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2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题14 相似易错点详解(易错点归纳+易错解析+巩固提高)
九年级数学的"相似"这一章内容非常重要，也是许多同学容易在细节上出错的地方。为了帮助你清晰地掌握常见错误和关键点，现结合新教材的特点，梳理了本章的主要易错点，下面的表格可以让你快速把握全貌。
易错领域 核心问题 典型错误与关键解析
相似概念与性质 判断多边形相似条件不全 错误：认为只要对应角相等，四边形就相似。正解：多边形相似必须同时满足两个条件：对应角相等且对应边成比例。
比例计算忽略单位统一 错误：实际距离250米与图上距离5厘米直接计算比例。正解：必须先统一单位，250米=25000厘米，比例尺=5:25000=1:5000。
相似三角形的判定 使用判定定理时条件不全 错误：认为两边成比例且有一角相等即可判定相似（SSA错误）。正解：必须是"两边成比例且其夹角相等"（SAS）。直角三角形的相似还需注意斜边和直角边的对应关系。
忽略分类讨论导致漏解 错误：在动态问题中，只考虑一种对应关系。正解：如△ABC中，AB=6, AC=9, AD=2, DE∥BC，求CE时，点D可能在AB上或其延长线上，需分情况讨论，CE可能为6或12。
相似三角形的性质 混淆相似比与面积比 错误：认为面积比等于相似比。正解：相似三角形面积的比等于相似比的平方。若相似比为k，则面积比为k 。
运用性质时找错对应边/高 错误：在复杂图形中，将非对应边或高进行比例计算。 正解：必须严格确定对应关系，例如△ADE∽△ABC，则对应边之比为AD/AB = DE/BC，对应高的比也等于该相似比。
位似变换 忽略位似中心的位置 错误：在坐标系中进行位似变换时，仅按比例计算坐标，忽略位似中心在不同位置（原点或非原点）对坐标变化的影响。正解：以原点O为位似中心，若相似比为k，则点(x,y)的对应点坐标为(kx, ky)。位似中心不在原点时，需先平移。
位似图形概念理解不清 错误：认为任意两个相似图形都是位似图形。正解：位似图形除相似外，还必须满足对应点连线交于一点（位似中心），且对应边平行。
1.判断多边形相似条件不全
例1.四边形ABCD与四边形EFGH中，∠A=70°, ∠B=80°, ∠C=110°；∠F=80°, ∠G=110°, ∠H=100°。它们是否相似？
典型错解
因为∠B=∠F=80°, ∠C=∠G=110°，所以两个四边形相似。
错因分析
认为只要对应角相等，四边形就相似
正确解法
判断多边形相似需要所有对应角相等且所有对应边成比例。题目只给出了部分角相等，并未说明所有角对应相等，也未提供任何边长信息来验证对应边是否成比例。因此，结论是不一定相似
针对练习1
一、单选题
1．（24-25九年级上·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个正方形
C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形
2．（24-25九年级上·重庆·期末）下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的菱形是正方形
B．若点将线段黄金分割且，则
C．任意两个正方形不一定相似
D．若关于变量，的关系式为，则是的反比例函数
3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形
5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）下列说法正确的有个（ ）
（1）任意两个矩形都相似 （2）任意两个正方形都相似
（3）任意两个等边三角形都相似 （4）任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
2.比例计算忽略统一单位
例2．（24-25九年级上·上海·期末）线段是线段、的比例中项，且AB=0.3dm，，则长为 ．
典型错解
解：
错因分析
比例计算忽略单位统一
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，
∴，
∴，
故答案为：．
针对练习2
一、单选题
1．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列各线段的长度成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
二、填空题
3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ．
4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 ．
3.相似三角形判定定理使用错误
例3.（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，使，添加的条件可以是_______
①． ②． ③． ④．
典型错解
②③④
错因分析
相似三角形的判定方法混淆、判定条件错误
正确解法
【答案】③
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
①、不能证明，不符合题意；
②、可以判定，无法判定，故不符合题意；
③、，由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故该选项可以判定相似，符合题意；
④、，不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，不符合题意．
故答案：③．
针对练习3
一、单选题
1．（24-25九年级上·北京通州·期末）如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（ ）
天翼的做法：添加条件．证明：，，（两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件．证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）．
A．天翼的做法证明过程没有问题 B．佳琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．佳琛的做法添加的条件有问题
3．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
4．（25-26九年级上·天津·月考）如图，已知，．求证：．
5．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点，若，求证：．
6.（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的长；
②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由．
7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）知识背景：
如图1，是等边三角形，如果，我们可以证出______，从而计算出与相交所成的锐角度数是______．这个图形我们称之为“等边十字架”．
知识应用：
①如图2，过作于点，在上取点，连接，使．证明．
②如图3，延长至点，连接．在上截取．延长至点，点恰好在的垂直平分线上．作射线分别交、于点、，若为中点，，过点作于点，求的长．
4.对应关系未确定但没有分类讨论
例4．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为 ．
典型错解
解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，
∴点的时间为，点的时间为，
设运动时间为，
∴，则，
∵，∴，
∴，
解得，；
错因分析
在动态问题中，只考虑一种对应关系，忽略分类讨论导致漏解。
正确解法
【答案】或
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键．
根据题意，设运动时间为，则，，结合图形，分类讨论：当时；当时；由此列式求解即可．
【详解】解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，
∴点的时间为，点的时间为，
设运动时间为，
∴，则，
当时，，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
解得，；
综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为或，
故答案为：或．
针对练习4
一、单选题
1．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似．
A． B．或 C．或 D．或
二、填空题
2．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，正方形的边长为4，，那么当 时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点）
3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点P从B点出发，沿方向以的速度移动，点Q从C出发，沿方向以的速度移动．若P、Q同时出发，经过 ，与相似．
三、解答题
4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动．
(1)点出发几秒后，的面积为面积的；
(2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？
(3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？
5．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)求的长．
(2)当t为何值时，与相似？
6．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒．
(1)线段的长______；
(2)当与相似时，求的值．
5.混淆面积比与相似比
例5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，且．DE和FG把的面积三等分．如果，那么 ．
典型错解
解：，
∵DE和FG把的面积三等分
∴AD=DF=BF
∴FG：BC=AD：AB=2：3
∴GF=12=8
错因分析
误认为相似三角形面积比对于相似比出错
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
由平行线得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：设的面积为，则的面积为，的面积为．
，
．
，
和的相似比是
，
即，
解得．
故答案为：．
针对练习5
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建福州·月考）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
5．（25-26九年级上·北京顺义·期中）两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ．
三、解答题
5．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．
(1)已知，求的长；
(2)已知的面积是8，求四边形的面积．
6.位似概念不清
例6．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 ．
典型错解
6
错因分析
位似性质理解错误
正确解法
【答案】9
【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为，
∴与的面积之比为，
∵的面积为4，
∴的面积是9，
故答案为：9．
针对练习6
一、单选题
1．（24-25九年级上·河南商丘·期末）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（ ）
A．与是位似图形，位似中心为
B．与相似
C．与的面积之比为
D．与的周长之比为
2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为，则下列说法不正确的是 （　　）
A．点 的坐标为
B．
C．与 的周长之比为
D．与 的面积之比为
3．（24-25九年级上·重庆·月考）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23九年级上·四川成都·月考）如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
二、解答题
5．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心；
(2)请在方格图中将补画完整；
(3)求的面积．
6（24-25九年级下·安徽淮南·月考）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心；
(2)求与的周长比和面积比．
1．把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（ ）．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段 ．
5．如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ．
6．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，，，．若，则的长为 ．
7．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ．
三、解答题
8．如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽．
(1)求花圃四周绿地的宽度；
(2)矩形与矩形相似吗？请说明理由．
9．（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是的中点，试判断四边形和四边形是否相似，并说明理由．
（2）如图2，矩形的宽，长，把它的各边长都减去2，得到矩形，试判断矩形与矩形的相似情况．

10．已知三条线段a，b，c满足，且．
(1)求a，b，c的值；
(2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值．
11．已知是的高，是的外接圆．
(1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2，若的半径为，求证：
12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；
(2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．
(3)在（2）的条件下，此时的面积是多少？
2025-2026人教版九年级数学期末专项训练
专题14 相似易错点详解(易错点归纳+易错解析+巩固提高)（解析版）
九年级数学的"相似"这一章内容非常重要，也是许多同学容易在细节上出错的地方。为了帮助你清晰地掌握常见错误和关键点，现结合新教材的特点，梳理了本章的主要易错点，下面的表格可以让你快速把握全貌。
易错领域 核心问题 典型错误与关键解析
相似概念与性质 判断多边形相似条件不全 错误：认为只要对应角相等，四边形就相似。正解：多边形相似必须同时满足两个条件：对应角相等且对应边成比例。
比例计算忽略单位统一 错误：实际距离250米与图上距离5厘米直接计算比例。正解：必须先统一单位，250米=25000厘米，比例尺=5:25000=1:5000。
相似三角形的判定 使用判定定理时条件不全 错误：认为两边成比例且有一角相等即可判定相似（SSA错误）。正解：必须是"两边成比例且其夹角相等"（SAS）。直角三角形的相似还需注意斜边和直角边的对应关系。
忽略分类讨论导致漏解 错误：在动态问题中，只考虑一种对应关系。正解：如△ABC中，AB=6, AC=9, AD=2, DE∥BC，求CE时，点D可能在AB上或其延长线上，需分情况讨论，CE可能为6或12。
相似三角形的性质 混淆相似比与面积比 错误：认为面积比等于相似比。正解：相似三角形面积的比等于相似比的平方。若相似比为k，则面积比为k 。
运用性质时找错对应边/高 错误：在复杂图形中，将非对应边或高进行比例计算。 正解：必须严格确定对应关系，例如△ADE∽△ABC，则对应边之比为AD/AB = DE/BC，对应高的比也等于该相似比。
位似变换 忽略位似中心的位置 错误：在坐标系中进行位似变换时，仅按比例计算坐标，忽略位似中心在不同位置（原点或非原点）对坐标变化的影响。正解：以原点O为位似中心，若相似比为k，则点(x,y)的对应点坐标为(kx, ky)。位似中心不在原点时，需先平移。
位似图形概念理解不清 错误：认为任意两个相似图形都是位似图形。正解：位似图形除相似外，还必须满足对应点连线交于一点（位似中心），且对应边平行。
1.判断多边形相似条件不全
例1.四边形ABCD与四边形EFGH中，∠A=70°, ∠B=80°, ∠C=110°；∠F=80°, ∠G=110°, ∠H=100°。它们是否相似？
典型错解
因为∠B=∠F=80°, ∠C=∠G=110°，所以两个四边形相似。
错因分析
认为只要对应角相等，四边形就相似
正确解法
判断多边形相似需要所有对应角相等且所有对应边成比例。题目只给出了部分角相等，并未说明所有角对应相等，也未提供任何边长信息来验证对应边是否成比例。因此，结论是不一定相似
针对练习1
一、单选题
1．（24-25九年级上·山东威海·期末）下列图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形 B．两个正方形
C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形
【答案】B
【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键．
【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似；
B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似；
C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似；
D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似；
故选B．
2．（24-25九年级上·重庆·期末）下列说法错误的是（ ）
A．四个角都相等的菱形是正方形
B．若点将线段黄金分割且，则
C．任意两个正方形不一定相似
D．若关于变量，的关系式为，则是的反比例函数
【答案】C
【分析】本题考查正方形的判定，比例线段，相似图形，反比例函数的性质．逐一分析各选项的正确性，结合相关数学概念进行判断．
【详解】解：A、菱形四边相等，若四个角都相等，则每个角为，此时菱形为正方形，说法正确，本选项不符合题意；
B、黄金分割的定义为较长线段与全长的比等于较短线段与的比，即，整理得，说法正确，本选项不符合题意；
C、正方形的所有角均为，且对应边成比例，因此任意两个正方形一定相似，原说法错误，本选项符合题意；
D、反比例函数的形式为，题中符合定义，说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
3．（24-25九年级上·福建福州·期末）如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断．
【详解】解：由题意得，
A中正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形相似；
B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似；
而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形．
故选：D．
4．（24-25九年级上·辽宁·期中）下列两个图形一定相似的是（ ）
A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形
【答案】C
【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可．
【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误；
B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误；
C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确；
D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误，
故选：C．
5．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）下列说法正确的有个（ ）
（1）任意两个矩形都相似 （2）任意两个正方形都相似
（3）任意两个等边三角形都相似 （4）任意两个菱形都相似．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】利用相似多边形的定义：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形，即可进行判断．
【详解】解：（1）虽然两个矩形的对应角都是直角，但是对应边不一定成比例，所以任意两个矩形不一定相似，故说法错误；
（2）两个正方形的对应边成比例，对应角都是直角，所以任意两个正方形一定相似，故说法正确；
（3）两个等边三角形的对应边一定成比例，对应角都是，所以任意两个等边三角形一定相似，故说法正确；
（4）两个菱形的对应边一定成比例，对应角不一定相等，所以任意两个菱形不一定相似，故说法错误．
故选C．
【点睛】本题考查了相似多边形的定义．注意从对应边与对应角两个方面考虑．
2.比例计算忽略统一单位
例2．（24-25九年级上·上海·期末）线段是线段、的比例中项，且AB=0.3dm，，则长为 ．
典型错解
解：
错因分析
比例计算忽略单位统一
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了比例中项的概念，根据两条线段的比例中项的平方是两条线段的乘积，列出方程是解决问题的关键．
【详解】解：∵线段是线段、的比例中项，
∴，
∴，
故答案为：．
针对练习2
一、单选题
1．（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）已知按顺序排列的四条线段是成比例线段，其中，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了成比例线段，理解成比例线段的定义和性质是解题关键．根据题意可得，然后代入数值并求解，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，线段，，，是成比例线段，且，，，
则有，即，
解得．
故选：C．
2．（24-25九年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）下列各线段的长度成比例的是（ ）
A．，，， B．，，，
C．，，， D．，，，
【答案】D
【分析】本题考查成比例线段的判断.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，这四条线段就叫做成比例线段.根据比例的基本性质，可以检验是否存在两条线段长度的乘积等于另外两条线段长度的乘积的情况，若存在则成比例．
【详解】解：A、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意；
B、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意；
C、由于，，，任意两条线段长度的乘积均不能与另外两条线段乘积相等，故这四条线段的长度不成比例，不符合题意；
D、由于，则，，，四条线段的长度成比例，符合题意；
故选：D．
二、填空题
3．（24-25九年级上·江苏常州·期末）在比例尺为的地图上，量得甲、乙两地的距离为，则甲，乙两地的实际距离为 ．
【答案】
【分析】本题考查了比例尺的概念、比例的性质；根据比例尺进行计算，注意单位的转换问题．根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式直接求得甲、乙两地间的实际距离．
【详解】设甲、乙两地间的实际距离为，则：
解得：．
．
故答案为：．
4．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）在比例尺为的某市旅游地图上，某条道路的长为，则这条道路的实际长度为 ．
【答案】/
【分析】根据比例的性质得出这条道路的实际长度为，在转化单位即可求解．
【详解】解：根据题意得：
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例线段，掌握比例的性质是解题的关键．
3.相似三角形判定定理使用错误
例3.（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，使，添加的条件可以是_______
①． ②． ③． ④．
典型错解
②③④
错因分析
相似三角形的判定方法混淆、判定条件错误
正确解法
【答案】③
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，可证，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
①、不能证明，不符合题意；
②、可以判定，无法判定，故不符合题意；
③、，由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得，故该选项可以判定相似，符合题意；
④、，不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定，不符合题意．
故答案：③．
针对练习3
一、单选题
1．（24-25九年级上·北京通州·期末）如图，已知，．将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴，
故A不符合题意；
B、∵，
∴，
故B不符合题意；
C、由图形可知，，，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
故C不符合题意；
D、由已知条件无法证明与相似，故D符合题意，
故选：D．
2．（2024·河北张家口·一模）如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（ ）
天翼的做法：添加条件．证明：，，（两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件．证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）．
A．天翼的做法证明过程没有问题 B．佳琛的做法证明过程没有问题
C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．佳琛的做法添加的条件有问题
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据题意已知，故添加两组对应边成比例夹角为或者添加一组对应角相等，即可求解．
【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，
佳琛的做法添加的条件有问题，应为，故B选项符合题意，
故选：B．
3．（25-26九年级上·福建莆田·月考）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理．
根据相似三角形的判定定理逐项进行判断即可．
【详解】解：A．∵，
∴，
即，
又∵，
∴，
故该选项不符合题意；
B．由A选项得，
又∵，
∴，
故该选项不符合题意；
C．该选项条件无法得出，
故该选项符合题意；
D．∵，
∴，
由A选项得，
∴，
故该选项不符合题意；
故选：C．
二、解答题
4．（25-26九年级上·天津·月考）如图，已知，．求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查相似三角形的判定，由，得到，结合，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
∵，
∴．
5．（25-26九年级上·湖南长沙·月考）如图，在平行四边形中，，过点作交的延长线于点，连接交于点．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，交于点，若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定．
（1）根据垂线的定义得到，可证，根据平行四边形的性质得到，证明四边形是平行四边形，再根据可证四边形是矩形；
（2）根据矩形的性质得到，，根据平行四边形的性质得到，即，根据得到，进而可证．
【详解】（1）证明：，交的延长线于点，
，
，
四边形是平行四边形，点在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）证明：四边形是矩形，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
，
即，
∵
．
6.（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，．
①求的长；
②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)①；②的最小值为．
【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键．
（1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证；
（2）①由题意证明，求出，从而得出结论；
②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值．
【详解】（1）证明：连接、，如图：
∵是的直径，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：①若，，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为．
②点P为上一点，连接，有最小值，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
过点P作于点G，则，
延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，
由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，
此时，在中，，
，
即的最小值为．
7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）知识背景：
如图1，是等边三角形，如果，我们可以证出______，从而计算出与相交所成的锐角度数是______．这个图形我们称之为“等边十字架”．
知识应用：
①如图2，过作于点，在上取点，连接，使．证明．
②如图3，延长至点，连接．在上截取．延长至点，点恰好在的垂直平分线上．作射线分别交、于点、，若为中点，，过点作于点，求的长．
【答案】知识背景：；；
知识应用：
①证明见解析；
②1
【分析】本题主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及线段垂直平分线的性质等知识点，解题的关键在于利用等边三角形的性质得到全等三角形的条件，进而证明三角形全等．
知识背景：根据等边三角形的性质判定，由三角形外角和的性质即可求解；
知识应用：
①根据可证，得到，根据三角形外角的性质，结合含30度角的直角三角形的性质即可求解；
②构造辅助线，从而得到三组全等三角形，再根据全等三角形的性质可得边长的关系，再利用的直角三角形的性质求解即可．
【详解】解：知识背景：
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
设交于点，
∴是的外角，即，
∴与相交所成的锐角度数是；
故答案为：，；
知识应用：
①由上述证明得到，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
由知识背景可知，，
又∵，
∴，
∴在中，，
∴；
②过点P作交于点H，过点M作的延长线于点W，连接，如图，
∵点恰好在的垂直平分线上，
∴，
即，
∵，
∴，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴．
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∵，即，
即，
∵点为中点，
∴，
又∵，
在与中，
，
∴．
∴，，
∵，
∴，
即，
∵，
，
在与中，
，
∴．
∴，
∴，
在中，，
∴．
4.对应关系未确定但没有分类讨论
例4．（24-25九年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为 ．
典型错解
解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，
∴点的时间为，点的时间为，
设运动时间为，
∴，则，
∵，∴，
∴，
解得，；
错因分析
在动态问题中，只考虑一种对应关系，忽略分类讨论导致漏解。
正确解法
【答案】或
【分析】本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形对应边成比例是关键．
根据题意，设运动时间为，则，，结合图形，分类讨论：当时；当时；由此列式求解即可．
【详解】解：，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，
∴点的时间为，点的时间为，
设运动时间为，
∴，则，
当时，，
∴，
解得，；
当时，，
∴，
解得，；
综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，则运动时间为或，
故答案为：或．
针对练习4
一、单选题
1．（25-26九年级上·浙江衢州·期末）如图，在中，，，，点P从点C出发，以的速度沿着向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿着向点C匀速运动，当一个点到终点时，另一个点随之停止．经过（ ）s后，与相似．
A． B．或 C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．设经过秒后两三角形相似，分两种情况分别计算，①若，得，②若，得，代入用表示的线段计算即可．
【详解】解：设经过秒后与相似，
∵，
若，
则需，
，
解得；
，
则需，
，
解得，
经过秒或秒，与相似．
故答案为：或．
二、填空题
2．（25-26九年级上·江苏徐州·月考）如图，正方形的边长为4，，那么当 时，与相似．（M为边上的动点，N为边上的动点）
【答案】或
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据勾股定理求出的长，利用相似三角形对应边成比例，分两种情况讨论：①和 ②，据此求得的长．
【详解】解：四边形是正方形，
，
正方形的边长为4，
，
在中，由勾股定理得：，
与相似，
分两种情况：
①，即，
解得；
②，即，
解得，
因此，当或时，与相似，
故答案为：或．
3．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，，点P从B点出发，沿方向以的速度移动，点Q从C出发，沿方向以的速度移动．若P、Q同时出发，经过 ，与相似．
【答案】或
【分析】本题主要考查了勾股定理，相似三角形的性质，利用勾股定理求出，设经过t秒，与相似，则，，再分当时，当时，两种情况利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
【详解】解：中，，，，
由勾股定理得．
设经过t秒，与相似，
则，，
①当时，有，即，解得；
②当时，有，即，解得；
综上可知，经过或秒时，与相似．
故答案为：或．
三、解答题
4．（24-25九年级上·湖南怀化·期末）如图1，在中，，，．点沿边从点向终点以的速度移动；同时点沿边从点向终点以的速度移动，且当一个点到达终点时，另一个点也随之停止移动．
(1)点出发几秒后，的面积为面积的；
(2)经过几秒后，以为顶点的三角形与相似？
(3)如图2，为上一点，且，当运动时间为多少时，？
【答案】(1)点出发秒后，的面积为面积的
(2)或
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、平行线的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，分类讨论思想是解题的关键．
（1）设经过秒后的面积为面积的，其中，则，，根据三角形面积公式得出一元二次方程，解方程即可得到答案．
（2）设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中，需要分两种情况讨论，和，分别利用相似三角形的性质求解即可．
（3）过点作，连接，得到是等腰三角形，进而得到，设，则，，根据勾股定理求得，然后根据垂直定理得出，求出即可解答．
【详解】（1）解：设经过秒后的面积为面积的，其中，
由题意知，，，
∴，
∴．
答：点出发秒后，的面积为面积的．
（2）解：设经过秒后，以为顶点的三角形与相似，其中，
当时，
则有，
∴，
∴．
当时，
则有，
∴，
∴．
答：经过秒或秒后，以为顶点的三角形与相似．
（3）解：如图，过点作，连接，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，，
在中，，，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，即，
解得，
∵，，
∴，
∴，即，
解得．
答：当运动时间为时，．
5．（25-26九年级上·浙江·月考）如图，在中，，，，点P从点A出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点B运动，同时点Q从点B出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点C运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)求的长．
(2)当t为何值时，与相似？
【答案】(1)10
(2)或
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理.
（1）直接利用勾股定理解答即可；
（2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：在中，∵，，，
∴．
（2）解：由题意得，，，
因此，
与相似有两种情况，
①当时，，
即，
解得；
②当时，，
即，
解得；
综上所述，当为或时，与相似．
6．（25-26九年级上·甘肃天水·期中）如图所示，在中，，点在上，点在上，且，，，，动点从点出发，沿边以每秒2个单位的速度向终点运动，同时动点从点出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点运动，设运动时间为秒．
(1)线段的长______；
(2)当与相似时，求的值．
【答案】(1)6
(2)
【分析】（1）过点E作于点H，证明四边形是矩形，可得，，在中，利用勾股定理可得的长，即可求解；
（2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可．
【详解】（1）解：如图，过点E作于点H，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∴，
∴；
（2）解：根据题意得：，，且，
∴，，
当时，，
即，
解得：或（不合题意，舍去）；
当时，，
即，
解并检验得（不合题意，舍去）或（是增根，舍去）．
综上，的值为．
5.混淆面积比与相似比
例5．（2025九年级·全国·专题练习）如图，在中，，且．DE和FG把的面积三等分．如果，那么 ．
典型错解
解：，
∵DE和FG把的面积三等分
∴AD=DF=BF
∴FG：BC=AD：AB=2：3
∴GF=12=8
错因分析
误认为相似三角形面积比对于相似比出错
正确解法
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解决问题的关键．
由平行线得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
【详解】解：设的面积为，则的面积为，的面积为．
，
．
，
和的相似比是
，
即，
解得．
故答案为：．
针对练习5
一、单选题
1．（25-26九年级上·福建福州·月考）若两个相似三角形对应边的比为，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决问题的关键．
由相似三角形的性质，即面积比等于相似比的平方，即可求解．
【详解】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比为，
∴面积比为，即，
故选：C．
2．（25-26九年级上·安徽亳州·期中）如图，在中，D，E是边的三等分点，F，G是边的三等分点，若的面积为m，则四边形与的面积差是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．由点、、、分别是边、的三等分点，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得的值，继而求得答案．
【详解】解：点、、、分别是边、的三等分点，
，，
，
，
的面积是，
四边形与的面积是和，
四边形与的面积差是，
故选：D．
3．（25-26九年级上·辽宁大连·月考）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的面积比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查相似三角形的性质，即相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得解，熟练掌握相似三角形的性质即可得解．
【详解】解：∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，且相似比为，
∴面积比为，
故选：A．
4．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）如图，在中，是上的一点，，点是的中点，设，，的面积分别为，，，且，则（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】A
【分析】本题主要考查求解三角形面积；结合图形，利用高相同，底的比即为面积比计算是解题关键．
利用三角形面积公式，等高的三角形的面积比等于底边的比，点是的中点则，则，然后利用即可得到答案．
【详解】解：点是的中点，
，
，
，
，，
，
．
故选A．
二、填空题
5．（25-26九年级上·北京顺义·期中）两个相似三角形的周长比是，则面积比为 ，对应高的比为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查相似三角形的性质．根据相似三角形的性质，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应高的比等于相似比．
【详解】解：已知两个相似三角形的周长比为，因此相似比为．
面积比等于相似比的平方，即．
对应高的比等于相似比，即．
故答案为：，．
三、解答题
5．（25-26九年级上·安徽六安·期中）如图，点D、E分别在的边、上，，且与的相似比为．
(1)已知，求的长；
(2)已知的面积是8，求四边形的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．
（1）根据，得到，然后求值即可；
（2）根据三角形相似其面积比等于相似比的平方，据此，可以得到的面积，从而求出四边形的面积．
【详解】（1）解：∵，且与的相似比，
∵，
∵，
∴；
（2）解：假设的面积为，的面积为，
∵，且与的相似比，
∴，
∵的面积是8，即，
∴，即的面积为18，
则四边形的面积是：．
6.位似概念不清
例6．（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，与位似，点O为位似中心，位似比为，若的面积为4，则的面积是 ．
典型错解
6
错因分析
位似性质理解错误
正确解法
【答案】9
【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．
根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可．
【详解】解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为，
∴与的面积之比为，
∵的面积为4，
∴的面积是9，
故答案为：9．
针对练习6
一、单选题
1．（24-25九年级上·河南商丘·期末）按如下方法，将的三边缩小为原来的，如图，任取一点，连接，，，并取它们的中点，，，得到，则下列说法错误的是（ ）
A．与是位似图形，位似中心为
B．与相似
C．与的面积之比为
D．与的周长之比为
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，正确的记忆位似图形性质是解决问题的关键．根据位似图形的性质，得出与是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
【详解】解：根据位似性质可得：
A、与是位似图形，位似中心为，故本选项正确，不符合题意；
B、与是相似图形，故B选项正确，不符合题意；
C、∵将的三边缩小为原来的，
与的相似比为，
∵面积比等于相似比的平方，
∴与的面积之比为，故C选项正确，不符合题意；
D、由上可知与的周长之比等于相似比，即为，故D选项错误，符合题意；
故选：D．
2．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为，则下列说法不正确的是 （　　）
A．点 的坐标为
B．
C．与 的周长之比为
D．与 的面积之比为
【答案】D
【分析】本题考查位似图形的性质，位似图形与相似图形的关系，根据位似图形的性质，位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，掌握位似图形的性质是解题的关键．
【详解】解：如图，
、点的坐标为，原选项正确，不符合题意；
、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意；
、∵与的位似比为，
∴与的周长之比为，原选项正确，不符合题意；
、∵与的位似比为，
∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意；
故选：．
3．（24-25九年级上·重庆·月考）如图，与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了位似图形的性质，根据位似图形的面积之比等于位似比的平方和位似图形的性质得到，，则，再根据相似三角形的性质列出比例式求解即可．
【详解】解：∵与位似，点为位似中心，且的面积是面积的9倍，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故选；B．
4．（22-23九年级上·四川成都·月考）如图，已知与位似，位似中心为点O，且，则与的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似的性质，位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似图形；通过相似的性质即可求解．
【详解】解：∵与位似，
∴，，
∴，
∴，
∴的面积与的面积之比为．
故选：C
二、解答题
5．（25-26九年级上·安徽宣城·月考）如图，在方格图中，的顶点与线段的端点都在小正方形的顶点上，且与是关于点O为位似中心的位似图形，点A，C的对应点分别为点，，按下列要求完成画图，并保留画图痕迹．
(1)请在方格图中画出位似中心；
(2)请在方格图中将补画完整；
(3)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】本题主要考查了位似图形的性质（对应点连线过位似中心）及三角形面积的计算，熟练掌握位似图形的性质、利用网格计算图形面积是解题的关键．
（1）位似中心是对应点连线的交点，因此连接、，交点即为位似中心；
（2）根据位似性质，确定的对应点，连接、补全三角形；
（3）利用网格，通过割补法或三角形面积公式计算的面积．
【详解】（1）解：如图所示，点O即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
（3）解：，
故选：．
6（24-25九年级下·安徽淮南·月考）如图，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在正方形网格的格点上．
(1)画出位似中心；
(2)求与的周长比和面积比．
【答案】(1)见解析
(2)周长比为，面积比为
【分析】本题主要考查了位似变换． 正确掌握位似图形的性质是解题的关键．
（1）直接利用位似图形的性质连接对应点，进而得出点O的位置；
（2）直接利用位似图形的性质得出位似比．
【详解】（1）解：如图所示，点即为所求，
（2）解：由图形得，，
与的相似比为，
与的周长比为，面积比为．
1．把长的线段进行黄金分割，则分成的较短线段的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了黄金分割的定义，掌握黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割定义，较长部分与全长之比为，先求较长部分，再求较短部分即可．
【详解】解：线段全长，
黄金分割后较长线段的长为 ，
较短线段的长为．
故选：A．
2．如图，在中，点E在边的延长线上，连接交于点F．图中的相似三角形有（ ）．
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【分析】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定，掌握好利用平行线判定相似三角形的方法是关键．
根据平行线构成的相似模型来判断即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形
∴，，
则和构成“A”字模型，故；和构成“8”字模型，所以，
∵，，
∴，
∴一共有3对相似三角形．
故选：C．
3．如图，在中，点，分别在边，上，那么下列条件中，不能判断的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据已知条件可知，再利用相似三角形的判定定理依次判断即可得到答案．
【详解】解：A、，，可根据两角相等证明，不符合题意；
B、，，可根据两角相等证明，不符合题意；
C、，，不能证明，符合题意；
D、，，可根据两边对应成比例，夹角相等证明，不符合题意，
故选C．
二、填空题
4．在线段上找到一个点，且，满足，设，则线段 ．
【答案】
【分析】本题考查成比例线段和解一元二次方程，设出未知数，根据题意列方程是解题的关键．
设，则，根据比例关系列出方程，解一元二次方程，并根据舍去不合题意的根，即可得解．
【详解】解：设，则，
由得，
即，
两边乘以得，
展开得，
整理得，
解方程得，
由于，即，而（不合题意），故取，
所以．
故答案为：
5．如图，在中，点D，E，F分别在，，上，，．若，，，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键，根据，，得，代入，，，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，，，
∴，
解得：．
故答案为：．
6．如图，在四边形中，，相交于点，点在上，，，．若，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．由，，利用三角形内角和定理可证得，由，通过角的等量代换可证得，从而证得，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得解．
【详解】解：，，
，即，
，
，即，
，
，即，
．
故答案为：．
7．如下图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，其中点的坐标为，正方形的边在轴上，且点的坐标为．则正方形与正方形的位似中心的坐标是 ．
【答案】或
【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、一次函数的应用，解题的关键是需要分情况讨论．
连接并延长交轴于点，则点为位似中心，根据正方形的性质求出点的坐标为，根据待定系数法求出直线，进而求出与轴交点坐标；另一种情况，连接，交于点，根据待定系数法分别求出直线解析式和直线解析式，求出两直线交点，得到答案．
【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为．
∴正方形的边长为2，正方形的边长为4，
∴，，，．
分以下两种情况讨论：
①如图①，连接并延长交轴于点，则点为位似中心．
设直线解析式为，可得：
，解得：。
∴，
当时，，即点.
正方形与正方形的位似中心的坐标是；
②如图②，连接，交于点．
由题意，得，，，．
易求出直线的表达式为，直线的表达式为．
联立解得．
点的坐标为，
正方形与正方形的位似中心的坐标是．
综上所述，正方形与正方形的位似中心的坐标为或．
故答案为或．
三、解答题
8．如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽．
(1)求花圃四周绿地的宽度；
(2)矩形与矩形相似吗？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不相似，理由见解析
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键．
（1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解．
（2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）．
【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得
，
，
解得或，
∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得，
∴，
答：花圃四周绿地的宽度为；
（2）解：矩形与矩形不相似，理由如下：
由（）知，，则矩形的长为米，宽为米．
原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为．
∵
∴矩形与矩形不相似
9．（1）如图1，在四边形中，对角线相交于点O，E，F，G，H分别是的中点，试判断四边形和四边形是否相似，并说明理由．
（2）如图2，矩形的宽，长，把它的各边长都减去2，得到矩形，试判断矩形与矩形的相似情况．

【答案】（1）相似，见解析；（2）不相似，见解析
【分析】本题考查相似多边形的判定，三角形的中位线定理，熟练掌握相似多边形的判定方法，是解题的关键：
（1）根据三角形的中位线定理结合相似多边形的判定方法，进行判断即可；
（2）求出对应边的比例
【详解】解：（1）四边形和四边形相似，理由如下：
∵E，F分别是的中点，
∴，，
∴．
∵G，F分别是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴．
同理可得，，，，
∴四边形和四边形相似．
（2）矩形与矩形不相似，理由如下：
由题意，，
∴，，
∴，
∴矩形与矩形不相似．
10．已知三条线段a，b，c满足，且．
(1)求a，b，c的值；
(2)若线段d是线段a和b的比例中项，求d的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了比例的性质，比例线段等知识点，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．
（1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入，求解得到k，即可得到a、b、c的值；
（2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】（1）解：设，
则，
，
，
解得，
；
（2）解：线段d是线段a和b的比例中项，
，
或（舍去），
d的值为．
11．已知是的高，是的外接圆．
(1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)如图2，若的半径为，求证：
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解．
（2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【详解】（1）解：所求图形，如图所示．
（2）解：作的直径，连接，
∴，，
∵是的高，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴，即，
∴．
12．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
(1)与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标；
(2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）．
(3)在（2）的条件下，此时的面积是多少？
【答案】(1)图见解析，点E的坐标为．
(2)见解析
(3)30
【分析】本题考查根据位似图形找位似中心，位似作图，利用网格求三角形面积，掌握位似图形的特征是解题的关键．
（1）由位似中心是对应点连线的交点作图即可，再根据点的位置直接写出点的坐标即可解题；
（2）根据位似比确定、、的位置，再连线即可得到．
（3）用直角梯形的面积减去旁边两个直角三角形的面积即可解答．
【详解】（1）解：点E的位置如下图所示：
由图知，点E的坐标为．
（2）解：得到如图所示：
（3）．
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