资源简介

第1讲　三角函数的运算
1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cos =，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
2.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
3.(2024·全国甲卷，理T8)已知=，则tan 等于(　　)
A.2+1 B.2-1 C. D.1-
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T8)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B. C.- D.-
5.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC的面积为，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=，则(　　)
A.sin C=sin2A+sin2B B.AB=
C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3
6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值约为5~6分.
考查方向：
一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等.
1.答案　D
解析　由题意得cos α=2cos2-1
=2×-1=-，
因为0<α<π，则sin α===，
所以sin=sin αcos -cos αsin =×-×=.
2.答案　A
解析　由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m. ①
由tan αtan β=2得=2， ②
由①②得
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
3.答案　B
解析　因为=，
所以= tan α=1-，
所以tan==2-1.
4.答案　B
解析　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=，
而cos αsin β=，
因此sin αcos β=，
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=，
所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=.
5.答案　ABC
解析　cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2，
整理可得sin C=sin2A+sin2B，A选项正确；
方法一　由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，
展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2A+sin2B，
即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0，
若A+B=，则sin A=cos B，sin B=cos A，可知等式成立；
若A+B<，即0又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0，
与条件不符，故A+B<不成立；
若A+B>，同理可得sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0，与条件不符，故A+B>不成立.
综上可知，A+B=，即C=.
则cos Acos Bsin C==cos Acos B，由A+B=，得cos B=sin A，即sin Acos A=，
则sin 2A=，同理sin 2B=，因为A，B∈，则2A，2B∈(0，π)，
不妨设A即A=，B=，
由两角和与差的正弦公式可知sin A+sin B=sin +sin =+=，C选项正确；
由两角和的正切公式可得，tan =2+，
设BC=t(t>0)，AC=(2+)t，
则AB=(+)t，
由S△ABC=(2+)t2=，则t2==，则t=，
于是AB=(+)t=，B选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D选项错误.
方法二　sin C=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sin C∈(0，1]，
于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C，
设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2，
由余弦定理可知cos C≥0，则C∈，
若C∈，则A+B>，注意到cos Acos Bsin C=，则cos Acos B>0，
于是cos A>0，cos B>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈，
结合A+B> A>-B，而A，-B都是锐角，则sin A>sin=cos B>0，
于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0故C∈不成立，则C=.下同方法一.
方法三　cos 2A+cos 2B+2sin C=2 2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B 2sin C=2sin2A+2sin2B，
所以sin C=sin2A+sin2B，故A正确；设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理===2R，
可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，
则cos C>0，0则A+B> A>-B，则sin A>sin ，即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B，
有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈矛盾，故a2+b2=c2，则C=，
即cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0 cos Acos B=sin Asin B，又cos Acos Bsin C=，则sin Asin B=，
因为S△ABC=absin C= ab=，
所以=(2R)2=2 2R=，所以=2R= c=，故B正确；
(sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+= sin A+sin B=，故C正确；
因为C=，则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误.
6.答案　-
解析　方法一　由题意得tan(α+β)
===-2，
因为α∈，
β∈，k，m∈Z，
则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α+β)=-2<0，
则α+β∈，k，m∈Z，
则sin(α+β)<0，
则=-2，
联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，
解得sin(α+β)=-.
方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角，
则cos α>0，cos β<0，
cos α==，
cos β==，
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
=
==-.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式
例1　(1)(2025·石家庄模拟)已知x∈，cos-cos(3π+x)=，则tan等于(　　)
A.1 B.2 C. D.3
答案　D
解析　因为cos-cos=，
所以sin x+cos x=，
方法一　所以sin=，
所以sin=，
因为x∈，
则x+∈，
所以cos==，
所以tan=3，
所以tan=tan=tan=3.
方法二　与sin2x+cos2x=1联立得
或(舍去)，
所以tan x=，
所以tan=tan==3.
(2)(2025·东北三省部分高中联合调研)已知tan2βsin2β=3，则tan2β-2sin2β-等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.
答案　B
解析　因为tan2βsin2β=3，
所以(sin2β)2=3(1-sin2β)，
所以sin4β+3sin2β=3，
则tan2β-2sin2β-=-2sin2β-
=-2sin2β- =
=
=
=
===2.
[规律方法]　应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项：
(1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以.
(2)含有sin α，cos α的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入.
(3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限.
跟踪演练1　(1)(多选)已知sin α=，α∈，则(　　)
A.sin(π-α)= B.tan(π+α)=-
C.sin=- D.cos=-
答案　AC
解析　因为sin α=，α∈，
所以cos α=-，
则tan α==-.
则sin(π-α)=sin α=，
tan(π+α)=tan α=-，
sin=cos α=-，
cos=-sin α=-.
(2)(2025·安庆模拟)已知=，则sin4θ+cos4θ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为=，
所以=，
所以=，
所以=，
所以sin 2θ=-，
所以2sin θcos θ=-，
所以sin θcos θ=-，
所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×=.
考点二　三角恒等变换
考向1　公式的直接应用
例2　(1)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=，则cos等于(　　)
A. B. C.- D.-
答案　B
解析　由cos α+sin=，
得cos α+sin α-cos α=sin α+cos α=sin=，
所以cos=1-2sin2=1-2×=.
(2)(2025·昆明质检)若=，则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
答案　B
解析　因为=，
则=，
则=，所以=tan β，
所以1-tan α=tan β+tan αtan β，
即得1-tan αtan β=tan β+tan α，
所以tan(α+β)==1.
考向2　角的配凑
例3　(1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=，sin(α+β)=，则cos β等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　B
解析　由α∈(0，π)，0可得α∈，
则sin α===，
因为β∈(0，π)，所以α+β∈，
又因为0所以<α+β<π，cos(α+β)=-，
cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-.
(2)(2025·济南模拟)若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则α+β等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为α∈，所以2α∈，则由sin 2α=>0，
得cos 2α=-=-=-，同时也能确定α∈，
因为sin(β-α)=>0，β∈，α∈，所以β-α∈，
cos(β-α)=-=-=-，
所以cos(α+β)=cos[(β-α)+2α]
=cos(β-α)cos 2α-sin(β-α)sin 2α
=×-×=，
因为α∈，β∈，所以α+β∈，
故α+β=.
考向3　积化和差与和差化积
例4　(1)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈是偶函数，则g(x)=sin xsin(x+4θ)的最大值为(　　)
A.- B. C.1 D.
答案　B
解析　由f(x)是偶函数，得sin(x+2θ)+cos(x+4θ)=sin(-x+2θ)+cos(-x+4θ)，
展开并整理得cos 2θ=sin 4θ，
根据二倍角公式得cos 2θ=2sin 2θcos 2θ，
又θ∈，则2θ∈，
所以cos 2θ≠0，则sin 2θ=，θ=，
则g(x)=sin xsin，
利用积化和差公式得
sin xsin
=，
化简得g(x)=-cos，
当cos=-1时，g(x)取得最大值.
(2)(2025·南昌模拟)已知α，β终边不重合，sin α-3cos β=sin β-3cos α，则tan(α+β)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为sin α-3cos β=sin β-3cos α，
所以sin α-sin β=3(cos β-cos α)，
又sin α-sin β=2cossin，
cos β-cos α=2sinsin，
所以2cossin=6sinsin，
因为α，β的终边不重合，则α-β≠2kπ(k∈Z)，则≠kπ(k∈Z)，
所以sin≠0，则3sin=cos，所以tan=，
因此tan(α+β)===.
[规律方法]　三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=+，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算.
跟踪演练2　(1)(2025·亳州模拟)已知sin α=，α∈，若=4，则tan(α+β)等于(　　)
A.- B. - C. D.
答案　C
解析　因为sin α=，α∈，
所以cos α=-=-，
tan α==-，
因为=
=sin α+cos αtan β=-tan β=4，
所以tan β=-，
所以tan(α+β)=
==.
(2)(2025·长春模拟)已知cos=，cos=，α，β∈，则cos(α+β)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　∵α，β∈，
∴α+∈，β-∈，
又∵cos=>0，cos=>0，
∴α+∈，β-∈，
∴sin>0，sin<0，
∴sin==，
sin=-=-，
则cos(α+β)=cos
=coscos-sinsin=×-×=.
(3)(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan 等于(　　)
A.- B. C.3 D.-3
答案　A
解析　因为cos2α-cos2β=(cos 2α-cos 2β)
=-sin(α+β)sin(α-β)=，
又因为cos(α+β)=，且α，β∈，α+β∈(0，π)，
所以sin(α+β)=，故sin(α-β)=-，
又由于α，β∈，
α-β∈，
所以cos(α-β)=，
tan ==-.
专题强化练
[分值：84分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.已知cos=，则sin(3π+α)等于(　　)
A.- B. C.- D.
答案　A
解析　由cos=cos=cos=sin α=，
得sin(3π+α)=-sin α=-.
2.已知cos α+sin α=，则sin等于(　　)
A. B. C.- D.-
答案　B
解析　因为cos α+sin α
=2=2sin=，
所以sin=.
3.(2025·惠州模拟)若tan α=，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　tan α==，化简得3sin α-sin2α=cos2α，
所以3sin α=sin2α+cos2α=1，
即sin α=，
所以sin=cos 2α=1-2sin2α=.
4.(2025·济宁模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(m，3m)(m≠0)是角α终边上一点，则cos等于(　　)
A.- B.- C. D.
答案　A
解析　由题意可得，tan α==3，所以sin 2α===，
cos 2α===-，
cos=(cos 2α+sin 2α)=×=-.
5.(2025·张家口模拟)已知sin=-，则sin等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　D
解析　方法一　(整体代换法)
因为sin=-，
则sin=-sin=-sin=-cos 2
=-=2×-1=-.
方法二　(换元法)
令t=α+，则α=t-，sin t=-，
所以sin=sin
=sin=-cos 2t=2sin2t-1
=2×-1=-.
6.(2025·南昌模拟)已知α，β都是锐角，sin(α+β)=，tan α=2tan β，则cos(α-β)等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由tan α=2tan β，得sin αcos β=2cos αsin β，由sin(α+β)=，
得sin αcos β+cos αsin β=，
则sin αcos β=，cos αsin β=，
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-=，
由α，β都是锐角，得-<α-β<，
所以cos(α-β)==.
7.(2025·安徽皖北协作区模拟)如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，G，H恰好是一个正八边形的八个顶点，设∠ACG=α，∠EBH=β，则tan(α+β)等于(　　)
A.-3 B.-2
C.-2+1 D.--1
答案　D
解析　如图，连接AE，BF，CG，DH，AC，BE，BH，
设线段AE与CG的交点为O，线段BH与线段AE的交点为M，
因为∠COB=∠AOB=，
所以∠AOC=，又OC=OA，
所以∠ACG=，
设OA=a，则OB=OE=a，
所以OM=BM=a，
所以tan∠EBH=====+1，
所以tan α=1，tan β=+1，
所以tan(α+β)===--1.
8.(2025·南通模拟)已知x，y∈，cos(x+y)=-，sin 2x-sin 2y=-，则tan 2x等于(　　)
A. B. C.- D.-
答案　C
解析　由和差化积公式得sin 2x-sin 2y=2sin(x-y)cos(x+y)，
由题意可知sin 2x-sin 2y=-，cos(x+y)=-，所以sin(x-y)=，
因为x，y∈，sin(x-y)>0，cos(x+y)<0，
所以x-y∈，x+y∈，
所以cos(x-y)==，sin(x+y)==，
因为sin 2x=sin[(x+y)+(x-y)]=sin(x+y)cos(x-y)+cos(x+y)sin(x-y)=×+×=，
cos 2x=cos[(x+y)+(x-y)]=cos(x+y)cos(x-y)-sin(x+y)sin(x-y)=×-×=-，
所以tan 2x==-.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·佛山模拟)已知角α的终边经过点A(-3，4)，则下列结论正确的是(　　)
A.sin(α-π)= B.sin=-
C.sin 2α=- D.cos 2α=
答案　BC
解析　由角α的终边经过点A(-3，4)，
可得sin α=，cos α=-，
对于A，sin(α-π)=-sin α=-≠，故A错误；
对于B，sin=cos α=-，故B正确；
对于C，sin 2α=2sin αcos α=2××=-，故C正确；
对于D，cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-≠，故D错误.
10.下列说法正确的有(　　)
A.tan 200°+tan 40°+tan(-160°)tan 40°=-
B.已知cos=，则sin=-
C.sin 50°(1+tan 10°)=1
D.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan Atan B>1，则tan Atan Btan C>2
答案　BCD
解析　对于A，由诱导公式可知tan 200°=tan(-160°)=tan 20°，
又tan 60°=tan(20°+40°)=
=，
即tan 20°+tan 40°=-tan 20°tan 40°，
所以tan 200°+tan 40°+tan(-160°)tan 40°=tan 20°+tan 40°+tan 20°tan 40°=，A选项错误；
对于B，由cos=，
则sin=sin=cos 2=2cos2-1=-，B选项正确；
对于C，sin 50°(1+tan 10°)=sin 50°·=sin 50°·====1，C选项正确；
对于D，在△ABC中，tan C=tan [π-(A+B)]=-tan(A+B)=-，
设tan Atan B=k>1，则在△ABC中，tan A>0，tan B>0，
所以tan A+tan B≥2=2>2，
tan Atan Btan C=tan Atan B·>·2=2>2，D选项正确.
11.(2025·哈尔滨模拟)已知锐角α，β满足=，++=2，则(　　)
A.α+2β=π B.tan(α+β)=-2
C.sin α= D.tan α∶tan β=2∶3
答案　ABD
解析　对于A，由=，
得=，
即=，
所以sin αcos β=sin β-cos αsin β，
所以sin β=sin αcos β+cos αsin β=sin(α+β)，
又α，β∈，所以α+β∈(0，π)，
所以β+α+β=α+2β=π或β=α+β(舍去)，故A正确；
对于B，由++=2，
得+=2，
即tan α+tan β=-2(1-tan αtan β)，
所以tan(α+β)==-2，故B正确；
对于C，由A项分析得tan β=tan [π-(α+β)]=-tan (α+β)=2，
所以tan α=tan [(α+β)-β]===，
即=，又sin2α+cos2α=1，
所以sin α=，故C错误；
对于D，由C项分析知，tan α∶tan β=∶2=2∶3，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若coscos=-，则sin 2α=　　　　.
答案　
解析　因为coscos
=
= =(sin 2α-1)=-，所以sin 2α=.
13.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知α，β∈，且满足sin αtan β=1-cos α，sin(α-β)=，则cos α=　　　　.
答案　
解析　方法一　由sin αtan β=1-cos α，
则sin αsin β=cos β-cos αcos β，
因此cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=cos β，
又因为α，β∈，则α-β∈，
所以α-β=β，所以α=2β，
则sin(α-β)=sin β=，cos α=cos 2β=1-2sin2β=.
方法二　由sin αtan β=1-cos α，
则tan β==tan，
结合β∈，∈，则=β，α=2β，
则sin(α-β)=sin β=，cos α=cos 2β=1-2sin2β=.
14.(2025·昆明模拟)已知α，β∈，sin(2α+β)=3sin β，则tan β的最大值为　　　　　.
答案　
解析　因为sin(2α+β)=3sin β，
所以sin[(α+β)+α]=3sin[(α+β)-α]，
即sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=3[sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α]，
即2cos(α+β)sin α=sin(α+β)cos α，
所以tan(α+β)=2tan α，又tan α>0，
所以tan β=tan[(α+β)-α]===≤
=，
当且仅当=2tan α，即tan α=时，等号成立，所以tan β的最大值为.
　(15题6分，16题5分，共11分)
15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的横坐标x和纵坐标y都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α；
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割函数，记作csc α，即=csc α；
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割函数，记作sec α，即=sec α.
下列结论正确的有(　　)
A.csc=-
B.cos α·sec α=1
C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}
D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5
答案　ABD
解析　csc==-，A正确；
cos α·sec α=cos α·=1，B正确；
函数f(x)=sec x的定义域为
，C错误；
sec2α+sin2α+csc2α+cos2α=1++
=1+=1+≥5，
当且仅当sin 2α=±1时，等号成立，D正确.
16.(5分)在正三角形ABC中，由e·=e·0=0(e为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos+cos=0，其中θ=〈e，〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式　　　　　　；通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°=　　　　　　　　　　　　.
答案　cos θ+cos+cos+…+cos=0　
解析　记单位向量为e，在边长为a的正n(n≥3)边形A1A2A3…An中，θ=〈e，〉，
因为e·(+++…+)
=e·0=0，
所以e·+e·+e·+…+e·
=a=0，
所以cos θ+cos+cos+…+cos=0，
cos25°+sin225°+cos2125°=cos25°+cos265°+cos2125°=++
=+(cos 10°+cos 130°+cos 250°).
由恒等式cos θ+cos+cos=0，令θ=10°，
可知cos 10°+cos(10°+120°)+cos(10°+240°)=0，
即cos 10°+cos 130°+cos 250°=0，
cos25°+sin225°+cos2125°=.第1讲　三角函数的运算
1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cos =，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
2.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
3.(2024·全国甲卷，理T8)已知=，则tan 等于(　　)
A.2+1 B.2-1 C. D.1-
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T8)已知sin(α-β)=，cos αsin β=，则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B. C.- D.-
5.(多选)(2025·全国Ⅰ卷，T11)已知△ABC的面积为，cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=，则(　　)
A.sin C=sin2A+sin2B B.AB=
C.sin A+sin B= D.AC2+BC2=3
6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.
命题热度：
本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值约为5~6分.
考查方向：
一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式
例1　(1)(2025·石家庄模拟)已知x∈，cos-cos(3π+x)=，则tan等于(　　)
A.1 B.2 C. D.3
(2)(2025·东北三省部分高中联合调研)已知tan2βsin2β=3，则tan2β-2sin2β-等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.
[规律方法]　应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项：
(1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以.
(2)含有sin α，cos α的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入.
(3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限.
跟踪演练1　(1)(多选)已知sin α=，α∈，则(　　)
A.sin(π-α)= B.tan(π+α)=-
C.sin=- D.cos=-
(2)(2025·安庆模拟)已知=，则sin4θ+cos4θ等于(　　)
A. B. C. D.
考点二　三角恒等变换
考向1　公式的直接应用
例2　(1)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=，则cos等于(　　)
A. B. C.- D.-
(2)(2025·昆明质检)若=，则(　　)
A.tan(α-β)=1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α+β)=-1
考向2　角的配凑
例3　(1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=，sin(α+β)=，则cos β等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)(2025·济南模拟)若sin 2α=，sin(β-α)=，且α∈，β∈，则α+β等于(　　)
A. B. C. D.
考向3　积化和差与和差化积
例4　(1)(2025·南昌模拟)已知函数f(x)=sin(x+2θ)+cos(x+4θ)，θ∈是偶函数，则g(x)=sin xsin(x+4θ)的最大值为(　　)
A.- B. C.1 D.
(2)(2025·南昌模拟)已知α，β终边不重合，sin α-3cos β=sin β-3cos α，则tan(α+β)等于(　　)
A. B. C. D.
[规律方法]　三角恒等变换“四大策略”
(1)常值代换：常用到“1”的代换，即1=sin2θ+cos2θ=tan 45°.
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=+，2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.
(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(4)化一法：通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算.
跟踪演练2　(1)(2025·亳州模拟)已知sin α=，α∈，若=4，则tan(α+β)等于(　　)
A.- B. - C. D.
(2)(2025·长春模拟)已知cos=，cos=，α，β∈，则cos(α+β)等于(　　)
A. B. C. D.
(3)(2025·新余模拟)已知α，β∈，cos2α-cos2β=，cos(α+β)=，则tan 等于(　　)
A.- B. C.3 D.-3
专题强化练
[分值：84分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.已知cos=，则sin(3π+α)等于(　　)
A.- B. C.- D.
2.已知cos α+sin α=，则sin等于(　　)
A. B. C.- D.-
3.(2025·惠州模拟)若tan α=，则sin等于(　　)
A. B. C. D.
4.(2025·济宁模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点A(m，3m)(m≠0)是角α终边上一点，则cos等于(　　)
A.- B.- C. D.
5.(2025·张家口模拟)已知sin=-，则sin等于(　　)
A. B.- C. D.-
6.(2025·南昌模拟)已知α，β都是锐角，sin(α+β)=，tan α=2tan β，则cos(α-β)等于(　　)
A. B. C. D.
7.(2025·安徽皖北协作区模拟)如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端A，B，C，D，E，F，G，H恰好是一个正八边形的八个顶点，设∠ACG=α，∠EBH=β，则tan(α+β)等于(　　)
A.-3 B.-2
C.-2+1 D.--1
8.(2025·南通模拟)已知x，y∈，cos(x+y)=-，sin 2x-sin 2y=-，则tan 2x等于(　　)
A. B. C.- D.-
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·佛山模拟)已知角α的终边经过点A(-3，4)，则下列结论正确的是(　　)
A.sin(α-π)= B.sin=-
C.sin 2α=- D.cos 2α=
10.下列说法正确的有(　　)
A.tan 200°+tan 40°+tan(-160°)tan 40°=-
B.已知cos=，则sin=-
C.sin 50°(1+tan 10°)=1
D.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若tan Atan B>1，则tan Atan Btan C>2
11.(2025·哈尔滨模拟)已知锐角α，β满足=，++=2，则(　　)
A.α+2β=π B.tan(α+β)=-2
C.sin α= D.tan α∶tan β=2∶3
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若coscos=-，则sin 2α=　　　　.
13.(2025·浙江Z20名校联盟联考)已知α，β∈，且满足sin αtan β=1-cos α，sin(α-β)=，则cos α=　　　　.
14.(2025·昆明模拟)已知α，β∈，sin(2α+β)=3sin β，则tan β的最大值为　　　　　.
　(15题6分，16题5分，共11分)
15.(多选)[正割、余割函数]一般地，任意给定一个角α，它的终边OP与单位圆的交点P的横坐标x和纵坐标y都是唯一确定的，所以点P的横坐标x、纵坐标y都是角α的函数.下面给出这些函数的定义：
①把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y=sin α；
②把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x=cos α；
③把点P的纵坐标y的倒数叫做α的余割函数，记作csc α，即=csc α；
④把点P的横坐标x的倒数叫做α的正割函数，记作sec α，即=sec α.
下列结论正确的有(　　)
A.csc=-
B.cos α·sec α=1
C.函数f(x)=sec x的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}
D.sec2α+sin2α+csc2α+cos2α≥5
16.(5分)在正三角形ABC中，由e·=e·0=0(e为单位向量)可得到三角恒等式cos θ+cos+cos=0，其中θ=〈e，〉，以此类推，在正n(n≥3)边形中，可得到三角恒等式　　　　　　；通过上述推理，cos25°+sin225°+cos2125°=　　　　　　　　　　　　.

展开更多......

收起↑