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第1讲　三角函数的运算
1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cos =则sin等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意得cos α=2cos2-1
=2×-1=-
因为0<α<π，则sin α===
所以sin=sin αcos -cos αsin =×-×=.
2.(2023·新课标Ⅱ卷，T7)已知α为锐角，cos α=则sin等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为α为锐角，
所以sin==
==.
3.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
答案　A
解析　由cos(α+β)=m得cos αcos β-sin αsin β=m.①
由tan αtan β=2得=2，②
由①②得
所以cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=-3m.
4.(2024·全国甲卷，理T8)已知=则tan等于(　　)
A.2+1 B.2-1 C. D.1-
答案　B
解析　因为=
所以= tan α=1-
所以tan==2-1.
5.(2023·全国乙卷，文T14)若θ∈tan θ=则sin θ-cos θ=　　　　.
答案　-
解析　因为θ∈
则sin θ>0，cos θ>0，
又因为tan θ==
则cos θ=2sin θ，
且cos2θ+sin2θ=4sin2θ+sin2θ=5sin2θ=1，
解得sin θ=或sin θ=-(舍去)，
所以sin θ-cos θ=sin θ-2sin θ=-sin θ=-.
6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.
答案　-
解析　方法一　由题意得tan(α+β)
===-2
因为α∈
β∈k，m∈Z，
则α+β∈((2m+2k)π+π，(2m+2k)π+2π)，k，m∈Z，
又因为tan(α+β)=-2<0，
则α+β∈k，m∈Z，
则sin(α+β)<0，
则=-2
联立 sin2(α+β)+cos2(α+β)=1，
解得sin(α+β)=-.
方法二　 因为α为第一象限角，β为第三象限角，
则cos α>0，cos β<0，
cos α==
cos β==
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β
=cos αcos β(tan α+tan β)
=4cos αcos β=
=
==-.
命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值5~6分.
考查方向：一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等.
考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式
1.同角关系：sin2α+cos2α=1=tan α.
2.诱导公式：在±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
例1　(1)(2025·白银模拟)已知sin+3sin(π-α)=0，则cos 2α等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　A
解析　由诱导公式可得cos α+3sin α=0，即tan α=-.
所以cos 2α=cos2α-sin2α===.
(2)(2025·长沙模拟)已知θ∈sin θ-cos θ=则sin3θ+cos3θ等于(　　)
A. B. C.- D.
答案　C
解析　由sin θ-cos θ=两边平方，得sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=
∴sin θcos θ=-(sin θ+cos θ)2=
而sin θ+cos θ=sinθ+∈
∴sin<0，
∴sin θ+cos θ=-
∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)=-×=-.
[规律方法]　应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项：
(1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以.
(2)含有sin α，cos α的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入.
(3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限.
跟踪演练1　 (1)(2025·邵阳模拟)已知复数z=+i为纯虚数，则tan α的值为(　　)
A. B.- C. D.-
答案　B
解析　由题设结合平方关系易得cos α=-故tan α=-.
(2)(2025·绵阳模拟)已知tan αsin α=3，则tan2α-sin2α的值为(　　)
A. B.3 C.9 D.81
答案　C
解析　tan2α-sin2α=-sin2α=sin2α=sin2α·=sin2α·=sin2αtan2α=32=9.
考点二　三角恒等变换：公式的直接应用
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β；
(3)tan(α±β)=
.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α；
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；
(3)tan 2α=.
例2　(1)(2025·沧州模拟)已知角α，β满足(2-tan α)(2+tan β)=5，则tan(α-β)等于(　　)
A.- B.- C.-2 D.-3
答案　B
解析　由(2-tan α)(2+tan β)=5，得4+2tan β-2tan α-tan αtan β=5，
整理得2(tan β-tan α)=1+tan αtan β，
则tan(α-β)==-.
(2)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=则cos等于(　　)
A. B. C.- D.-
答案　B
解析　由cos α+sin=
得cos α+sin α-cos α=sin α+cos α=sin=
所以cos=1-2sin2=1-2×=.
[规律方法]　通过两角和与差、二倍角公式的正用、逆用，可以化简、求值、求角，灵活运用公式是解题关键：
(1)降次与升次
正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(2)化一法
通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式，化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算.
(3)辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ)，其中sin φ=cos φ=.
跟踪演练2　(1)已知α∈3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由3sin 2α=cos 2α+1，
得6sin αcos α=2cos2α，
而α∈即cos α>0，则tan α=
所以tan 2α===.
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=cos αsin β=则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B. C.- D.-
答案　B
解析　因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=
而cos αsin β=
因此sin αcos β=
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=
所以cos(2α+2β)=cos 2(α+β)=1-2sin2(α+β)=1-2×=.
考点三　三角恒等变换：角的配凑
例3　(1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=sin(α+β)=则cos β等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　B
解析　由α∈(0，π)，0可得α∈
则sin α===
因为β∈(0，π)，所以α+β∈
又因为0所以<α+β<π，cos(α+β)=-
cos β=cos(α+β-α)=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-×+×=-.
(2)若 sin(α+β)sin(α-β)=则cos 2α-cos 2β等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　D
解析　方法一
因为sin(α+β)sin(α-β)=
所以sin2αcos2β-cos2αsin2β=
即(1-cos2α)cos2β-cos2α(1-cos2β)=
即cos2β-cos2α=即-=即cos 2α-cos 2β=-.
方法二　(角的配凑)
cos 2α-cos 2β=cos[(α+β)+(α-β)]-cos[(α+β)-(α-β)]=-2sin(α+β)sin(α-β)=-2×=-.
方法三　(和差化积)
cos 2α-cos 2β=-2sin(α+β)sin(α-β)=-2×=-.
[规律方法]　(1)项的拆分与角的配凑：如sin2α+2cos2α=(sin2α+cos2α)+cos2α，α=(α-β)+β，α=+2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)等.
(2)积化和差：
sin αsin β=[cos(α-β)-cos(α+β)]，
cos αcos β=[cos(α-β)+cos(α+β)]，
sin αcos β=[sin(α+β)+sin(α-β)]，
cos αsin β=[sin(α+β)-sin(α-β)].
(3)和差化积：
sin α+sin β=2sincos
sin α-sin β=2cossin
cos α+cos β=2coscos
cos α-cos β=-2sinsin.
跟踪演练 3　(1)若cos(α-β)=cos 2α=并且α，β均为锐角，且α<β，则α+β的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由0<α<β<可得-<α-β<0，
又cos(α-β)=
所以sin(α-β)=-=-
因为cos 2α=则0<2α<
所以sin 2α==
所以cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]=cos 2αcos(α-β)+sin 2αsin(α-β)
=×-×=
又因为α+β∈(0，π)，所以α+β=.
(2)(2025·石家庄模拟)已知4sin α=sin(α+2β)，tan β=则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由已知4sin(α+β-β)=sin(α+β+β)，
即4sin(α+β)cos β-4cos(α+β)sin β=sin(α+β)cos β+cos(α+β)sin β，
则tan(α+β)=tan β=1，
∴tan α=tan(α+β-β)==.
专题突破练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·哈尔滨模拟)已知点P是角α终边上的一点，则sin α+2cos α等于(　　)
A.-1 B.1 C.- D.
答案　D
解析　由题意可得sin α==-
cos α==
则sin α+2cos α=-+2×=.
2.(2025·石家庄模拟)已知sin4θ-cos4θ=m，则cos 4θ等于(　　)
A.2m-1 B.1-2m
C.1-2m2 D.2m2-1
答案　D
解析　由sin4θ-cos4θ=m，得-m=(cos2θ+sin2θ)(cos2θ-sin2θ)=cos 2θ，
所以cos 4θ=2cos22θ-1=2m2-1.
3.(2025·深圳模拟)若cos=α∈则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为α∈则<α+<
所以sin===
因此sin α=sin=sincos-cossin
=×-×=.
4.已知=则sin 2α等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由=得=解得cos α-sin α=两边平方得1-sin 2α=所以sin 2α=.
5.已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x+2(a>0)的最小值为0，则a等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.
答案　D
解析　因为f(x)=asin 2x+cos 2x+2=sin(2x+φ)+2，其中tan φ=
由题意可知f(x)min=-+2=0，且a>0，解得a=.
6.已知α，β∈(0，π)且tan α=cos β=-则α+β等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由α，β∈(0，π)且tan α=cos β=-可知，α∈β∈
故sin β>0，sin β==tan β==-3，
∴tan(α+β)===-1，
∵α+β∈
∴α+β=.
7.(2025·秦皇岛模拟)已知tan(α-β)=-tan=则cos 2α等于(　　)
A.- B. C.- D.
答案　D
解析　tan==解得tan β=-
又tan(α-β)===-解得tan α=-
所以cos 2α=cos2α-sin2α====.
8.已知α∈[0，2π]，且sin α+sin 2α+sin 3α=0，则满足条件的α的个数为(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
答案　C
解析　方法一　sin α+sin 2α+sin 3α=sin(2α-α)+sin 2α+sin(2α+α)
=sin 2αcos α-cos 2αsin α+sin 2α+sin 2αcos α+cos 2αsin α
=2sin 2αcos α+sin 2α=sin 2α(2cos α+1)=0，
故sin 2α=0或cos α=-.
当sin 2α=0时，2α=kπ(k∈Z)，即α=kπ(k∈Z)，
因为α∈[0，2π]，所以α=0π2π；
当cos α=-时，因为α∈[0，2π]，
所以α=.
所以符合题意的α共有7个.
方法二　由和差化积公式得到sin α+sin 3α=2sin 2αcos α，
所以sin α+sin 2α+sin 3α=sin 2α(2cos α+1)，
因为sin α+sin 2α+sin 3α=0，所以sin 2α=0或cos α=-
当sin 2α=0时，2α=kπ(k∈Z)，即α=kπ(k∈Z)，
因为α∈[0，2π]，所以α=0π2π；
当cos α=-时，因为α∈[0，2π]，所以α=.
所以符合题意的α共有7个.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.计算下列各式的值，其结果为2的有(　　)
A.tan 15°+tan 60°
B.-
C.(1+tan 18°)(1+tan 27°)
D.8sin 18°cos 36°
答案　ACD
解析　对于A，tan 15°+tan 60°=tan(45°-30°)+tan 60°=+tan 60°=+=2，A正确；
对于B-==
===4，B错误；
对于C，(1+tan 18°)(1+tan 27°)=1+tan 18°+tan 27°+tan 27°tan 18°
=1+tan(18°+27°)(1-tan 27°tan 18°)+tan 27°tan 18°=1+1-tan 27°tan 18°+tan 27°tan 18°=2，C正确；
对于D，8sin 18°cos 36°=====2，D正确.
10.(2025·聊城模拟)已知sin(α-β)=-sin αcos β=则(　　)
A.cos αsin β=- B.sin(α+β)=
C.3tan α=2tan β D.sin 2αsin 2β=
答案　BC
解析　A选项，已知sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=-sin αcos β=
则cos αsin β=+=A错误；
B选项，sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=+=B正确；
C选项===所以3tan α=2tan β，C正确；
D选项，sin 2αsin 2β=2sin αcos α·2cos βsin β=4sin αcos β·cos αsin β
=4××=D错误.
11.已知sin α=2cos β，β∈=则(　　)
A.α为第二象限角 B.sin α=
C.sin 2β=- D.tan(α+β)=1
答案　BC
解析　因为==所以有cos3α=cos3β，所以得到cos α=cos β，
又β∈所以sin α=2cos β=2cos α>0，可得tan α=2且α为第一象限角，
故sin α=故A不正确，B正确；
又cos β=sin α=β∈故sin β=-所以sin 2β=-tan β=-2，故C正确；
由tan α=2，tan β=-2，知tan(α+β)=0，故D不正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知tan α=3，则sinsin α=　　　　.
答案　
解析　sinsin α=sin αcos α
===.
13.(2025·白银模拟)已知cos=则sin=　　　　.
答案　 -
解析　sin=cos
=cos=cos
=2cos2-1=2×-1=-.
14.(2025·成都模拟)若tan(α+β)=3tan α，sin(2α+β)=则sin β=　　　　.
答案　
解析　将tan(α+β)=3tan α变形为=3×
即sin(α+β)cos α=3sin αcos(α+β).①
sin(2α+β)=sin[(α+β)+α]=sin(α+β)cos α+cos(α+β)sin α=.②
联立①②，得sin αcos(α+β)=
sin(α+β)cos α=
sin β=sin(α+β-α)=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α=-=.第1讲　三角函数的运算
1.(2025·全国Ⅱ卷，T8)已知0<α<π，cos =则sin等于(　　)
A. B. C. D.
2.(2023·新课标Ⅱ卷，T7)已知α为锐角，cos α=则sin等于(　　)
A. B. C. D.
3.(2024·新课标Ⅰ卷，T4)已知cos(α+β)=m，tan αtan β=2，则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
4.(2024·全国甲卷，理T8)已知=则tan等于(　　)
A.2+1 B.2-1 C. D.1-
5.(2023·全国乙卷，文T14)若θ∈tan θ=则sin θ-cos θ=　　　　.
6.(2024·新课标Ⅱ卷，T13)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan α+tan β=4，tan αtan β=+1，则sin(α+β)=　　　　.
命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中等或偏下题目，主要是选择题或填空题，一般考查一道选择题或填空题，也有渗透在解答题中考查，分值5~6分.
考查方向：一是考查三角函数的概念，主要考查根据给出的点或点所在直线求三角函数值；二是考查同角三角函数关系式、诱导公式，主要考查利用平方和关系进行正弦与余弦之间的转化、利用商数关系求解齐次式的值以及诱导公式的正用与逆用；三是考查三角恒等变换，两角和与差公式的正用、逆用以及倍角公式的灵活运用等.
考点一　同角三角函数基本关系与诱导公式
1.同角关系：sin2α+cos2α=1=tan α.
2.诱导公式：在±α，k∈Z的诱导公式中，记住口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.
例1　(1)(2025·白银模拟)已知sin+3sin(π-α)=0，则cos 2α等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)(2025·长沙模拟)已知θ∈sin θ-cos θ=则sin3θ+cos3θ等于(　　)
A. B. C.- D.
[规律方法]　应用同角三角函数的基本关系式、诱导公式的注意事项：
(1)同角并不拘泥于角的形式，只要角“同”就可以.
(2)含有sin α，cos α的齐次式，可用同角的商数关系进行转化，即化弦为切，整体代入.
(3)涉及诱导公式时，要注意角所在的象限.
跟踪演练1　 (1)(2025·邵阳模拟)已知复数z=+i为纯虚数，则tan α的值为(　　)
A. B.- C. D.-
(2)(2025·绵阳模拟)已知tan αsin α=3，则tan2α-sin2α的值为(　　)
A. B.3 C.9 D.81
考点二　三角恒等变换：公式的直接应用
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β；
(3)tan(α±β)=
.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α=2sin αcos α；
(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；
(3)tan 2α=.
例2　(1)(2025·沧州模拟)已知角α，β满足(2-tan α)(2+tan β)=5，则tan(α-β)等于(　　)
A.- B.- C.-2 D.-3
(2)(2025·郴州模拟)已知cos α+sin=则cos等于(　　)
A. B. C.- D.-
[规律方法]　通过两角和与差、二倍角公式的正用、逆用，可以化简、求值、求角，灵活运用公式是解题关键：
(1)降次与升次
正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.
(2)化一法
通过二倍角、降幂公式、两角和与差公式，化简为辅助角形式，再利用辅助角化为正弦、余弦单一函数形式，最后借助函数性质求解计算.
(3)辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ)，其中sin φ=cos φ=.
跟踪演练2　(1)已知α∈3sin 2α=cos 2α+1，则tan 2α等于(　　)
A. B. C. D.
(2)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=cos αsin β=则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B. C.- D.-
考点三　三角恒等变换：角的配凑
例3　(1)(2025·许平汝名校模拟)已知α，β∈(0，π)，且cos α=sin(α+β)=则cos β等于(　　)
A. B.- C. D.-
(2)若 sin(α+β)sin(α-β)=则cos 2α-cos 2β等于(　　)
A. B.- C. D.-
跟踪演练 3　(1)若cos(α-β)=cos 2α=并且α，β均为锐角，且α<β，则α+β的值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2025·石家庄模拟)已知4sin α=sin(α+2β)，tan β=则tan α等于(　　)
A. B. C. D.
专题突破练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·哈尔滨模拟)已知点P是角α终边上的一点，则sin α+2cos α等于(　　)
A.-1 B.1 C.- D.
2.(2025·石家庄模拟)已知sin4θ-cos4θ=m，则cos 4θ等于(　　)
A.2m-1 B.1-2m
C.1-2m2 D.2m2-1
3.(2025·深圳模拟)若cos=α∈则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
4.已知=则sin 2α等于(　　)
A. B. C. D.
5.已知函数f(x)=asin 2x+cos 2x+2(a>0)的最小值为0，则a等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.
6.已知α，β∈(0，π)且tan α=cos β=-则α+β等于(　　)
A. B. C. D.
7.(2025·秦皇岛模拟)已知tan(α-β)=-tan=则cos 2α等于(　　)
A.- B. C.- D.
8.已知α∈[0，2π]，且sin α+sin 2α+sin 3α=0，则满足条件的α的个数为(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.计算下列各式的值，其结果为2的有(　　)
A.tan 15°+tan 60°
B.-
C.(1+tan 18°)(1+tan 27°)
D.8sin 18°cos 36°
10.(2025·聊城模拟)已知sin(α-β)=-sin αcos β=则(　　)
A.cos αsin β=- B.sin(α+β)=
C.3tan α=2tan β D.sin 2αsin 2β=
11.已知sin α=2cos β，β∈=则(　　)
A.α为第二象限角 B.sin α=
C.sin 2β=- D.tan(α+β)=1
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.已知tan α=3，则sinsin α=　　　　.
13.(2025·白银模拟)已知cos=则sin=　　　　.
14.(2025·成都模拟)若tan(α+β)=3tan α，sin(2α+β)=则sin β=　　　　.

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