-cos2x=-cos 2x，
f(x)g(x)=sin xcos x=sin 2x，
函数y=[f(x)]2-[g(x)]2的振幅为1，函数y=f(x)g(x)的振幅为，
所以y=[f(x)]2-[g(x)]2与y=f(x)g(x)的图象不能通过平移重合，故B错误；
对于C，因为f(f(x))=sin(sin x)，f(g(x))=sin(cos x)=sin，
将函数y=f(f(x))的图象向左平移个单位长度可与函数y=f(g(x))的图象重合，故C正确；
对于D，g(f(x))=cos(sin x)=sin，
函数y=f(f(x))与y=g(f(x))的图象不能通过平移重合，故D错误.
微点三　三角函数的性质
9.(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，且阴影部分的面积为4π，则(　　)
A.函数f(x)的最小正周期为π
B.点为曲线y=f(x)的一个对称中心
C.直线x=为曲线y=f(x)的一条对称轴
D.函数f(x)在区间上单调递增
答案　ACD
解析　由图可知A=2，4T=4π，T=π，A正确；
所以ω=2，将(0，1)代入f(x)=2sin(2x+φ)，可得1=2sin φ，
因为-<φ<，所以φ=，
所以f(x)=2sin，
由2x+=kπ，k∈Z得，x=-，k∈Z，
取k=0得，x=-，对称中心为，
取k=1得，x=，对称中心为，
所以点不是曲线y=f(x)的对称中心，B错误；
由2x+=kπ+，k∈Z得，x=+，k∈Z，
取k=1得，x=，
所以直线x=为曲线y=f(x)的一条对称轴，C正确；
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z得，
kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
当k=1时，≤x≤，函数f(x)在区间上单调递增，
所以函数f(x)在区间上单调递增，D正确.
10.(2025·佛山模拟)将函数f(x)=4cos的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　　)
A.g(x)是奇函数
B.g(x)的图象关于直线x=对称
C.g(x)在上的值域为[-2，4]
D.g(x)在上单调递增
答案　C
解析　由题意知g(x)=4cos，g(x)不是奇函数，故A错误；
g=4cos=2≠±4，则g(x)的图象不关于直线x=对称，故B错误；
由x∈，
得2x-∈，
故cos∈，
则g(x)=4cos∈[-2，4]，故C正确；
当x∈时，2x-∈，而y=cos x在上不单调，
所以g(x)在上不单调，故D错误.
11.(多选)已知函数f(x)=|cos x|-|sin|x||，下列说法正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数
B.f(x)是周期为π的函数
C.f(x)在区间上单调递减
D.f(x)的最大值为
答案　ABC
解析　函数f(x)的定义域为R，
由f(-x)=|cos(-x)|-|sin|-x||=|cos x|-|sin|x||=f(x)，知f(x)是偶函数，故A正确；
f(x+π)=|cos(x+π)|-|sin|x+π||
=|cos x|-|sin|x||=f(x)，
所以f(x)是周期为π的函数，故B正确；
当x∈时，
f(x)=-cos x+sin x=sin，
f(x)在区间上单调递减，故C正确；
当x∈时，
f(x)=cos x-sin x=-sin∈[-1，1]，
当x∈时，f(x)=-cos x-sin x
=-sin∈(-1，1).
又f(x)是周期为π的函数，
所以f(x)的值域为[-1，1]，故D不正确.
12.(2025·宜春模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，-π<φ<π)的部分图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式及单调递减区间；
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y=g(x)的图象.若对任意的x1，x2∈，都有|g(x1)-g(x2)|≤2a-1，求实数a的取值范围.
解　(1)设f(x)的最小正周期为T，
所以T=-，解得T=π，
又ω>0，所以T==π，解得ω=2.
由题意知A=3，所以f(x)=3sin(2x+φ)，
又f=3sin=3，
所以2×+φ=+2kπ，k∈Z，
即φ=-+2kπ，k∈Z，又-π<φ<π，
所以φ=-，
所以f(x)=3sin.
令+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，
解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
即f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
(2)将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y=3sin=3sin，
再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象对应的函数解析式为g(x)=3sin.
当x∈时，x-∈，
所以g(x)max=3，
g(x)min=3sin=-，
若对任意的x1，x2∈，
都有|g(x1)-g(x2)|≤2a-1，
则2a-1≥|g(x)max-g(x)min|=，
解得a≥，
即实数a的取值范围是.
[总结提升]
利用三角函数的图象求函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h的性质，主要是换元思想，结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项.
专题突破练
[分值：62分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　y=2tan的对称中心的横坐标满足x-=，k∈Z，即x=+，k∈Z，
所以y=2tan的图象的对称中心是，k∈Z，
即a=+，k∈Z，
又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是.
2.(2025·汉中模拟)将函数y=sin的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，纵坐标伸长为原来的倍，则所得到的图象的函数解析式是(　　)
A.y=-cos 4x B.y=-cos x
C.y=sin 4x D.y=sin x
答案　C
解析　将函数y=sin的图象向左平移个单位长度，得y=sin=sin 2x的图象，
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，得y=sin 4x的图象，
然后将所得图象上所有点的纵坐标伸长为原来的倍，得y=sin 4x的图象.
3.(2025·安庆模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图，则曲线y=lg x与y=f(x)的交点个数为(　　)
A.5 B.7
C.9 D.11
答案　B
解析　由图可知f(x)的周期为
T=2=π，
又ω>0，则ω==2；
由f=0，
可得sin=0，而-<φ<，
所以-<+φ<，
所以+φ=0，所以φ=-；
又由f(0)=，可得Asin=，
解得A=-1，故f(x)=-sin，
在同一坐标系中，作出y=lg x与y=f(x)的图象如图，可见两者有7个交点.
4.若将函数f(x)=2cos x(cos x+sin x)-1的图象向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)图象的对称中心的坐标是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　f(x)=2cos2x+2sin xcos x-1=cos 2x+sin 2x=sin，
由题意得g(x)=sin
=sin.
令2x+=kπ，得x=-+，
所以g(x)图象的对称中心的坐标是.
5.(2025·绍兴模拟)将函数y=sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y=cos 2x的图象，则φ可以是(　　)
A. B.
C. D.π
答案　A
解析　因为y=cos 2x=sin，
将函数y=sin 2x的图象向左平移φ个单位长度后得到函数y=sin 2(x+φ)=sin(2x+2φ)的图象，
所以sin=sin(2x+2φ)，
则+2kπ=2φ，k∈Z，
所以φ=+kπ，k∈Z，
当k=0时，φ=.
6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x=时，函数f(x)取得最小值，则下列结论正确的是(　　)
A.f(2)B.f(0)C.f(-2)D.f(2)答案　A
解析　因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，
故ω==2，
故f(x)=Asin(2x+φ)，
而当x=时，函数f(x)取得最小值，
故2×+φ=+2kπ，k∈Z，
故φ=+2kπ，k∈Z，
又φ>0，
故f(x)=Asin，
又f(2)=Asin=Asin=Asin，
f(0)=Asin ，
f(-2)=Asin=-Asin=Asin，
而-<-4<0，A>0，故f(2)<0，
而0<4-<<，A>0，
且y=sin t在上单调递增，
故07.如图，将绘有函数f(x)=Msin(M>0，0<φ<π)的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，此时A，B之间的距离为，则φ等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　如图，因为f(x)的周期为T==6，
所以CD==3，
AC=M，BC==，
所以折成直二面角时，AB===，
解得M=，所以f(x)=sin，
所以f=sin φ=，sin φ=，
因为0<φ<π，所以φ=或，
又因为函数f(x)在y轴右侧附近单调递减，所以φ=.
8.(2025·定西质检)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，D(5，0)，B(2，A)，BC⊥CD，则f等于(　　)
A.4 B.2
C.4 D.2
答案　B
解析　因为D(5，0)，B(2，A)，由图象可知=5-2=3，则T=12，
因为ω>0，所以ω==，
所以f(x)=Asin，
由f(5)=Asin=0，得+φ=2kπ+π，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ=，
则f(x)=Asin，则C，
因为BC⊥CD，=，=，
所以·=-10+=0，
解得A=2(负根舍去)，
所以f(x)=2sin，
故f=2sin=2sin
=2.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)在[0，π]上有两个极值点
B.f=1
C.函数y=f的图象关于y轴对称
D.若|f(x1)-f(x2)|=4，则|x1-x2|的最小值为π
答案　AC
解析　由题图知A=2，T=-=，得T=π，
所以ω==2，
所以f(x)=2sin(2x+φ)，
由图象可知f(x)在x=处取得极大值，
则在x=+=处取得极小值，
所以f(x)在[0，π]上有两个极值点，A正确；
又f=2sin=2，
所以+φ=2kπ+，k∈Z，
所以φ=2kπ-，k∈Z.
因为|φ|<，所以令k=0，即φ=-.
所以f(x)=2sin.
所以f=2sin=，B错误；
将y=f(x)图象上的所有点沿x轴向右平移个单位长度后得到y=f=2sin=-2cos 2x的图象，为偶函数，
所以函数y=f的图象关于y轴对称，C正确；
因为函数f(x)的周期为π，若|f(x1)-f(x2)|=4，则|x1-x2|的最小值为，D错误.
10.钱塘江多处出现罕见潮景“鱼鳞潮”，“鱼鳞潮”的形成需要两股涌潮，一股是波状涌潮，另外一股是破碎的涌潮，两者相遇交叉就会形成像鱼鳞一样的涌潮.若波状涌潮的图象近似函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象，而破碎的涌潮的图象近似f'(x)(f'(x)是函数f(x)的导函数)的图象.已知当x=2π时，两潮有一个交叉点，且破碎的涌潮的波谷为-4，则(　　)
A.ω=2
B.f=+
C.f'是偶函数
D.f'(x)在区间上单调
答案　BC
解析　f(x)=Asin(ωx+φ)，
则f'(x)=Aωcos(ωx+φ)，
由题意得f(2π)=f'(2π)，
即Asin φ=Aωcos φ，
故tan φ=ω，因为ω∈N*，|φ|<，
所以tan φ=ω<，所以φ=，ω=1，则A错误；
因为破碎的涌潮的波谷为-4，
所以f'(x)的最小值为-4，
即-Aω=-4，得A=4，
所以f(x)=4sin，
则f=4sin
=4
=4=+，则B正确；
因为f(x)=4sin，
所以f'(x)=4cos，
所以f'=4cos x为偶函数，则C正确；
f'(x)=4cos，
由-因为函数y=4cos x在上单调递增，在上单调递减，
所以f'(x)在区间上不单调，则D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
11.(2025·喀什模拟)已知函数f(x)=sin xcos x-cos2x+，将函数f(x)的图象向左平移　　　　个单位长度得到y=sin 2x的图象.
答案　
解析　f(x)=sin xcos x-cos2x+=sin 2x-cos 2x=sin，
将函数f(x)=sin=sin 2的图象向左平移个单位长度得到y=sin 2x的图象.
12.近年，我国短板农机装备取得突破，科技和装备支撑稳步增强，现代农业建设扎实推进.农用机械中常见有控制设备周期性开闭的装置.如图所示，单位圆O绕圆心做逆时针匀速圆周运动，角速度大小为2π rad/s，圆上两点A，B始终满足∠AOB=，随着圆O的旋转，A，B两点的位置关系呈现周期性变化.现定义：A，B两点的竖直距离为A，B两点相对于水平面的高度差的绝对值.假设运动开始时刻，即t=0秒时，点A位于圆心正下方，则t=　　　　秒时，A，B两点的竖直距离第一次为0；A，B两点的竖直距离关于时间t的函数解析式为f(t)=　　　　　　　　　　　　.
答案　　
解析　如图，以O为原点，以OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，由于角速度ω=2π rad/s，设点A，圆上两点A，B始终保持∠AOB=，
则B，要使A，B两点的竖直距离为0，
则sin=sin，第一次为0时，4πt-=π，解得t=，
f(t)==
==.

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