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第2讲　三角函数的图象与性质
微点一　三角函数的图象与解析式
例1　(1)(多选)为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案　AD
解析　把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，A正确；
把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，B错误；
把函数y=2sin图象上所有的点向左平移个单位长度，
可得函数y=2sin=2sin=-2cos的图象，C错误；
把函数y=2sin图象上所有的点向右平移个单位长度，
可得函数y=2sin=2sin=2cos 2x的图象，D正确.
(2)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω等于(　　)
A.1 B. C.π D.
答案　D
解析　连接BC交x轴于点E，如图，
由于A，B，C，D四点在同一个圆上，且A，D和B，C均关于点E对称，
故E为圆心，故AE=BE，
AE=T=BE==
故=解得ω=.
[规律方法]　(1)三角函数图象平移问题的处理策略
①看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键.
②看左右移动方向：左“+”右“-”.
③看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向进行的，所以ω和φ之间有一定的关系，要知道φ是初相，再经过ω的放缩，最后移动的单位长度是(注意先移后缩和先缩后移的区别).
(2)由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值
①最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=A=.
②T定ω：由周期公式T=可得ω=.
③特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.
跟踪演练1　(1)(2025·保山模拟)将函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度，然后将图象绕坐标原点顺时针旋转最后再将图象向左平移1个单位长度，得到了x=2cos y的图象.则下列说法正确的是(　　)
A.B=-1 B.A=1
C.φ= D.ω=
答案　C
解析　将函数x=2cos y的图象向右平移1个单位长度，得到函数x-1=2cos y的图象，
将x-1=2cos y的图象绕坐标原点逆时针旋转可得y=2cos x+1的图象，
再将y=2cos x+1的图象向左平移个单位长度，可得y=2cos+1的图象，
再将y=2cos+1的图象上各点的横坐标变为原来的可得y=2cos+1的图象，即y=2sin+1=2sin+1的图象，
又f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，0<φ<π)，所以A=2，B=1，ω=2，φ=.
故A，B，D错误，C正确.
(2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=2cos
B.g(x)=2cos
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
答案　D
解析　由图象可知A=2=
则f(x)图象的一个最低点为
f(x)的最小正周期T=则ω==3，
f =2cos=-2，
即-φ=π+2kπ(k∈Z)，
所以φ=-2kπ(k∈Z)，
又因为|φ|<所以φ=
所以f(x)=2cos
将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到y=2cos的图象，
再将所得函数图象向左平移个单位长度，
得到y=2cos=2cos 2x的图象，
故g(x)=2cos 2x.
微点二　三角函数的性质
例2　(1)(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　y=2tan的对称中心的横坐标满足x-=k∈Z，即x=+k∈Z，
所以y=2tan的图象的对称中心是k∈Z，
即a=+k∈Z，
又a>0，则当k=0时，a最小，最小值是.
(2)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=2sin2x+sin则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在区间上的值域为
D.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为
答案　BCD
解析　因为f(x)=2sin2x+sin=2+sin 2xcos+cos 2xsin
=-cos 2x-sin 2x+cos 2x
=-
=-sin
对于A选项，函数f(x)的最小正周期T==π，A错误；
对于B选项，因为f =-sin π=故f(x)的图象关于点对称，B正确；
对于C选项，当0所以f(x)=-sin∈
故f(x)在区间上的值域为C正确；
对于D选项，若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，
即函数y=-sin
=-sin为偶函数，
故-2φ=kπ+(k∈Z)，解得φ=--(k∈Z)，
因为φ>0，故当k=-1时，φ取得最小值D正确.
[规律方法]　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项.
跟踪演练2　(1)(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A.- B.- C.1 D.0
答案　A
解析　设f(x)的最小正周期为T，
根据题意有m，k∈Z，
由正弦函数的对称性可知-=(n∈N)，又ω>0，
即=∴ω=4n+2(n∈N)，
又f(x)在上单调递增，
则≥-=∴≥0<ω≤2，
∴ω=2，则m，k∈Z，
∵φ∈(-π，π)，∴当k=0，m=1时，φ=
∴f(x)=sin
又当x∈时，2x+∈
由正弦函数的单调性可知当2x+=
即x=时，f(x)min=sin=-.
(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象经过点(0，-)，g(x)=f(x)-1的零点之间距离的最小值为2，则(　　)
A.f(2)=
B.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
C.f(x)的图象关于点(k∈Z)对称
D.f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为
答案　BC
解析　由已知得，f(x)的最小正周期为2，所以ω=
因为函数f(x)=tan (ωx+φ)的图象经过点(0，-)，
所以tan φ=-因为-<φ<
所以φ=-
所以f(x)=tan
则f(2)=tan=-所以A错误；
当且仅当-+kπ解得2k-所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，所以B正确；
令x-=k·(k∈Z)，得x=k+(k∈Z).
所以f(x)的图象关于点(k∈Z)对称，所以C正确；
因为f(x)=sin
=sin=sin(0≤x≤5)，
可得sin=tan=
即sin=0，
所以sin=0或cos=1，
而当cos=1时，sin=0，
故只需sin=0，
则-=mπ(m∈Z)，解得x=2m+(m∈Z)，
因为0≤x≤5，故x∈
因此，f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为所以D错误.
微点三　求ω的范围(整体代换法和卡根法)
1.整体代换法：把ωx+φ看成一个整体t，这样的话原来的y=Asin(ωx+φ)就变成了y=Asin t，没有了复合函数，处理起来自然就会很简单.
此类方法需要注意两点：
①求出t的范围，讨论t的范围和极值关系.
②求出t的范围后要根据转化关系求出ω的范围.
2.卡根分两种，一是五点卡根法，二是周期卡根法，区别就在于卡根的区间(a，b)或者[a，b]是否包含0，比如这个范围内进行卡根，那么一定选择五点卡根法这个范围内进行卡根，那么一定选择周期卡根法.
y=Asin x与y=Asin(ωx+φ)只需要找到相对应的点位，通常讲到的一个周期内的五点法，这五个重要的点就是卡根卡ω范围最重要的参照.
(1)五点卡根法：通常f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)当中，都会给一个条件，就是|φ|<所以，当0<φ<时，图象如图(1)，当-<φ<0时，图象如图(2).
图(1)
图(2)
通过图形可以知道，无论ω为任意正数，则正弦函数的靠近零点的第一个单调递增区间的最小值和最大值均在第三象限和第一象限，卡根就从这个周期的五点开始操作，我们称之为五点卡根法.
(2)周期卡根法：
如果卡根区间没有过零点，那么在卡根区间进行周期卡根，就看最多或者最少能放进去几个周期，当然，前提就是要先卡形式，即ω关于n的表达式(n为正整数).
注意：轴心距T(n∈N*)，也可以转化为(n∈N*).
例3　(1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx+∈.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω+≤得<ω≤.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω+≤3π，得<ω≤.
综上，ω的取值范围为.
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)x=-为f(x)的零点，直线x=为f(x)图象的对称轴，且f(x)在上有且仅有1个零点，则ω的最大值为(　　)
A.11 B.9 C.7 D.5
答案　B
解析　设f(x)的最小正周期为T，
由题意得-=T==n∈N，
所以ω=2n+1，n∈N，
选择右边对称轴x=为“靠山”，右边区间宽度为-=左边区间宽度为-0=
要使ω取得最大值，则需要构造符合题意的最小周期，由于左边区间宽度是右边区间宽度的两倍，我们可以进行两个区间合并，
图(1)　　　　　　　图(2)
如图(1)，当=时，T1=ω1=6；
如图(2)，当=时，T2=ω2=10，
则当ω1<ω<ω2时，f(x)在上有且仅有1个零点，满足题意，所以ωmax=9.
[规律方法]　求解三角函数的ω范围，本质是一种转换思想，将变量x的区间问题，转换到整体角度t的区间问题，“卡根法”就是确保这个转换后的区间被完美地“卡”进三角函数的一个标准性质区间内.
跟踪演练3　(1)已知函数f(x)=2sin在区间[0，2π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　方法一　由题意可得ω>0，当x∈[0，2π]时，
ωx-∈
因为f(x)在[0，2π]上恰有3个零点，
所以2π≤2πω-<3π，
解得≤ω<
即ω的取值范围为.
方法二　因为函数f(x)=2sin在区间[0，2π]上恰有3个零点，则由卡根原理得k∈Z，
解得k∈Z，
即当k=0时≤ω<
所以ω的取值范围为.
(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0，1)，且f(x)在区间上具有单调性，则ω的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.8
答案　C
解析　由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0，1)，
所以2sin φ=1，解得sin φ=
又0<φ<所以φ=
所以f(x)=2sin.
要求ω的最大值，则一定要取得满足条件的周期最小，
因为f(x)在区间上具有单调性，
如图所示，由于φ=
所以≤≥
即≤ω≤ω的最大值为.
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·汕头模拟)要得到函数y=sin 2x的图象，只要将函数y=sin的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
答案　C
解析　将函数y=sin的图象向右平移个单位长度得到函数y=sin=sin 2x的图象.
2.(2025·苏北七市调研)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　D
解析　因为f(x)=sin 2x-2cos2x =sin 2x-cos 2x-1
=2-1=2sin-1，
因为函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，
所以2x0-=kπ+k∈Z，
所以2x0=kπ+k∈Z，
所以tan 2x0=tan=tan=-k∈Z.
3.函数f(x)=cos(ω>0)在[0，π]上的值域为则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　当余弦函数y=cos x的值域为时，x∈k∈Z，
因为x∈又f(0)=
故右边区间卡根位于内，
即≤π≤
所以≤ω≤.
4.(2025·漳州质检)已知f(x)=sin若f(x)在区间(0A. B.
C. D.
答案　B
解析　画出函数f(x)的部分图象如图所示，
因为0又因为f(x)在区间(0所以解得5.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　因为y=cos的图象向左平移个单位长度所得图象对应的函数为y=cos=cos=-sin 2x，
所以f(x)=-sin 2x，
而y=x-显然过与(1，0)两点，
作出y=f(x)与y=x-的大致图象如图所示，
考虑2x=-2x=2x=
即x=-x=x=处f(x)与y=x-的大小关系，
当x=-时，f =-sin=-1，
y=×-=-<-1；
当x=时，f =-sin=1，
y=×-=<1；
当x=时，f =-sin=1，
y=×-=>1.
所以由图可知，f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为3.
6.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　函数f(x)=sin ωx+cos ωx
=2sin(ω>0).
由于函数y=2sin x两个相邻最大值点和最小值点为和-
故对此范围进行卡根≥- ω≥且≤ ω≥1；
考虑其他最值不能出现，故再进行二次卡根，相邻-的最大值点为-相邻的最小值点为
故<- ω<且> ω<4，
综上≤ω<4.
7.(2025·安徽江淮十校联考)下列关于函数f(x)=|sin 2x|+cos 2x说法正确的是(　　)
A.是函数f(x)图象的一个对称中心
B.f(x)的值域为[-1]
C.f(x)在区间上单调递减
D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
答案　B
解析　令sin 2x≥0，即2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z，
解得kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
所以当kπ≤x≤+kπ，k∈Z时，f(x)=|sin 2x|+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin
由kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
得2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，
所以f(x)∈[-1]；
令sin 2x<0，即π+2kπ<2x<2π+2kπ，k∈Z，
解得+kπ所以当+kπ由+kπ得+2kπ<2x-<+2kπ，k∈Z，
所以f(x)∈(-1]，
综上可得，f(x)=|sin 2x|+cos 2x=
且f(x)的值域为[-1]，故B正确；
作出函数f(x)的大致图象，如图，
由图可知f(x)的图象不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误；
因为f =sin=
f(0)=sin=1，
f =sin=-1，
f =-sin=0，
由图可知f(x)在上单调递减，在上单调递增，
则f(x)在区间上不单调，故C错误；
f(x)图象的对称轴为直线x=k∈Z，故D错误.
8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.[+∞)
C.(1) D.[1]
答案　C
解析　若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，等价于函数f(x)在上不是单调函数，
易知f'(x)=acos x-sin x，
若函数f(x)在上单调递增，
则f'(x)≥0在上恒成立，
即acos x-sin x≥0，
所以a≥=tan x在上恒成立，
则a≥；
同理，若函数f(x)在上单调递减，则f'(x)≤0在上恒成立，得a≤1，
即若函数f(x)在上不单调，则1二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·河南豫东名校模拟)函数f(x)=2sin(0<ω<1)的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A.ω=
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数y=g在上单调递减
答案　ABD
解析　因为点在函数f(x)的图象上，
所以f =2 sin=1，且0<ω<1，所以ω=故A正确；
因为f(x)=2sin
由x+=kπ，k∈Z，
得函数f(x)的图象的对称中心为k∈Z，
当k=0时，对称中心为故B正确；
g(x)=f =2sin
=2sin =2cos x.
其对称轴为直线x=kπ，k∈Z，
所以直线x=不是函数g(x)的图象的对称轴，故C错误；
y=g =2cos
由2kπ≤2x+≤2kπ+π，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+k∈Z.
所以函数y=g的单调递减区间为k∈Z，
因为 k∈Z，
所以函数y=g在区间上单调递减，故D正确.
10.已知函数fk(x)=sin2kx+cos2kx(k∈N*)，值域为Ak，则下列选项正确的是(　　)
A.A2=
B.fk(x)的图象关于直线x=对称
C.fk(x)的最大值为1
D.A3=
答案　ABC
解析　当k=2时，f2(x)=sin4x+cos4x，将其变形可得f2(x)=-2sin2xcos2x=1-×(2sin xcos x)2=1-sin22x，
因为0≤sin22x≤1，所以≤1-sin22x≤1，即A2=故A选项正确；
若fk(x)的图象关于直线x=对称，则fk=fk.
fk=sin2k+cos2kfk=sin2k+cos2k
可得sin=coscos=sin所以fk=fk即fk(x)的图象关于直线x=对称，故B选项正确；
因为sin2x∈[0，1]，cos2x∈[0，1]，所以fk(x)=sin2kx+cos2kx≤sin2x+cos2x=1，且当sin2x=1或cos2x=1时，fk(x)=1，即fk(x)的最大值为1，故C选项正确；
当k=3时，f3(x)=sin6x+cos6x，将其变形可得f3(x)=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=sin4x-sin2xcos2x+cos4x=-3sin2xcos2x=1-sin22x，
因为0≤sin22x≤1，所以≤1-sin22x≤1，即A3=故D选项错误.
11.(2025·安徽A10联盟质检)由函数g(x)，h(x)相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”.已知g(x)=2sin x，h(x)=|sin 2x|，其优生成函数记为f(x)，则(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)在区间上先增后减
C.f(x)的值域为
D.f(x)在区间[0，10π]上有11个零点
答案　ACD
解析　易知“优生成函数”为f(x)=2sin x+|sin 2x|，
因为f(-π-x)=2sin(-π-x)+|sin(-2π-2x)|=2sin x+|sin 2x|=f(x)，
所以f(x)的图象关于直线x=-对称，故A正确；
显然f(x+2π)=2sin(x+2π)+|sin(2x+4π)|=2sin x+|sin 2x|=f(x)，
所以2π是函数f(x)的一个周期，所以f(x)在区间上的单调性与在区间上的单调性相同，设x∈则f(x)=2sin x-sin 2x，
求导得f'(x)=2cos x-2cos 2x=-4cos2x+2cos x+2=-2(cos x-1)(2cos x+1)>0，
故f(x)在区间上单调递增，即f(x)在区间上单调递增，故B错误；
由f(x)的图象关于直线x=-对称及2π是函数f(x)的一个周期知，
只需考查x∈时f(x)的值域，
因为f =-2+0=-2，f(0)=0+0=0，
f(x)在区间上单调递增，
故当x∈时，-2≤f(x)≤0，
当x∈时，f(x)=2sin x+sin 2x，
求导得f'(x)=2cos x+2cos 2x=2(2cos x-1)(cos x+1)，当00，当所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，
故当x∈时，0综上，f(x)的值域为故C正确；
易知f(x)在区间[0，10π]上的零点分别为0，π，2π，…，9π，10π，共11个，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·北京市西城区模拟)设函数f(x)=2sin则使得函数f(x+φ)在区间上存在最大值的一个φ的值为　　　　.
答案　-(答案不唯一)
解析　因为f(x)=2sin
则f(x+φ)=2sin
令2x+2φ+=+2kπ，k∈Z，
所以x=--φ+kπ，k∈Z，
因为f(x+φ)在区间上存在最大值，令0<--φ+kπ则-+kπ<φ<-+kπ，k∈Z，
又|φ|<所以-<φ<-或<φ<
所以符合题意的一个φ的值为-(答案不唯一).
13.(2025·海口质检)已知ω>0，函数f(x)=2cos在上单调递减，则ω的取值范围是　　　　，若ω为正整数，当x∈[0，2π]时，曲线y=cos x与f(3x)交点的个数为　　　　.
答案　　6
解析　由x∈得ωx-∈
∵函数f(x)=2cos在上单调递减，∴k∈Z，
解得+4k≤ω≤+2k，k∈Z，
∵π-=≤=∴0<ω≤2，
∴当k=0时≤ω≤故ω的取值范围是.
若ω为正整数，则ω=1，f(x)=2cos
f(3x)=2cos
作出y=cos x与f(3x)=2cos在x∈[0，2π]上的大致图象，如图，
由图象可知，曲线y=cos x与f(3x)交点的个数为6.
14.已知函数f(x)=3sin-2cos2+1，把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根，则cos(x1+x2)的值为　　　　　　.
答案　-
解析　f(x)=3sin-2cos2+1
=3sin-cos
=sin
其中sin φ=cos φ=
因为把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，
所以g(x)=f
=sin=sin
当x∈时，2x-φ∈[-φ，π-φ]，
因为x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根，
所以有= x1+x2=+φ，
因此cos(x1+x2)=cos=-sin φ=-.第2讲　三角函数的图象与性质
微点一　三角函数的图象与解析式
例1　(1)(多选)为了得到函数y=2cos 2x的图象，只要把函数y=2sin图象上所有的点(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)(2025·北京海淀区模拟)已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示.若A，B，C，D四点在同一个圆上，则ω等于(　　)
A.1 B. C.π D.
[规律方法]　(1)三角函数图象平移问题的处理策略
①看平移要求：确定由哪一个函数的图象平移得到哪一个函数的图象，这是判断移动方向的关键.
②看左右移动方向：左“+”右“-”.
③看移动单位：在函数y=Asin(ωx+φ)的图象中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向进行的，所以ω和φ之间有一定的关系，要知道φ是初相，再经过ω的放缩，最后移动的单位长度是(注意先移后缩和先缩后移的区别).
(2)由三角函数的图象求解析式y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中参数的值
①最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M=A+B，m=-A+B，解得B=A=.
②T定ω：由周期公式T=可得ω=.
③特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代入最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势.
跟踪演练1　(1)(2025·保山模拟)将函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0，0<φ<π)的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移个单位长度，然后将图象绕坐标原点顺时针旋转最后再将图象向左平移1个单位长度，得到了x=2cos y的图象.则下列说法正确的是(　　)
A.B=-1 B.A=1
C.φ= D.ω=
(2)已知函数f(x)=Acos(ωx-φ)的部分图象如图所示，将y=f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为(　　)
A.g(x)=2cos
B.g(x)=2cos
C.g(x)=2sin 2x
D.g(x)=2cos 2x
微点二　三角函数的性质
例2　(1)(2025·全国Ⅰ卷)已知点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(多选)(2025·长沙模拟)已知函数f(x)=2sin2x+sin则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的最小正周期为2π
B.f(x)的图象关于点对称
C.f(x)在区间上的值域为
D.若f(x)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后所得图象关于y轴对称，则φ的最小值为
[规律方法]　研究三角函数的性质，首先化函数为f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式，然后结合正弦函数y=sin x的性质求f(x)的性质，此时有两种思路：一种是根据y=sin x的性质求出f(x)的性质，然后判断各选项；另一种是由x的值或范围求得t=ωx+φ的范围，然后由y=sin t的性质判断各选项.
跟踪演练2　(1)(2025·天津)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，-π<φ<π)，在上单调递增，且x=为它的一条对称轴是它的一个对称中心，当x∈时，f(x)的最小值为(　　)
A.- B.- C.1 D.0
(2)(多选)(2025·石家庄模拟)已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象经过点(0，-)，g(x)=f(x)-1的零点之间距离的最小值为2，则(　　)
A.f(2)=
B.f(x)的单调递增区间为(k∈Z)
C.f(x)的图象关于点(k∈Z)对称
D.f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为
微点三　求ω的范围(整体代换法和卡根法)
1.整体代换法：把ωx+φ看成一个整体t，这样的话原来的y=Asin(ωx+φ)就变成了y=Asin t，没有了复合函数，处理起来自然就会很简单.
此类方法需要注意两点：
①求出t的范围，讨论t的范围和极值关系.
②求出t的范围后要根据转化关系求出ω的范围.
2.卡根分两种，一是五点卡根法，二是周期卡根法，区别就在于卡根的区间(a，b)或者[a，b]是否包含0，比如这个范围内进行卡根，那么一定选择五点卡根法这个范围内进行卡根，那么一定选择周期卡根法.
y=Asin x与y=Asin(ωx+φ)只需要找到相对应的点位，通常讲到的一个周期内的五点法，这五个重要的点就是卡根卡ω范围最重要的参照.
(1)五点卡根法：通常f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)当中，都会给一个条件，就是|φ|<所以，当0<φ<时，图象如图(1)，当-<φ<0时，图象如图(2).
图(1)
图(2)
通过图形可以知道，无论ω为任意正数，则正弦函数的靠近零点的第一个单调递增区间的最小值和最大值均在第三象限和第一象限，卡根就从这个周期的五点开始操作，我们称之为五点卡根法.
(2)周期卡根法：
如果卡根区间没有过零点，那么在卡根区间进行周期卡根，就看最多或者最少能放进去几个周期，当然，前提就是要先卡形式，即ω关于n的表达式(n为正整数).
注意：轴心距T(n∈N*)，也可以转化为(n∈N*).
例3　(1)(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)x=-为f(x)的零点，直线x=为f(x)图象的对称轴，且f(x)在上有且仅有1个零点，则ω的最大值为(　　)
A.11 B.9 C.7 D.5
[规律方法]　求解三角函数的ω范围，本质是一种转换思想，将变量x的区间问题，转换到整体角度t的区间问题，“卡根法”就是确保这个转换后的区间被完美地“卡”进三角函数的一个标准性质区间内.
跟踪演练3　(1)已知函数f(x)=2sin在区间[0，2π]上恰有3个零点，则正实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0，1)，且f(x)在区间上具有单调性，则ω的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.8
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2025·汕头模拟)要得到函数y=sin 2x的图象，只要将函数y=sin的图象(　　)
A.向右平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
2.(2025·苏北七市调研)已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于(　　)
A. B.- C. D.-
3.函数f(x)=cos(ω>0)在[0，π]上的值域为则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4.(2025·漳州质检)已知f(x)=sin若f(x)在区间(0A. B.
C. D.
5.(2023·全国甲卷)函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
6.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
7.(2025·安徽江淮十校联考)下列关于函数f(x)=|sin 2x|+cos 2x说法正确的是(　　)
A.是函数f(x)图象的一个对称中心
B.f(x)的值域为[-1]
C.f(x)在区间上单调递减
D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞，1] B.[+∞)
C.(1) D.[1]
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·河南豫东名校模拟)函数f(x)=2sin(0<ω<1)的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到g(x)的图象，则下列说法正确的是(　　)
A.ω=
B.函数f(x)的图象关于点对称
C.函数g(x)的图象关于直线x=对称
D.函数y=g在上单调递减
10.已知函数fk(x)=sin2kx+cos2kx(k∈N*)，值域为Ak，则下列选项正确的是(　　)
A.A2=
B.fk(x)的图象关于直线x=对称
C.fk(x)的最大值为1
D.A3=
11.(2025·安徽A10联盟质检)由函数g(x)，h(x)相加后得到的函数，具有优美的图象和性质，称为“优生成函数”.已知g(x)=2sin x，h(x)=|sin 2x|，其优生成函数记为f(x)，则(　　)
A.f(x)的图象关于直线x=-对称
B.f(x)在区间上先增后减
C.f(x)的值域为
D.f(x)在区间[0，10π]上有11个零点
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·北京市西城区模拟)设函数f(x)=2sin则使得函数f(x+φ)在区间上存在最大值的一个φ的值为　　　　.
13.(2025·海口质检)已知ω>0，函数f(x)=2cos在上单调递减，则ω的取值范围是　　　　，若ω为正整数，当x∈[0，2π]时，曲线y=cos x与f(3x)交点的个数为　　　　.
14.已知函数f(x)=3sin-2cos2+1，把函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象.若x1，x2是关于x的方程g(x)=a在内的两根，则cos(x1+x2)的值为　　　　　　.

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