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第2讲　三角函数的图象与性质
1.(2025·全国Ⅰ卷，T4)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
2.(2025·天津，T8)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A.- B.- C.1 D.0
3.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
5.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　.
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题，主要题型为选择题或填空题，分值约为5~6分.
考查方向：
一是考查三角函数图象变换，考查根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题；二是考查三角函数的图象，考查根据给出的三角函数图象确定函数解析式中的参数，根据给出的情境确定三角函数图象等问题；三是考查三角函数的性质，考查根据三角函数解析式研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质.
1.答案　B
解析　y=2tan的对称中心的横坐标满足x-=，k∈Z，即x=+，k∈Z，
所以y=2tan的图象的对称中心是，k∈Z，
即a=+，k∈Z，
又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是.
2.答案　A
解析　设f(x)的最小正周期为T，
根据题意有m，k∈Z，
由正弦函数的对称性可知-=(n∈N)，又ω>0，
即=，∴ω=4n+2(n∈N)，
又f(x)在上单调递增，则≥-=，∴≥，0<ω≤2，
∴ω=2，则m，k∈Z，
∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=，
∴f(x)=sin，
又当x∈时，2x+∈，
由正弦函数的单调性可知当2x+=，即x=时，f(x)min=sin =-.
3.答案　BC
解析　A选项，令f(x)=sin 2x=0，
解得x=，k∈Z，即为f(x)的零点，
令g(x)=sin=0，
解得x=+，k∈Z，即为g(x)的零点，
显然f(x)，g(x)零点不同，A选项错误；
B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；
C选项，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，C选项正确；
D选项，根据正弦函数的性质，f(x)的对称轴满足2x=kπ+，k∈Z，
解得x=+，k∈Z，
g(x)的对称轴满足2x-=kπ+，k∈Z，
解得x=+，k∈Z，
显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，D选项错误.
4.答案　[2，3)
解析　因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cos ωx-1=0，
则cos ωx=1有3个根，
令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
5.答案　-
解析　设A，B，
由|AB|=可得x2-x1=，
由sin x=可知，
x=+2kπ，k∈Z或x=+2kπ，k∈Z，
由图可知，
ωx2+φ-(ωx1+φ)=-=，
即ω(x2-x1)=，所以ω=4.
因为f =sin=0，
所以+φ=kπ，k∈Z，
即φ=-+kπ，k∈Z.
所以f(x)=sin，k∈Z，
所以f(x)=sin或f(x)
=-sin，
又因为f(0)<0，
所以f(x)=sin，
所以f(π)=sin=-.
　　　　　　　　　　　　　　　　
考点一　三角函数的图象变换
例1　(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π，且过点，若将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)等于(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
答案　C
解析　因为函数f(x)的最小正周期为π，ω>0，
所以T==π，
则ω=2，故f(x)=2sin(2x+φ)，
又函数f(x)过点，故f =2sin=0，
即-+φ=kπ，k∈Z，解得φ=kπ+，k∈Z，
由|φ|<得φ=-，故f(x)=2sin.
将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，得到y=sin的图象，
再向左平移个单位长度得到g(x)=sin=sin的图象.
(2)(2025·湖州模拟)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题意得g(x)=acos ω=acos，
若x∈，则ωx+∈，
∵g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根，
∴≤ω+<，
解得≤ω<4，
即实数ω的取值范围是.
[规律方法]　三角函数图象平移问题的处理策略
(1)看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键.
(2)看左右移动方向：左“+”右“-”.
(3)看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向进行的，所以ω和φ之间有一定的关系，要知道φ是初相，再经过ω的放缩，最后移动的单位长度是(注意先移后缩和先缩后移的区别).
跟踪演练1　(1)(2025·南京模拟)把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)等于(　　)
A.cos B.cos
C.cos D.cos
答案　B
解析　把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)后得到y=cos 2x的图象，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后得到的函数图象的解析式为y=cos 2=cos.
(2)(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ等于(　　)
A.- B. C.- D.
答案　C
解析　将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到的函数图象的解析式为
g(x)=sin+1=sin+1，
当x=时，g=sin+1=2，
即sin=1，
则+θ=+2kπ，其中k∈Z，解得θ=-+2kπ，k∈Z，
又-<θ<，所以θ=-.
考点二　三角函数的图象与解析式
例2　(1)(2025·湖南省沅澧共同体模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的一个交点为M，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.若将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，则g(-2)等于(　　)
A. B.0 C. D.-
答案　D
解析　由题意知，函数f(x)的最小正周期T满足=xM-xP=-1=，解得T=6，
所以ω==，
则f(x)=Asin，
由f(x)的图象与x轴的一个交点为M得×+φ=kπ(k∈Z)，
则φ=-+kπ(k∈Z)，
因为|φ|<，所以φ=，
即f(x)=Asin，
则f(0)=Asin=，
所以f(x)的图象与y轴的交点为N，
则=，=，
因为NM⊥NP，所以·=-=0，解得A=-(舍去)或A=，
所以f(x)=sin，
又将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，
则g(x)=sin=cosx，
所以g(-2)=cos=-.
(2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=2cos
B.g(x)=2cos
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
答案　D
解析　由图象可知A=2，=，
则f(x)图象的一个最低点为，
f(x)的最小正周期T=，则ω==3，
f =2cos=-2，
即-φ=π+2kπ(k∈Z)，
所以φ=-2kπ(k∈Z)，
又因为|φ|<，所以φ=，
所以f(x)=2cos，
将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到y=2cos的图象，
再将所得函数图象向左平移个单位长度，
得到y=2cos=2cos 2x的图象，
故g(x)=2cos 2x.
[规律方法]　由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=，A=.
(2)T定ω：由周期公式T=，可得ω=.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.
跟踪演练2　(1)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω等于(　　)
A.1 B. C.π D.
答案　D
解析　连接BC交x轴于点E，如图，
由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，
故E为圆心，故AE=BE，
AE=T=，BE==，
故=，解得ω=.
(2)如图所示，将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移得到g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象，其中P和P1分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点，点B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，若AP⊥AP1，=15，则g(x)的解析式为　　　　　.
答案　g(x)=3sin
解析　将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位长度得g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象，
由于B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，结合图象可知AB=.
=AB×3×2=15，故AB==5，
由于AP⊥AP1，所以BP1=BP=AB=5，
设f(x)的最小正周期为T，则T==4，故T==16，
解得ω=，φ=5ω=，
故g(x)=3sin.
考点三　三角函数的性质
例3　(1)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=2sin2x+sin，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在区间上的值域为
D.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为
答案　BCD
解析　因为f(x)=2sin2x+sin=2·+sin 2xcos+cos 2xsin
=-cos 2x-sin 2x+cos 2x=-
=-sin，
对于A选项，函数f(x)的最小正周期T==π，A错误；
对于B选项，因为f =-sin π=，故f(x)的图象关于点对称，B正确；
对于C选项，当0所以f(x)=-sin∈，
故f(x)在区间上的值域为，C正确；
对于D选项，若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，
即函数y=-sin=-sin为偶函数，
故-2φ=kπ+(k∈Z)，解得φ=--(k∈Z)，
因为φ>0，故当k=-1时，φ取得最小值，D正确.
(2)(2025·清远质检)已知函数f(x)=sin πωx-cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　因为f(x)=sin πωx-cos πωx=2sin(ω>0)，
且当0≤x≤1时，-≤πωx-≤πω-，
因为函数f(x)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，
所以≤πω-<3π，解得≤ω<.
[规律方法]　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项.
跟踪演练3　(1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，且其图象关于点对称，则f 等于(　　)
A.- B.- C. D.
答案　C
解析　由函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，得≥2=π，
解得0<ω≤2，由f(x)的图象关于点对称，得ω-=kπ，k∈Z，
解得ω=3k+，k∈Z，于是k=0，ω=，f(x)=sin，
所以f =sin=sin=.
(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象经过点(0，-)，g(x)=f(x)-1的零点之间距离的最小值为2，则(　　)
A.f(2)=
B.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
C.f(x)的图象关于点(k∈Z)对称
D.f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为
答案　BC
解析　由已知得，f(x)的最小正周期为2，所以ω=，
因为函数f(x)=tan (ωx+φ)的图象经过点(0，-)，
所以tan φ=-，因为-<φ<，
所以φ=-，
所以f(x)=tan，
则f(2)=tan=-，所以A错误；
当且仅当-+kπ解得2k-所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，所以B正确；
令x-=k·(k∈Z)，得x=k+(k∈Z).
所以f(x)的图象关于点(k∈Z)对称，所以C正确；
因为f(x)=sin=sin=sin(0≤x≤5)，
可得sin=tan=，
即sin=0，
所以sin=0或cos=1，
而当cos=1时，
sin=0，
故只需sin=0，
则-=mπ(m∈Z)，解得x=2m+(m∈Z)，
因为0≤x≤5，故x∈，
因此，f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为，所以D错误.
专题强化练
[分值：84分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·汕头模拟)要得到函数y=sin 2x的图象，只要将函数y=sin的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
答案　C
解析　将函数y=sin的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin=sin 2x的图象.
2.(2025·杭州模拟)“φ=-+kπ(k∈Z)”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点对称”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若函数y=tan(x+φ)的图象关于点对称，则+φ=(k∈Z)，
解得φ=-+(k∈Z)，
因为是的真子集，
所以“φ=-+kπ(k∈Z)”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点对称”的充分不必要条件.
3.(2025·苏北七市调研)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　D
解析　因为f(x)=sin 2x-2cos2x =sin 2x-cos 2x-1
=2-1=2sin-1，
因为函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，
所以2x0-=kπ+，k∈Z，
所以2x0=kπ+，k∈Z，
所以tan 2x0=tan=tan=-，k∈Z.
4.(2025·湖北省鄂东南联盟模拟)已知函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则满足条件且|ω|最小的ω的值为(　　)
A.3 B.-3 C.15 D.2
答案　A
解析　由题设，函数y=sin=sin为偶函数，
所以-=+kπ，k∈Z，得ω=15+12k，k∈Z，
要|ω|最小，取k=-1，得ω=3.
5.(2025·漳州质检)已知f(x)=sin，若f(x)在区间(0A. B.
C. D.
答案　B
解析　画出函数f(x)的部分图象如图所示，
因为0又因为f(x)在区间(0所以解得6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示.已知A，B，将f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=2sin
B.g(x)=2sin
C.g(x)=-2sin
D.g(x)=-2sin
答案　D
解析　由题意可知f(x)的周期T满足
=-=2，得T=4，
即=4，得ω=，
所以f(x)=2sin，
因为点B是f(x)图象上的一个点，
所以f =2sin=2，sin=1，
则+φ=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，
又0<φ<，所以φ=，
所以f(x)=2sin，
将f(x)的图象向右平移2个单位长度，
得到函数g(x)=2sin
=-2sin的图象.
7.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　因为y=cos的图象向左平移个单位长度所得图象对应的函数为y=cos=cos=-sin 2x，
所以f(x)=-sin 2x，
而y=x-显然过与(1，0)两点，
作出y=f(x)与y=x-的大致图象如图所示，
考虑2x=-，2x=，2x=，
即x=-，x=，x=处f(x)与y=x-的大小关系，
当x=-时，f =-sin=-1，
y=×-=-<-1；
当x=时，f =-sin=1，
y=×-=<1；
当x=时，f =-sin=1，
y=×-=>1.
所以由图可知，f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为3.
8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.[，+∞)
C.(1，) D.[1，]
答案　C
解析　若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，等价于函数f(x)在上不是单调函数，
易知f'(x)=acos x-sin x，
若函数f(x)在上单调递增，则f'(x)≥0在上恒成立，
即acos x-sin x≥0，
所以a≥=tan x在上恒成立，
则a≥；
同理，若函数f(x)在上单调递减，则f'(x)≤0在上恒成立，得a≤1，
即若函数f(x)在上不单调，则1二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·荆州质检)已知函数f(x)=sin+sin，则(　　)
A.函数f 为偶函数
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在区间上单调递增
D.曲线y=f(x)关于点，k∈Z对称
答案　AC
解析　f(x)=sin+sin=(sin x+cos x)+(sin x-cos x)=sin x.
对于A，设g(x)=f =sin=-cos x，
函数g(x)的定义域关于原点对称，由g(-x)=-cos(-x)=-cos x=g(x)，可得函数g(x)=f 为偶函数，故A正确；
对于B，由于y=sin x的最大值为1，因此f(x)max=×1=，故B错误；
对于C，当x∈时，y=sin x单调递增，故f(x)=sin x在上单调递增，故C正确；
对于D，由于曲线y=sin x关于点(kπ，0)，k∈Z对称，因此曲线y=f(x)关于点(kπ，0)，k∈Z对称，故D错误.
10.(2025·湖北八校协作体联考)已知函数f(x)=sin 2x，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A.g(x)=sin
B.g(x)的图象关于点中心对称
C.g(x)的图象关于直线x=对称
D.g(x)的图象与f(x)的图象在[0，2π]内有4个交点
答案　BD
解析　对于A，将f(x)的图象向右平移个单位长度后，可得f =sin 2=sin，
进而可得g(x)=sin，故A错误；
对于B，g=sin=0，故B正确；
对于C，g=sin=≠±1，故直线x=不是g(x)图象的对称轴，故C错误；
对于D，分别作出f(x)与g(x)在[0，2π]内的图象，可知有4个交点，故D正确.
11.(2025·安徽A10联盟质检)由函数g(x)，h(x)相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”.已知g(x)=2sin x，h(x)=|sin 2x|，其优生成函数记为f(x)，则(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)在区间上先增后减
C.f(x)的值域为
D.f(x)在区间[0，10π]上有11个零点
答案　ACD
解析　易知“优生成函数”为f(x)=2sin x+|sin 2x|，
因为f(-π-x)=2sin(-π-x)+|sin(-2π-2x)|=2sin x+|sin 2x|=f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x=-对称，故A正确；
显然f(x+2π)=2sin(x+2π)+|sin(2x+4π)|=2sin x+|sin 2x|=f(x)，
所以2π是函数f(x)的一个周期，所以f(x)在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，设x∈，则f(x)=2sin x-sin 2x，
求导得f'(x)=2cos x-2cos 2x=-4cos2x+2cos x+2=-2(cos x-1)(2cos x+1)>0，
故f(x)在区间上单调递增，即f(x)在区间上单调递增，故B错误；
由f(x)的图象关于直线x=-对称及2π是函数f(x)的一个周期知，
只需考查x∈时f(x)的值域，
因为f =-2+0=-2，f(0)=0+0=0，
f(x)在区间上单调递增，
故当x∈时，-2≤f(x)≤0，
当x∈时，f(x)=2sin x+sin 2x，
求导得f'(x)=2cos x+2cos 2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，当00，当所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故当x∈时，0综上，f(x)的值域为，故C正确；
易知f(x)在区间[0，10π]上的零点分别为0，π，2π，…，9π，10π，共11个，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·南京模拟)函数f(x)=cos 2x-6cos x+1的值域为　　　　.
答案　[-4，8]
解析　f(x)=cos 2x-6cos x+1=2cos2x-6cos x，
设t=cos x，则t∈[-1，1]，
易知二次函数y=2t2-6t=2-在[-1，1]上单调递减，当t=-1时，ymax=8，
当t=1时，ymin=-4，
故函数f(x)的值域为[-4，8].
13.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)=2sin ωx与g(x)=2cos ωx(ω>0)的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则ω=　　　　　　.
答案　
解析　如图所示，设函数f(x)=2sin ωx(ω>0)与g(x)=2cos ωx的交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
由2sin ωx=2cos ωx得tan ωx=1，
所以ωx1=，ωx2=，ωx3=，
则y1=y3=2sin=，y2=-，
由对称性和已知可得△ABC为等腰直角三角形，
所以点B到直线AC的距离为AC，
即y1-y2=(x3-x1)，解得ω=.
14.已知函数f(x)=3sin-2cos2+1，把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根，则cos(x1+x2)的值为　　　　　　.
答案　-
解析　f(x)=3sin-2cos2+1
=3sin-cos
=sin，
其中sin φ=，cos φ=，
因为把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，
所以g(x)=f
=sin=sin，
当x∈时，2x-φ∈[-φ，π-φ]，
因为x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根，
所以有= x1+x2=+φ，
因此cos(x1+x2)=cos=-sin φ=-.
　(15题6分，16题5分，共11分)
15.(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=sin x|cos x|+cos x|sin x|，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的周期为
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在[0，π]上恰有3个零点
D.若f(ωx)(ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为
答案　BD
解析　①当x∈(k∈Z)时，
f(x)=sin xcos x+cos xsin x=2sin xcos x=sin 2x，
②当x∈(k∈Z)时，
f(x)=sin x(-cos x)+cos xsin x=0，
③当x∈(k∈Z)时，
f(x)=sin x(-cos x)+cos x(-sin x)=-2sin xcos x=-sin 2x，
④当x∈(k∈Z)时，
f(x)=sin xcos x+cos x(-sin x)=0，
因此，f(x)=k∈Z，
所以函数f(x)的图象，如图所示.
A选项，因为f
=sin+cos
=cos x|sin x|-sin x|cos x|≠f(x)，故A错误；
B选项，由图象可知f(x)的图象关于直线x=对称，故B正确；
C选项，由f(x)的函数解析式以及函数图象可知，
当x∈时，f(x)≥0，
当x∈时，f(x)=0，当x=π时，f(x)=0，所以f(x)在[0，π]上有无数个零点，故C错误；
D选项，由ω>0，0≤x≤，得0≤ωx≤，
因为f(ωx)(ω>0)在上单调递增，所以由f(x)的图象可知0<≤，解得0<ω≤，
则ω的最大值为，故D正确.
16.(5分)(2025·玉溪模拟)直线y=与函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的交点为A1，A2，A3，…，An(1≤i答案　
解析　由题意中的|AiAj|max=，
而x∈，区间长度刚好是5-=，
说明区间的端点刚好是第一个交点A1与最后一个交点An的横坐标，
而|AiAj|min=，说明是如图中|A1A2|=，
再由sin x=在(0，2π)中的两个角之间的最小距离是-=，现在相当于把正弦函数中缩小到，即满足×=，解得ω=，
而根据图象对称性，可知函数的最高点的横坐标为x=+×=，
代入得f =sin=sin=1，
则+φ=+2kπ，k∈Z，
解得φ=-+2kπ，k∈Z，
所以f(x)=sin=sin，k∈Z，即f=sin=sin=.第2讲　三角函数的图象与性质
1.(2025·全国Ⅰ卷，T4)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
2.(2025·天津，T8)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A.- B.- C.1 D.0
3.(多选)(2024·新课标Ⅱ卷，T9)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列说法中正确的有(　　)
A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值
C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期 D.f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
4.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
5.(2023·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　　　　.
命题热度：
本讲是历年高考命题必考的内容，属于中档题，主要题型为选择题或填空题，分值约为5~6分.
考查方向：
一是考查三角函数图象变换，考查根据给出的两个三角函数确定变换的方法以及根据给出的变换方法确定参数值的问题；二是考查三角函数的图象，考查根据给出的三角函数图象确定函数解析式中的参数，根据给出的情境确定三角函数图象等问题；三是考查三角函数的性质，考查根据三角函数解析式研究三角函数的单调性、对称性、周期性等性质.
考点一　三角函数的图象变换
例1　(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的最小正周期为π，且过点，若将f(x)图象上所有点的纵坐标变为原来的，横坐标不变，再向左平移个单位长度得到g(x)的图象，则g(x)等于(　　)
A.sin B.sin
C.sin D.sin
(2)(2025·湖州模拟)已知函数f(x)=acos ωx(a≠0，ω>0)，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x)的图象，若关于x的方程g(x)=0在上有且仅有两个不相等的实数根，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[规律方法]　三角函数图象平移问题的处理策略
(1)看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键.
(2)看左右移动方向：左“+”右“-”.
(3)看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向进行的，所以ω和φ之间有一定的关系，要知道φ是初相，再经过ω的放缩，最后移动的单位长度是(注意先移后缩和先缩后移的区别).
跟踪演练1　(1)(2025·南京模拟)把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)等于(　　)
A.cos B.cos
C.cos D.cos
(2)(2025·太原模拟)将函数f(x)=sin(2x+θ)的图象先向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得的图象经过点，则θ等于(　　)
A.- B. C.- D.
考点二　三角函数的图象与解析式
例2　(1)(2025·湖南省沅澧共同体模拟)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，图象与x轴的一个交点为M，与y轴的交点为N，最高点P(1，A)，且满足NM⊥NP.若将f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的图象对应的函数为g(x)，则g(-2)等于(　　)
A. B.0 C. D.-
(2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=2cos
B.g(x)=2cos
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
[规律方法]　由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值
(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=，A=.
(2)T定ω：由周期公式T=，可得ω=.
(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.
跟踪演练2　(1)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω等于(　　)
A.1 B. C.π D.
(2)如图所示，将函数f(x)=3sin ωx(ω>0)的图象向右平移得到g(x)=3sin(ωx-φ)(0<φ<π)的图象，其中P和P1分别是f(x)图象上相邻的最高点和最低点，点B，A分别是f(x)，g(x)图象的一个对称中心，若AP⊥AP1，=15，则g(x)的解析式为　　　　　.
考点三　三角函数的性质
例3　(1)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=2sin2x+sin，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在区间上的值域为
D.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为
(2)(2025·清远质检)已知函数f(x)=sin πωx-cos πωx(ω>0)在[0，1]内恰有3个最值点和3个零点，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
[规律方法]　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项.
跟踪演练3　(1)(2025·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递增，且其图象关于点对称，则f 等于(　　)
A.- B.- C. D.
(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象经过点(0，-)，g(x)=f(x)-1的零点之间距离的最小值为2，则(　　)
A.f(2)=
B.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
C.f(x)的图象关于点(k∈Z)对称
D.f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为
专题强化练
[分值：84分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·汕头模拟)要得到函数y=sin 2x的图象，只要将函数y=sin的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.(2025·杭州模拟)“φ=-+kπ(k∈Z)”是“函数y=tan(x+φ)的图象关于点对称”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025·苏北七市调研)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于(　　)
A. B.- C. D.-
4.(2025·湖北省鄂东南联盟模拟)已知函数f(x)=sin的图象向左平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则满足条件且|ω|最小的ω的值为(　　)
A.3 B.-3 C.15 D.2
5.(2025·漳州质检)已知f(x)=sin，若f(x)在区间(0A. B.
C. D.
6.函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象如图所示.已知A，B，将f(x)的图象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=2sin
B.g(x)=2sin
C.g(x)=-2sin
D.g(x)=-2sin
7.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈，若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.[，+∞)
C.(1，) D.[1，]
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·荆州质检)已知函数f(x)=sin+sin，则(　　)
A.函数f 为偶函数
B.f(x)的最大值为2
C.f(x)在区间上单调递增
D.曲线y=f(x)关于点，k∈Z对称
10.(2025·湖北八校协作体联考)已知函数f(x)=sin 2x，若将f(x)的图象向右平移个单位长度后，再把所得曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A.g(x)=sin
B.g(x)的图象关于点中心对称
C.g(x)的图象关于直线x=对称
D.g(x)的图象与f(x)的图象在[0，2π]内有4个交点
11.(2025·安徽A10联盟质检)由函数g(x)，h(x)相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”.已知g(x)=2sin x，h(x)=|sin 2x|，其优生成函数记为f(x)，则(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)在区间上先增后减
C.f(x)的值域为
D.f(x)在区间[0，10π]上有11个零点
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·南京模拟)函数f(x)=cos 2x-6cos x+1的值域为　　　　.
13.(2025·安徽皖南八校模拟)已知函数f(x)=2sin ωx与g(x)=2cos ωx(ω>0)的图象上任意3个相邻的交点构成直角三角形，则ω=　　　　　　.
14.已知函数f(x)=3sin-2cos2+1，把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根，则cos(x1+x2)的值为　　　　　　.
　(15题6分，16题5分，共11分)
15.(多选)(2025·合肥模拟)已知函数f(x)=sin x|cos x|+cos x|sin x|，则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的周期为
B.f(x)的图象关于直线x=对称
C.f(x)在[0，π]上恰有3个零点
D.若f(ωx)(ω>0)在上单调递增，则ω的最大值为
16.(5分)(2025·玉溪模拟)直线y=与函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象的交点为A1，A2，A3，…，An(1≤i

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