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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题09 概率初步（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 事件类型的判断
考点02 简单概率公式计算
考点03 用列举法求概率
考点04 判断游戏的公平性
考点05用频率估计概率
考点06概率与统计的综合应用
考点01 事件类型的判断
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“神舟二十号发射升空”的新闻
B．从《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》，从这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
C．太阳一定从东方升起，西方落下
D．小华在购票平台一定能抢到世界女排联赛的门票
2．（24-25九年级上·山西运城·期末）下列事件是随机事件的是（ ）
A．将花生油滴入水中，油会浮在水面上
B．买一张彩票中奖
C．任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出点数之和为1
D．在10个同类产品中，有9个合格品和1个次品．从中任意抽出2个，抽到的都是次品
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列词语所描绘的情景事件中，是随机事件的是（ ）
A．日出东方 B．刻舟求剑 C．守株待兔 D．水中捞月
4．（2025·江苏泰州·二模）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天将下雨
B．买一张电影票，座位号是奇数号
C．小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来
D．一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球
5．（2025·浙江嘉兴·一模）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为 B．打开电视机正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D．抛一枚硬币正面向上
6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列事件为随机事件的是（ ）
A．地球绕太阳转 B．自然状态下的水从低处向高处流
C．明天太阳从东方升起 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
考点02 简单概率公式计算
一、填空题
1．（24-25九年级上·北京通州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 ．
2．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是1的概率为 ．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是 ．
4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）2024年国庆期间，南明电影院同时上映了《志愿军：存亡之战》、《浴火之路》、《只此青绿》3部电影，李明打算随机选一部电影观看，那么他选中《只此青绿》的概率是 ．
二、解答题
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃3张，方块5张，黑桃8张，梅花4张．现将这些牌洗匀背面朝上放到桌子上．
(1)从中任意抽一张牌，抽到______花色的概率最大；
(2)求从中抽出一张是方块的概率；
(3)现从桌子上抽掉x张黑桃，再放入x张红桃，并洗匀且背面朝上排开后，随机抽一张是红桃的概率是，那么抽掉了多少张黑桃？
6．（24-25九年级上·山西运城·期末）在2025年太原市举办的“魅力龙城”文化展览活动期间，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖箱里有20张除正面图案外完全相同的卡片，其中5张卡片上印有太原市的标志性景点晋祠图案，3张卡片上印有山西省博物院的特色文物图案，8张卡片上印有山西传统面食图案，剩余卡片上印有太原古县城建筑图案．求从抽奖箱中随机抽取一张卡片，恰好抽到印有太原古县城建筑图案卡片的概率．
考点03 用列举法求概率
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）山西的四大旗舰物种是黑鹳（）、原麝（）、华北豹、褐马鸡．某校的野生动植物保护兴趣小组想要将该四大旗舰物种作为自己的课外调查研究内容，但由于时间关系，每位小组成员只能从中随机选择一种调查研究，为保持公平性，他们将这四大旗舰物种的图片制成了四张质地、大小完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，该小组成员小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取）．请你用列表或画树状图的方法，求两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）2025年山西省中考体育在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，考生可根据自身实际，从三个项目中选择一项进行考试．某次篮球训练中，甲、乙、丙、丁四人做传球游戏．游戏规则是：第一次传球由持球者甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，以后的每一次传球都由持球者随机传给其他三人中的某一人．
(1)第一次传球后，球恰好在乙手中的概率是 ；
(2)求第二次传球后，球恰好在甲手中的概率．
4．（24-25九年级上·北京东城·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
(1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________；
(2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率．
5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）2025年江苏省城市足球联赛期间，为促进文旅消费，南通市面向符合条件的游客推出四个免费景区：A（狼山风景区）、B（濠河风景区）、C（南通博物苑）、D（紫琅湖公园）．某周六上午，甲、乙两位符合条件的游客随机选择其中一个景区游览（每个景区被选择的可能性均等）．
(1)甲选择濠河风景区（B景区）的概率为______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一景区的概率．
6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）2024山下湖 世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为，，，，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
(1)若随机抽取一张，求抽到卡片的概率；
(2)若小张随机抽取一张，不放回，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率．
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同．
小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同．
小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同．
请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由．
考点04 判断游戏的公平性
一、解答题
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标
(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜．
(1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？
(2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平．
3．（24-25九年级上·北京西城·期末）在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，1．小红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号．
(1)用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果；
(2)规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜．
①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由；
②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出的取值范围．
4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）小志和小远玩摸球游戏，他们在一个不透明的箱子里装了6个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同．他们从中任意摸出一个球，若摸到红球则小志获胜，若摸到黄球则小远获胜．
(1)小志获胜的概率是__________；
(2)这个游戏公平吗？若不公平，进行怎样的操作可以使游戏公平？（写一种即可）
5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去．
(1)上述方式公平吗？请说明理由；
(2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据．
6．（24-25九年级上·吉林延边·期末）有两个可以自由转动的均匀转盘、，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘与．
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．
③如果和为0，甲获胜；否则乙获胜．
你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
7．（24-25九年级上·河北张家口·期末）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别是2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙口袋中摸出一个小球,记下编号为n．
(1)如图，嘉嘉用树状图表示的所有可能情况，请补全树状图．
(2)游戏规则：时，小明获胜；时，小刚获胜．请说明此游戏规则是否公平．
考点05用频率估计概率
一、单选题
1．（24-25九年级上·北京·期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2
C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
二、填空题
2．（24-25九年级上·山西运城·期末）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个独特的实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，下表是实验数据：
投掷次数n 相交次数m 相交频率
100 28 0.28
500 138 0.276
1000 273 0.273
5000 1354 0.2708
10000 2698 0.2698
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 ．（精确到0.01）
三、解答题
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 173 198
摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505
(1)上表中的________，________（小数形式）；
(2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1）
(3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率．
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）转动如图所示的圆形转（转盘中各个扇形的面积相等），转盘停止时，指针随机指向一个扇形．
转动次数
获得“看电影”的次数
(1)转动一次指向“零食”的概率为______；“文具”所占的圆心角度数总和为______；
(2)将扇形上的文字项目重新填写，在八个面上分别写上“看电影”“打篮球”“唱歌”三种项目，经过多次转动后得到数据见上面表格，根据表格估算：
①八个扇形中写有“看电影”的面数为______；
②转动转盘次，估计转得“看电影”的次数约为______
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎．
(1)若小丽和小红在“．快乐农场”、“．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用，，表示）
(2)小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表：
实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200
发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139
种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949
①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）．
②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？
6．（24-25九年级上·河北保定·期末）在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个球，嘉嘉做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？
(2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
考点06概率与统计的综合应用
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）穿越千年的时光长廊，山西在等你．近年来山西省在文旅方面下了不少功夫，就如2024年，借助热门游戏《黑神话悟空》的影响力，我省文化和旅游厅推出了“跟着悟空游山西”系列活动，推动了山西文旅走向全国、走向世界．下面是山西文旅集团推出的五条旅游研学线路：
A游山西，读中华文明演进史；B游山西，读民族融合发展史；C游山西，读古代建筑艺术史；D游山西，读汇通天下晋商史；E游山西，读中国红色革命史．
某校为了了解九年级学生对哪条研学线路最感兴趣，从该校九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，E在的圆心角的度数是_____________．
(2)森森和圆圆作为本校九年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率．
2．（23-24九年级上·河南周口·期末）某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了_______名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．
3．（24-25九年级上·北京大兴·期末）大兴区在创建书香校园，推进学生阅读素养提升活动中，通过实施扩大阅读供给空间，调整阅读供给方式，增加优质阅读供给内容等举措，为学生“爱读书、读好书、善读书”搭建了丰富的活动平台，营造了书香浸润的氛围．为了解本区初中生每周用于课外阅读的时间，制订了如下调查方案，并进行数据统计分析．
【调查方案】
方案 调查方式
① 在指定一所学校中随机抽取500名学生进行调查分析
② 在全区初中生中随机抽取500名学生进行调查分析
③ 在全区八年级男生、女生中各随机抽取250名学生进行调查分析
【数据整理】将抽取的500名学生每周用于课外阅读的时间单位：分钟的数据，划分为四个等级：，，，，并绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)三个方案中调查方式合理的是______填“①”或“②”或“③”；
(2)请补全条形统计图；
(3)在全区抽取的D等级样本中，某校有3名学生被抽中，其中2名男生和1名女生．该校计划从这3名学生中，随机抽取2名学生进行读书活动的展示分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，______，C等级对应的圆心角为______度；
(3)小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）为推进扎实开展学校科学教育，光明学校组织学生开展了“科技创新月”活动，其中，计划进行以下四项活动实验：A．马德堡半球；B．塑料袋火箭；C．色彩爆炸；D．火山爆发．活动小组对该校部分学生进行随机问卷，调查“最期待的实验”，得到下列不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)此次调查的学生人数；
(2)请补全条形统计图；
(3)已知“最期待的实验”中A项的4名学生中801班有1名，802班有1名，803班有2名，现从中抽取2名学生进行演示，请用列表或画树状图的方法，求从中抽到2名学生来自不同班级的概率．
6．（24-25九年级上·河北·期末）我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
(1)___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图；
(2)请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球；
(3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
2．如图，有两个同心转盘，现随意转动两转盘，两转盘静止后，恰为如图情形（大转盘与小转盘的标号相对应）的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．迈尔斯-布里格斯性格分类测试中包含四大类十六种人格类型．分别是分析家、外交家、守护者、探险家，若小云同学参与测试，则他的人格类型是“外交家”的概率为（　　）
A． B． C． D．
4．下列说法合理的是（ ）
A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是
B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是
D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是
5．成语作为中华优秀传统文化的精髓，既是历史馈赠的语言瑰宝，更是现代文化创新与国际传播的重要资源，下列成语所描述的事件，是必然事件的是（ ）
A．守株待兔 B．百步穿杨 C．水中捞月 D．水涨船高
6．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
7．如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表．
种子个数 100 400 600 700 900 1000
发芽种子个数 94 337 530 664 858 951
发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951
由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（ ）
A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95
10．如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是 ．
12．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ．
13．月日，新加坡立化中学到访我校，上午计划去八年级班随机观摩一节课，如表是当天上午的课表，如果每一个班级的每一节课被观摩的可能性是一样的，则恰好观摩到语文课的概率是 ．
节次 班 班 班 班 班 班
第节 英语 语文 英语 数学 数学 英语
第节 生物 历史 数学 美术 英语 地理
第节 数学 音乐 道法 英语 形体 历史
第节 语文 英语 日语 语文 语文 数学
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
15．从不等式的负整数解中任意取一个数作为的值，则关于的分式方程的解是正整数的概率为 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）一个不透明的袋子中装有个红球和个蓝球，每个球除颜色外都相同．
(1)从这个袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是多少？
(2)往这个袋子中再放入个球，其中有个红球，从袋中任意摸出一个球，则摸到红球的概率是多少？
17．（8分）如图，现有一个转盘被平均分成六等份，分别标有1，2，3，4，5，6这六个数字，转动转盘，当转盘停止后，指针所指区域的数字即为转出的数字（若指针落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向标有数字的区域为止）．
(1)转出的数字为8是__________（填“不确定事件”“必然事件”或“不可能事件”）．
(2)转动转盘，转出的数字不大于2的概率是多少？
18．（9分）（精灵天团）是泡泡玛特旗下的独家潮玩，主要角色为、、、等．
某商场推出了“购物抽盲盒”活动，每个盲盒包含其中一个角色，且每个盲盒被抽中的概率相同．商场记录顾客抽到获得的数据如下：
抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000
抽到的次数m 11 20 b 79 128 161
抽到的频率 a
(1)表中的______，______．
(2)“抽到”的概率的估计值是______（精确到）；
(3)商场准备的2000个盲盒全部抽完，除外，若顾客抽到其他三种角色的概率相同，则抽到的次数是多少个？
19．（8分）一个不透明的箱子里放了9个除颜色外其余完全相同的乒乓球，其中白色乒乓球有5个，黄色乒乓球有4个．
(1)从中任意摸出一个乒乓球，求摸到黄色乒乓球的概率；
(2)如果要使摸出白色乒乓球和黄色乒乓球的概率相等，可以进行怎样的操作？（写一种方法即可）
20．（10分）某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分100分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，D等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图：
(1)本次抽取的学生共有______人，他们成绩的中位数落在______等级；
(2)频数分布直方图中B等级有______人，扇形统计图中D等级所对应的百分比为______；
(3)若竞赛成绩为优秀，估计全校2000名学生中成绩达到优秀的人数约______人；
(4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是_____．
21．（9分）中国在数学领域有着悠久的历史和丰富的成就，其中广为流传的数学著作有《九章算术》《周髀算经》等，而代表古希腊数学最高成就的著作当属《几何原本》．学校图书馆现有《九章算术》现代印刷版2本，《周髀算经》《几何原本》现代印刷版各1本．爱好数学的小颖和小华一起来到图书馆，想从这4本数学著作中先后各自随机选取一本进行阅读．
(1)小华选取到《九章算术》是 事件（填“必然”“随机”或“不可能”）；
(2)小颖恰好选取到《几何原本》的概率为 ；
(3)将2本《九章算术》、1本《周髀算经》和1本《几何原本》分别用表示，请用列表或画树状图的方法，求小颖和小华都选取到中国数学著作的概率．
22．（11分）为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为_______度；
(3)若该校共有学生1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
(4)现选出了4名跳绳成绩最好的学生，其中有1名男生和3名女生．要从这4名学生中任意抽取2名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
23．（12分）项目式学习【项目背景】为方便师生雨天出行，某校在校园内设置了4个共享雨伞放置区，总投放240把雨伞．小明发现雨天时各放置区的雨伞使用效率差别很大，有些放置区的雨伞不够用，而有些放置区的雨伞被闲置，为探究雨伞的合理投放方案，小明和同学们展开了研究．
【数据收集】在雨天到各放置区对师生使用共享雨伞的情况，人流量进行数据收集，数据如表1，表2：
表1：师生使用共享雨伞情况的抽样调查数据
放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼
经过放置区的师生人数 80 110 70 90
使用共享雨伞的人数 6 8 7 6
表2：雨天经过放置区的平均人流量
放置区 教学楼 图书馆 饭堂 宿舍楼
人流量（单位：人） 280 330 200 225
【问题解决】
(1)经过饭堂的师生使用共享雨伞的概率是多少？
(2)请设计一个合理的投放方案，应对该校师生使用共享雨伞的需求．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题09 概率初步（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版）
考点01 事件类型的判断
考点02 简单概率公式计算
考点03 用列举法求概率
考点04 判断游戏的公平性
考点05用频率估计概率
考点06概率与统计的综合应用
考点01 事件类型的判断
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，中央台正在播放“神舟二十号发射升空”的新闻
B．从《西游记》、《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》，从这四本书中随机抽取一本是《三国演义》
C．太阳一定从东方升起，西方落下
D．小华在购票平台一定能抢到世界女排联赛的门票
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类，熟记必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题关键．
必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；根据定义，对每个选项逐一判断即可解答．
【详解】解：A选项：打开电视机时，中央台可能播放其他节目，并非必然播放神舟二十号新闻，属于随机事件；
B选项：从四本书中随机抽取一本，抽到《三国演义》的概率为，属于随机事件；
C选项：太阳东升西落由地球自转规律决定，是必然发生的自然现象，属于必然事件；
D选项：抢票结果受多种因素影响，无法保证一定成功，属于随机事件；
故选：C
2．（24-25九年级上·山西运城·期末）下列事件是随机事件的是（ ）
A．将花生油滴入水中，油会浮在水面上
B．买一张彩票中奖
C．任意掷两枚质地均匀的骰子，掷出点数之和为1
D．在10个同类产品中，有9个合格品和1个次品．从中任意抽出2个，抽到的都是次品
【答案】B
【分析】此题主要考查了随机事件以及不可能事件、必然事件的定义，正确理解在一定条件下的重复实验中，有可能发生，也有可能不发生的事件是随机事件；在一定条件下的重复实验中，一定不发生的时间是不可能事件；在一定条件下的重复实验中，一定会发生的事件是必然事件是解题关键．
根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，逐一分析各选项．
【详解】A、花生油密度小于水，滴入水中必然浮起，属于必然事件，故本选项不符合题意；
B、彩票中奖结果不确定，可能发生也可能不发生，符合随机事件的定义，故本选项符合题意；
C、两枚骰子最小点数和为2，和为1不可能发生，属于不可能事件，故本选项不符合题意；
D、仅有1个次品，无法同时抽出2个次品，属于不可能事件，故本选项不符合题意，
故选：B．
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）下列词语所描绘的情景事件中，是随机事件的是（ ）
A．日出东方 B．刻舟求剑 C．守株待兔 D．水中捞月
【答案】C
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念.必然事件指在一定条件下一定发生的事件.不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一分析进行解答即可．
【详解】解：A. 日出东方，是必然事件，故该选项不符合题意；
B. 刻舟求剑，是不可能事件，故该选项不符合题意；
C. 守株待兔，是随机事件，故该选项符合题意；
D. 水中捞月，是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选：C．
4．（2025·江苏泰州·二模）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．明天将下雨
B．买一张电影票，座位号是奇数号
C．小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来
D．一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球
【答案】D
【分析】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可．
【详解】解：明天将下雨、买一张电影票，座位号是奇数号、小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来，都是随机事件，
一个口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件，
故选：D．
5．（2025·浙江嘉兴·一模）下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和为 B．打开电视机正在播放广告
C．在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D．抛一枚硬币正面向上
【答案】A
【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行判断即可．
【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意；
B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意；
D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意；
故选A．
6．（24-25九年级上·浙江台州·期末）下列事件为随机事件的是（ ）
A．地球绕太阳转 B．自然状态下的水从低处向高处流
C．明天太阳从东方升起 D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
【答案】D
【分析】本题考查了事件的分类，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．必然事件和不可能事件统称为确定事件．
【详解】解：A．地球绕太阳转是必然事件；
B．自然状态下的水从低处向高处流是不可能事件；
C．明天太阳从东方升起是必然事件；
D．投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上为随机事件．
故选D．
考点02 简单概率公式计算
一、填空题
1．（24-25九年级上·北京通州·期末）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有3张“立冬”，4张“小寒”，1张“大寒”，这些卡片除了画面内容外其他都相同，从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为 ．
【答案】/0.5
【分析】本题考查了随机事件可能性的大小，掌握概率等于所求情况数与总情况数之比是解题关键．根据在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，进行计算即可得出答案．
【详解】解：∵在一个不透明的盒子中装了8张关于“二十四节气”的卡片，其中有4张“小寒”，
∴从中随机摸出一张卡片，恰好是“小寒”的可能性为．
故答案为：．
2．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）一个质地均匀的小正方体，6个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，若随机投掷一次小正方体，则朝上一面的数字是1的概率为 ．
【答案】
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】解：∵六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6，
∴随机投掷一次这枚骰子，朝上一面的数字是1的概率为，
故答案为：．
3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某单位组织抽奖活动，共准备100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，其余的奖券都是三等奖，则从中随机抽出一张奖券中三等奖的概率是 ．
【答案】/0.6
【分析】本题考查了概率公式，用三等奖的数量除以奖券的总个数即可．
【详解】解：100张奖券，其中一等奖10张，二等奖30张，则三等奖张，
∴一张奖券中三等奖的概率为．
故答案为：．
4．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）2024年国庆期间，南明电影院同时上映了《志愿军：存亡之战》、《浴火之路》、《只此青绿》3部电影，李明打算随机选一部电影观看，那么他选中《只此青绿》的概率是 ．
【答案】
【分析】根据等可能事件概率的计算公式即可完成．
本题考查了简单事件的概率，掌握简单事件概率的计算公式是关键．
【详解】任意选择一部电影观看的所有可能结果数为：3，而选择《只此青绿》观看的可能结果数为1，则选择《只此青绿》观看的概率为：
故答案为：
二、解答题
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）从背面相同的同一副扑克牌中取出红桃3张，方块5张，黑桃8张，梅花4张．现将这些牌洗匀背面朝上放到桌子上．
(1)从中任意抽一张牌，抽到______花色的概率最大；
(2)求从中抽出一张是方块的概率；
(3)现从桌子上抽掉x张黑桃，再放入x张红桃，并洗匀且背面朝上排开后，随机抽一张是红桃的概率是，那么抽掉了多少张黑桃？
【答案】(1)黑桃
(2)
(3)抽掉了5张黑桃
【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据概率公式计算出抽到各花色的概率，再进行比较即可得出结论；
（2）用方块的张数除以总张数计算即可；
（3）设抽掉了x张黑桃，放入x张的红桃，根据概率公式列方程求解即可得到结论
【详解】（1）解：因为取出红桃3张，方块5张，黑桃8张，梅花4张．一共取出20张牌，
所以，从中任意抽一张牌，抽到红桃的概率为；
从中任意抽一张牌，抽到方块的概率为；
从中任意抽一张牌，抽到黑桃的概率为；
从中任意抽一张牌，抽到梅花的概率为；
∵，
∴从中任意抽一张牌，抽到黑桃的概率最大，
故答案为：黑桃；
（2）解：由（1）知，从中抽出一张是方块的概率为；
（3）解：设抽掉了x张黑桃，放入x张的红桃，
根据题意得，，
解得：，
答：抽掉了5张黑桃；
6．（24-25九年级上·山西运城·期末）在2025年太原市举办的“魅力龙城”文化展览活动期间，主办方设置了一个抽奖环节．抽奖箱里有20张除正面图案外完全相同的卡片，其中5张卡片上印有太原市的标志性景点晋祠图案，3张卡片上印有山西省博物院的特色文物图案，8张卡片上印有山西传统面食图案，剩余卡片上印有太原古县城建筑图案．求从抽奖箱中随机抽取一张卡片，恰好抽到印有太原古县城建筑图案卡片的概率．
【答案】
【分析】本题主要考查了简单的概率计算．先求得印有太原古县城建筑图案卡片的卡片数，用这个卡片数除以卡片总数即可得到答案．
【详解】解：（张）
从二十张卡片中任取一张共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，抽到印有太原古县城建筑图案卡片的结果有4种，
∴恰好抽到印有太原古县城建筑图案卡片的概率为．
考点03 用列举法求概率
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：列表如下：
-
-
-
-
由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，
灯泡发光的概率为，
故选：A．
二、解答题
2．（24-25九年级上·山西临汾·期末）山西的四大旗舰物种是黑鹳（）、原麝（）、华北豹、褐马鸡．某校的野生动植物保护兴趣小组想要将该四大旗舰物种作为自己的课外调查研究内容，但由于时间关系，每位小组成员只能从中随机选择一种调查研究，为保持公平性，他们将这四大旗舰物种的图片制成了四张质地、大小完全相同的卡片，将卡片背面朝上洗匀后，该小组成员小颖和小梅各自从中随机抽取一张来确定自己的课外调查研究内容（第一人抽完放回洗匀后另一人再抽取）．请你用列表或画树状图的方法，求两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率．
【答案】两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率是．
【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，正确理解列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
根据题意画出树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，然后根据概率公式求解即可．
【详解】解：“黑鹳”“原麝”“华北豹”“褐马鸡”四种动物分别用表示，
画树状图如图，
由图可知，共有种等可能结果，其中两人恰好抽取到同一旗舰物种卡片的有种，
∴两人抽取到同一旗舰物种卡片的概率是．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）2025年山西省中考体育在原有基础上，增加了足球、篮球、排球考试项目，考生可根据自身实际，从三个项目中选择一项进行考试．某次篮球训练中，甲、乙、丙、丁四人做传球游戏．游戏规则是：第一次传球由持球者甲将球随机传给乙、丙、丁中的某一人，以后的每一次传球都由持球者随机传给其他三人中的某一人．
(1)第一次传球后，球恰好在乙手中的概率是 ；
(2)求第二次传球后，球恰好在甲手中的概率．
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了树状图法计算概率，计算概率的方法有树状图法与列表法，画树状图是解题关键．
（1）球先在甲手里，第一次可以随机给乙、丙、丁任意一个人；
（2）若第一次给乙，第二次可以随机给除了乙以外的三个人．
【详解】（1）解：画树状图，如图所示：
，
从树状图看出，第一次传球后共有种情况，
球恰好在乙手中的只有种情况，
故球恰好在乙手中的概率是，
答：第一次传球后，球恰好在乙手中的概率是；
（2）解：画树状图，如图所示：
，
从树状图看出，第二次传球后，共有种情况，
球恰好在甲手中的情况有种情况，
故球恰好在甲手中的概率为，
答：第二次传球后，球恰好在甲手中的概率是．
4．（24-25九年级上·北京东城·期末）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签A，B，C，D，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．
(1)从中随机抽取1张，抽到“孟子”书签的概率是________；
(2)从中随机一次性抽取2张，用列表法或树状图法，求随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．
（1）由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽到“孟子”书签的结果有1种，
∴抽到“孟子”书签的概率为，
故答案为：；
（2）解：列表如下：
A B C D
A
B
C
D
共有12种等可能的结果，其中随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的结果有：，，共2种，
∴随机抽取的2张书签恰好是“孟子”和“大学”的概率为．
5．（24-25九年级上·江苏南通·期末）2025年江苏省城市足球联赛期间，为促进文旅消费，南通市面向符合条件的游客推出四个免费景区：A（狼山风景区）、B（濠河风景区）、C（南通博物苑）、D（紫琅湖公园）．某周六上午，甲、乙两位符合条件的游客随机选择其中一个景区游览（每个景区被选择的可能性均等）．
(1)甲选择濠河风景区（B景区）的概率为______；
(2)请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人选择同一景区的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中甲选择濠河风景区景区的结果有种，利用概率公式可得答案．
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及甲、乙两人选择同一景区的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有种等可能的结果，其中甲选择濠河风景区景区的结果有种，
甲选择濠河风景区景区的概率为．
故答案为：．
（2）解：列表如下：
共有种等可能的结果，其中甲、乙两人选择同一景区的结果有种，
甲、乙两人选择同一景区的概率为．
6．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）2024山下湖 世界珍珠大会在浙江省诸暨市开幕，澳白、南阳金珠、大溪地黑珍珠、Akoya是目前最热销的珍珠种类，现有四张正面印有这四种珍珠的不透明卡片，依次记为，，，，这四张卡片除正面图案不同外，其余均相同．将这四张卡片背面向上洗匀，小张从中随机抽取进行珍珠品类调研．
(1)若随机抽取一张，求抽到卡片的概率；
(2)若小张随机抽取一张，不放回，再抽取一张，用画树状图或列表的方法求卡片和同时被抽中的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用简单地概率公式计算即可；
（2）用画树状图的方法解答即可．
本题考查了简单地概率公式，画树状图法其余概率，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】（1）解：共有4种等可能的结果，A有1种，
故抽到卡片的概率为．
（2）解：根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好选中A”和B的有2种，
∴恰好选中和同时被抽中的概率．
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）小滨和小江一起进行摸球游戏：在一个不透明的箱子中放有2个白球和2个黑球，小球除颜色不同外其余都相同．
小滨：从该箱子中随机摸出一个球，摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同．
小江：从该箱子中随机摸出一个球后不放回，摇匀后再从中摸出一个球．摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率相同．
请判断小滨和小江的说法是否正确，并说明理由．
【答案】小滨的说法正确，小江的说法不正确．理由见解析
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式．从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种，再利用概率公式可得摸出白球的概率和摸出黑球的概率，进而可得结论；列表可得出所有等可能的结果数以及摸出一白一黑的小球的结果数和摸出颜色相同的小球的结果数，再利用概率公式可得摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率，进而可得结论．
【详解】解：小滨的说法正确，小江的说法不正确．
理由：从该箱子中随机摸出一个球，共有4种等可能的结果，其中摸出白球的结果有2种，摸出黑球的结果有2种，
∴摸出白球的概率为，摸出黑球的概率为，
∴摸出白球的概率和摸出黑球的概率相同，
故小滨的说法正确．
列表如下：
白 白 黑 黑
白 （白，白） （白，黑） （白，黑）
白 （白，白） （白，黑） （白，黑）
黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑）
黑 （黑，白） （黑，白） （黑，黑）
共有12种等可能的结果，其中摸出一白一黑的小球的结果有8种，摸出颜色相同的小球的结果有4种，
∴摸出一白一黑的小球的概率为，摸出颜色相同的小球的概率为，
∴摸出一白一黑的小球的概率和摸出颜色相同的小球的概率不相同，
故小江的说法不正确．
考点04 判断游戏的公平性
一、解答题
1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在一个不透明的小口布袋中装有4个标有1，2，3，4的小球，它们的质地、大小完全相同，小明从布袋里随机摸出一个小球，记下数字为x，小红在剩下的3个小球中随机摸出一个小球，记下数字为y，这样确定了点M的坐标
(1)画树状图或列表，写出点M所有可能的坐标．
(2)小明和小红约定做一个游戏，其规则为：x、y若满足，则小明胜；否则，小红胜；这个游戏公平吗？说明理由．
【答案】(1)图见解析，，，，，，，，，，，，
(2)公平，理由见解析
【分析】本题考查列表或画树状图法求概率，概率的计算．
（1）画树状图列出所有等可能的结果，根据x，y对应的值写出坐标即可；
（2）根据概率公式计算出小明、小红获胜的概率，即可求解．
【详解】（1）解：画树状图为：

共12种等可能的结果，
点M可能的坐标为：，，，，，，，，，，，．
（2）解：点M的坐标为，，，，，时，x、y若满足，
小明胜的概率为：，小红胜的概率为：，
这个游戏公平．
2．（24-25九年级上·山西晋中·期末）小明和小颖在一起做游戏．从一个装有4个红球和3个绿球（每个球除颜色外都相同）的不透明口袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜．
(1)小明获胜的概率是多少？小颖获胜的概率是多少？
(2)该游戏对双方是否公平？若公平，请说明理由；若不公平，如何设计该游戏，使该游戏对双方公平．
【答案】(1)小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是
(2)该游戏对双方不公平，设计该游戏规则见解析
【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．
（1）根据概率公式分别计算出摸到红球和绿球的概率，比较大小即可得出答案；
（2）答案不唯一，只需使两者获胜的概率相等即可．
【详解】（1）解：（小明获胜），
（小颖获胜），
答：小明获胜的概率是，小颖获胜的概率是．
（2）解：该游戏对双方不公平，
设计该游戏规则为：如可以将其中一个红球换成黄球，从袋中任意摸出一个球，摸到红球小明获胜，摸到绿球小颖获胜，摸到黄球为平局（答案为不唯一，使小明和小颖获胜的概率一样即可）．
3．（24-25九年级上·北京西城·期末）在一个不透明的口袋内装有三个完全相同的小球，把它们分别标号为，，1．小红和小明进行摸球游戏：小红先从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号后放回并摇匀，接着小明从口袋中随机摸取一个小球，记下其标号．
(1)用树状图或列表法表示这个摸球游戏的所有结果；
(2)规定：若，则小红获胜；若，则小明获胜．
①当时，判断小红和小明谁获胜的可能性大，并说明理由；
②如果小红获胜的可能性比小明大，直接写出的取值范围．
【答案】(1)见解析
(2)①小明获胜的可能性大，理由见解析；②
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）根据题意列出图表，得出所有等可能的情况数即可；
（2）①根据概率公式求出小明和小红获胜的概率，再进行比较，即可得出答案；
②如果小红获胜的可能性比小明大，则，解不等式即可得出答案．
【详解】（1）解：列表如下：
m 1
m
1
共有9种等可能的情况数；
（2）解：①小明获胜的可能性大，理由如下：
当时，，，，
∴的情况有4种，概率为，
的情况有5种，概率为，
∵，则小红获胜；若，则小明获胜，，
∴小明获胜的可能性大；
②∵由（1）可得9种情况中，，，满足，满足，
∴如果小红获胜的可能性比小明大，则剩下5种情况中至少有4个满足，
∴，，
解得，
即如果小红获胜的可能性比小明大，的取值范围为．
4．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）小志和小远玩摸球游戏，他们在一个不透明的箱子里装了6个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同．他们从中任意摸出一个球，若摸到红球则小志获胜，若摸到黄球则小远获胜．
(1)小志获胜的概率是__________；
(2)这个游戏公平吗？若不公平，进行怎样的操作可以使游戏公平？（写一种即可）
【答案】(1)
(2)游戏不公平，可在箱子里再放入个黄球，游戏公平．
【分析】（1）根据概率公式，用红球个数除以球的总个数求小志获胜概率．
（2）比较两人获胜概率判断是否公平，再思考使概率相等的操作．
本题主要考查了概率的计算与游戏公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵ 箱子里有个红球，个黄球，球的总数为个，
∴ 小志获胜的概率是．
（2）解：∵ 小远获胜的概率是，，
∴ 这个游戏不公平．
可在箱子里再放入个黄球（操作不唯一），此时红球个，黄球个，两人获胜概率均为，游戏公平．
5．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）国庆假期，小明一家准备去西安某景点旅游，出发前需要采购一些生活用品，小明提议采用掷骰子的方式决定谁去采购．小明抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字），若向上的点数是3的倍数，则妈妈去；若向上的点数不是3的倍数，则爸爸去．
(1)上述方式公平吗？请说明理由；
(2)为了能使游戏更为公平，请你帮小明设计一种对爸爸、妈妈都公平的规则，并说明你的设计依据．
【答案】(1)不公平，理由见解析，
(2)若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去．（不唯一）
【分析】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键．
（1）直接得出是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案．
（2）保证他们的概率相等即可．
【详解】（1）根据题意可知，抛掷这个骰子得到的数共6种等可能结果，其中是3的倍数是3，6共2种结果，
所以向上的点数是3的倍数的概率为：．
向上的点数不是3的倍数的概率为：．
∴爸爸去的概率大，不公平，
（2）保证爸爸、妈妈去的概率相等即可；
如：若向上的点数是奇数，则妈妈去，若向上的点数是偶数，则爸爸去，此时他们的概率为，所以公平．
6．（24-25九年级上·吉林延边·期末）有两个可以自由转动的均匀转盘、，分别被分成4等份、3等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下：
①分别转动转盘与．
②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）．
③如果和为0，甲获胜；否则乙获胜．
你认为这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】这个游戏对双方不公平，理由见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求出和为0的概率，根据概率的大小判断游戏规则不公平．
【详解】解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
列表如下：
╲ 0
0 0
2 2 1 0
3 3 2
共有种等可能的结果，其中和为的结果有种，
甲获胜的概率，乙获胜的概率为：，
∵，
二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平．
7．（24-25九年级上·河北张家口·期末）甲、乙两个不透明的袋子中，分别装有大小材质完全相同的小球，其中甲口袋中小球编号分别是1，2，3，4，乙口袋中小球编号分别是2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下编号为m，再从乙口袋中摸出一个小球,记下编号为n．
(1)如图，嘉嘉用树状图表示的所有可能情况，请补全树状图．
(2)游戏规则：时，小明获胜；时，小刚获胜．请说明此游戏规则是否公平．
【答案】(1)见详解
(2)此游戏规则不公平
【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；
（2）结合画树状图展示所有12种等可能的结果数，再得出满足，共3种等可能结果，满足，共6种等可能结果，即可作答．
本题考查了列表法与树状图法、以及概率公式；画出树状图是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，树状图如图所示：
所有的等可能结果有，，，，，，，，，，，共12种结果；
（2）解：由（1）得所有的等可能结果有，，，，，，，，，，，，共12种等可能结果；
∴满足的等可能结果有，，，共3种等可能结果，
则满足的等可能结果有，，，，，，共6种等可能结果，
∵，
∴此游戏规则不公平．
考点05用频率估计概率
一、单选题
1．（24-25九年级上·北京·期末）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验，如图显示的是某一事件发生的频率，该事件可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，正面向上
B．掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2
C．从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃
D．同时掷两枚质地均匀的硬币，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上
【答案】C
【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率计算公式，用树状图法计算概率，掌握相关知识是解决问题的关键．大量反复试验下频率稳定值即概率．先由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，再分别计算四个选项中事件发生的概率即可求解．
【详解】解：由图可知，该事件发生的频率稳定在附近，所以估计该事件发生的概率为，
A、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上的概率为，故不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的骰子，它的六个面上分别刻有1到6的点数，出现点数是2的概率为，故不符合题意；
C、从只装有2张黑桃和1张红桃除花色外都相同的扑克牌盒中随机抽取一张，抽出的牌是红桃的概率为，故符合题意；
D、同时掷两枚质地均匀的硬币，
共有四种等可能性的结果，其中一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有两种，则一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为，故不符合题意；
故选：C
二、填空题
2．（24-25九年级上·山西运城·期末）1777年，法国科学家布丰提出了投针试验问题，他准备了一张画着等距平行线的大白纸，还有许多质地均匀，长度为相邻两平行线间距一半的小针．布丰邀请朋友们参与这个独特的实验，参与者逐一将小针投掷到纸面上，布丰则认真记录每次投掷中小针与平行线相交的情况，下表是实验数据：
投掷次数n 相交次数m 相交频率
100 28 0.28
500 138 0.276
1000 273 0.273
5000 1354 0.2708
10000 2698 0.2698
据此，可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为 ．（精确到0.01）
【答案】0.27
【分析】本题主要考查了频率与频数分布表，用频率估计概率，大量反复试验下，频率的稳定值即为概率值，据此可得答案．
【详解】解：由表格可知，随着实验次数的增加，小针与平行线相交的频率逐步稳定在0.27附近，
∴可以估计任意投掷一枚小针，小针与平行线相交的概率约为0.27，
故答案为：0.27．
三、解答题
3．（24-25九年级上·山西晋中·期末）一个不透明的箱子里装着若干除颜色外其它均相同的小球，某数学兴趣小组从中随机摸出一个小球记下颜色后放回，不断重复，得到如下数据：
摸球总次数 150 200 250 300 350 400
摸到红球的次数 98 126 150 173 198
摸到红球的频率 0.520 0.490 0.504 0.500 0.505
(1)上表中的________，________（小数形式）；
(2)“摸到红球”的概率估计值为________；（精确到0.1）
(3)若箱子中装有红、白、黑三种颜色的球共20个，其中白球的个数比黑球个数的2倍少2个，求摸到黑球的概率．
【答案】(1)78，0.495
(2)0.5
(3)摸到黑球的概率为0.2
【分析】本题考查了频率估计概率，求解随机事件的概率．
（1）根据表中的数据，结合频数，频率，数据总数之间的关系可得答案；
（2）由频率估计概率可得答案；
（3）设黑球有个，则白球有个；可得，再进一步即可解答．
【详解】（1）解：，；
（2）解：由表可知，当n很大时，摸到红球的频率将会接近，
∴摸到红球的概率估计值是；
（3）解：设黑球有个，则白球有个；
∴，
解得：，
∴摸到黑球的概率为
答：摸到黑球的概率为．
4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）转动如图所示的圆形转（转盘中各个扇形的面积相等），转盘停止时，指针随机指向一个扇形．
转动次数
获得“看电影”的次数
(1)转动一次指向“零食”的概率为______；“文具”所占的圆心角度数总和为______；
(2)将扇形上的文字项目重新填写，在八个面上分别写上“看电影”“打篮球”“唱歌”三种项目，经过多次转动后得到数据见上面表格，根据表格估算：
①八个扇形中写有“看电影”的面数为______；
②转动转盘次，估计转得“看电影”的次数约为______
【答案】(1)；
(2)①面；②
【分析】本题考查了概率的计算（包括简单几何概率、用频率估计概率）．对于几何概率，关键是确定所求区域个数与总区域个数的关系；用频率估计概率时，通过多次试验的频率稳定值来估算概率，再利用概率解决相关问题．
（1）根据概率公式，求指向“零食”的概率，即“零食”区域个数除以总区域个数；求“文具”所占圆心角度数总和，先求“文具”区域个数占比，再乘以．
（2）先计算多次试验中“看电影”的频率，用频率估计概率，再根据概率计算“看电影”的面数和转动800次“看电影”的次数．
【详解】（1）由题意知，共有种等可能的结果，其中转动一次指向“零食”的结果有种，
转动一次指向“零食”的概率为．
“文具”所占的圆心角度数总和为．
故答案为：；．
（2）①计算“看电影”的频率:．随着试验次数增加，频率稳定在0.375左右，
八个扇形中写有“看电影”的面数为（面）
故答案为：．
②（次），
转动转盘次，估计转得“看电影”的次数约为次．
故答案为：．
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）某校开设了内容丰富的社团活动，大受同学们的欢迎．
(1)若小丽和小红在“．快乐农场”、“．鲁班传人”、“．花式编织”这三个社团中各随机选择1个，求她们选到相同社团的概率．（社团名称可用，，表示）
(2)小亮参加了“快乐农场”社团，准备种植一批油麦菜，他经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表：
实验种子数量（粒） 100 200 300 600 800 1200
发芽种子数量（粒） 93 185 283 569 761 1139
种子发芽率（精确到0.001） 0.930 0.925 0.943 0.948 0.951 0.949
①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为______（精确到0.01）．
②社团成员在农场播种2000粒该批种子，估计大约能有多少粒种子发芽？
【答案】(1)
(2)①；②大约能有粒种子发芽
【分析】本题考查了用列表法或树状图法求概率，用频率估计概率，由样本估计总体，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可．
（2）①当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，由此即可得解；②用2000乘以①中得到的发芽率即可得解．
【详解】（1）解：画树状图为：
共有种等可能出现的结果，其中她们选到相同社团的情况有种，
故她们选到相同社团的概率为；
（2）解：①根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为；
②（粒），
故大约能有粒种子发芽．
6．（24-25九年级上·河北保定·期末）在一个不透明袋子中装有颜色不同的黑、白两种球共40个球，嘉嘉做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．如图是“摸到白球”的频率折线统计图．
(1)根据统计图，估算盒子里黑、白两种颜色的球各多少个？
(2)如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】(1)白球20个，黑球20个
(2)10个
【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用，大量反复试验下频率稳定值即概率．
（1）由折线统计图知，当摸球次数很大时，摸到白球的概率将会接近，所以摸到白球的概率为，据此用球的总个数乘以白球概率可得白球数量，继而可得答案；
（2）设需要往盒子里再放入x个白球，根据题意得出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：白球的个数：，
黑球的个数：；
（2）解：设需要往盒子里再放x个白球，由题意，得
解得，
答：需要再往盒子里放入10个白球．
考点06概率与统计的综合应用
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）穿越千年的时光长廊，山西在等你．近年来山西省在文旅方面下了不少功夫，就如2024年，借助热门游戏《黑神话悟空》的影响力，我省文化和旅游厅推出了“跟着悟空游山西”系列活动，推动了山西文旅走向全国、走向世界．下面是山西文旅集团推出的五条旅游研学线路：
A游山西，读中华文明演进史；B游山西，读民族融合发展史；C游山西，读古代建筑艺术史；D游山西，读汇通天下晋商史；E游山西，读中国红色革命史．
某校为了了解九年级学生对哪条研学线路最感兴趣，从该校九年级学生中随机抽取若干名学生进行调查，绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图（均不完整）．
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，E在的圆心角的度数是_____________．
(2)森森和圆圆作为本校九年级的优秀代表将参加这次研学活动（每人仅选一条线路），请你用列表或画树状图的方法求他们选择同一条线路的概率．
【答案】(1)见解析；90
(2)
【分析】本题主要考查了统计图，圆心角的定义，树状图求概率等知识点，解决此题的关键是熟练掌握以上知识点．
（1）根据A的人数和比例，可以算出这次参加的总人数为80人，再算出E的比例乘以即可得到答案；
（2）根据树状图求概率法，画出树状图，得到等可能的结果共25种，即可得到答案；
【详解】（1）解：由题和图可知∶总人数为（人），
∴D的人数为：（人），如图所示；

∴E在的圆心角的度数是，
故答案为：．
（2）
解：
【点睛】共有25种等可能的结果，其中森森和圆圆选同一条路线的有5种，P（森森和圆圆选同一条路线）．
2．（23-24九年级上·河南周口·期末）某校第二课堂准备设置球类课程，随机抽取部分学生进行问卷调查，被调查学生须从“羽毛球”“篮球”“足球”“排球”“乒乓球”中选择自己最喜欢的一项．根据调查结果绘制了不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中信息，解答下列问题：
(1)此次共调查了_______名学生；
(2)将条形统计图补充完整；
(3)该校把最受欢迎的“羽毛球”“篮球”“足球”设置为选修内容．小明和小亮分别从三个项目中任选一项进行训练，利用树状图或表格求出他俩选择同一项目的概率．
【答案】(1)200
(2)统计图见解析
(3)树状图见解析，概率为
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，树状图或列表法求概率，读懂题意并正确求解是解题的关键．
（1）用最喜欢羽毛球的人数除以羽毛球在扇形统计图中圆心角占的百分比即可得到答案；
（2）用总人数减去已知各部分的人数得到喜欢足球的人数，补全条形统计图即可；
（3）根据题意画出树状图，用他俩选择同一项目的情况数除以总的情况数即可得到答案．
【详解】（1）此次共调查的学生有：（名）；
（2）足球的人数有：（名），补全统计图如图：
（3）设“羽毛球”“篮球”“足球”分别为A、B、C，根据题意画树状图如图：
共有9种等可能的情况，其中他俩选择相同项目的有3种，
则P（他俩选择相同项目）．
3．（24-25九年级上·北京大兴·期末）大兴区在创建书香校园，推进学生阅读素养提升活动中，通过实施扩大阅读供给空间，调整阅读供给方式，增加优质阅读供给内容等举措，为学生“爱读书、读好书、善读书”搭建了丰富的活动平台，营造了书香浸润的氛围．为了解本区初中生每周用于课外阅读的时间，制订了如下调查方案，并进行数据统计分析．
【调查方案】
方案 调查方式
① 在指定一所学校中随机抽取500名学生进行调查分析
② 在全区初中生中随机抽取500名学生进行调查分析
③ 在全区八年级男生、女生中各随机抽取250名学生进行调查分析
【数据整理】将抽取的500名学生每周用于课外阅读的时间单位：分钟的数据，划分为四个等级：，，，，并绘制成如下不完整的统计图．
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)三个方案中调查方式合理的是______填“①”或“②”或“③”；
(2)请补全条形统计图；
(3)在全区抽取的D等级样本中，某校有3名学生被抽中，其中2名男生和1名女生．该校计划从这3名学生中，随机抽取2名学生进行读书活动的展示分享，请用画树状图或列表法，求恰好选中1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)②
(2)见解析
(3)
【分析】（1）结合抽样调查的定义可得答案．
（2）分别求出B，C等级的人数，补全条形统计图即可．
（3）列表可得出所有等可能的结果数以及恰好选中1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，三个方案中调查方式合理的是②．
故答案为：②．
（2）解：等级的人数为人，
C等级的人数为（人）；
补全条形统计图如图所示．
（3）解：列表如下：
男 男 女
男 男，男 男，女
男 男，男 男，女
女 女，男 女，男
共有6种等可能的结果，其中恰好选中1名男生和1名女生的结果有4种，
恰好选中1名男生和1名女生的概率为
【点睛】本题考查列表法与树状图法、全面调查与抽样调查、条形统计图、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、概率公式是解答本题的关键．
4．（24-25九年级上·湖南长沙·开学考试）某中学举行了“垃圾分类，绿色环保”知识竞赛活动，根据学生的成绩划分为A，B，C，D四个等级，并绘制了不完整的两种统计图：
根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)参加知识竞赛的学生共有______人，并把条形统计图补充完整；
(2)扇形统计图中，______，______，C等级对应的圆心角为______度；
(3)小明是四名获A等级的学生中的一位，学校将从获A等级的学生中任选取2人，参加区举办的知识竞赛，请用列表法或画树状图，求小明被选中参加区知识竞赛的概率．
【答案】(1)40，图见解析
(2)10，40，144
(3)表见解析，小明被选中参加区知识竞赛的概率为
【分析】题目主要考查条形统计图与扇形统计图综合，用列表法或树状图法求概率等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
（1）根据D等级的频数及所占的百分比即可得出总的人数，然后乘以B等级所占的百分比即可得出B等级的人数，然后补全统计图即可；
（2）用A等级的频数除以总人数即可得出m的值；用度乘以C等级所占的比例即可；
（3）用列表法表示出所有等可能的结果，然后用概率公式求解即可．
【详解】（1）人，人，
故答案为：40，补全条形统计图如图所示：
（2），，
．
故答案为10，40，144；
（3）设除小明以外的三个人记作、、，从中任意选取2人，所有可能出现的情况如下：
一二 小明
小明 ，小明 ，小明 ，小明
小明， ， ，
小明， ， ，
小明， ， ，
共有12种等可能出现的情况，其中小明被选中的有6种，
所以小明被选中参加区知识竞赛的概率为．
5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）为推进扎实开展学校科学教育，光明学校组织学生开展了“科技创新月”活动，其中，计划进行以下四项活动实验：A．马德堡半球；B．塑料袋火箭；C．色彩爆炸；D．火山爆发．活动小组对该校部分学生进行随机问卷，调查“最期待的实验”，得到下列不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
(1)此次调查的学生人数；
(2)请补全条形统计图；
(3)已知“最期待的实验”中A项的4名学生中801班有1名，802班有1名，803班有2名，现从中抽取2名学生进行演示，请用列表或画树状图的方法，求从中抽到2名学生来自不同班级的概率．
【答案】(1)此次调查中接受调查的人数为人；
(2)见解析
(3)抽到的名学生来自不同班级的概率为．
【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，
（1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查中接受调查的人数；
（2）求出最期待项实验的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的名学生来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：∵（人），
∴此次调查中接受调查的人数为人；
（2）解：最期待项实验的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示．
；
（3）解：将来自801班的名学生记为甲，来自802班的名学生记为乙，来自803班的名学生记为丙，丁，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的名学生来自不同班级的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共种，
∴抽到的名学生来自不同班级的概率为．
6．（24-25九年级上·河北·期末）我校新一学年社团课即将开启，为了解初中部1200名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
(1)___________，这次共抽取了___________名学生进行调查；并补全条形图；
(2)请你估计该校约有___________名学生喜爱打篮球；
(3)现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三女一男）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
【答案】(1)，，补全条形图见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率以及扇形统计图、条形统计图的知识．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
（1）首先由条形图与扇形图可求得；由打篮球的人数有人，占的百分比为，可得总人数；计算出喜欢乒乓球的人数，然后补全条形统计图；
（2）用乘以样本中喜欢篮球的百分比可估计出该校最喜爱打篮球的人数；
（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】（1）解：，
抽查的总人数为：；
喜欢乒乓球的人数为：(人)．
补全图形如图所示；
故答案为：，．
（2）解：∵
∴该校约有名学生喜爱打篮球．
故答案为：．
（3）列表如下：
女1 女2 女3 男
女1 女2，女1 女3，女1 男，女1
女2 女1，女2 女3，女2 男，女2
女3 女1，女3 女2，女3 男，女3
男 女1，男 女2，男 女3，男
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女学生的概率是．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯的事件为（ ）
A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件
【答案】C
【分析】本题考查了事件的分类，理解随机事件的概念是解题的关键．根据事件类型的定义，遇到红灯可能发生也可能不发生，具有不确定性，因此属于随机事件．
【详解】解：∵ 交通信号灯的变化是随机的，
∴ 经过路口时可能遇到红灯，也可能遇到绿灯或其他信号，
∴ 该事件是随机事件．
故选：C．
2．如图，有两个同心转盘，现随意转动两转盘，两转盘静止后，恰为如图情形（大转盘与小转盘的标号相对应）的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先观察图形，可知有6种等可能的结果，大转盘与小转盘的标号相对应的情况有1种，然后根据概率公式求解，即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．
【详解】解：观察图形可知：只要1与1对应，则可满足大转盘与小转盘的标号相对应，
又∵1可能与1，2，3，4，5，6对应，即有6种等可能的结果，
大转盘与小转盘的标号相对应的情况有1种，
∴大转盘与小转盘的标号相对应的概率为．
故选：C．
3．迈尔斯-布里格斯性格分类测试中包含四大类十六种人格类型．分别是分析家、外交家、守护者、探险家，若小云同学参与测试，则他的人格类型是“外交家”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了概率公式的应用，根据概率公式求出他的人格类型是“外交家”的概率即可．
【详解】解：∵分类测试 中包含四大类十六种人格类型．“外交家”这一大类含4种人格类型，
∴他的人格类型是“外交家”的概率为．
故选：C．
4．下列说法合理的是（ ）
A．小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是
B．某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票一定会有5张中奖
C．某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是
D．小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是
【答案】D
【分析】本题考查了概率的意义，准确熟练地进行计算是解题的关键．
根据概率的意义，逐一判断即可解答．
【详解】解：A、小明做了3次抛瓶盖的实验，发现2次盖口向上，由此他说盖口向上的概率是，是错误的，3次试验不能总结出概率，故A不符合题意；
B、某彩票的中奖概率是，因此买100张彩票不一定会有5张中奖，故B不符合题意；
C、某射击运动员射击一次只有“中靶”与“不中靶”两种可能的结果，所以它们发生的概率都是，是错误的，“中靶”与“不中靶”不是等可能事件，故C不符合题意；
D、小明掷一枚质地均匀的硬币，他掷了3次，其中1次正面朝上、2次正面朝下．他认为再掷一次，正面朝上的概率是，故D符合题意；
故选：D．
5．成语作为中华优秀传统文化的精髓，既是历史馈赠的语言瑰宝，更是现代文化创新与国际传播的重要资源，下列成语所描述的事件，是必然事件的是（ ）
A．守株待兔 B．百步穿杨 C．水中捞月 D．水涨船高
【答案】D
【分析】根据事件发生的可能性大小判断．
本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，不符合题意；
B、百步穿杨，是随机事件，不符合题意；
C、水中捞月，是不可能事件，不符合题意；
D、水涨船高，是必然事件，符合题意；
故选：D．
6．明明和亮亮在一次大量重复试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ）
A．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的频率
B．掷一枚质地均匀的硬币，出身反面朝上的频率
C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到的是偶数的频率
D．从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案的频率
【答案】C
【分析】本题考查频率与概率的关系，概率的计算方法，掌握相关知识是解决问题的关键．在大量重复试验中，试验的频率逐步稳定在理论概率附近，先计算每个选项的概率，再结合统计图中频率稳定在左右的特征，匹配对应的试验．
【详解】解：由题意知，试验的频率约为，
A：掷均匀骰子，总共有 6 个等可能结果，出现 1 点的结果有 1 种，概率 ，与不符；
B：掷均匀硬币，总共有 2 个等可能结果，反面朝上的结果有 1 种，概率，与不符；
C：从标有 1、2、3 的纸条中抽取，总共有 3 个等可能结果，偶数只有 1 种，概率，与统计图中频率的稳定值一致；
D：单项选择题有 4 个选项，且只有 1 个正确答案，总共有 4 个等可能结果，选对正确答案的结果有 1 种，概率 ，与不符．
故选：C．
7．如图，小李与小陈做“石头，剪刀，布”的猜拳游戏，规定当两人出拳的手指数之和为奇数时小李获胜，则小李获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式；根据题意列出表格是解题的关键．
【详解】解：将小李与小陈的出拳情况的手指数之和列为下表：
石头 剪刀 布
石头 0 2 5
剪刀 2 4 7
布 5 7 10
则共有9种情况，其中两人出拳的手指数之和为奇数的情况有4种，
小李获胜的概率为．
故选：B．
8．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了利用列表法或画树状图法求概率，根据题意、正确画出树状图成为解题的关键．
正确画出树状图确定所有可能的结果数和能让灯泡发光的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【详解】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的有2种情况，
∴能让灯泡发光的概率为：．
故选：B．
9．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表．
种子个数 100 400 600 700 900 1000
发芽种子个数 94 337 530 664 858 951
发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951
由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（ ）
A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95
【答案】D
【分析】本题通过大量重复试验中频率的稳定值来估计概率．随着试验次数的增加，频率逐渐趋近于概率．观察大样本量的数据，其频率稳定在0.95附近，因此可估计发芽概率为0.95．
【详解】由试验数据可知，当种子数量较大时（如700、900、1000），发芽频率分别为0.949、0.953、0.951，均稳定在0.95左右．
根据频率估计概率的原理，大样本量的频率更接近真实概率．
因此，发芽概率约为0.95，对应选项D．
故选：D．
10．如图，在等腰中，，，以点为圆心，为半径画弧，交于点，以点为圆心，为半径画弧，交于点．若一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了扇形的面积，几何概率的计算；熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先利用扇形的面积公式求出扇形和扇形的面积，再减去的面积即可得阴影部分的面积，再进一步利用概率公式计算即可．
【详解】解：是等腰直角三角形，
，
，
∴，
∴图中阴影部分的面积是
，
∴一个小球在等腰内自由滚动，则小球停在图中阴影部分的概率是：
，
故选：D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重新投掷一次），则击中阴影区域的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查的知识点是几何概率，解题关键是理解飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值．
根据几何概率的定义：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影部分的面积与总面积的比值．
【详解】解：总面积为，
其中阴影部分的面积为，
飞镖停留在阴影部分的概率是．
故答案为：．
12．2025年是蛇年，现将背面完全一样，正面分别写有“巳”、“巳”、“如”、“意”的四张卡片，洗匀后背面朝上放在桌面上，同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的文字恰好能组成“如意”的概率是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确画出树状图或列出表格得到所有等可能结果是解题的关键．
分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，利用树状图的方法可得所有等可能结果；再找恰好组成“如意”字样的结果数，利用概率公式计算可得．
【详解】解：分别记“巳”、“巳”、“如”、“意”为A，B，C，D，画树状图如下：
由树状图知，共有12种等可能结果，其中恰好组成“如意”字样的结果数有2种结果，
所以抽取的两张卡片上的文字恰好组成“如意”字样的概率为：，
故答案为：．
13．月日，新加坡立化中学到访我校，上午计划去八年级班随机观摩一节课，如表是当天上午的课表，如果每一个班级的每一节课被观摩的可能性是一样的，则恰好观摩到语文课的概率是 ．
节次 班 班 班 班 班 班
第节 英语 语文 英语 数学 数学 英语
第节 生物 历史 数学 美术 英语 地理
第节 数学 音乐 道法 英语 形体 历史
第节 语文 英语 日语 语文 语文 数学
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，根据概率公式直接计算即可，掌握概率公式是解题的关键．
【详解】解：由表可知，当天上午的课表中随机观摩一节课有种等可能结果，其中语文课有种结果，
∴恰好观摩到语文课的概率是，
故答案为：．
14．在如图所示的电路中，随机闭合开关中的两个，能让灯泡发光的概率是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．

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