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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题13 相似（高频考点归纳+解析+单元检测）
考点01 相似图形与成比例线段
考点02 黄金分割
考点03 相似三角形的判定
考点04 相似三角形的性质
考点05相似的应用
考点06位似及图形变换
考点07相似三角形判定与性质综合
考点08相似三角形与几何变换综合
考点01 相似图形与成比例线段
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．，，8， B．5，6，7，8
C．3，6，4，7 D．2，4，6，8
2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
3．（24-25九年级上·山西忻州·期末）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．
4．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么 ．
5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）线段和的比例中项是 ．
三、解答题
6．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c满足，且．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
7．（24-25九年级下·江苏盐城·期末）已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
考点02 黄金分割
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　）
A．黄金分割 B．平移 C．旋转 D．轴对称
2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.37米 B．0.76米 C．1.22米 D．1.24米
3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·山东济南·期末）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形
二、填空题
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ．
6．（24-25九年级上山东青岛·期末）五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号）
三、解答题
7．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连接．
(1)若，，，试求的值；
(2)在（1）的条件下，在轴上取一点，使的值为“黄金比”，求点的坐标．
8．（24-25九年级上·福建莆田·期末）
折叠黄金矩形
背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为．
用矩形纸片折叠一个黄金矩形
操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形．
问题解决
任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________．
任务2 证明矩形是黄金矩形．
任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证．
考点03 相似三角形的判定
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
二、填空题
2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，的直径，弦的两个端点（不与，重合）在半圆上滑动，、的延长线交于点，，连接、．
以下四个结论：
①；
②若，则是等边三角形；
③；
④面积的最大值为．
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
三、解答题
3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式．
(1)如图1，点、、、都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段上找出点，使得和相似，并说明画图的依据；
(2)如图2，点为一次函数与反比例函数图象的交点．将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转，求新图象的表达式．
4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E．
【构建联系】
（1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ；
（2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：；
【深入探究】
（3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值．
5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，．
(1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留痕迹，不写作法）
(2)连接，若点为边的中点，连接，求证．
6．（24-25九年级上·福建福州·期末）在中，．
(1)使用直尺和圆规，在线段上求作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，作交于点O，连接，若，求证：．
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证．
8．（24-25九年级上江苏·期末）如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．
(1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)求出的面积与之间的函数关系式；
(3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？
考点04 相似三角形的性质
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点O，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，，E为上一点，且，连接，F，G分别为上的点，连接．若，则的最小值为 ．
5．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且，，则 ．
三、解答题
7．（24-25九年级上·江西吉安·期末）【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题．
如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，．
(1)若点，分别是线段，的中点时，求证：．
证明：
，，．
……
请完成以上证明过程．
(2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______；
(3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值．
8．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，已知在中，，，，过点作，且，连接交于点．
(1)求的长．
(2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
考点05相似的应用
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高．
2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）研学实践：如图1，景德桥俗称西关大桥，横跨在山西晋城市城区西门外的沁水河上，是我国的著名古桥之一．实践小组成员在了解了相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集景德桥（其中）的相关数据．
数据采集：在河岸的一边选出点C，D，分别在，的延长线上取点E，F，使得，测得，，点到河岸的距离为．
数据应用：请根据上述数据，求景德桥的长．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合实践小组的同学利用镜子、尺子等工具测量文化广场上路灯的高度，如图所示，将路灯记为，在支架的点处放置一个平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当观察者与支架的水平距离为时，刚好能从镜子中看到路灯的顶部点．已知观察者的眼睛到地面的高度为，支架的高度为，点，，，，，在同一竖直平面内，于点，于点，交的延长线于点，求路灯的高度．
4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离．
5．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为；
②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；
③调整D，E的位置，使，记录下的距离为；
④测量出之间的距离大约为．
数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．
6．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上．
(1)求的长；
(2)求手电筒灯泡到地面的高度．
7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计）
8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高．
(1)求灯杆的长；
(2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长．
考点06位似及图形变换
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，与位似，位似中心是点．若，的面积为2，则的面积为
5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，点，，以A为圆心3为半径作圆，点M是上一动点，以为斜边作，且，则的最小值为 ．
三、解答题
6．（24-25九年级上·广东汕州·期末）如图，已知半径为5的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，
(1)判断与轴的位置关系，并说明理由；
(2)求的长；
(3)连接并延长交圆于点，连接，求点的坐标．
7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过点A作x轴的平行线l，与y轴交于点C，且．
(1)求点A到x轴的距离；
(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线l向左移动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动．若某一时刻以C，O，P，Q为顶点的四边形的面积为6，求此时点P的坐标．
8．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
(1)以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点的坐标___________
(2)若点为内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是___________；
(3)请仅用无刻度的直尺在线段上确定一点，使，请画出点．（保留作图痕迹）．
考点07相似三角形判定与性质综合
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中， ，，．将以点C为中心逆时针旋转得到．若点在的延长线上，则线段的长为 ．
2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，正方形的对角线, 相交于点, 是上的一点，连接，交于点，若，则 ．
3．（24-25九年级上·上海·期末）如图，矩形中，，点在边上，，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接、，分别交边于点、，如果，则的长为 ．
4．（24-25北京东城期末）如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ．
二、解答题
5．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）综合探究
如图，在矩形中，，动点在边上，连接．
(1)过点作交于，
当，求证：；
当时，求的值（用含的代数式表示）．
(2)如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）．
6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，中，O是边上一点，以O为圆心，为半径的恰好与相切于点D，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，且，求的半径．
考点08相似三角形与几何变换综合
一、填空题
1．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过 秒后和相似？
2．（24-25九年级上·广东汕州·期末）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线段AN的长度为 ．
二、解答题
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为
(1)当秒时，的值是多少？
(2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
(3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由．
4．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
(1)若与相似，求t的值；
(2)直接写出是等腰三角形时t的值；
(3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值．
5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，．动点D以的速度从点B出发向点C运动，动点E从点C出发向点A运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．若点D，E同时出发，求当与相似时，点E的运动速度．
6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
(1)若平分，求t的值；
(2)当时，求点E的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若与的相似比为2，则与的面积比为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
2．如图，小正方形的边长均为，则，，，四个选项中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
8．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
10．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（ ）
A．4.5 B．4.8 C．4.9 D．5.2
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果，那么 ．
12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．
13．如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是 .
14．如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ．
15．如图，在平行四边形中，，垂足为E，，交于点F，若，，当时，的长是 ．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
17．（8分）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
18．（8分）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
19．（8分）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度．
20．（9分）如图，在中，是边上一点，．
(1)求证：；
(2)若，，的面积为5，求的面积．
21．（9分）阅读与思考：小刚喜欢看书，他在学习了圆后，看到某本数学书上居然还有一个相交弦定理（圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
圆的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段的积相等．已知：如图1，的两条弦，相交于点P．求证：．证明：如图1，连结，．∵① ，② ，∴，∴③ ∴∴两条弦相交，被交点分成的两条线段的积相等．
任务：
(1)请将上述证明过程补充完整：
①____________，②____________，③____________；
(2)小刚又看到一道课后习题，如图2，AB是的弦，P是AB上的一点，，，，求的半径．
22．（12分）综合与实践
【问题背景】
菱形作为装饰图案，相环相连取，有高贵、稳重、延绵不断的意思．菱形最早只是青铜器和陶器的装饰纹样，到后来，菱形不仅具有整齐划一的特点，而且绵延丰富．更重要的是，后世的菱形具有吉祥的寓意，在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了关于菱形的探究活动．
【基础训练】
(1)如图1．在菱形中，于点，于点．求证：；
【类比迁移】
(2)如图2，在菱形中，为上一点，为上一点，．延长交的延长线于点．求证：；
【拓展应用】
(3)如图3，在菱形中．，为上一点．延长交的延长线于点，连接，延长交于点，已知，求的度数，并直接写出的值．（用含的式子表示）
23．（13分）综合与探究
小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题：“如图2，在矩形中，点E，F，G，H分别在边，BC，CD，上．若，，，求的值．”
特例研究：
（1）如图1，当点与点重合，点与点重合时，与交于点．
求证：．
问题解决：
（2）根据特例研究，大家得出解决方案：如图2，过点作，交于点，过点作，交于点，请根据大家的方案，求的值．
拓展应用：
（3）如图3，在矩形中，点在边上，点在边上，点在边上，，，，求的值．
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题13 相似（高频考点归纳+解析+单元检测）（解析版）
考点01 相似图形与成比例线段
考点02 黄金分割
考点03 相似三角形的判定
考点04 相似三角形的性质
考点05相似的应用
考点06位似及图形变换
考点07相似三角形判定与性质综合
考点08相似三角形与几何变换综合
考点01 相似图形与成比例线段
一、单选题
1．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（ ）
A．，，8， B．5，6，7，8
C．3，6，4，7 D．2，4，6，8
【答案】A
【分析】本题考查了成比例线段．在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．对于按顺序给出的四条线段，我们通常检验其是否满足，即．据此对各选项进行判断即可．
【详解】解：A中，由，可知这一组线段是成比例线段．所以A符合题意；
B中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以B不符合题意；
C中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以C不符合题意；
D中，由，可知这一组线段不是成比例线段．所以D不符合题意．
故选：A．
2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知下列图中的虚线均为平行线，则线段，，，的数量关系为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案．
【详解】解：A、由图知，，即，故选项不符合题意；
B、由图知，，即，故选项不符合题意；
C、由图知，，即，故选项符合题意；
D、由图知，，即，故选项不符合题意；
故选：C．
二、填空题
3．（24-25九年级上·山西忻州·期末）某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．
【答案】
【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可．
【详解】解：如图：，，令，
设，则老师在黑板上写的文字大小为，
∵，
∴，
解得：，
∴老师在黑板上写的文字大小为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解．
4．（24-25九年级上·山东青岛·期末）已知a，b，c，d是成比例线段，且，，，那么 ．
【答案】6
【分析】此题考查了成比例线段，根据成比例线段得到比例式是解题的关键．
根据成比例线段的定义得到，代入数值求解即可．
【详解】解：∵a，b，c，d是成比例线段，
∴，
∵，，，
∴，
解得．
故答案为：6．
5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）线段和的比例中项是 ．
【答案】1
【分析】根据比例中项的概念，比例中项的平方等于两条线段的乘积，列出比例式即可求解，本题考查了比例中项的概念，解题的关键是：比例中项作为线段长度，需舍去负根．
【详解】解：设两条线段的比例中项是，
，解得：，（舍），
故答案为：1．
三、解答题
6．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）已知线段a，b，c满足，且．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了比例线段．
（1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长．
【详解】（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
7．（24-25九年级下·江苏盐城·期末）已知线段a、b、c满足，且．
(1)求a、b、c的值；
(2)若线段x是线段a、b的比例中项，求x的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）设，则，，，代入，求得k的值，即可求出a、b、c的值；
（2）由线段x是线段a、b的比例中项，可得，计算即可．
【详解】（1）解：设，则，，
∵，所以，解得，
∴，，．
（2）∵线段x是线段a、b的比例中项，
∴，所以（舍负）．
【点睛】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出a、b、c可以使计算更加简便．
考点02 黄金分割
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西运城·期末）如图，在小提琴的设计中，蕴含着数学知识，，各部分长度的比满足，这体现了数学中的（　　）
A．黄金分割 B．平移 C．旋转 D．轴对称
【答案】A
【分析】本题主要考查黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键；
把线段分成两条线段和（），且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．依据黄金分割的定义进行判断即可．
【详解】解：若，则点C为线段AB的黄金分割点．
故选：A．
2．（24-25九年级上·广东肇庆·期末）生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（ ）
A．1.37米 B．0.76米 C．1.22米 D．1.24米
【答案】D
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算，即可解答．
【详解】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，
∴，
∵米，
∴（米），
∴a约为1.24米，
故选：D．
3．（24-25九年级上·山东烟台·期末）如图，在中，，利用圆规在上截取，在上截取，点E就是的黄金分割点．若，则的长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了勾股定理，黄金分割点，尺规作图，
根据勾股定理求出，再根据尺规作图求出，然后根据得出答案.
【详解】解：∵，
∴.
根据勾股定理，得.
∵，
∴，
∴.
故选：C.
4．（24-25九年级上·山东济南·期末）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取、的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形 B．矩形 C．矩形 D．矩形
【答案】C
【分析】设正方形的边长为，根据勾股定理得，根据作图性质，计算，，解答即可．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键．
【详解】解：设正方形的边长为，
∵正方形，、的中点E、F，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，符合定义，
故选：C．
二、填空题
5．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，乐器上的一根弦的长度为，两个端点固定在乐器板面上，支撑点是弦靠近点的黄金分割点，则线段的长度为 ．
【答案】/
【分析】此题考查了黄金分割点的概念，能够根据黄金比进行计算是解题的关键．由黄金比值列式求出，再根据计算即可．
【详解】解：∵点C是弦靠近点B的黄金分割点，，
∴，
∴，
故答案为：
6．（24-25九年级上山东青岛·期末）五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查黄金分割，将一条线段分割成长短两条线段，若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，则称这种分割叫黄金分割，这一比值等于，由此可解．
【详解】解：点D是线段的黄金分割点，
，
整理得，
解得（负值舍去），
，
，
故答案为：．
三、解答题
7．（24-25九年级上·江苏连云港·期末）把一条线段分割为两部分，较长部分与全长的比值等于较短部分与较大的比值．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，被称为黄金分割；其比值是，称之为“黄金比”．如图，点、是反比例函数在第一象限内图象上的任意点，轴于点，连接．
(1)若，，，试求的值；
(2)在（1）的条件下，在轴上取一点，使的值为“黄金比”，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，黄金分割，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意可得，再把代入反比例函数解析式中计算求解即可；
（2）由（1）可得，根据题意可得，据此求出的长即可得到答案．
【详解】（1）解：∵轴，，，
∴，
∵，
∴反比例函数解析式为，
∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴（已检验）或（舍去）；
（2）解：由（1）可得，
∵的值为“黄金比”，
∴，
∴，
∴点P的坐标为或．
8．（24-25九年级上·福建莆田·期末）
折叠黄金矩形
背景资料 古希腊人认为黄金矩形具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，是美的构成典型．黄金矩形是指长宽比满足黄金比例的矩形，其短边与长边之比确切值为，近似值为．
用矩形纸片折叠一个黄金矩形
操作步骤 第一步：在一张足够长的矩形纸片的一端，按照图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：如图2，把这个正方形对折成两个全等的矩形，再把纸片展平；第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到如图3所示的处：第四步：展平纸片，由点折出得到矩形（图4），它就是黄金矩形．
问题解决
任务1 找出图4中的另一个黄金矩形：___________．
任务2 证明矩形是黄金矩形．
任务3 如图，在直角坐标系中，矩形是黄金矩形．分别以边向外作正方形，以为边向上作正方形．判断是否在同一个反比例函数图象上，并予以验证．
【答案】任务1：矩形，任务2：见解析；任务3：见解析
【分析】任务1：先证明，证明即可得到答案；
任务2：先证明，证明即可得到答案；
任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得，设，可得，．设反比例函数关系式为，再进一步可得结论；若为宽，如图，则，同法可得结论．
【详解】解：任务1：黄金矩形为矩形． 理由如下： 如图，
设， 由第一步折叠知： ，
由第二步折叠知： ．
在中，
，
由第三步折叠知： ．
，
∴，
∴矩形为黄金矩形；
任务2：设， 由第一步折叠知： ，
由第二步折叠知： ．
在中，
，
由第三步折叠知： ．
，
．
矩形的宽与长的比值为，即矩形为黄金矩形．
任务3：若为宽，则由矩形为黄金矩形可得
设，
四边形，为正方形，
，，
，
，．
设反比例函数关系式为，把代入，
． 即点落在的函数图象上．
当时，．
点也落在的函数图象上．
点是在同一个反比例函数图象上．
若为宽，如图，则，
设，
四边形，为正方形，
，，
．
，．
同理可得：点不在同一个反比例函数图象上．
【点睛】本题考查的是轴对称的性质，黄金矩形的含义，反比例函数的应用，二次根式的混合运算，理解题意，选择合适的方法解题是关键．
考点03 相似三角形的判定
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图，在四边形中，，则添加下列条件后，不能判定和相似的是（ ）
A． B．
C．平分 D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定定理．相似三角形的判定定理有：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似．根据已知条件，运用相似三角形的判定定理逐一分析每个选项是否能判定和相似．
【详解】、满足两边成比例，但比例边的夹角不确定是否相等，故不能判定和相似，符合题意；
、满足两边成比例且夹角相等，故能判定和相似，不符合题意；
、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意；
、满足两角分别相等，故能判定和相似，不符合题意；
故选：．
二、填空题
2．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，的直径，弦的两个端点（不与，重合）在半圆上滑动，、的延长线交于点，，连接、．
以下四个结论：
①；
②若，则是等边三角形；
③；
④面积的最大值为．
其中正确的结论是 ．（把你认为正确结论的序号都填上）
【答案】①②③
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定、圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．①证明，再判断即可；②证明是等边三角形，再判断即可；③证明，再判断即可；④的最大面积为，再判断即可；
【详解】解：连接、．
，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，故①正确，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
是等边三角形，故②正确，
，，
，
，
，故③正确，
当是等边三角形时面积最大，最大值为，故④错误，
故答案为①②③．
三、解答题
3．（24-25九年级上·广东佛山·期末）网格是研究几何图形的一种工具，是解决问题的一种方法，是培养几何直观的一种方式．
(1)如图1，点、、、都在格点（正方形的顶点）上．仅用无刻度的直尺在线段上找出点，使得和相似，并说明画图的依据；
(2)如图2，点为一次函数与反比例函数图象的交点．将一次函数的图象绕点逆时针方向旋转，求新图象的表达式．
【答案】(1)作图见解析（答案不唯一）
(2)
【分析】（1）设网格中小正方形的边长为，
方法一：如图，取格点，以点为圆心、为半径画圆，交于点即可；
方法二：如图，取格点、，连接交于点即可；
（2）先根据反比例的性质求得点的坐标，根据全等三角形的判定和性质及待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：设网格中小正方形的边长为，
方法一：如图，取格点、，连接、、、，以点为圆心、为半径画圆，交于点，连接，

∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴点、在上，，
∴，
∵在中，对着圆心角和圆周角，
∴，
又∵，
∴，
则点即所作，
画图依据：圆周角定理，两角对应相等的两个三角形相似；
方法二：如图，取格点、，连接交于点，连接、、、，
∴，，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，即点是的中点，
∵，即点是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，，
∴，
则点即所作，
画图依据：矩形的判定与性质，三角形中位线定理及两角对应相等的两个三角形相似；
（2）解：∵点为一次函数与反比例函数图象的交点，
∴，解得∶，
∴，
如图，设交轴于点，则，
过作轴于点，过作且，过B作轴于点D，
∴，
∴，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，过点，，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
即新图象的表达式为．
【点睛】本题考查无刻度直尺作图，反比例函数与一次函数的综合，圆周角定理，正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理及其逆定理，等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定，全等三角形的判定与性质，待定系数法确定函数解析式等知识点，掌握圆周角定理、相似三角形的判定及待定系数法是解题的关键．
4．（24-25九年级上·广东东莞·期末）【问题背景】
在平面直角坐标系中，矩形的各个顶点坐标分别为，，，，对角线，相交于点E．
【构建联系】
（1）如图1，若双曲线过点E，则点E的坐标为 ；该双曲线的解析式为 ；
（2）如图2，双曲线与，分别交于点M，N，求证：；
【深入探究】
（3）如图3，将矩形向右平移个单位长度，使过点E的双曲线与交于点P．当为等腰三角形时，求m的值．
【答案】（1），
（2）证明见解析
（3）或
【分析】（1）由矩形的性质可知点是中点，由中点坐标公式可得，由双曲线过点E可得，由此即可求出该双曲线的解析式；
（2）由点、在双曲线的图象上可得，由矩形的性质可得，，进而可得，由比例的性质可得，再结合，于是结论得证；
（3）分三种情况讨论：①当时；②当时；③当时；分别求解即可．
【详解】解：（1）四边形是矩形，
点是中点，
又，，
，
双曲线过点E，
，
，
该双曲线的解析式为，
故答案为：，；
（2）点，在双曲线的图象上，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
又，
；
（3）分三种情况讨论：
①当时，
四边形是矩形，
，
，
，
将矩形向右平移个单位长度，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：；
②当时，
此时点与点重合，
，
将矩形向右平移个单位长度，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：；
③当时，
设，
将矩形向右平移个单位长度，
，，
，
，
解得：，
，
点，在双曲线的图象上，
，
解得：，
，
与题意不符，故舍去；
综上所述，的值为或．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，中点坐标公式，写出直角坐标系中点的坐标，求反比例函数解析式，比例的性质，相似三角形的判定，已知两点坐标求两点距离，坐标与图形变化—平移，解一元一次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．
5．（24-25九年级上·福建泉州·期末）如图，在矩形中，．
(1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留痕迹，不写作法）
(2)连接，若点为边的中点，连接，求证．
【答案】(1)作图见解析；
(2)证明见解析．
【分析】（）根据尺规作图——作一条线段等于已知线段即可；
（）由，，则，再根据等腰三角形的性质可得，，则，再通过矩形的性质得到，所以，最后通过相似三角形的判定方法即可求证；
本题考查了尺规作图，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，掌握知识点知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，以为圆心，长度为半径画弧，交于点，
∴点即为所求；
（2）证明：如图，
∵，，
∴，
∵点为边的中点，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴．
6．（24-25九年级上·福建福州·期末）在中，．
(1)使用直尺和圆规，在线段上求作一点D，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，作交于点O，连接，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，线段垂直平分线的尺规作图，等边对等角：
（1）作的垂直平分线交于点D，点D即为所求；
（2）根据等边对等角得到，由平行线的性质求得，则，据此可证明．
【详解】（1）解：如图所示，即为所求；
；
（2）解：由作图得，又，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
7．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，点D在上，连接．已知，，，求证．
【答案】证明见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解决本题的关键．
根据已知线段的长度，推出，利用两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似，即可得证．
【详解】证明：∵，，．
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴．
8．（24-25九年级上江苏·期末）如图，在中，，，．若动点从点出发，沿线段运动到点为止，运动速度为每秒2个单位长度．过点作交于点，设动点运动的时间为秒，的长为．
(1)求出关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(2)求出的面积与之间的函数关系式；
(3)当x为何值时，的面积有最大值，最大值为多少？
【答案】(1)，
(2)
(3)当时，有最大值，且最大值为6
【分析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题，找到等量关系是解题的关键．
（1）由平行线得，根据相似形的性质得关系式；
（2）根据，列函数关系式即可；
（3）运用二次函数性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：，则，
，
．
，即．
．
自变量的取值范围为．
（2）．
（3），
当时，有最大值，且最大值为6．
考点04 相似三角形的性质
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F，点G是的中点，连接并延长，交于点H，若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，关键是根据平行四边形的性质得出解答．
根据平行四边形的性质得出，进而利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质解答即可．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：B．
2．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，将边长为6的等边沿直线折叠，使点与边上的点重合，点、分别在、边上，若，则的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【分析】首先由等边三角形的性质得到，，然后由求出，，由折叠得，，证明出，得到，进而求解即可．
此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
【详解】∵等边的边长为6
∴，
∴
∵
∴，
由折叠得，
∴
∴
又∵
∴
∴，
∴．
故选：C．
3．（24-25九年级上·广东揭阳·期末）如图，在平行四边形中，点E在边上，，交于点O，若，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的性质，以及相似三角形的性质，本题要熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
本题通过平行四边形的性质可以得到且，进而得到，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出，，通过面积的加减即可求得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
且，
，
，
，
，
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得，
，
，，
根据平行四边形的性质可得
故选：B．
二、填空题
4．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）如图，在矩形中，，E为上一点，且，连接，F，G分别为上的点，连接．若，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，过点F作于点M，过点E作，且，连接，则四边形为平行四边形，可得，则可推出当A，G，H三点共线时，取得最小值，最小值为的长，可证明，证明，求出，则可得到的长，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，过点F作于点M，过点E作，且，连接，则四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴当A，G，H三点共线时，取得最小值，最小值为的长，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，；
∵，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（24-25九年级上·山西长治·期末）如图，在中，，，点，分别在，上，且，若，，则的长度是 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，先证明是等腰直角三角形，求出，再证明，求出，证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：过作交的延长线于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
故答案为：．
6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，且，，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，利用相似三角形的性质求得点B的坐标（用含m、n的式子表示）是解题的关键．
过点A，B作轴，过点B作轴，根据条件得到，进而得到，然后用待定系数法即可．
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
设，则，
点A在反比例函数的图象上，
，
，
．
三、解答题
7．（24-25九年级上·江西吉安·期末）【课本回归】在学习“相似三角形的性质”这一节中，我们学习了定理：“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比，对应中线的比都等于相似比”，对于该定理，书本要求学生自己证明，根据思路完成下面的问题．
如图，已知，，点，分别是线段，上的动点，连接，．
(1)若点，分别是线段，的中点时，求证：．
证明：
，，．
……
请完成以上证明过程．
(2)在（1）的前提下，如图，当的面积为时，则的面积为______；
(3)点，分别在线段，上运动时，当______时，，并求出的值．
【答案】(1)见解析
(2)8
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解题的关键．
（1）先证明，即可证明；
（2）根据相似三角形性质可得，结合的面积为，得到，从而得到；
（3）当时，得，整理得，因为，得，整理得，即，故当时，，即可得，即可作答．
【详解】（1）证明：，
，，，
∵点，分别是线段，上的中点时，
∴
∴，
，
，
∴
；
（2）解：，
∴，，
由（1）得，
∴
∵
∴，
∴
的面积为，
设边上的高为，
，
，
，
故答案为：；
（3）解：∵，，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
则
∴
则
故当时，，
此时．
8．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，已知在中，，，，过点作，且，连接交于点．
(1)求的长．
(2)以点为圆心，以为半径作，试判断直线与的位置关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)直线与相切，见解析
【分析】本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直线与圆的位置关系，通过面积法求出圆心到的距离是解题关键．
（1）用含角的直角三角形性质得，再由证相似，最后列比例式求；
（2）先求出，再用面积法得边上的高为，将二者进行比较，得出与的位置关系．
【详解】（1）解：在，，，
，，
，，
，
，
，
，
解得．
（2）解：直线与相切．理由如下：
由（1）得，
在中，设边上的高为，
则，
解得，
即圆心到的距离等于半径，
故直线与相切．
考点05相似的应用
一、解答题
1．（24-25九年级上·山西长治·期末）在数学探究活动中，小辰同学想利用影子测量旗杆的高度，他在某一时刻测得长的标杆影长为，同时当他测量教学楼前的旗杆的影长时，因旗杆靠近教学楼，有一部分影子在墙上，他测得旗杆到教学楼的距离，旗杆在教学楼墙上的影长，求旗杆的高．
【答案】旗杆的高是．
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，难点在于作辅助线．过点D作交于H，根据同时同地物高与影长成正比求出，再根据计算即可得解．
【详解】解：如图，过点D作交于H， 则四边形是矩形，
所以，，，
由同一时刻物高与影长成比例可得：
∴，
∴，
∴．
答：旗杆的高是．
2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）研学实践：如图1，景德桥俗称西关大桥，横跨在山西晋城市城区西门外的沁水河上，是我国的著名古桥之一．实践小组成员在了解了相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集景德桥（其中）的相关数据．
数据采集：在河岸的一边选出点C，D，分别在，的延长线上取点E，F，使得，测得，，点到河岸的距离为．
数据应用：请根据上述数据，求景德桥的长．
【答案】景德桥长．
【分析】本题考查相似三角形的实际应用，以及相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相似三角形性质和判定．作的延长线交的延长线于点，证明，根据相似三角形性质得到进行求解，即可解题．
【详解】解：作的延长线交的延长线于点，
，，
，，
，
点到河岸的距离为．
，
，，
，
，
即景德桥长．
3．（24-25九年级上·山西大同·期末）综合实践小组的同学利用镜子、尺子等工具测量文化广场上路灯的高度，如图所示，将路灯记为，在支架的点处放置一个平面镜（平面镜大小忽略不计），支架与路灯的水平距离为，当观察者与支架的水平距离为时，刚好能从镜子中看到路灯的顶部点．已知观察者的眼睛到地面的高度为，支架的高度为，点，，，，，在同一竖直平面内，于点，于点，交的延长线于点，求路灯的高度．
【答案】
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质．过点作，可证四边形为矩形，，根据相似三角形对应边成比例可得，可以求出的长度，再根据求出路灯的高度．
【详解】解：如下图所示，过点作，
于点，于点，交的延长线于点，
，，，
，
四边形为矩形，
，
根据入射角等于反射角，可得：，
，
，
，，
，，
，，
，
，
解得：，
．
答：路灯的高度为．
4．（25-26九年级上·陕西榆林·期中）某中学数学兴趣小组利用周末时间测量樱花树下的石碑与远处一座实验楼之间的距离（石碑与实验楼之间被小樱花树林隔开，不能直接测量），他们采用以下方法：如图，把支架放在石碑旁水平地面上的点处，再把一面平面镜水平放在支架上的点处（平面镜大小忽略不计），然后沿着直线移动至点处，这时恰好在镜子里看到实验楼的顶端的像，已知米，米，实验楼的高度米，观测者的目高米，已知，图中所有的点都在同一平面内，求石碑与实验楼之间的距离．
【答案】6米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
过点作交于点，交于点H，求出米，证明，，即可得到答案．
【详解】解： 过点作交于点，交于点，如图，
∵，
∴米，米，，
∴（米），
（米），
根据题意，得，
∴，
∴，即，解得（米），
∴米，
∴石碑与实验楼之间的距离为6米．
5．（24-25九年级上·广东深圳·期末）如图，一条小河两岸分别有两棵树，记为树A和树B．小河的宽度未知，为了安全起见，数学兴趣小组成员不得通过涉水的方式测量树A与树B之间的距离，于是他们采取如下方式：
①在树B所在的河岸边选择一点C，观测对岸的树A，并记录下的距离为；
②在树B所在的河岸内侧，选择两点D，E，从点D观测树A，且A，D以及C三点共线，然后从点E观测树B与树A，并使E，B，A三点共线；
③调整D，E的位置，使，记录下的距离为；
④测量出之间的距离大约为．
数学兴趣小组的方案能否得出树A与树B之间的距离？请通过分析与计算说明．
【答案】能测出树A与树B之间的距离为18米
【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据平行证明，即可得，代入计算即可作答．
【详解】能测出树A与树B之间的距离，如下：
∵，
∴，，
∴，
∴，即，
∵的距离为，的距离为，之间的距离大约为，
∴，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：能测出树A与树B之间的距离为18米．
6．（24-25九年级上·四川成都·期末）如图，小红正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为，由物理知识可知，且图中点A、B、C、D在同一水平面上．
(1)求的长；
(2)求手电筒灯泡到地面的高度．
【答案】(1)3
(2)
【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键．
（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长；
（2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长．
【详解】（1）解：由题意可得：，
则，
则，
即，
解得：．
（2）解：，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度为．
7．（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）某校九年级一班的兴趣小组准备测量西安古城墙的高度，制定了如下的测量方案：如图，首先，王磊站在点，当在正前方1.5米（即米）的点放置一平面镜时，通过平面镜王磊刚好可以看到城墙的最高点，此时测得王磊的眼睛到地面的距离为1.5米；然后，在阳光下某一时刻，李华再在点处竖立一根高2米的标杆，城墙的影子顶端与标杆的影子顶端恰好重合于点，此时测得米，米，已知图中所有点均在同一平面内，，，，点、、、、在一条水平线上，请根据以上数据，计算西安古城墙的高度．（平面镜大小忽略不计）
【答案】西安古城墙的高度为12米
【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意，寻找相似三角形是解题的关键；
设米，证明，推出米，证明，可得，据此解方程即可得到答案．
【详解】设米，由题知，
米，米，米，米，
，，，
，
，，
，
，即，
米，
，，
，
，
又米，
，
解得，
答：西安古城墙的高度为12米．
8．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图1，平直的公路旁有一竖直灯杆，在灯光下，小华从灯杆的底部处沿直线前进到达点，在处测得自己的影长．小华身高．
(1)求灯杆的长；
(2)若小华从处继续沿直线前进到处（如图2），求此时小华的影长的长．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的应用，平行投影，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
（1）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：，，从而可得，然后证明字模型，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得：，，
，
，
，
解得：，
灯杆的长为；
（2）由题意得：，，
，
，
，
解得：；
∴此时小华的影长的长为．
考点06位似及图形变换
一、单选题
1．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，和是以点O为位似中心的位似图形，若，则和的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
【详解】解：，
，
和是以点为位似中心的位似图形，
，，
，
，
与的面积比为：，
故选：D．
2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，根据位似的性质可得，且，结合周长比进而可得相似比为，即有，再证明，即可解答．
【详解】解：∵与位似，
∴，且，
∵的周长等于周长的，
∴相似比为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．（24-25九年级上·山东青岛·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的周长之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似图形的周长比等于相似比是解题关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴和的周长之比为，
故选：D．
二、填空题
4．（24-25九年级上·山西晋中·期末）如图，与位似，位似中心是点．若，的面积为2，则的面积为
【答案】32
【分析】本题考查了位似图形以及相似三角形的判定与性质，先由与位似，位似中心是点．得，故，再运用面积比等于相似比的平方，即可作答．
【详解】解： ∵，
∴，
∵与位似，位似中心是点．
∴，
∴，
∴，
∵的面积为2，
∴的面积为，
故答案为：32．
5．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，点，，以A为圆心3为半径作圆，点M是上一动点，以为斜边作，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查圆的性质，位似，相似三角形的判定与性质以及点与圆的位置关系，勾股定理，两点的距离．解题的关键在于理解点的轨迹是一个圆，它与关于点位似．先判断点的轨迹是一个圆，它与关于点位似，当圆心在上时，求出点的运动轨迹所在的圆心的坐标及的半径，当点在线段上时，取得最小值，按此分析求解即可．
【详解】解：依题意可知，点的运动轨迹是一个圆，设点的运动轨迹为，且是以点为位似中心的位似图形，
当过圆心时，过圆心，，
，
，
过的顶点构造矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
令点，
，
，
，
解得，,
点的坐标为，
，，
，
在中，，
，
，
，
，即轨迹的半径为．
当点在上时，取得最小值，如图，
，
．
故答案为：．
三、解答题
6．（24-25九年级上·广东汕州·期末）如图，已知半径为5的经过轴上一点，与轴交于、两点，连接、，平分，
(1)判断与轴的位置关系，并说明理由；
(2)求的长；
(3)连接并延长交圆于点，连接，求点的坐标．
【答案】(1)与轴相切，理由见解析
(2)6
(3)
【分析】（1）连接，先推出，得到轴，再推出，得到轴，即可说明；
（2）过点作，交于点，证四边形是矩形，得，，设，则，，
利用勾股定理求出值，即可求得值，再由垂径定理得即可求解；
（3）连接，，过点作于点，得直角，由（2）知：，，，所以，，在中，，由勾股定理，求得，在中，，由勾股定理，即可求得，在和在中，由勾股定理，求得，，从而得出点坐标．
【详解】（1）解：与轴相切，理由如下：
如图所示，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴轴，
∴，
∵，
∴，
∴轴，
∵是的半径，点在轴上，
∴与轴相切；
（2）解：如图所示，过点作，交于点，
由（1）知，，
∵，
∴，，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
设，则，，
在中，，
由勾股定理得，，
解得，，（舍去），
∴，
∴；
（3）解：如图所示，连接，，过点作于点，
由（2）知，，，，
∴，，
在中，，
由勾股定理得，，
∵是的直径，
∴，，
在中，，
由勾股定理得，，
即，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
∴，
解得，，
∴，
∴，即点的横坐标为，
∵点在第四象限，
∴．
【点睛】本题考查直线与圆相切的判定，勾股定理，圆周角定理的推论，垂径定理，熟练掌握直线与圆相切的判定是解题的关键．
7．（24-25九年级上·福建厦门·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，过点A作x轴的平行线l，与y轴交于点C，且．
(1)求点A到x轴的距离；
(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线l向左移动，同时点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右移动．若某一时刻以C，O，P，Q为顶点的四边形的面积为6，求此时点P的坐标．
【答案】(1)4
(2)或
【分析】本题考查了平面直角坐标系，解题的关键是利用直角坐标系中点的坐标及三角形面积公式即可求解．
（1）根据题目给出的和的方程式，结合图象求出和的坐标；
（2）分析点和点的运动过程，确定它们的位置关系，分三种情况进行讨论：，，，根据四边形的面积建立方程求解时间，进而得到的坐标．
【详解】（1）解：，
且，
即，，
即，，
到轴的距离为4；
（2）解：点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向左移动，
点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿轴向右移动，
点的坐标为，，
当时，、、、，
将四边形分成两个三角形，即和，
，
，
四边形的面积为：，
，
，
；
当时，、、、，
四边形是梯形，
（不满足），故不存在；
当时，、、、，
将四边形看作梯形，
，
，
综上所述：或．
8．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别是，，．
(1)以点为位似中心，请在轴左侧画出的位似图形，使与的相似比为，并写出点的坐标___________
(2)若点为内一点，经过（1）中的位似变换后，对应点的坐标是___________；
(3)请仅用无刻度的直尺在线段上确定一点，使，请画出点．（保留作图痕迹）．
【答案】(1)图见详解，
(2)
(3)见详解
【分析】本题考查作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质、位似的性质是解答本题的关键．
（1）根据位似的性质作图，即可得出答案．
（2）结合位似的性质可得答案．
（3）取格点，使，且，连接交于点，此时则点即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求，
由图可知，点的坐标为，
故答案为：．
（2）解：由题意知，与关于原点对称，且相似比为，
故对应点的坐标为．
（3）解：如图，取格点，使，且，连接交于点，
此时，
故，点即为所求．
考点07相似三角形判定与性质综合
一、填空题
1．（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在中， ，，．将以点C为中心逆时针旋转得到．若点在的延长线上，则线段的长为 ．
【答案】
【分析】根据得到即，结合旋转的性质，得，于是得到，可以证明，利用相似的性质，证明，再利用勾股定理计算即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴即，
由旋转的性质，得，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
∴，
设，
则，
∴，
解得（舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，勾股定理，旋转的性质，三角形相似的判定和性质，一元二次方程的解法，熟练掌握相似的判定和性质，勾股定理，解方程是解题的关键．
2．（24-25九年级上·山西朔州·期末）如图，正方形的对角线, 相交于点, 是上的一点，连接，交于点，若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据题意设，则，，结合正方形性质和勾股定理得到，以及证明，最后利用正方形性质和相似三角形性质求解，即可解题．
【详解】解：，
设，则，，
四边形为正方形，
，，，
，，
， 为正方形的对角线，
，，
，
，
解得，
，
，
故答案为：．
3．（24-25九年级上·上海·期末）如图，矩形中，，点在边上，，连接，将沿着翻折，点的对应点为点，连接、，分别交边于点、，如果，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，由矩形的性质及已知可得，，延长相交于点，可得，即得，得到，再根据折叠的性质及平行线的性质可得，得到，即得，即得到，得，再利用即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
如图，延长相交于点，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
由折叠得，，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴，
故答案为：．
4．（24-25北京东城期末）如图，在中，点E在上，，交于点F，若，且，则 ．
【答案】6
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可，能求出和求出是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴设，，则，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
解得：，
故答案为：6．
二、解答题
5．（25-26九年级上·广东揭阳·期末）综合探究
如图，在矩形中，，动点在边上，连接．
(1)过点作交于，
当，求证：；
当时，求的值（用含的代数式表示）．
(2)如图，动点在边上，将矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，求的值（用含的代数式表示）．
【答案】(1)见解析；；
(2)．
【分析】（）设，交于点，当，则有，由四边形是矩形，得，所以，由，则，得，所以，证明，然后通过性质即可求证；
由知，，，所以，然后通过相似三角形性质即可求解；
（）取的中点，连接，作，交于，所以，根据四边形是矩形，所以，，可证四边形是平行四边形，所以，由题意得点和点关于对称，，所以，则有，由知，，得，不妨设，，则，由勾股定理得，则有，从而得．
【详解】（1）证明：如图，
设，交于点，
当，则有，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解：由知，，，
∴，
∴；
（2）解：如图，
取的中点，连接，作，交于，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵矩形沿折叠，点折叠后的位置分别是点，点恰好是线段的中点，
∴点和点关于对称，，
∴，
∴，
由知，，
∴，
不妨设，，则，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，矩形与折叠，轴对称的性质，同角的余角相等，平行四边形的判定与性质等知识，掌握知识点的应用，正确添加辅助线是解题的关键．
6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，中，O是边上一点，以O为圆心，为半径的恰好与相切于点D，且．
(1)求证：是的切线．
(2)若，且，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)的半径为6．
【分析】本题主要考查了切线的性质与判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，证明，得到，由切线的性质可得，由此即可证明是的切线；
（2）先证明，则，设，则，根据勾股定理，可得，则，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
∵为半径的恰好与相切于点D，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∴，
设，则，
在中， ，
∴．
∴，
∴的半径为6．
考点08相似三角形与几何变换综合
一、填空题
1．（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图，在中，，，点P从点A出发沿边向点B以2的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以4的速度移动，如果P、Q同时出发，经过 秒后和相似？
【答案】或2
【分析】设经过秒两三角形相似，分别表示出、的长度，再分①与边是对应边，②与边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．本题考查了相似三角形对应边成比例的性质，表示出边、的长是解题的关键，需要注意分情况讨论，避免漏解而导致出错．
【详解】解：设经过秒后和相似．
则，，
，，
，
①与边是对应边，则，
即，
解得，
②与边是对应边，则，
即，
解得．
综上所述，经过秒或2秒后和相似．
故答案为：或2．
2．（24-25九年级上·广东汕州·期末）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是BC的中点，连接AN、PM，若，则当的值最小时，线段AN的长度为 ．
【答案】
【分析】过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小，根据三角形的中位线的性质得到PE=BD，根据平行四边形的性质得到EN=PM，根据勾股定理得到AE=，根据相似三角形的性质即可得到结论.
【详解】解：
过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N，过P作PM∥AE交BD于M，此时，AN+PM的值最小
∵P为BC的中点
∴E为CD的中点
∴PE=BD
∵AB=BD，AB=MN
∴MN=BD
∴PE=MN
∴四边形PEMN是平行四边形
∴EN=PM
∵AE=
∴AB∥CD
∴△ABN∽△EDN
∴
∴AN=
故答案为.
【点睛】本题考查了轴对称——最短路径问题、正方形的性质以及相似三角形的判定与性质，题目综合性很强，属于较难题目.
二、解答题
3．（24-25九年级上·广东广州·期末）如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为
(1)当秒时，的值是多少？
(2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围；
(3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由．
【答案】(1)24
(2)
(3)为或，理由见解析
【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，函数关系式；
（1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得；
（2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，；
（3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得．
【详解】（1）解：当秒时，，，，
矩形中，，，
，，，，
，
，
，
，
的值是24；
（2）解：①当在上，即时，如图：
，，，
，，，
；
②当在上时，由解得，
追上所用时间是，
此时，
如图：
，，
，
，
综上所述，；
（3）解：如图：
，
以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，
当时，，
解得，
当时，，
解得，
综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似．
4．（24-25九年级上·山东济南·期末）如图1，在中，，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒，连接PQ．
(1)若与相似，求t的值；
(2)直接写出是等腰三角形时t的值；
(3)如图2，连接AQ、CP，若，求t的值．
【答案】(1)t的值为1或
(2)是等腰三角形时t的值为：或或
(3)
【分析】（1）根据勾股定理可得，分两种情况：①，②，根据相似三角形的性质将代入计算即可得；
（2）分三种情况：①当时，过P作，则，，根据平行线分线段成比例定理得到，进而即可求解；②当时，列出式子即可求解；③当时，过Q作于G，则，通过，得到比例式进而即可求解；
（3）设AQ，CP交于点N，过P作于点M，先根据相似三角形的判定与性质可得，，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】（1）解：∵，
∴，
由题意得：，
分以下两种情况讨论：
①当时，，
即，
解得；
②当时，，
即，
解得，
综上，t的值为1或；
（2）解：分三种情况：
①当时，如图，过P作，
则，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得：；
②当时，即，
解得：；
③当时，如图，过Q作于G，
则，，
∵，
∴，
∴即，
解得：；
综上所述：是等腰三角形时t的值为：或或；
（3）解：如图，设AQ，CP交于点N，过P作于点M，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，即，
解得，
经检验是该分式方程的解．
【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
5．（24-25九年级上·山东威海·期末）如图，在中，，，．动点D以的速度从点B出发向点C运动，动点E从点C出发向点A运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．若点D，E同时出发，求当与相似时，点E的运动速度．
【答案】或或
【分析】该题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是分类讨论．
在中，，，，勾股定理求出，设两点的运动时间是，根据题意，分为当时，当时和当时求解即可．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，
设两点的运动时间是，
根据题意得，，，，，
当时，
则，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴；
当时，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
当时，
则，，
∵，
∴．
∴，
∴，，
解得：，
∴；
综上，或或．
6．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，已知矩形，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，其中点P以每秒1个单位的速度从点C出发在射线上运动，连接，作交x轴于点E，连接交于点F，设运动时间为t秒．
(1)若平分，求t的值；
(2)当时，求点E的坐标；
(3)在运动的过程中，是否存在以为顶点的三角形与相似．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先证是等腰直角三角形，得，即可得出结论；
（2）通过证明，可得，即可求解；
（3）本题需先证出，求出，再分两种情况讨论，求出的值即可．
【详解】（1）解：当平分时，，
∴是等腰直角三角形，
（2）∵，
又
，
，
当时，，
∴，
∴点坐标为；
（3）存在以、、为顶点的三角形与相似．理由如下：
当点在点上方时，如图1，
若时，
又∵，
∴，
∵，
∴，
解得：(不合题意舍去)，
∴；
∴点；
当点在点下方时，如图2，
①若时，
又∵，
则，
解得：(不合题意舍去)，
②若，则，
整理得：，
∴这种情况不成立；
综上所述，在运动的过程中，存在以、、为顶点的三角形与相似，点或．
【点睛】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．若与的相似比为2，则与的面积比为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的性质，牢记相似三角形的面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
根据相似三角形的面积比等于相似比的平方作答即可．
【详解】解：∵与的相似比为2，
∴与的面积比为．
故选：C．
2．如图，小正方形的边长均为，则，，，四个选项中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了相似三角形的判定和勾股定理．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应边的比．
根据勾股定理，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例，即可根据相似三角形的判定得到结论．
【详解】解：小正方形的边长为1，
在中，，，，
A选项中，一边，一边，一边，
有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似，符合题意；
B选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意；
C选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意；
D选项中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似，不符合题意．
故选：A．
3．如图，与位似，点为位似中心，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，根据位似图形的概念、相似三角形的性质进行判断即可．
【详解】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，，
∴与位似比为，与相似，相似比为，
∴，
故选：B．
4．如图，在中，点D在边上，点E在的延长线上，添加下列条件不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理并应用解决问题是解题关键．
根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】解：A、，即，又，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意；
B、，不能证明，符合题意；
C、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意；
D、，，可根据两角对应相等证明，不符合题意；
故选：B．
5．如图，这是一架人字梯及其部分侧面示意图．已知，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平行线分线段成比例定理（两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例），解题的关键是能根据平行线分线段成比例定理列出比例式．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
即的长为．
故选：A．
6．如图，，请你再添加一个条件，使得．则下列选项不成立的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定，根据，可以得到，然后即可判断添加各个选项中的条件是否可以使得，本题得以解决．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴当添加条件时，则，故选项A不符合题意；
当添加条件时，则，故选项B不符合题意；
当添加条件时，则，故选项C不符合题意；
当添加条件时，则和不一定相似，故选项D符合题意；
故选：D．
7．如图，在中，弦与弦交于点且，．已知，，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
根据同弧所对的圆周角相等证得，进而证得，根据相似三角形的性质证得，列式求出的长，结合，求出的长即可．
【详解】解：弦与弦交于点，
，
，
，
，
，，，
、，
，
或，
当时，，当时，，
，
，
故选：A．
8．在中，是高，矩形的顶点P、N分别在上，在边上，若，，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据矩形的性质，得到，，证明，列出比例式，设，则，，代入比例式，进行求解即可．
【详解】解：如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，四边形是矩形，
∴，
设，则，．
∵，
∴，
解得．
∴，
故选：B．
9．如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接，过点O作的垂线与反比例函数的图象交于点B，则的值为（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定，熟练掌握反比例函数k的几何意义及相似三角形的性质与判定是解题的关键；分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，由题意易得，根据反比例函数k的几何意义可知：，然后可得，进而可得，则问题可求解．
【详解】解：分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，如图所示：
∴，
∵点A为反比例函数图象上的一点，点B为反比例函数图象上的一点，
∴根据反比例函数k的几何意义可知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选A．
10．如图，在正方形中，是边上一点，是的中点，过点作，交的延长线于点，交于点．若，，则的长为（ ）
A．4.5 B．4.8 C．4.9 D．5.2
【答案】C
【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
由正方形的性质得出，，，得出，再由，得出，由勾股定理求出，得出，由得出比例式，求出，即可得出的长．
【详解】∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∵F是的中点，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴．
故选：C
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．如果，那么 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了比例的性质，根据比例的性质得到，再把代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ．
【答案】
【分析】本题考查了黄金分割，根据P为的黄金分割点，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为，
∴，
即，
故答案为：．
13．如图1是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图2所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是 .
【答案】50
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确地构造相似三角形是解题的关键．首先根据题意证明三角形相似，然后根据相似三角形的对应边成比例求得结论即可．
【详解】解：由题意得：，
∴，
，
，
，
∵，，，
，
，
故答案为：50．
14．如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ．
【答案】2
【详解】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题．
【解答】解：由题知，，
，
，
，
∴，
则，
，
，
又，
∴，
∴，
故答案为：2．
15．如图，在平行四边形中，，垂足为E，，交于点F，若，，当时，的长是 ．
【答案】
【分析】由平行四边形的性质得，进而求得的长；作的外接圆，连接，过点O作于点M，过点O作于点N，由圆周角定理得，，由勾股定理求得圆的半径为，；由题意得四边形是矩形，且，，在中由勾股定理求得，则，即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
如图，作的外接圆，连接，过点O作于点M，过点O作于点N，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
即，
∴，；
∴的半径为，
∵，
即，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，由勾股定理得，
∴．
的长是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助圆．
三、解答题（共8小题，共75分）
16．（8分）已知，在中，，分别是边，上的点，连接，，，和相交于点，且．
(1)求证：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查相似三角形的判定及性质：
（1）根据，，即可求得答案．
（2）根据，即可求得答案．
【详解】（1）∵，，
∴．
（2）∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
17．（8分）如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)证明过程见解析；
(2)的长为．
【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质．
（1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可；
（2）根据，，得出，证明，可得，即可得．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵是等边三角形，，，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴．
∴的长为．
18．（8分）如图，在中，，，点P、D分别是、边上的点，且．
(1)求证：；
(2)当时，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质可得，再结合，可得，即可求证；
（2）根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
在与中，
，
∴∽．
（2）解：∵，，，
∴．
∵∽，
∴，即，
∴．
19．（8分）“准、绳、规、矩”是我国古代使用的测量工具，一个简单结构的“矩”指两条边成直角的曲尺（如图1），它的两条边分别是，把“矩”竖立放置可以测量物体的高度、如图2，从“矩”的一端处望向一根木杆（木杆的宽度忽略不计）的顶端处，使视线通过“矩”的另一端处（即在一条直线上），矩的一边的延长线与木杆垂直，垂足为，测得，，已知“矩”的边，，图中所有点均在同一平面内，求木杆的高度．
【答案】3.6m．
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，
先根据矩形的性质得，，再说明，根据相似三角形的对应边成比例求出，最后根据得出答案．
【详解】解：由题易得：四边形是矩形，
∴，.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
答：木杆的高度为．
20．（9分）

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