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微专题7　解三角形的融合交汇问题
[考情分析]　解三角形与三角函数、数列及平面向量的综合问题是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要考查以三角恒等变换、数列和平面向量为工具，与三角形相结合求解求值、最值与范围问题，常以选择、填空的形式出现，解三角形与三角函数相结合有时以解答题的形式出现，难度中等.
微点一　解三角形与三角函数交汇
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin Bsin=cos Bsin，b=2，sin B=.则a的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　由sin Bsin=cos Bsin，
sin=cos，
得sin Bsin=cos Bcos，
即cos Bcos-sin Bsin=0，
所以cos=0，
又0所以B+C-=，
即B+C=，所以A=，
又b=2，sin B=，
由正弦定理，得=，
所以a==×=.
2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面积为S，且4S=(a+b)2-c2，则sin等于(　　)
A.1 B.
C. D.
答案　D
解析　由4S=(a+b)2-c2得4×absin C=a2+b2-c2+2ab，
∵a2+b2-c2=2abcos C，
∴2absin C=2abcos C+2ab，
即sin C-cos C=1，即2sin=1，
则sin=，
∵0∴C-=，即C=，
则sin=sin=sin cos +cos sin =×+×=.
3.(2025·芜湖模拟)已知函数f(x)=cos 2x+sin+.
(1)求f(x)的最小正周期及图象的对称中心；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(A)=1，b=4，c=6，求△ABC的面积.
解　(1)f(x)=cos 2x+sin+
=cos 2x+sin 2x-cos 2x+
=sin 2x+cos 2x+
=sin+，
∴最小正周期T==π，
令2x+=kπ，k∈Z，
则x=-，k∈Z，
即图象的对称中心是(k∈Z).
(2)∵f(A)=sin+=1，
∴sin=，
∵A∈(0，π)，
∴<2A+<，
∴2A+=，
∴A=，
∴S△ABC=bcsin A
=×4×6×=6.
微点二　解三角形与平面向量交汇
4.(2025·宿迁模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=，a=，bA. B.
C. D.
答案　A
解析　在△ABC中，∠BAC=，a=，
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC，
所以7=b2+c2-bc，
由S=bcsin∠BAC=，得bc=6，
又b因为BD=2DC，
所以=+=+，
所以=+·+
=×32+×3×2×+×22
=，
所以||=，即AD的长为.
5.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(sin A，)，n=(a，2b).若m∥n，则的取值范围是　　　　　　.
答案　(-1，1)
解析　由m∥n可得2bsin A=a，
由正弦定理可得2sin Bsin A=sin A，
由sin A≠0可得sin B=，
由0所以A+C=，
由正弦定理可得==(sin A+sin C)(sin A-sin C)
=sin cos cos sin
=sin cos =sin(A-C)，
由A+C=可得A=-C，
所以=sin，
又解得由所以-所以-1所以的取值范围是(-1，1).
6.(2025·石家庄模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C+ccos B=a.
(1)求角C的大小；
(2)若AB=2，且sin Asin B=，求AB边上中线CT的长.
解　(1)在△ABC中，由bsin C+ccos B=a及正弦定理得
sin Bsin C+sin Ccos B=sin A
=sin(B+C)
=sin Bcos C+cos Bsin C，
即sin Bsin C=sin Bcos C，
因为B，C∈(0，π)，则sin B>0，
即sin C=cos C，
可得tan C=，
故C=.
(2)由正弦定理可得====，
所以ab=sin Asin B·=4，
在△ABC中，由余弦定理可得
c2=8=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=a2+b2-4，
所以a2+b2=12，
因为CT为AB边上的中线，
所以=+)，
所以=+)2
=++2·)
=(a2+b2+2abcos C)
=(a2+b2+ab)
=×(12+4)=4，
故||=2，
因此，AB边上的中线CT的长为2.
微点三　解三角形与数列交汇
7.在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若=，数列{an}满足an=其前n项和为Sn，则S2n=　　　　　　.
答案　
解析　因为a，b，c成等比数列，所以b2=ac，
即sin2B=sin Asin C，
又=，所以=，
即sin B=，
由cos B==≥>0知0所以B=，
当n为偶数时，
an=2n=2n=2n；
当n为奇数时，an=an+1+1=2n+1+1，
所以S2n=(22+24+…+22n)+(22+1+24+1+…+22n+1)
=2+n
=2×+n=.
8.(2025·黄冈模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(tan B-1)(tan C-1)=2.
(1)求A；
(2)若tan A，tan B，tan C成等差数列，且△ABC的面积为12，求a的值.
解　(1)因为(tan B-1)(tan C-1)=2，
所以tan Btan C-tan B-tan C+1=2，
即tan Btan C=1+tan B+tan C，
因此tan A=-tan(B+C)
=-
=-=1.
由于A∈(0，π)，
因此A=.
(2)由题意知，2tan B=tan A+tan C，
因此2tan B=tan A-tan(A+B)
=1-，
解得tan B=2，tan C=2tan B-tan A=3，
故B，C∈，
因此sin A=，sin B=，
sin C=.
则由正弦定理=，
可设a=k，b=2k，k>0，
故S=absin C=3k2=12，解得k=2，
因此a=k=2.
[总结提升]
正确分析题意，用平面向量、数列的概念性质提炼相关等式，利用解三角形解决问题；或者利用定理、公式、性质等进行三角形中的边角互化，进行三角恒等变换，来求解三角函数值以及讨论三角函数的性质.
专题突破练
[分值：70分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·玉溪模拟)在△ABC中，D是边BC上的点，且AC=CD，AB=2AC=AD，则sin B等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　如图，设AD=2a，a>0，
则AB=2a，CD=AC=a，
在△ACD中，由余弦定理得
cos C=
==，
因为0所以sin C>0，sin C==，
在△ABC中，由正弦定理得
=，
即sin B===.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则B的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵a，b，c成等差数列，∴a+c=2b，
cos B==
=≥=，
当且仅当a=b=c时等号成立，
∵B∈(0，π)，∴B∈，故A选项符合.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c，且sin +cos =2cos C，则cos C的值为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为sin +cos =2cos C，
所以2cos C=2
=2cos，
即cos C=cos，
因为0且余弦函数y=cos x在(0，π)上单调递减，
所以C=-，
所以A+3C=π，
又A+B+C=π，所以B=2C，
由正弦定理得=，
即=，
所以cos C=.
4.设O是△ABC的外心，点D为AC的中点，满足=λ-λ，λ∈R，若||=2，则△ABC面积的最大值为(　　)
A.2 B.4
C.4 D.8
答案　B
解析　因为=λ-λ，λ∈R，DO⊥AC，
所以·=·
=cbcos∠BAC-b2=0，λ∈R，
从而4cbcos∠BAC=3b2，即4cb·=3b2，
所以c2+b2-4=，所以c2=+4，
所以△ABC的面积为S△ABC=bcsin∠BAC
=bc
=
=
==
==
≤=4，
当且仅当b=4，c=2时等号成立，
综上所述，△ABC面积的最大值为4.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·黔东南模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B+bcos A=2a，且sin2B=sin Asin C，则(　　)
A.a，b，c成等比数列
B.sin A∶sin B∶sin C=1∶2∶
C.A，B，C成等差数列
D.若a=2，则S△ABC=
答案　AD
解析　∵sin2B=sin Asin C，由正弦定理可得b2=ac，且a>0，b>0，c>0，
则a，b，c成等比数列，故A正确；
将acos B+bcos A=2a，利用正弦定理化简得
sin Acos B+sin Bcos A=2sin A，
即sin(A+B)=2sin A，
∴sin C=2sin A，利用正弦定理化简得c=2a，
∴b2=ac=2a2，
∴b=a，
∴sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=a∶a∶2a=1∶∶2，故B错误；
若A，B，C成等差数列，则2B=A+C，且A+B+C=π，可得B=，
则由余弦定理可得cos B===≠，故C错误；
若a=2，可得b=2，c=4，则b由cos B=，B∈(0，π)，可得sin B=，
所以S△ABC=acsin B=，故D正确.
6.在△ABC中，AB=4，AC=6，A=，D为边BC上一动点，则(　　)
A.BC=2
B.当AD为角A的平分线时，AD=
C.当D为边BC的中点时，AD=3
D.若点P为△ABC内任一点，·的最小值为-
答案　AB
解析　对于A，在△ABC中，由余弦定理得
BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A
=42+62-2×4×6cos =28，
所以BC=2，所以A正确；
对于B，当AD为角A的平分线时，
由等面积法得×4×6sin =×4×AD·
sin +×6×AD·sin ，
即5AD=12，解得AD=，所以B正确；
对于C，当D为边BC的中点时，
可得=+)，
则=++2·)
=(16+36+24)=19，
所以AD==，所以C错误；
对于D，以A为原点，以AC所在直线为x轴，过A垂直AC的直线为y轴，
建立平面直角坐标系，如图，
所以A(0，0)，B(2，2)，
C(6，0)，设P(x，y)，
则=(6-x，-y)，
=(2-x，2-y)，=(-x，-y)，
·(+)=(-x，-y)·
=(-x，-y)·(8-2x，2-2y)
=2x2-8x+2y2-2y
=2，
因为≥0，≥0，所以·≥2×=-，
当且仅当x=2，y=时，等号成立.
因为点在△ABC内，所以·的最小值为-，所以D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·常州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B+2sin Ccos A=0，则角B的最大值为　　　　.
答案　
解析　因为B=π-(A+C)，
则sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C，
代入sin B+2sin Ccos A=0中，
整理得sin Acos C+3cos Asin C=0，
显然A，C都不可能是直角(否则等式不成立)，
故得tan A+3tan C=0，
于是tan B=tan[π-(A+C)]=-tan(A+C)=-=，
由上式易知B，C均为锐角，则tan C>0，
故tan B==，
因为+3tan C≥2，
当且仅当tan C=时等号成立，
即当C=时，tan B取得最大值，
又0故角B的最大值为.
8.在△ABC中，A，B，C依次成等差数列，AC=2，·的取值范围为　　　　　　.
答案　(0，6]
解析　设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据题意2B=A+C，又A+B+C=π，所以B=，
而·=||||cos B=ac，
由正弦定理有====4，
所以a=4sin A，c=4sin C，
所以·=ac=8sin Asin C
=8sin Asin=8sin A
=4sin Acos A+4sin2A=2sin 2A-2cos 2A+2=4sin+2，
而A的取值范围是，
所以2A-的取值范围是，
sin的取值范围是，
所以4sin的取值范围是(-2，4]，
所以·=4sin+2的取值范围为(0，6].
四、解答题(共28分)
9.(13分)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量m=(a，cos A)，向量n=(cos C，c)，且m·n=3bcos B.
(1)求cos B的值；(5分)
(2)若2a，b，c成等比数列，求+的值.(8分)
解　(1)因为m=(a，cos A)，n=(cos C，c)，且m·n=3bcos B，
所以acos C+ccos A=3bcos B，
由正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A
=3sin Bcos B，
所以sin(A+C)=3sin Bcos B，
即sin B=3sin Bcos B，
又B为三角形内角，sin B≠0，所以cos B=.
(2)因为2a，b，c成等比数列，
所以b2=2ac，由正弦定理，
可得sin2B=2sin Asin C，
又cos B=，B为三角形内角，
所以sin B=，
所以+=+= =====.
10.(15分)(2025·无锡模拟)锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(sin2B+sin2C-sin2A)tan A=sin Bsin C.
(1)求角A的大小及角B的取值范围；(4分)
(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围；(5分)
(3)若△ABC的外接圆的圆心为O，且·=-，求·(+)的取值范围.(6分)
解　(1)因为(sin2B+sin2C-sin2A)tan A=sin Bsin C，
由正弦定理可得(b2+c2-a2)tan A=bc，
所以tan A=，
故cos Atan A=sin A=，
因为A为锐角，所以A=，
因为△ABC为锐角三角形，
则
解得所以角B的取值范围是.
(2)因为a=2，由正弦定理得==，
所以b+c=sin B+sin C
=sin B+sin
==
=4=4sin，
因为B∈，
所以B+∈，
所以所以2<4sin≤4，
所以2+2所以△ABC的周长的取值范围为(2+2，6].
(3)设△ABC的外接圆半径为R，
所以||=||=||=R，
·=R×R×cos 2A=-，
所以||=||=||=R=1，
设∠AOC=θ，则θ=2B∈，
则∠AOB=-θ，
所以·(+)=·(-+-)=·+·-2
=1×1×cos∠AOB+1×1×cos∠AOC-2=cos∠AOB+cos∠AOC-2=cos+cos θ-2=cos θ-sin θ-2=cos-2，
因为θ∈，
所以θ+∈，
所以-1≤cos<-，
所以-3≤cos-2<-，
所以·(+)=-·(+)∈，
所以·(+)的取值范围为.微专题7　解三角形的融合交汇问题
[考情分析]　解三角形与三角函数、数列及平面向量的综合问题是高考考查的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，主要考查以三角恒等变换、数列和平面向量为工具，与三角形相结合求解求值、最值与范围问题，常以选择、填空的形式出现，解三角形与三角函数相结合有时以解答题的形式出现，难度中等.
微点一　解三角形与三角函数交汇
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin Bsin=cos Bsin，b=2，sin B=.则a的值为(　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若△ABC的面积为S，且4S=(a+b)2-c2，则sin等于(　　)
A.1 B.
C. D.
3.(2025·芜湖模拟)已知函数f(x)=cos 2x+sin+.
(1)求f(x)的最小正周期及图象的对称中心；
(2)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且f(A)=1，b=4，c=6，求△ABC的面积.
微点二　解三角形与平面向量交汇
4.(2025·宿迁模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=，a=，bA. B.
C. D.
5.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量m=(sin A，)，n=(a，2b).若m∥n，则的取值范围是　　　　　　.
6.(2025·石家庄模拟)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin C+ccos B=a.
(1)求角C的大小；
(2)若AB=2，且sin Asin B=，求AB边上中线CT的长.
微点三　解三角形与数列交汇
7.在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列.若=，数列{an}满足an=其前n项和为Sn，则S2n=　　　　　　.
8.(2025·黄冈模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且(tan B-1)(tan C-1)=2.
(1)求A；
(2)若tan A，tan B，tan C成等差数列，且△ABC的面积为12，求a的值.
[总结提升]
正确分析题意，用平面向量、数列的概念性质提炼相关等式，利用解三角形解决问题；或者利用定理、公式、性质等进行三角形中的边角互化，进行三角恒等变换，来求解三角函数值以及讨论三角函数的性质.
专题突破练
[分值：70分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.(2025·玉溪模拟)在△ABC中，D是边BC上的点，且AC=CD，AB=2AC=AD，则sin B等于(　　)
A. B.
C. D.
2.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则B的值可以为(　　)
A. B.
C. D.
3.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=c，且sin +cos =2cos C，则cos C的值为(　　)
A. B.
C. D.
4.设O是△ABC的外心，点D为AC的中点，满足=λ-λ，λ∈R，若||=2，则△ABC面积的最大值为(　　)
A.2 B.4
C.4 D.8
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·黔东南模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acos B+bcos A=2a，且sin2B=sin Asin C，则(　　)
A.a，b，c成等比数列
B.sin A∶sin B∶sin C=1∶2∶
C.A，B，C成等差数列
D.若a=2，则S△ABC=
6.在△ABC中，AB=4，AC=6，A=，D为边BC上一动点，则(　　)
A.BC=2
B.当AD为角A的平分线时，AD=
C.当D为边BC的中点时，AD=3
D.若点P为△ABC内任一点，·的最小值为-
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·常州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin B+2sin Ccos A=0，则角B的最大值为　　　　.
8.在△ABC中，A，B，C依次成等差数列，AC=2，·的取值范围为　　　　　　.
四、解答题(共28分)
9.(13分)在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边.若向量m=(a，cos A)，向量n=(cos C，c)，且m·n=3bcos B.
(1)求cos B的值；(5分)
(2)若2a，b，c成等比数列，求+的值.(8分)
10.(15分)(2025·无锡模拟)锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足(sin2B+sin2C-sin2A)tan A=sin Bsin C.
(1)求角A的大小及角B的取值范围；(4分)
(2)若a=2，求△ABC的周长的取值范围；(5分)
(3)若△ABC的外接圆的圆心为O，且·=-，求·(+)的取值范围.(6分)

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