资源简介

第4讲　平面向量
1.(2025·全国Ⅰ卷，T6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
级数 名称 风速大小(单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
2.(2024·全国甲卷，T9)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则(　　)
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T3)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
4.(2025·全国Ⅱ卷，T12)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　.
5.(2025·天津卷，T14)在△ABC中，D为AB边的中点，=，=a，=b，则=　　　　(用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=　　　　.
6.(2024·天津卷，T14)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=DE，=λ+μ，则λ+μ=　　　　；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为　　　　.
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值为5分.
考查方向：
一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以及平面向量的数量积，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的值求参数等；二是考查平面向量基本定理，利用基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的综合应用，根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算，研究最值问题或平面图形的几何性质等.
1.答案　A
解析　由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，
视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，
船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，
设真风风速对应的向量为n1，船行风风速对应的向量为n2，
∴n=n1+n2，n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)，
∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)，
∴|n1|==2≈2.828，
由表格可得，该时刻的真风为轻风.
2.答案　C
解析　对A，当a⊥b时，则a·b=0，
所以x(x+1)+2x=0，
解得x=0或x=-3，
即必要性不成立，故A错误；
对C，当x=0时，a=(1，0)，b=(0，2)，
故a·b=0，所以a⊥b，
即充分性成立，故C正确；
对B，当a∥b时，2(x+1)=x2，解得x=1±，
即必要性不成立，故B错误；
对D，当x=-1+时，不满足2(x+1)=x2，
所以a∥b不成立，
即充分性不成立，故D错误.
3.答案　B
解析　因为(b-2a)⊥b，
所以(b-2a)·b=0，
即b2=2a·b，
又因为|a|=1，|a+2b|=2，
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，
从而|b|=.
4.答案　
解析　a-b=(1，1-2x)，因为a⊥(a-b)，则a·(a-b)=0，
则x+1-2x=0，解得x=1.
则a=(1，1)，则|a|=.
5.答案　a+b　-15
解析　如图，因为=，所以-=-)，所以=+.
因为D为线段AB的中点，所以=+=a+b；
因为||=5，AE⊥CB，=a-b，所以==a2+a·b+b2=25， ①
·=·(a-b)=a2+a·b-b2=0，所以a2+3a·b=4b2， ②
由①②得a2+4a·b=180，
又=-=-=a-b，
所以·=·=a2+a·b-b2=
=(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=×(-180)=-15.
6.答案　　-
解析　方法一　因为CE=DE，
即=，
则=+=+，
可得λ=，μ=1，
所以λ+μ=；
由题意可知，==1，
·=0，
因为F为线段BE上的动点，
设=k=k+k，k∈，
则=+=+k
=+k，
又因为G为AF的中点，
则=+=-+
=+，
可得·=·
=+k
=-，
又由k∈可知，
当k=1时，·取到最小值为-.
方法二　以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(-1，0)，B(0，0)，
C(0，1)，D(-1，1)，
E，
可得=(-1，0)，=(0，1)，
=，
因为=λ+μ=(-λ，μ)，
则所以λ+μ=；
因为点F在线段BE：y=-3x，x∈上，
设F(a，-3a)，a∈，
且G为AF的中点，则G，
可得=(a+1，-3a)，
=，
则·=+(-3a)
=5-，
且a∈，
所以当a=-时，
·取到最小值为-.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　平面向量的基本运算
例1　(1)(多选)向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a+2b)·a=6，下列说法正确的是(　　)
A.a·b=
B.a与b的夹角θ为60°
C.a在b上的投影向量的模为1
D.|a-b|=
答案　BCD
解析　∵|a|=2，|b|=1，(a+2b)·a=6，
∴(a+2b)·a=a2+2a·b=|a|2+2a·b=4+2a·b=6，∴a·b=1，故A错误；
a·b=|a||b|cos θ=2cos θ=1，
∴cos θ=.
∵0°≤θ≤180°，∴θ=60°，故B正确；
∵a在b上的投影向量为·b=b，
∴a在b上的投影向量的模为1，故C正确；
∵|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=4-2×1+1=3，∴|a-b|=，故D正确.
(2)如图，在四边形ABCD中，||=4，·=12，E为AC的中点.=2，则·的值为(　　)
A.0 B.12 C.2 D.6
答案　A
解析　方法一　(基底法)
在△ABC中，由余弦定理得
AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos∠ABC，
∴42=BA2+BC2-2·=BA2+BC2-2×12，
∴BA2+BC2=40.
又∵·=(-)·(-)
=·
=·
=·
=--+·
=-+)+·
=-×40+×12=0.
方法二　(极化恒等式)
∵||=4，E为AC的中点，
∴||=||=2，
根据极化恒等式可得·=||2-||2=||2-4=12，
∴||=4，
∴||=||=2，
∴·=·=||2-||2=4-4=0.
[规律方法]
1.求非零向量a，b数量积的三种方法
(1)定义法：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
(2)坐标法：①若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解，即设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2；②若未知向量坐标，则可通过建立平面直角坐标系表示出向量的坐标，进而利用坐标运算求解.
(3)几何法：灵活运用平面向量数量积的几何意义进行求解.
2.含有线段中点的向量问题，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化.
极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
跟踪演练1　(1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(2，1)，若(ta+b)⊥(-2a+tb)，则实数t等于(　　)
A.1或 B.-2或
C.-1或2 D.-2或1
答案　D
解析　ta+b=(t+2，-t+1)，-2a+tb=(-2+2t，2+t)，
∵(ta+b)⊥(-2a+tb)，
∴(ta+b)·(-2a+tb)=0，
即(t+2)(-2+2t)+(-t+1)(2+t)=(t+2)(t-1)=0，∴t=-2或t=1.
(2)(2025·合肥质检)已知向量e1=(1，0)，e2=(1，)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为e1=(1，0)，e2=(1，)，
所以a=4e1+e2=(4，0)+(1，)=(5，)，
b=3e1-e2=(3，0)-(1，)=(2，-)，
所以a·b=5×2+×(-)=7，
|a|==2，
|b|==，
设a与b的夹角为θ，
则cos θ===，又θ∈[0，π]，
所以θ=，即a与b的夹角为.
考点二　平面向量基本定理
例2　(1)(2025·重庆模拟)如图，在平行四边形ABCD中，已知=，=，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
答案　D
解析　设=λ，λ∈(0，1)，则
=+=+λ=+λ(+)=a+λ=a+λb，
又b=3，a=-=-3，
所以=-3)+3λ=+，
因为F，O，C三点共线，所以1-+-3=1，
解得λ=，
所以=a+λb=a+b.
(2)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，=3，=3.若线段EF上存在一点M，使得=+x(x∈R)，则x等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　方法一　(基底法)
∵=3，=3，
∴EF∥AC且EF=AC，
∴==-+，
∵E，M，F三点共线，
设=t(0≤t≤1)，
∴=++=++t
=+-t+t
=+，
又∵=+x，
∴+t=，∴t=，
∴x=1-t=1-=.
方法二　(等和线)
由图可知，直线AC是以{，}为基底，值为1的等和线，
设DM与AC交于点N，+x=k，
又∵AC∥EF，则=，
根据等和线定理可得k=，
∴+x=，解得x=.
[规律方法]
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2.平面向量等和线定理
平面内一个基底{，}及任一向量，且=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k===，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比.
跟踪演练2　(1)(2025·大庆模拟)如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，点D是BC的中点，点E在AD上，且DE=2AE.若·=-，则AC等于(　　)
A.6 B.8 C.2 D.6
答案　B
解析　由∠BAC=90°，得·=0，
由点D是BC的中点，=2，
得==×+)=+，=-=-，
则·=-5)·+)=-4·-5) =(||2-5×62)=-，解得||=8，即AC=8.
(2)(多选)(2025·长沙模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b2+2c2=5a2，=，=，BE交CF于点M，AM交BC于点D，则(　　)
A.cos∠BAC≥
B.=
C.AD=a
D.若△ABC的面积为18，BE=3，则CM=8
答案　ACD
解析　cos∠BAC==≥，
当且仅当b=c时取等号，选项A正确；
设=λ，由=，=，得===，
则=+=+-)=+=+，
可得=λ=+，
由B，D，C三点共线可得+=1，λ=2，
即=+，D是边BC的中点，选项B错误；
因为D是边 BC的中点，则==(2b2+2c2-a2)=a2，即 AD=a，选项C正确；
因为·=(-)·(-)=·=bccos∠BAC-(b2+c2)
=(b2+c2-a2)-(b2+c2)=-·a2=0，则BE⊥CF，
由=，=，
可知 EF∥BC，S△AEF=S△ABC，
则S梯形BCEF=S△ABC=16，
且 S梯形BCEF=BE·CF=×3×CM，则CM=8，选项D正确.
考点三　平面向量的最值与范围问题
例3　(1)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则·的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　方法一　(坐标法)
如图建立平面直角坐标系，则A，
B，
又圆O的半径为r=，
设P，
∵点P在(包括端点)上，∴θ∈，
∴=，=(1，0)，
∴·=cos θ+，∵θ∈，
∴cos θ∈，cos θ+∈，
∴·的取值范围是.
方法二　(投影法)
当P在劣弧BC的中点时，向量在向量上投影向量的模最大，为，
由数量积的几何意义知
(·)max=×1=，
当P在B或C处时，向量在向量上投影向量的模最小，为1，∴(·)min=1×1=1，
∴·的取值范围是.
(2)(2025·安庆模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，a·b=2，向量a-c与向量 b-c的夹角为，则|a-c|的最大值为(　　)
A. B.2 C. D.4
答案　D
解析　由a·b=|a||b|cos〈a，b〉=4cos〈a，b〉=2，故cos〈a，b〉=，即〈a，b〉=，
如图，设=a，=b，=c，则 △OAB是等边三角形，
∵向量c满足a-c与 b-c的夹角为，∴∠ACB=，
∵点C在AB外且∠ACB为定值，
∴C的轨迹是两段圆弧，∠ACB是弦AB所对的圆周角，∴当AC是AB所在圆的直径时，|a-c|取得最大值2R(R为△ABC外接圆的半径)，
在△ABC中，由正弦定理可得2R===4，
故|a-c|的最大值为4.
[规律方法]　向量数量积的最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
跟踪演练3　(1)在平行四边形ABCD中，+=，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　设与同方向的单位向量=e1，与同方向的单位向量=e2，与同方向的单位向量=e3，
由题意，e1+3e2=λe3，所以(e1+3e2)2=λ2，
即+6e1·e2+9=λ2，
所以1+6×1×1×cos∠BAD+9=λ2，
所以cos∠BAD=，
因为λ∈[，3]，所以λ2∈[7，9]，
所以∈，
即cos∠BAD的取值范围是.
(2)(2025·宜春模拟)若图中正方形ABCD的边长为4，圆O的半径为 4，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，且=λ+μ，则 λ+μ的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　方法一　(坐标法)
建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)，
点P在圆(x-2)2+(y-2)2=32上，
设点P(2+4cos θ，2+4sin θ)，
则=(2+4cos θ，2+4sin θ)，=(4，0)，=(0，4)，因为=λ+μ，
所以(2+4cos θ，2+4sin θ)=λ(4，0)+μ(0，4)=(4λ，4μ)，
所以4λ=2+4cos θ，4μ=2+4sin θ，
所以λ+μ=sin θ+cos θ+1=2sin+1≤3，即 λ+μ的最大值为3.
方法二　(等和线法)
因为=+，
则直线BD是以{，}为基底，值为1的等和线，如图，作BD的平行线与圆O相切于点P，由等和线定理可知，此时λ+μ取得最大值，最大值为==3.
专题强化练
[分值：84分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·北京延庆区模拟)已知|a|=，|b|=2，a·b=3，则〈a，b〉为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为cos〈a，b〉===，
所以〈a，b〉=.
2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·等于(　　)
A. B.3 C.2 D.5
答案　B
解析　方法一　以{，}为基底，
可知||=||=2，·=0，
则=+=+，
=+=-+，
所以·=·
=-+=-1+4=3.
方法二　
如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，
可得=(1，2)，=(-1，2)，
所以·=-1+4=3.
方法三　由题意可得，ED=EC=，CD=2，
在△CDE中，由余弦定理可得
cos∠DEC===，
所以·=||||cos∠DEC
=××=3.
方法四　设CD的中点为O，由极化恒等式可得·=||2-||2=3.
3.(2025·滁州质检)已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则等于(　　)
A.- B.-
C.+ D.+
答案　B
解析　由题意得==+)==-.
4.(2025·郴州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，-1)，B(1，1)，=λ+(2-λ)，若⊥，则λ的值为(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-3
答案　A
解析　因为 A(2，-1)，B(1，1)，
所以=(2，-1)，=(1，1)，
又=λ+(2-λ)=λ(2，-1)+(2-λ)(1，1)=(2+λ，2-2λ)，
且⊥，所以·=(2+λ)×1+(2-2λ)×1=4-λ=0，解得λ=4.
5.(2025·蚌埠模拟)在四边形ABCD中，2=3，=(1，)，=(，-1)，则该四边形的面积为(　　)
A.4 B.2 C. D.
答案　C
解析　由=(1，)，=(，-1)，
可得·=(1，)·(，-1)=-=0，
所以⊥，所以S△ABD=||||=××=，
又 2=3，所以=，且∥，
所以 ||=||=，⊥，
S△BCD=×||||=××=1，
所以 S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=1+=.
6.(2025·河南豫东名校模拟)已知平面向量a，b，c，满足 |a|=|b|=4，a与b的夹角为且 (a-2c)·(b-c)=0，则|c|的最大值为(　　)
A.2+3 B.+3
C.2+ D.+
答案　B
解析　依题意，a·b=4×4cos=24，
|a+2b|==4，
由(a-2c)·(b-c)=0，得a·b-(a+2b)·c+2c2=0，
即2|c|2+24=4|c|cos〈a+2b，c〉≤4|c|，
当且仅当a+2b与c同向共线时取等号，
于是|c|2-2|c|+12≤0，
解得-3≤|c|≤+3，
所以|c|的最大值为+3.
7.若AB为双曲线-=1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2+(y-2)2=1上的一个动点，则·的最大值为(　　)
A. B.7 C.-7 D.-16
答案　C
解析　如图，O为AB的中点，连接MO，
·=||2-||2，
而|MO|max=|OC|+1=3，|AB|min=2a=8，
所以·的最大值为9-×64=-7.
8.(2025·安庆模拟)已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，=，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且=+λ，则实数λ的值为(　　)
A. B.- C. D.-
答案　D
解析　 =(k≠0，n∈N*)，
不妨设Sn=(3n+2)nk，Tn=(4n+5)nk，
因为P，B，C三点共线，所以+λ=1，
所以+λ=1，又===×=×=×=，
所以+λ=+λ=1，λ=-.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·广州模拟)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量，其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时，需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿x轴正方向为线路巡检时，空速向量为(3，4)(单位：m/s)，风速向量为(1，-1)(单位：m/s)，则(　　)
A.地速向量的大小为5 m/s
B.地速向量的方向与空速向量的方向相同
C.纵向偏移量与标准值无偏差
D.该无人机需要调整飞行姿态
答案　ACD
解析　设空速向量为a，风速向量为b，地速向量为c，则a=(3，4)，b=(1，-1)，
所以c=a+b=(3，4)+(1，-1)=(4，3)，所以|c|==5，
所以地速向量的大小为5 m/s，故A正确；
由a=(3，4)，c=(4，3)可知地速向量的方向与空速向量的方向不相同，故B错误；
由于纵向偏移量为4 m/s，与标准值无偏差，故C正确；
由于无人机计划沿x轴正方向为线路巡检，而地速向量c=(4，3)，
所以需要调整飞行姿态，故D正确.
10.(2025·重庆模拟)已知点P是△ABC所在平面内一点，且=2m+n， m，n∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.若m=n=，则点P是边BC的中点
B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则m=n=
C.若2m+n=，则S△PBC=2S△ABC
D.若点P在BC的中线上，且2m+n=，则点P是△ABC的重心
答案　BD
解析　对于A，因为=2m+n，P为边BC的中点等价于2m=n=，
即m=，n=，故A错误；
对于B，如图1，点P是边BC上靠近B点的三等分点，
则=+=+=+-)=+，
即2m=，n=，即m=n=，故B正确；
对于C，若2m+n=，则2=2(2m+n)=4m+2n，且4m+2n=1，
如图2，设=2，即=4m+2n，则点M在BC上，
点P为AM的中点，所以S△PBC=S△ABC，故C错误；
对于D，若2m+n=，
所以=(2m+n)=3m+n，且3m+n=1，
如图3，设=，即=3m+n，则点N在BC上，又因为P在BC的中线上，则AN即为中线，从而点P为△ABC的重心，故D正确.
11.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点(包括端点)，=λ+μ，则下列结论正确的是(　　)
A.当M为线段AD的中点时，λ+μ=
B.λμ的最大值为
C.μ的取值范围为[0，1]
D.λ+μ的取值范围为
答案　AC
解析　根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设BC=2，则B(0，0)，E(0，1)，D(2，2)，
设M(t，2)，则0≤t≤2，
由于=λ+μ，所以(t，2)=λ(0，1)+μ(2，2)，
整理得2μ=t，λ+2μ=2，则λ=2-t，μ=，
对于A，当M为AD的中点时，t=1，故λ+μ=2-=，故A正确；
对于B，λμ=(2-t)·=t-t2=-(t-1)2+，由于0≤t≤2，当t=1时，λμ取得最大值，故B错误；
对于C，由于μ=，0≤t≤2，所以 0≤μ≤1，故μ的取值范围为[0，1]，故C正确；
对于D，λ+μ=2-，由0≤t≤2，得2-∈[1，2]，故λ+μ的取值范围为[1，2]，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·辽阳模拟)已知向量a=(-2，1)，b=(1，x)，若a∥b，则a·(a-b)=　　　　.
答案　
解析　由a∥b，可得 -2x-1=0，解得x=-，
则b=，a-b=，
所以a·(a-b)=6+=.
13.已知△AOB，点P在直线AB上，且满足=2t+t(t∈R)，则=　　　　.
答案　
解析　方法一　(坐标法)
建立平面直角坐标系并标出点的坐标，如图，
由=2t+t，
代入坐标即得(n-a，-b)=2t(-n，0)+t(m-a，-b)，
得则
所以==.
方法二　(向量转化法)
=2t(-)+t (1+2t)=2t+t，
由A，P，B三点共线，得1+2t=2t+t，则t=1，
从而3=2+=2+2++，
即0=2+，所以=.
14.(2025·天津南开模拟)在梯形ABCD中，AB=AD=2，=，·=-，记=a，=b，用a和b表示=　　　　；若点E为BD上一动点(包括端点)，则·的最大值为　　　　.
答案　b-a　3
解析　因为=，所以=b，
=++=-b-a+b=-a+b=b-a；
因为=+=a+b，=+=-a+b，又·=-，
即·(-a+b)=-a2+a·b+b2=-4+a·b+3=-1+a·b=-，
可得a·b=2，设=λ，λ∈[0，1]，
则=+=a+λ(-a+b)=(1-λ)a+λb，
·=[(1-λ)a+λb]·b=+λ，
当 λ=1时，·有最大值3.
(15题6分，16题5分，共11分)
15.(多选)奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SA·+SB·+SC·=0.设O是锐角 △ABC内的一点，角A，B，C分别是△ABC的三个内角，则(　　)
A.若+2+3=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
B.若||=||=2，∠AOB=，2+3+4=0，则S△ABC=
C.若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则C=
D.若O为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AOB=-
答案　ACD
解析　对于A，由奔驰定理可得，+2+3=SA·+SB·+SC·=0，又，，不共线，故SA∶SB∶SC=1∶2∶3，A正确；
对于B，SC=×2×2×sin∠AOB=1，由 2+3+4=0得SA∶SB∶SC=2∶3∶4，故S△ABC=SC=，B错误；
对于C，若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则 SA∶SB∶SC=3∶4∶5，又SA∶SB∶SC=ar∶br∶cr=a∶b∶c(r为△ABC内切圆的半径，a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对应的边)，则a2+b2=c2，故C=，C正确；
对于D，若O为△ABC的垂心，则∠BOC+A=π，
·=||||cos∠BOC=-||||cos A，
又·=·(-)=0 ·=· ||cos A=||cos C，
同理||cos B=||cos C，||cos B=||cos A，
∴||∶||∶||=cos A∶cos B∶cos C，
∵3+4+5=0，
则SA∶SB∶SC=3∶4∶5，
且SA∶SB∶SC=||||sin∠BOC∶||||sin∠AOC∶||||sin∠AOB
=cos Bcos Csin A∶cos Acos Csin B∶cos Acos Bsin C=∶∶
=tan A∶tan B∶tan C，
如图，作AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB，D，E，F分别为垂足，
设AF=m，tan A=3t(t>0)，
则FC=3mt，又AF∶BF=∶=tan B∶tan A=4∶3，则BF=AF=m，AB=m，AC=·m，
又AE∶EC=∶=5∶3，
故AE=AC，BE=3t·AE=AC，
由AB·FC=AC·BE m·3mt=(9t2+1)m2，解得t=，则tan C=tan A=×3t=，
由tan2C=-1=5 cos C=，故cos∠AOB=-cos C=-，D正确.
16.(5分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　　　　.
答案　
解析　如图，设圆C与直线BD相切于点E，过A作AG⊥BD于G，作直线l∥DB，且直线l与圆C相切于F，连接EF，则EF过圆心，且EF⊥BD.由图可知，对圆C内(不含边界)任意一点P，AP在直线AG上的射影长度d满足AGEF=2EC=2CDsin∠ABD=，
所以由等和线定理得α+β=，所以1<α+β<.第4讲　平面向量
1.(2025·全国Ⅰ卷，T6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
级数 名称 风速大小(单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
2.(2024·全国甲卷，T9)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则(　　)
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T3)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
4.(2025·全国Ⅱ卷，T12)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　.
5.(2025·天津卷，T14)在△ABC中，D为AB边的中点，=，=a，=b，则=　　　　(用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=　　　　.
6.(2024·天津卷，T14)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=DE，=λ+μ，则λ+μ=　　　　；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为　　　　.
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值为5分.
考查方向：
一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以及平面向量的数量积，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的值求参数等；二是考查平面向量基本定理，利用基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的综合应用，根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算，研究最值问题或平面图形的几何性质等.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　平面向量的基本运算
例1　(1)(多选)向量a，b满足|a|=2，|b|=1，(a+2b)·a=6，下列说法正确的是(　　)
A.a·b=
B.a与b的夹角θ为60°
C.a在b上的投影向量的模为1
D.|a-b|=
(2)如图，在四边形ABCD中，||=4，·=12，E为AC的中点.=2，则·的值为(　　)
A.0 B.12 C.2 D.6
[规律方法]
1.求非零向量a，b数量积的三种方法
(1)定义法：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
(2)坐标法：①若已知向量的坐标，则直接利用坐标运算求解，即设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2；②若未知向量坐标，则可通过建立平面直角坐标系表示出向量的坐标，进而利用坐标运算求解.
(3)几何法：灵活运用平面向量数量积的几何意义进行求解.
2.含有线段中点的向量问题，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化.
极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
跟踪演练1　(1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(2，1)，若(ta+b)⊥(-2a+tb)，则实数t等于(　　)
A.1或 B.-2或
C.-1或2 D.-2或1
(2)(2025·合肥质检)已知向量e1=(1，0)，e2=(1，)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
考点二　平面向量基本定理
例2　(1)(2025·重庆模拟)如图，在平行四边形ABCD中，已知=，=，直线BE，CF交于点O，若=a，=b，则等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
(2)如图，在菱形ABCD中，E，F分别为AB，BC上的点，=3，=3.若线段EF上存在一点M，使得=+x(x∈R)，则x等于(　　)
A. B. C. D.
[规律方法]
1.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
2.平面向量等和线定理
平面内一个基底{，}及任一向量，且=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k===，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比.
跟踪演练2　(1)(2025·大庆模拟)如图所示，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，点D是BC的中点，点E在AD上，且DE=2AE.若·=-，则AC等于(　　)
A.6 B.8 C.2 D.6
(2)(多选)(2025·长沙模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2b2+2c2=5a2，=，=，BE交CF于点M，AM交BC于点D，则(　　)
A.cos∠BAC≥
B.=
C.AD=a
D.若△ABC的面积为18，BE=3，则CM=8
考点三　平面向量的最值与范围问题
例3　(1)如图，边长为1的正方形ABCD内接于圆O，P是弧BC(包括端点)上一点，则·的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·安庆模拟)已知向量a，b满足|a|=|b|=2，a·b=2，向量a-c与向量 b-c的夹角为，则|a-c|的最大值为(　　)
A. B.2 C. D.4
[规律方法]　向量数量积的最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
跟踪演练3　(1)在平行四边形ABCD中，+=，λ∈[，3]，则cos∠BAD的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·宜春模拟)若图中正方形ABCD的边长为4，圆O的半径为 4，正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，且=λ+μ，则 λ+μ的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
专题强化练
[分值：84分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·北京延庆区模拟)已知|a|=，|b|=2，a·b=3，则〈a，b〉为(　　)
A. B. C. D.
2.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则·等于(　　)
A. B.3 C.2 D.5
3.(2025·滁州质检)已知O为△ABC的重心，D为AB的中点，则等于(　　)
A.- B.-
C.+ D.+
4.(2025·郴州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，-1)，B(1，1)，=λ+(2-λ)，若⊥，则λ的值为(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-3
5.(2025·蚌埠模拟)在四边形ABCD中，2=3，=(1，)，=(，-1)，则该四边形的面积为(　　)
A.4 B.2 C. D.
6.(2025·河南豫东名校模拟)已知平面向量a，b，c，满足 |a|=|b|=4，a与b的夹角为且 (a-2c)·(b-c)=0，则|c|的最大值为(　　)
A.2+3 B.+3
C.2+ D.+
7.若AB为双曲线-=1上经过原点的一条动弦，M为圆C：x2+(y-2)2=1上的一个动点，则·的最大值为(　　)
A. B.7 C.-7 D.-16
8.(2025·安庆模拟)已知Sn，Tn分别为等差数列{an}，{bn}的前n项和，=，设点A是直线BC外一点，点P是直线BC上一点，且=+λ，则实数λ的值为(　　)
A. B.- C. D.-
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·广州模拟)无人机的飞行速度向量、风速向量会影响其实际飞行轨迹.无人机不受风影响时的飞行速度对应的向量称为空速向量，实际观测到的飞行速度对应的向量称为地速向量，其为空速向量与风速向量之和.无人机搭载的设备可监测线路缺陷，当无人机相对线路的横向偏移量(垂直线路方向的向量分量)超过2 m/s或纵向偏移量(沿线路方向的向量分量，其标准值为4 m/s)超过标准值1 m/s时，需调整飞行姿态.已知某区域风速稳定，某次无人机计划沿x轴正方向为线路巡检时，空速向量为(3，4)(单位：m/s)，风速向量为(1，-1)(单位：m/s)，则(　　)
A.地速向量的大小为5 m/s
B.地速向量的方向与空速向量的方向相同
C.纵向偏移量与标准值无偏差
D.该无人机需要调整飞行姿态
10.(2025·重庆模拟)已知点P是△ABC所在平面内一点，且=2m+n， m，n∈R，则下列说法正确的是(　　)
A.若m=n=，则点P是边BC的中点
B.若点P是边BC上靠近B点的三等分点，则m=n=
C.若2m+n=，则S△PBC=2S△ABC
D.若点P在BC的中线上，且2m+n=，则点P是△ABC的重心
11.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点(包括端点)，=λ+μ，则下列结论正确的是(　　)
A.当M为线段AD的中点时，λ+μ=
B.λμ的最大值为
C.μ的取值范围为[0，1]
D.λ+μ的取值范围为
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·辽阳模拟)已知向量a=(-2，1)，b=(1，x)，若a∥b，则a·(a-b)=　　　　.
13.已知△AOB，点P在直线AB上，且满足=2t+t(t∈R)，则=　　　　.
14.(2025·天津南开模拟)在梯形ABCD中，AB=AD=2，=，·=-，记=a，=b，用a和b表示=　　　　；若点E为BD上一动点(包括端点)，则·的最大值为　　　　.
(15题6分，16题5分，共11分)
15.(多选)奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为SA，SB，SC，且SA·+SB·+SC·=0.设O是锐角 △ABC内的一点，角A，B，C分别是△ABC的三个内角，则(　　)
A.若+2+3=0，则SA∶SB∶SC=1∶2∶3
B.若||=||=2，∠AOB=，2+3+4=0，则S△ABC=
C.若O为△ABC的内心，3+4+5=0，则C=
D.若O为△ABC的垂心，3+4+5=0，则cos∠AOB=-
16.(5分)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以C为圆心，且与直线BD相切的圆内(不含边界)运动，设=α+β(α，β∈R)，则α+β的取值范围是　　　　　　　.

展开更多......

收起↑