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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题12 反比例函数易错点详解(易错点归纳+易错解析+巩固提高)
理解反比例函数需要格外细心，特别是在处理其独特性质和图像特征时。为了帮助你清晰地掌握常见错误和关键点，现梳理了本章的主要易错点，下面的表格可以让你快速把握全貌。
易错领域 核心问题 典型错误 关键解析与避坑指南
概念理解与定义 忽略反比例函数定义中的隐含条件。 认为形如y= 的函数就是反比例函数，忽略k的条件 。 反比例函数需同时满足两个条件：1. 解析式可化为y=(k为常数)；2.比例系数k 。
图像与性质 混淆反比例函数图像的增减性。 认为“当k 时，y 随 x 的增大而增大”，忽略“在每一个象限内”的前提 。 反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”。k时，每一象限内 y 随 x 增大而减小；k0时，每一象限内 y 随 x 增大而增大 。
比较函数值时不分象限。 比较点(x1,y1) ,(x2,y2) ,(x3,y3) 中的y1、y2、y3大小时，直接比较横坐标 。 比较函数值必须先判断各点所在象限。不在同一象限的点，需根据函数值正负比较；在同一象限的点，再根据增减性判断 。
比例系数 k 的几何意义 不理解 k 的几何意义或应用错误。 不根据图像确定 k 的符号 先根据图像确定 k 的符号，再结合几何图形性质进行计算。
反比例函数综合应用 反比例函数与一次函数结合时考虑不全面。 求解一次函数与反比例函数交点时，忽略图像可能存在的不同情况 。 两函数图像的交点坐标即对应方程组的解。正比例函数与反比例函数图像若有交点，则两个交点关于原点对称 。
实际问题中忽略自变量的实际意义。 在行程问题 中，忽略时间 t、速度 v 应为正数 。
1.反比例函数概念理解错误
例1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知是反比例函数，求的值．
典型错解：
解：由题意得：
解得
错因分析
认为形如y=的函数就是反比例函数，忽略k的条件 。
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令，即可．
【详解】
，又；
．
针对练习1
一、单选题
1．（25-26九年级上·全国·期末）下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·河南周口·期末）下列关系式中，，都不为，则与不是成反比例关系的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）已知函数是反比例函数，则m的值为 ．
5．（24-25九年级·全国·课后作业）若是反比例函数，那么的值是 ．
6．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ．
2.混淆反比例函数的增减性
例2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是 （用“”表示）．
典型错解
y12y3
错因分析
根据反比例函数理解错误，误认为k0，y随x的增大而增大。
正确解法
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质、比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数的图象位于二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点在反比例函数图象上，且，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴．
故答案为：．
针对练习2
一、单选题
1．（24-25九年级上·云南红河·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　）
A．图象必经过点
B．图象过第一、三象限
C．若，则
D．点、是图象上的两点，，则
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）点，在反比例函数的图象上，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5．（24-25九年级上·四川成都·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（24-25九年级上·山东德州·期末）已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．若，则 D．y随x的增大而增大
3.由反比例函数函数值比较自变量值的大小错误
例3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数的图像上有，两点，下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当且时，
C．当时， D．当且时，
典型错解
A
错因分析
比较函数值时不分象限，直接确定自变量的大小
正确解法
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质，结合点的坐标表达式，分析不同t值下和的符号及大小关系．
【详解】解：∵反比例函数的，
∴反比例函数图象分布再第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，点M、N都在第二象限，，则，该选项说法错误，不符合题意；
B、当且时，无法确定点N所在象限，有可能大于0，该选项说法错误，不符合题意；
C、当时，点M、N都在第二象限，，则，该选项说法正确，符合题意；
D、当且时，无法确定点所在象限，该选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
针对练习3
一、单选题
1．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·全国·期末）若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·天津河西·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若反比例函数的图象上有，两点，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题
6．（25-26九年级上·全国·期末）若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是 ．
4.反比例函数k的几何意义错误
例4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则 ．
典型错解
8
错因分析
线段长度与点的坐标不对应，OD的长度是正的量，D的横坐标是负数
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．根据菱形性质利用勾股定理求出点A坐标，继而得到点B坐标，求出k值即可．
【详解】解：双曲线经过点A，
，
∵，
设，则，
，解得负值已舍去，
，，
，
由勾股定理可得：，
由于四边形是菱形，则，
，
点B在反比例函数的图象上，
故答案为：
针对练习4
一、单选题
1．（25-26九年级上·山东济南·月考）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题
4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，反比例函数的图象与矩形在第一象限相交于两点，已知，，连接．记的面积分别为．
（1）若点是的中点，则 ；
（2）若，则的面积为 ．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，的边在x轴正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和的中点D．若的面积为6，则k的值为 ．
6．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，点A在函数的图象上，作轴交函数的图象于点C，四边形的面积为 ．
5.反比例函数与一次函数综合考虑不全面
例5．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，直线与双曲线相交于，两点．
(1)求，对应的函数表达式；
(2)过点作轴交轴于点，求的面积；
(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
典型错解
(1)，
（2）解：∵轴交y轴于点P，，
∴，
∴
（3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：
错因分析
观察函数图象忽略图像可能存在的不同情况错解
正确解法
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得，
∴，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：∵轴交y轴于点P，，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：或．
针对练习5
一、解答题
1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，已知点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点为轴上一动点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)根据图象直接写出当时，的取值范围．
2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标．3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度．
4．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数解析式；
(2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标；
(3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ．
5．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式并直接写出一次函数的表达式；
(2)连接，，求的面积：
(3)不等式的解集是________．
6．（22-23九年级上·山东泰安·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数交于点A、D，过D作轴于E，连接，，若，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)直接写出关于x不等式：的解为______．
6.实际问题中忽略自变量的实际意义
例6．（24-25九年级上·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数大于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ．
典型错解
x0.5
错因分析
实际问题中忽略自变量的实际意义
正确解法
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
将代入得，，
∴反比例函数解析式为：，
当时，．
∴配制一副度数大于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是0
故答案为：0
针对练习6．
一、解答题
1．（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为．
根据I与R之间的关系得出一组数据如下：
… 1 2 3 q 6 …
… 4 p 2.4 2 1.5 …
(1)填空：____________，____________；
(2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质；
(3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当时，求对应的的取值范围．
3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
4．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．
(1)将水从加热到需要______．
(2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式．
(3)加热一次，水温不低于的时间有多长？
5．（24-25九年级上·广东清远·期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个函数的表达式；
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？
6．（24-25九年级下·吉林长春·期末）同学们根据“如何自己动手做一杆秤”的实践活动要求，设计本次活动的方案．
实践活动 如何自己动手做杆秤
实践 数学小组用一根质地均匀长度为的木杆和一些等质量的小物体做实验，在木杆的中心处拴绳作为支点，当支点右边悬挂重物，重物到支点距离时，要使木杆保持水平状态，探究支点左边挂重物的质量与其到支点的距离之间的关系． 如图①，当支点左边挂重物为，支点到木杆左边挂重物的距离为时，木杆处于水平状态．若改变木杆左边所挂重物质量及其到支点的距离，使木杆保持水平，重复以上操作并记录如下：木杆左边挂重物质量支点到木杆左边挂重物的距离木杆右端挂重物质量支点到木杆右边挂重物的距离……
根据实验 解决问题
任务一 （1）若木杆左边挂重物质量为，支点到木杆左边挂重物的距离为．在平面直角坐标系中描出各点；（2）观察（1）中描出各点的分布规律，求与之间的函数关系式．
任务二 （3）在上述条件下，如图②，若在支点左边点处悬挂托盘，调整托盘位置，发现当时木杆水平状态；若将一重物放入托盘内，再次调整托盘位置，当时，此时木杆仍保持水平，直接写出该重物的质量为 ．
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
2．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　）
A．函数图象位于第一、三象限
B．若，，是图象上三个点，则
C．函数值y随x的增大而增大
D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值
3．点在函数图象上，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称
C．点和点都在图象上 D．当时，
二、填空题
4．对于反比例函数，当时，x的取值范围是 ．
5．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为 ．
6．如图，已知，分别是反比例函数与图象上的点，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为 ．
三、解答题
7．已知函数
(1)若y是x的正比例函数，求m的值．
(2)若y是x的反比例函数，求m的值．
8．已知反比例函数的图像经过第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围．
9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点．
(1)求的值和这个反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点．
(1)求点、点的坐标和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
11．小禾将要搬新家，小禾爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里的甲醛浓度是否超标，以此来确定搬新家的时间．甲醛检测仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表：
(1)根据表中数据，求电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
(2)查阅资料发现，当空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害．若小禾一家检测后确定新家安全，可以入住，则该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内？
12．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求I与R的函数关系式；
(2)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过电流，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题12 反比例函数易错点详解(易错点归纳+易错解析+巩固提高)（解析版）
理解反比例函数需要格外细心，特别是在处理其独特性质和图像特征时。为了帮助你清晰地掌握常见错误和关键点，现梳理了本章的主要易错点，下面的表格可以让你快速把握全貌。
易错领域 核心问题 典型错误 关键解析与避坑指南
概念理解与定义 忽略反比例函数定义中的隐含条件。 认为形如y= 的函数就是反比例函数，忽略k的条件 。 反比例函数需同时满足两个条件：1. 解析式可化为y=(k为常数)；2.比例系数k 。
图像与性质 混淆反比例函数图像的增减性。 认为“当k 时，y 随 x 的增大而增大”，忽略“在每一个象限内”的前提 。 反比例函数的增减性必须强调“在每一个象限内”。k时，每一象限内 y 随 x 增大而减小；k0时，每一象限内 y 随 x 增大而增大 。
比较函数值时不分象限。 比较点(x1,y1) ,(x2,y2) ,(x3,y3) 中的y1、y2、y3大小时，直接比较横坐标 。 比较函数值必须先判断各点所在象限。不在同一象限的点，需根据函数值正负比较；在同一象限的点，再根据增减性判断 。
比例系数 k 的几何意义 不理解 k 的几何意义或应用错误。 不根据图像确定 k 的符号 先根据图像确定 k 的符号，再结合几何图形性质进行计算。
反比例函数综合应用 反比例函数与一次函数结合时考虑不全面。 求解一次函数与反比例函数交点时，忽略图像可能存在的不同情况 。 两函数图像的交点坐标即对应方程组的解。正比例函数与反比例函数图像若有交点，则两个交点关于原点对称 。
实际问题中忽略自变量的实际意义。 在行程问题 中，忽略时间 t、速度 v 应为正数 。
1.反比例函数概念理解错误
例1．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）已知是反比例函数，求的值．
典型错解：
解：由题意得：
解得
错因分析
认为形如y=的函数就是反比例函数，忽略k的条件 。
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，即，只需令，即可．
【详解】
，又；
．
针对练习1
一、单选题
1．（25-26九年级上·全国·期末）下列关系式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，是的反比例函数的共有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的形式（或，）是解题的关键．根据反比例函数的定义（形式为或，），逐一判断各关系式是否符合该定义．
【详解】解：∵ 反比例函数需满足或（），
∴ ①是正比例函数，不符合；
②即，是正比例函数，不符合；
③符合形式，是反比例函数；
④是一次函数，不符合；
⑤是二次函数，不符合；
⑥中的指数为，不符合反比例函数定义；
⑦即，符合形式，是反比例函数；
∴ 是反比例函数的有③⑦，共2个．
故选：C．
2．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列函数不是反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是解答本题的关键．
根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或的函数是反比例函数．
【详解】解：A、是反比例函数，故该选项不符合题意；
B、是反比例函数，故该选项不符合题意；
C、不是反比例函数，故该选项符合题意；
D、是反比例函数，故该选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·河南周口·期末）下列关系式中，，都不为，则与不是成反比例关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查反比例关系的识别，本题的关键是熟练掌握辨识两种相关联的量成反比例的方法．判断两个相关联的量成反比例关系的方法：两个量如果乘积一定，则成反比例，逐个判断即可．
【详解】解：A中，由，得，则与是成反比例关系；
B中，由，得，则与是成反比例关系；
C中，由，则与是成反比例关系；
D中，由，则与是成正比例关系；
故选：D.
二、填空题
4．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）已知函数是反比例函数，则m的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．
根据自变量的次数等于且系数不等于0列式求解即可．
【详解】解：∵函数是反比例函数，
∴且，
解得．
故答案为：．
5．（24-25九年级·全国·课后作业）若是反比例函数，那么的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的概念：形如的函数，其中k为常数；掌握此概念是解题的关键；由题意知，结合即可求解．
【详解】解：∵是反比例函数，
∴且，
解得：；
故答案为：．
6．（24-25九年级上·全国·单元测试）已知函数是关于的反比例函数，则实数的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的一般形式进行计算即可．
【详解】解：∵函数是关于的反比例函数，
∴，且，
∴，
故答案为：2．
2.混淆反比例函数的增减性
例2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）在函数（a为常数）的图象上有三点、、，且，则、、的大小关系是 （用“”表示）．
典型错解
y12y3
错因分析
根据反比例函数理解错误，误认为k0，y随x的增大而增大。
正确解法
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的性质、比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴反比例函数的图象位于二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大，
∵点在反比例函数图象上，且，
∴点在第二象限，点在第四象限，
∴．
故答案为：．
针对练习2
一、单选题
1．（24-25九年级上·云南红河·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数图象是两支曲线，时，位于二、四象限，在各自象限内，y随x的增大而增大．理解图象增减性是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第二、四象限。
∵点，的横坐标为负，
∴点A，B在第二象限，则．
∵点的横坐标为正，
∴点C在第四象限，则。
∴；
故选：D
2．（24-25九年级上·广东惠州·期末）已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（　　）
A．图象必经过点
B．图象过第一、三象限
C．若，则
D．点、是图象上的两点，，则
【答案】C
【分析】本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数（为常数，）的图象与性质，包括图象经过的点、所在象限、函数的单调性等．根据反比例函数性质逐个选项分析即可．
【详解】A．当时，，所以图象必经过点，正确，故本选项不符合题意；
B．，，所以图象过第一、三象限，正确，故本选项不符合题意；
C．当时，，因为反比例函数图象在每一个象限内随的增大而减小，所以若，则，错误，故本选项符合题意；
D．，，所以图象过第一、三象限，即、同号，所以，则，正确，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东东莞·期末）反比例函数的图象与函数的图象没有交点，若点、、在这个反比例函数的图象上，则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图象性质，解答本题的关键是熟练掌握一次函数与反比例函数的性质．
先根据两个函数没有交点，确定的符号，再根据反比例函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：∵反比例函数的图象与函数的图象没有交点，且函数的图象经过一、三象限，
，
双曲线位于二，四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴，即，
故选：B．
4．（24-25九年级上·浙江金华·期末）点，在反比例函数的图象上，则下列结论错误的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小．反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断．
【详解】∵反比例函数中，
∴此函数的图象在一、三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，
A、若，∴两点均位于第三象限，
∴，则，不符合题意；
B、若，∴两点均位于第一象限，
∴，则，不符合题意；
C、若，∴位于第三象限，位于第一象限，
∴，则，不符合题意；
D、若，∴位于第三象限，位于第一象限，
∴，但是可能为正也可能为负，故错误，符合题意，
故选：D．
5．（24-25九年级上·四川成都·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数性质是关键．
根据k＝4＞0可得反比例函数图象在第一、三象限，每个象限中，y随x的增大而减小，由此即可求解．
【详解】解：∵，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，每个象限中，随的增大而减小，
∵点，，都在反比例函数的图象上，
∴点在第三象限，，在第一象限，
∴ ，
故选：B．
6．（24-25九年级上·山东德州·期末）已知反比例函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象经过点 B．图象位于第二、四象限
C．若，则 D．y随x的增大而增大
【答案】D
【分析】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据反比例函数的图象与性质进行排除选项即可．
【详解】解：A、令，则，所以函数图象经过点，故原说法正确，不符合题意；
B、由可知该反比例函数的图象位于第二、四象限，故原说法正确，不符合题意；
C、由可知：该函数的图象位于第二、四象限；在每一个象限内，y随x的增大而增大，所以当时，，故原说法正确，不符合题意；
D、由可知：该函数在每一个象限内，y随x的增大而增大，故原说法错误，符合题意；
故选：D．
3.由反比例函数函数值比较自变量值的大小错误
例3．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）反比例函数的图像上有，两点，下列判断正确的是（ ）
A．当时， B．当且时，
C．当时， D．当且时，
典型错解
A
错因分析
比较函数值时不分象限，直接确定自变量的大小
正确解法
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数性质，结合点的坐标表达式，分析不同t值下和的符号及大小关系．
【详解】解：∵反比例函数的，
∴反比例函数图象分布再第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，点M、N都在第二象限，，则，该选项说法错误，不符合题意；
B、当且时，无法确定点N所在象限，有可能大于0，该选项说法错误，不符合题意；
C、当时，点M、N都在第二象限，，则，该选项说法正确，符合题意；
D、当且时，无法确定点所在象限，该选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
针对练习3
一、单选题
1．（25-26九年级上·安徽滁州·期中）若点，，均在反比例函数（为常数）的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．
【详解】解：∵反比例函数中，，
∴函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴、B两点在第四象限，C点在第二象限，
∴．
故选：D．
2．（24-25九年级上·全国·期末）若点，，都是反比例函数图象上的点，且，则下列各式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，根据即可判断结果．
【详解】解：反比例函数中，
反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内随的增大而增大，
，
点在第四象限，
，
，
点，都在第二象限内，
，
．
故选：B．
3．（24-25九年级上·四川绵阳·期末）若点，，都在反比例函数的图像上，则，，的大小关系（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定反比例函数比例系数的符号，判断函数图像所在象限与增减性，再依据各点纵坐标的正负确定其所在象限，进而比较横坐标大小．本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数比例系数的符号对函数图像所在象限及增减性的影响是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴反比例函数的图像在第二、四象限，且在每一象限内，随的增大而增大．
∵点，，中，，
∴点在第四象限，点，在第二象限，
∴，即．
故选：D．
4．（2023·天津河西·一模）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的图象与性质，结合各点的纵坐标求出对应的横坐标，再比较大小即可．
【详解】解：点，，都在反比例函数的图象上，
，，，
，，，
，
故选：A．
5．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若反比例函数的图象上有，两点，则（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，结合各选项条件逐一分析．
【详解】解：A、当时，和均为负数，点和均在第三象限，在第三象限内，增大时，的值减小，例如，，则，，此时，选项A正确；
B、当时，可能存在的情况，例如，，则，，此时但，故选项B错误；
C、当时，为负数，为正数，此时，，显然不成立，选项C错误；
D、当时，需和均为正数且，但在第一象限内，增大时减小，若，则，导致，矛盾，故选项D错误．
故选：A．
二、填空题
6．（25-26九年级上·全国·期末）若点，都在反比例函数的图象上，则，大小关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查比较反比例函数值的大小关系，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
将点代入函数解析式确定，，进行比较判断即可．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，
故答案为：．
4.反比例函数k的几何意义错误
例4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A，B在第二象限，点C在x轴负半轴上，过点A作轴，若双曲线经过点A，双曲线经过点B，则 ．
典型错解
8
错因分析
线段长度与点的坐标不对应，OD的长度是正的量，D的横坐标是负数
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、菱形性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键．根据菱形性质利用勾股定理求出点A坐标，继而得到点B坐标，求出k值即可．
【详解】解：双曲线经过点A，
，
∵，
设，则，
，解得负值已舍去，
，，
，
由勾股定理可得：，
由于四边形是菱形，则，
，
点B在反比例函数的图象上，
故答案为：
针对练习4
一、单选题
1．（25-26九年级上·山东济南·月考）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，连接，由轴可得，结合得出，即可得解．
【详解】解：如图，连接，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
2．（24-25九年级上·重庆·期末）如图，直线与双曲线交于第一象限的点A，过点A作轴于点C，连接．若的面积为2，则k的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题和反比例函数比例系数的几何意义．
作轴于D，如图，则，然后根据k的几何意义确定k的值．
【详解】解：作轴于D，如图，
∵轴，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
而，
∴．
故选：C．
3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点A，交反比例函数的图象于点C，轴于点B，交反比例函数的图象于点D，若C为的中点，则四边形的面积为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义．先求得，，再求得，证明四边形是正方形，根据列式计算即可求解．
【详解】解：将点代入，得，
∴，
∵C为的中点，
∴点C的坐标为，
将点代入，得，
解得，
∴，
∵，
∴四边形是矩形．
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，
∴．
故选：C．
二、填空题
4．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）如图，反比例函数的图象与矩形在第一象限相交于两点，已知，，连接．记的面积分别为．
（1）若点是的中点，则 ；
（2）若，则的面积为 ．
【答案】 4
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，熟练掌握是解题关键．
（1）根据题意得到点的坐标，然后把它代入反比例函数的解析式求解即可；
（2）由反比例函数的几何意义得到的值，再通过三角形的面积公式求出的长度，从而求出的值，最后再用即可求出．
【详解】（1）解：在矩形中，
，
．
点是的中点，
，
点坐标为，
反比例函数的图象经过点，
，即，
故答案为：4；
（2）解：根据反比例函数中的几何意义知，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
5．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，的边在x轴正半轴上，反比例函数的图象过的顶点C和的中点D．若的面积为6，则k的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，过点C作轴于点E，设点C的坐标为，则，求出点A的坐标为，点的坐标为，根据中点坐标公式得出点D的坐标为，根据点D在反比例函数解析式上，得出，求出k的值即可．
【详解】解：过点C作轴于点E，如图所示：
设点C的坐标为，则，
∵的面积为6，
∴，
∴点A的坐标为，
∵中，，
∴点的坐标为，
∵点D为的中点，
∴点D的坐标为，
∵点D在反比例函数解析式上，
∴，
∴，
∴，
整理得：，
解得：．
故答案为：4．
6．（23-24九年级上·山西太原·期末）如图，点A在函数的图象上，作轴交函数的图象于点C，四边形的面积为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，作出辅助线是正确解决本题的关键．延长交y轴于点D，根据，利用比例函数系数k的几何意义，即可解答．
【详解】解：延长交y轴于点D，
轴，
轴，
设，
∵点C在反比例函数的图象上，
，
，
∵，
∴四边形是长方形，
设，
∵点A在反比例函数的图象上，
，
，
∴．
故答案为：5．
5.反比例函数与一次函数综合考虑不全面
例5．（25-26九年级上·山东淄博·期末）如图，直线与双曲线相交于，两点．
(1)求，对应的函数表达式；
(2)过点作轴交轴于点，求的面积；
(3)根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
典型错解
(1)，
（2）解：∵轴交y轴于点P，，
∴，
∴
（3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：
错因分析
观察函数图象忽略图像可能存在的不同情况错解
正确解法
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键．
（1）把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，进而求出点B的坐标，再把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可；
（2）求出点P的坐标，再根据三角形面积计算公式求解即可；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可．
【详解】（1）解：把点A的坐标代入反比例函数解析式中得，
∴，
∴反比例函数解析式为，
在中，当时，，
∴；
把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中得，
∴，
∴一次函数解析式为；
（2）解：∵轴交y轴于点P，，
∴，
∴；
（3）解：由函数图象可得关于x的不等式的解集为：或．
针对练习5
一、解答题
1．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，已知点的坐标为．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若点为轴上一动点，当的面积为时，求点的坐标；
(3)根据图象直接写出当时，的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键．
（1）将点A代入反比例函数中求解即可；
（2）先根据对称性求出B点坐标，然后根据求出，即可求出P点坐标；
（3）由图象知，一次函数图象高于反比例函数的图象部分所对应的自变量的范围即为所求．
【详解】（1）解：将代入，得，
∴反比例函数的解析式为．
（2）解：点A的坐标为，
，
，
，
∴点P的坐标为或．
（3）解：由图象知，当时，x的取值范围是或．
2．（25-26九年级上·山东烟台·期中）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与x轴，y轴分别交于D，C两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式的解集；
(3)点P是x轴正半轴上的一点，连接，若的面积为4，求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)或
(3)
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求一次函数的解析式，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是掌握相关知识解决问题．
（1）将点代入反比例函数求得，进而将点，代入得出，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
（2）根据，两点坐标判断即可．
（3）设,，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上，
反比例函数的表达式为，
点在反比例函数图象上，
，
点A的坐标为点，
将点A，B坐标代入中，得，
解得，
一次函数的表达式为；
（2）解：不等式的解集为或；
（3）解：令，则，
令，则，
解得，
点C的坐标为，点D的坐标为，
设，
点A的坐标为点，，
，
，
解得：，
3．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出关于的不等式的解集；
(3)如图2，点为反比例函数在第一象限图象上的一点，过点作轴垂线，交一次函数图象于点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)或
(3)12
【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，等腰三角形的性质，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键．
（1）先求出一次函数的解析式，然后可得点B坐标，进而问题可求解；
(2) 求出一次函数与反比例函数的交点为，再结合图象即可解答．
（3）设点M坐标为，则点N坐标为，过点B作于点H，然后可得，进而问题可求解．
【详解】（1）解：将代入，得
，
，
∴一次函数的解析式为
把点代入一次函数得
，
∴，
，
；
（2）联立，得
，
即，
解得，
当时，，
∴一次函数与反比例函数的交点为，
∴当或时，，即
∴当或时，．
（3）设点M坐标为，则点N坐标为，
①当点B在直线的左侧时，如图
过点B作于点H，
，，
，
由（1）可知，
，
即
解得：，（不符合题意，舍去），
当时， M坐标为，则点N坐标为，
∴．
②当点B在直线的右侧时，如图
由图，可知，不符合题意，舍去．
综上所述，的值为12．
4．（25-26九年级上·陕西汉中·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数解析式；
(2)点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标；
(3)根据函数的图象，直接写出不等式的解集 ．
【答案】(1)
(2)或．
(3)或
【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键在于数形结合．
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可；
（3）根据图象求解即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
∴，
解得，
∴，
把A、B的坐标代入得，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（2）解：连接，如图所示：
把代入得：，
∴，
，
设，
由题意，
解得，
∴或．
（3）解：观察图象可得：不等式的解集为：或．
5．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点，一次函数与轴相交于点．
(1)求反比例函数的表达式并直接写出一次函数的表达式；
(2)连接，，求的面积：
(3)不等式的解集是________．
【答案】(1)
(2)4
(3)或
【分析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的表达式，数形结合求不等式的解集，难点是根据图形面积的和差来求的面积．
（1）将点代入反比例函数表达式可求出，进而可得反比例函数表达式，再将代入已求出的反比例函数表达式求出，进而得点，然后再将点，代入一次函数的表达式可求出，，进而可得一次函数的表达式；
（2）先求出点，可得，然后根据即可得出答案；
（3）根据图象即可求解．
【详解】（1）解：将点代入，得：，
反比例函数的表达式为，
将代入，得：，
点的坐标为，
将，代入，
得：，解得：，
一次函数的表达式为：；
（2）解：对于，当时，，
点，
，
；
（3）解：由图象可知，当时，的取值范围为或．
故答案为：或．
6．（22-23九年级上·山东泰安·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点B、C，与反比例函数交于点A、D，过D作轴于E，连接，，若，．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)求点D的坐标；
(3)直接写出关于x不等式：的解为______．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
（1）先求出点的坐标，就可得的面积，再根据已知求出的面积即可；
（2）求出一次函数关系式即可，列方程，求得点坐标；
（3）结合图象即可解答．
【详解】（1）解：把代入得，
，
，
，
的面积，
，
，
轴，点在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
反比例函数关系式为：；
（2）解：把代入得：
，
，
把代入得：
，
，
一次函数关系式为：，
一次函数和反比例函数相交，
；
解得，，
把代入，可得，
；
（3）解：一次函数和反比例函数的交点，，
由图可知时，或．
故答案为：或．
6.实际问题中忽略自变量的实际意义
例6．（24-25九年级上·山西晋城·期末）在数学实践课上，八（1）班数学兴趣小组要探究近视眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间的关系，发现如图所示的反比例函数关系，若配制一副度数大于200度的近视眼镜，则焦距的取值范围是 ．
典型错解
x0.5
错因分析
实际问题中忽略自变量的实际意义
正确解法
【答案】0
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意，设反比例函数解析式为，待定系数法求解析式，进而将代入，结合函数图象即可求解．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
将代入得，，
∴反比例函数解析式为：，
当时，．
∴配制一副度数大于200度的近视眼镜，则焦距x的取值范围是0
故答案为：0
针对练习6．
一、解答题
1．（25-26九年级上·全国·期末）【跨学科】某数学活动小组研究一款图所示的简易电子体重秤，当人踏上体重秤的踏板后，读数器可以显示人的质量（单位：）．图是该秤的电路图，已知串联电路中，电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为．
根据I与R之间的关系得出一组数据如下：
… 1 2 3 q 6 …
… 4 p 2.4 2 1.5 …
(1)填空：____________，____________；
(2)该小组把上述问题抽象为数学模型，请根据表中数据在图中描出实数对的对应点，画出函数的图象，并写出一条此函数图象的性质；
(3)若电流表量程是，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系如图所示，为保护电流表，求电子体重秤可称的最大质量为多少千克？
【答案】(1)3，4；
(2)作图见详解，电流随可变电阻R的增大而减小；
(3)电子体重秤可称的最大质量为101千克．
【分析】本题主要考查反比例函数，一次函数图象的综合运用，掌握自变量，函数值的计算方法，待定系数法求解析是解题的关键．
（1）根据题意，分别把，代入，即可求解；
（2）根据表中数据在图中描出实数对的对应点，用平滑曲线连接即可；
（3）根据题意可求出可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，根据电流表量程，电流与电压，电阻的函数关系可求出子体重秤可称的最大质量．
【详解】（1）解：已知电流I（单位：A）与定值电阻、可变电阻R（单位：）之间关系为，电源电压恒为，定值电阻的阻值为，
当时，，即，
当时，，，即，
故答案为：3，4；
（2）根据题意：
… 1 2 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 1.5 …
根据表格数据在平面直角坐标系描点作图如下：
由图可知：电流随可变电阻R的增大而减小；
（3）解：根据题意，可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为，且该直线过，
，解得：，
可变电阻R与踏板上人的质量m之间的函数关系为：，
可变电阻R随人的质量m增大而减小，
当时，，
；
当时，，
，
，
m不能超过；
当时，，解得：，
，解得：，
电子体重秤可称的最大质量为101千克．
2．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻来控制电流实现灯光亮度的变化，电流与电阻之间成反比例函数关系，如图2所示．
(1)求与之间的函数表达式；
(2)当时，求对应的的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确地求出函数解析式，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
(1)待定系数法求出函数解析式；
(2)将代入，求得的值，然后根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结果．
【详解】（1）由题意可设
点在函数的图象上，
，，
电流与电阻之间的函数表达式为；
（2）当时，，，
由函数图象可知，该函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，．
3．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
【答案】(1)
(2)半径为米
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论；
（2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案；
本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
【详解】（1）解：设反比例函数解析式为，
由图象可知，反比例函数图象过点，
∴
∴，
∴；
（2）解：当时，，
∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米．
4．（23-24九年级上·江西宜春·期中）如图是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图所示．
(1)将水从加热到需要______．
(2)在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式．
(3)加热一次，水温不低于的时间有多长？
【答案】(1)4
(2)
(3)一个加热周期内水温不低于的时间为
【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题等知识点，掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题是解题的关键．
（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到，再根据所需时间、热量差、每分钟加热的温度列式计算即可；
（2）结合（1）中可得点在反比例函数的图象上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式；
（2）分类讨论，加热过程中水温不低于的时间与降温过程中水温不低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于C的时间利用（2）中的函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：∵开机加热时每分钟上升，
∴水温从加热到所需时间为．
故答案为：4．
（2）解：设水温下降过程中，y与x的函数关系式为，
由题意得，点在反比例函数的图象上，
∴，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是．
（3）解：在加热过程中，水温为时，
所需时间为，即温度都高于；
在降温过程中，水温为时，，解得：，即内温度都高于．
∵，
∴一个加热周期内水温不低于的时间为．
5．（24-25九年级上·广东清远·期末）某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（）是气体体积V（）的反比例函数，其图象如图所示．
(1)求这个函数的表达式；
(2)当气体体积为时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于时，气球将爆炸，为了安全考虑，气体的体积应不小于多少？
【答案】(1)
(2)
(3)为了安全考虑，气体的体积应不小于
【分析】本题考查了反比例函数的应用，掌握反比例函数图象以及性质是解题的关键．
（1）根据图象上的点的坐标，待定系数法求反比例函数解析式即可；
（2）将代入（1）中的解析式即可；
（3）根据反比例函数图象，结合题意解不等式即可．
【详解】（1）解：设该函数表达式为．
将点代入表达式中可得，
，
∴该函数表达式为．
（2）解：将代入表达式中可得，
∴气体体积为时，气压是．
（3）解：由题意可知，
解得，
∴为了安全考虑，气体的体积应不小于．
6．（24-25九年级下·吉林长春·期末）同学们根据“如何自己动手做一杆秤”的实践活动要求，设计本次活动的方案．
实践活动 如何自己动手做杆秤
实践 数学小组用一根质地均匀长度为的木杆和一些等质量的小物体做实验，在木杆的中心处拴绳作为支点，当支点右边悬挂重物，重物到支点距离时，要使木杆保持水平状态，探究支点左边挂重物的质量与其到支点的距离之间的关系． 如图①，当支点左边挂重物为，支点到木杆左边挂重物的距离为时，木杆处于水平状态．若改变木杆左边所挂重物质量及其到支点的距离，使木杆保持水平，重复以上操作并记录如下：木杆左边挂重物质量支点到木杆左边挂重物的距离木杆右端挂重物质量支点到木杆右边挂重物的距离……
根据实验 解决问题
任务一 （1）若木杆左边挂重物质量为，支点到木杆左边挂重物的距离为．在平面直角坐标系中描出各点；（2）观察（1）中描出各点的分布规律，求与之间的函数关系式．
任务二 （3）在上述条件下，如图②，若在支点左边点处悬挂托盘，调整托盘位置，发现当时木杆水平状态；若将一重物放入托盘内，再次调整托盘位置，当时，此时木杆仍保持水平，直接写出该重物的质量为 ．
【答案】（1）见解析
（2）
（3）1200
【分析】本题考查反比例函数的应用．求出反比例函数关系式是解题的关键．
（1）根据表格用描点法作答即可；
（2）由（1）所描点，得出与之间的函数关系式为反比例关系函数关系，然后用待定系数法求解即可；
（3）先把代入与之间的函数关系式，求出托盘质量，再把，代入与之间的函数关系式，求出托盘与生物质量和，进而可求解．
【详解】解：（1）在平面直角坐标系中描出各点，如图所示：
（2）由（1）所描点，得出与之间的函数关系式为反比例关系函数关系，
故设与之间的函数关系式为，
把，代入，得
，
解得：，
∴与之间的函数关系式为．
（3）把代入，得
，
把代入，得
，
∴该重物的质量为．
一、单选题
1．在平面直角坐标系中，对于点和，若时，；时，，则称点是点的“演绎点”．若点是反比例函数图象上点的“演绎点”，则的值为（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】B
【分析】本题考查了函数的新定义，反比例函数的图象上点的坐标特征，由反比例函数解析式可设，分和两种情况，根据“演绎点”的定义解答即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：∵点在反比例函数上，
∴可设，
∵点是反比例函数图象上点的“演绎点”，
当时，，
∴，
解得；
当时，，
∴，
解得；
经检验，是分式方程的解，
综上，值为或，
故选：．
2．对于反比例函数y＝，下列说法错误的是（　　）
A．函数图象位于第一、三象限
B．若，，是图象上三个点，则
C．函数值y随x的增大而增大
D．P为图象上任意一点，过P作轴于Q，则的面积是定值
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数的性质是解决本题的关键．
根据可判断该函数所在象限，由此可判断A选项；根据反比例函数的增减性可判断BC选项，设出点P坐标，由三角形面积公式即可求解面积为定值．
【详解】解：A选项，∵，
∴可知函数图象位于第一、三象限，故该选项正确；
C选项，∵该函数图象位于第一、三象限，
∴在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，故该选项错误；
B选项，∵该函数在每个象限内，函数值y随x的增大而减小，
又∵，则，
又∵，则，
∴，故该选项正确；
D选项，设点P的坐标为函数，
∴，是定值，故该选项正确．
故选：C ．
3．点在函数图象上，下列说法正确的是（ ）
A．y随x的增大而增大 B．图象关于y轴对称
C．点和点都在图象上 D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，包括函数的增减性、对称性和点的坐标关系，解题的关键在于理解反比例函数的基本性质，特别是函数图像的分布特点和对称性，以及通过给定的点验证其他点是否满足函数关系，从而判断各选项的正确性．结合点在图象上的条件，逐一分析选项的正确性．
【详解】解：A、反比例函数，在每个象限内y随x的增大而增大，选项说法不正确，不符合题意；
B、反比例函数，图象分布在第二、四象限，图象关于原点对称，选项说法不正确，不符合题意；
C、点在函数图象上，所以点和点都在图象上，选项说法正确，符合题意；
D、当时，，选项说法不正确，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
4．对于反比例函数，当时，x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查反比例函数的性质，求出当时，对应的自变量的值，再根据反比例函数时，在每个象限内，y随x的增大而增大即可确定．
【详解】解：当时，，
又∵，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，
故当时，x的取值范围是．
故答案为：．
5．如图，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图像交于点和点，若点是轴上的任意一点，连接，，若的面积为10，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握系数的几何意义是解决本题的关键．
连接和，由平行线间的距离处处相等，可知和的面积相等．根据反比例函数的几何意义，可以用表示出的面积，构建等式求出即可．
【详解】解：如图，连接和，
∵轴，
∴和的边上的高相等，
∴，
由反比例函数的几何意义可得，，，
∴，解得，，
∵反比例函数的图像在第二象限，
∴，
∴．
故答案为：．
6．如图，已知，分别是反比例函数与图象上的点，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义解答即可．
【详解】解：如图，延长交轴于点，
点的坐标为，且在反比例函数图象上，
，
，
四边形的面积为，
，
故答案为：
三、解答题
7．已知函数
(1)若y是x的正比例函数，求m的值．
(2)若y是x的反比例函数，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】该题考查了正比例函数和反比例函数的定义，掌握基本定义是解题的关键．
（1）根据正比例函数的定义求解即可；
（2）根据反比例函数的定义求解即可；
【详解】（1）解：由题意得，，
解得，；
答：当时，是的正比例函数；
（2）解：由题意得，，
解得，；
答：当时，是的反比例函数．
8．已知反比例函数的图像经过第一、三象限．
(1)求的取值范围；
(2)若，此函数的图象经过第一象限内的两点、且，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题关键．
（1）根据反比例函数的图像经过第一、三象限可得，由此即可得；
（2）根据反比例函数的增减性可得，再结合即可得．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过第一、三象限，
∴，
解得．
（2）解：对于反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小，
∵这个函数的图像经过第一象限内的两点、且，
∴，
解得，
又∵，
∴的取值范围为．
9．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，一次函数的图象与反比例函数在第二象限的图象交于点，与轴交于点，连结并延长交这个反比例函数第四象限的图象于点．
(1)求的值和这个反比例函数的表达式．
(2)求的面积．
(3)当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)6
(3)或
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，三角形面积，解题的关键是数形结合．
（1）先求出点的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出的值即可；
（2）由一次函数的解析式求得点的坐标，利用反比例函数的对称性求得点的坐标，然后根据即可求解；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）在一次函数的图象上，
，
解得，
点的坐标为，
，
反比例函数的对应的函数关系为；
（2）当时，，
解得，
点的坐标为．
点在反比例函数的图象上，
点的坐标为，
；
（3）当直线对应的函数值大于反比例函数的函数值时，或．
10．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴相交于点．
(1)求点、点的坐标和反比例函数的表达式；
(2)观察图象，直接写出不等式的解集；
【答案】(1)，，
(2)或
【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数的交点问题，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求得a、b值，进而利用待定系数法求解反比例函数解析式；
（2）根据图象，只需找到一次函数图象位于反比例函数图象下方部分点的横坐标的取值范围即可求解．
【详解】（1）∵点在一次函数图象上，
∴将代入，
则，，
∴，，
∴，，
∵点在反比例函数图象上的，
∴，
反比例函数的表达式为；
（2）解：∵，，
∴观察图象，当或时，一次函数图象位于反比例函数图象下方，
∴不等式的解集是或．
11．小禾将要搬新家，小禾爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里的甲醛浓度是否超标，以此来确定搬新家的时间．甲醛检测仪中的核心部件为电阻，经过测量发现，电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的变化关系如下表：
(1)根据表中数据，求电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式．（不要求写出自变量的取值范围）
(2)查阅资料发现，当空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害．若小禾一家检测后确定新家安全，可以入住，则该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值在什么范围内？
【答案】(1)电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为；
(2)该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值．
【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（）根据表格可知电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为反比例函数，设电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为，然后代入求解即可；
（）由空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害，则，求出范围即可．
【详解】（1）解：根据表格可知电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为反比例函数，
设电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为，
当时，，
∴，
∴，
∴电阻的阻值与空气中甲醛浓度之间的函数关系式为；
（2）解：由，
∵空气中甲醛浓度低于时，该环境不会对人体造成伤害，
∴，
∴，
答：该甲醛检测仪中核心部件电阻的阻值．
12．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．
(1)求I与R的函数关系式；
(2)若以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过电流，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？
【答案】(1)
(2)用电器可变电阻应不低于3.6Ω
【分析】本题主要考查反比例函数的实际应用，理解题意得出反比例函数的解析式是解题关键．
（1）设电流与电阻之间的函数表达式为，将点代入求解即可；
（2）根据题意得出，即，解不等式即可得出结果．
【详解】（1）解：设，
将，代入，得：，
∴；
（2）解：由题意可得：，即，
解得：，
∴用电器可变电阻应不低于．
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