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第1讲　三角函数的运算
微点一　齐次化切
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同.
(1)(一次显型齐次化)；
(2)asin2α+bcos2α+csin αcos α (二次隐型齐次化).
这种类型题，分子分母同除以cos α(一次显型)或者cos2α(二次隐型)，构造成tan α的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
例1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ=-2，则等于(　　)
A.- B.- C. D.
答案　C
解析　方法一　因为tan θ=-2，所以角θ的终边在第二或第四象限，
所以或
所以=
=sin θ(sin θ+cos θ)=sin2 θ+sin θcos θ
=-=.
方法二　(弦化切法)因为tan θ=-2，
所以=
=sin θ(sin θ+cos θ)=
===.
方法三　(正弦化余弦法)因为tan θ=-2，
所以sin θ=-2cos θ.
则=
=sin θ(sin θ+cos θ)=
===.
(2)已知tan α=3，则等于(　　)
A.- B. C.- D.
答案　D
解析　因为tan α=3，则
==
===.
[规律方法]　对于形如Asin2α+Bcos2α+Csin αcos α，Asin2α+Bcos2α+Csin 2α的式子可以借助“sin2α+cos2α=1”，将其转化为正弦、余弦的齐次式，进而用含tan α的式子来表示.
跟踪演练1　(1)已知曲线y=4在点(1，4)处的切线的倾斜角为则等于(　　)
A. B.2 C. D.1
答案　C
解析　因为y=4则y'=
则曲线y=4在点(1，4)处的切线的斜率k=y'|x=1=2，又倾斜角为
所以tan=2，
则
=
=
===.
(2)已知tan α，tan β是方程3x2+5x-7=0的两根，则=　　　　.
答案　
解析　由已知得tan α+tan β=-
tan αtan β=-
=
===.
微点二　辅助角公式与降幂思想
1.降幂思想
三角函数中的降幂思想主要来源于二倍角公式的一些重要变形，如：
降幂公式
2.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ)，其中sin φ=cos φ=.
3.辅助角公式的应用
(1)求f(x)=asin x+bcos x的最值；
(2)方程asin x+bcos x=c有解求参.
例2　(1)已知函数f(x)=sin x+cos x，当x=β时，f(x)取得最大值，则cos β等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　f(x)=sin x+cos x
=
=sin(x+φ)，
其中cos φ=sin φ=
当x=β时，f(x)取得最大值，此时β+φ=+2kπ(k∈Z)，
得到β=-φ+2kπ(k∈Z)，
cos β=cos=sin φ=.
(2)若x∈则函数f(x)=3sin xcos x+sin2x的值域为(　　)
A. B.
C.[0] D.[0，3+]
答案　A
解析　由题意得f(x)=3sin xcos x+sin2x
=sin 2x+(1-cos 2x)
=×+
=×+
=sin+
当x∈时，2x-∈
当2x-=
即x=时，f(x)取最大值，最大值为；
当2x-=
即x=时，f(x)取最小值，最小值为0，
即函数f(x)的值域为.
[规律方法]　辅助角公式主要作用是把含sin x，cos x的一次三角函数式化为Asin(ωx±φ)或Acos(ωx±φ)的形式，从而便于进一步探索三角函数的性质.很多情况下，在使用辅助角公式之前，需要用二倍角公式对三角函数式进行降幂.对于涉及辅助角公式与降幂思想的综合题目，总体思路可以简记为“一拆二降三辅助四性质”.
跟踪演练2　(1)函数f(x)=sin 2x+2sin2x，若f(x1)f(x2)=-3，则|2x1-x2|的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　函数f(x)=sin 2x+2sin2x
=sin 2x-cos 2x+1
=2sin+1，
因为2x-∈R，
则sin∈[-1，1]，
所以f(x)∈
因为f(x1)f(x2)=-3，
所以f(x1)，f(x2)一个为f(x)的最大值，一个为最小值，
则k1，k2∈Z或
k1，k2∈Z，
解得k1，k2∈Z或
k1，k2∈Z，
所以|2x1-x2|= ①
或|2x1-x2|= ②
对于①，当2k1-k2=1时，|2x1-x2|的最小值是
对于②，当2k1-k2=-1时，|2x1-x2|的最小值是
综上，|2x1-x2|的最小值是.
(2)已知关于x的方程asin x+bcos x=2有实数解，则(a-1)2+(b-1)2的最小值是　　　　　　.
答案　6-4
解析　asin x+bcos x=sin
其中cos φ=sin φ=
因为关于x的方程asin x+bcos x=2有实数解，
所以≥2，即a2+b2≥4，
则点(a，b)的轨迹为以原点为圆心，半径大于等于2的同心圆，
设点(a，b)的轨迹方程为x2+y2=r2(r≥2)，
(a-1)2+(b-1)2表示点(a，b)到点(1，1)距离的平方，
因为12+12=2<4，
所以点(1，1)在圆x2+y2=4内，
点(1，1)到同心圆x2+y2=r2(r≥2)上的点的距离的最小值为r-=r-≥2-
所以(a-1)2+(b-1)2的最小值是(2-)2=6-4.
微点三　整体代换思想
整体代换是指将问题或者问题的一部分看成一个整体，用一个新的变量代之，进而简化研究过程.整体代换思想是研究数学问题的一种重要思想，这一思想在解决三角函数相关问题时有着广泛的应用.
1.整体代换求值
(1)用已知角表示未知角
①2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)；
②α=(α+β)-β=(α-β)+β，β=-；
③=-.
(2)互余与互补关系
①互余关系：+=；+=等；
②互补关系：+=π；+=π等.
2.三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，一般分为三类：
(1)sin x，cos x与cos 2x之间的二次函数关系；
(2)sin x+cos x与sin xcos x之间的关系；
(3)asin x+bcos x与sin 2x之间的关系.
3.整体代换求性质
在研究形如函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的性质时，可以根据函数y=sin x的相关性质，把y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中的ωx+φ看成一个整体，结合函数y=sin x的图象，得到函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的性质，这一过程把“数形结合”与“整体代换”紧密地结合起来了.
例3　(1)已知cos=则sin等于(　　)
A.- B. C.- D.
答案　D
解析　方法一　由cos=
则sin=-cos
=-cos=-cos 2
=1-2cos2=1-2×=.
方法二　令t=α+
则α=t-cos t=
所以sin=sin=-cos 2t=1-2cos2t=1-2×=.
(2)已知f(x)=+x∈则函数y=f(x)的最小值为　　　　　.
答案　4
解析　　由题意知f(x)
=+=
令t=sin x+cos x=sin
由0所以则1由t=sin x+cos x，
得t2=(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x，
所以sin xcos x=
则原函数可化为g(t)===t∈(1]，
显然函数y=t-在(1]上单调递增，
故当t=时，y=t-取得最大值此时g(t)取得最小值4即函数y=f(x)的最小值为4.
[规律方法]　换元令t=sin x+cos x，将原函数变形为关于t的二次函数，再根据t的取值范围及二次函数的性质计算即可，但是一定不能忽视该题中x的限制范围，即在换元之后需要求出新元t的范围，否则容易出错.
跟踪演练3　(1)函数y=2sin xcos x+sin x-cos x+2的最大值为(　　)
A. B.3 C. D.4
答案　C
解析　由y=2sin xcos x+sin x-cos x+2，
可设t=sin x-cos x=2sint∈[-2，2]，
则2sin xcos x=1-(sin x-cos x)2
=1-=1-
则原函数可化为y=1-+t+2=-+t+3=-(t-1)2+t∈[-2，2]，
所以当t=1时，函数取最大值.
(2)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为　　　　　　.
答案　
解析　y=cos 2x+2sin x=1-2sin2x+2sin x
=-2+
因为sin x∈[-1，1]，
所以当sin x=时，y=cos 2x+2sin x取得最大值.
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.已知sin=且0A. B. C.0 D.-
答案　B
解析　因为sin=
所以cos=sin=且0所以sin==
则sin-cos
=sin+sin=2×=.
2.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos=则sin等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　由题意得cos α=2cos2-1
=2×-1=-
因为0<α<π，
则sin α===
所以sin=sin αcos-cos αsin
=×-×=.
3.当x=θ时，函数f(x)=5sin x-12cos x取得最小值，则cos θ等于(　　)
A. B.- C. D.-
答案　C
解析　f(x)=5sin x-12cos x
=13=13sin(x+φ)，
其中cos φ=sin φ=-
依题意得f(θ)=13sin(θ+φ)=-13，
∴sin(θ+φ)=-1，
∴θ+φ=2kπ-k∈Z，
∴θ=2kπ--φ，k∈Z，
∴cos θ=cos=cos
=-sin φ=.
4.已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x-则当x∈时，函数f(x)的值域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　f(x)=sin2x+sin xcos x-
=+sin 2x-=sin
当x∈时，2x-∈故f(x)的值域为.
5.已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ=-2则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于(　　)
A.- B. C.- D.
答案　D
解析　由题意可得tan 2θ==-2
即tan2θ-tan θ-=0，
解得tan θ=或tan θ=-.
又角θ的终边在第三象限，故tan θ=
故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ=sin2θ+sin θcos θ-cos2θ
=
===.
6.已知函数f(x)=1+cos 4x+2sin 2x，x∈[0，a]的值域为则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由题设可得a>0，
f(x)=2-2sin22x+2sin 2x=-2+
令t=sin 2x，则g(t)=-2+
易知g(0)=2，g=g(1)=2，
当0此时g(t)的值域不是；
当≤a≤时，t∈
其中≤m≤1，此时g(t)的值域是；
当a>时，t∈[m，1]，其中m<0，
此时g(t)的值域不是
综上≤a≤.
7.已知复数z1=2+isin 2θ在复平面内对应的向量为(O为坐标原点)，z2=sin θ-cos θ+i在复平面内对应的向量为则的最大值为(　　)
A.2-1 B.+1
C.3-2 D.2
答案　D
解析　依题意=(2，sin 2θ)=(sin θ-cos θ，1)，则=2(sin θ-cos θ)+sin 2θ，
令sin θ-cos θ=t，则t=sin∈[-]，sin 2θ=2sin θcos θ=1-t2，
因此=2t+1-t2=-(t-1)2+2，
则当t=1时取得最大值为2，
故的最大值为2.
8.(2025·东莞模拟)若存在实数a，使得对于任意实数x和任意θ∈恒有(x+3+2sin θcos θ)2+(x+asin θ+acos θ)2≥则a的取值范围是(　　)
A.∪
B.(-∞，2]∪[7，+∞)
C.(-∞，2]∪
D.(-∞，2]∪
答案　A
解析　(x+3+2sin θcos θ)2+(x+asin θ+acos θ)2
≥
=
当且仅当x=-时，等号成立，
因为(x+3+2sin θcos θ)2+(x+asin θ+acos θ)2≥对任意x∈R恒成立，
则≥
即≥对任意θ∈恒成立，
令t=sin θ+cos θ=sin
因为θ∈则θ+∈
则sin∈则t∈
又t2=(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ，
则2sin θcos θ=t2-1，
则(t2-at+2)2≥对任意t∈恒成立，
则t2-at+2≥或t2-at+2≤-
即a≤t+或a≥t+对任意t∈恒成立，
因为t+≥2=当且仅当t=
即t=时，等号成立，则a≤=
又对勾函数y=t+在上单调递减，
则ymax=1+=
则a≥=
则a≤或a≥
综上所述，a的取值范围是(-∞]∪.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·安顺模拟)对于任意角α，β，下列结论正确的是(　　)
A.(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=2-2cos(α-β)
B.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β
C.sin α-sin β=2cossin
D.cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]
答案　BCD
解析　对于A，(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2
=cos2α+2cos αcos β+cos2β+sin2α+2sin αsin β+sin2β=2+2cos(α-β)，故A错误；
对于B，sin(α+β)sin(α-β)
=(sin αcos β+cos αsin β)(sin αcos β-cos αsin β)
=sin2αcos2β-cos2αsin2β=sin2α(1-sin2β)-(1-sin2α)sin2β=sin2α-sin2β，故B正确；
对于C，sin α-sin β
=sin-sin
=sincos+cossin-
=2cossin故C正确；
对于D[cos(α+β)+cos(α-β)]
=(cos αcos β-sin αsin β+cos αcos β+sin αsin β)=cos αcos β，故D正确.
10.下列说法正确的是(　　)
A.函数y=sin x+cos x+sin xcos x的最大值为+
B.若tan θ=则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=
C.若sin x+cos x=则3sin x+4cos x=0
D.已知函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立，则a=
答案　ACD
解析　选项A，令t=sin x+cos x=sin∈则sin xcos x=
所以y=t2+t-t∈当t=时，ymax=+故A正确；
选项B，因为tan θ=
所以3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ===故B错误；
选项C，因为sin x+cos x=所以(sin x+cos x)2=1+2sin xcos x=
即2sin xcos x=-<0，由0由(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=所以sin x-cos x=即sin x=cos x=-
所以3sin x+4cos x=3×-4×=0，故C正确；
选项D，函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立，
即=3sin+acos化简得a=故D正确.
11.(2025·全国Ⅰ卷)已知△ABC的面积为cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=则(　　)
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=
C.sin A+sin B=
D.AC2+BC2=3
答案　ABC
解析　cos 2A+cos 2B+2sin C=2，由二倍角公式，得1-2sin2A+1-2sin2B+2sin C=2，
整理可得sin C=sin2A+sin2B，A选项正确；
方法一　由诱导公式得，sin(A+B)=sin(π-C)=sin C，
展开可得sin Acos B+sin Bcos A=sin2A+sin2B，
即sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)=0，
若A+B=则sin A=cos B，sin B=cos A，可知等式成立；
若A+B<即0又sin A>0，sin B>0，于是sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)<0，
与条件不符，故A+B<不成立；
若A+B>同理可得sin A(sin A-cos B)+sin B(sin B-cos A)>0，与条件不符，故A+B>不成立.
综上可知，A+B=即C=.
则cos Acos Bsin C==cos Acos B，由A+B=得cos B=sin A，即sin Acos A=
则sin 2A=同理sin 2B=因为A，B∈则2A，2B∈(0，π)，
不妨设A由两角和与差的正弦公式可知sin A+sin B=sin+sin=+=C选项正确；
由两角和的正切公式可得，tan=2+
设BC=t(t>0)，AC=(2+)t，则AB=(+)t，
由S△ABC=(2+)t2=则t2==则t=
于是AB=(+)t=B选项正确；由勾股定理可知，AC2+BC2=AB2=2，D选项错误.
方法二　sin C=sin2A+sin2B，由C∈(0，π)，则sin C∈(0，1]，
于是1×sin C=sin2A+sin2B≥sin2C，
设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由正弦定理得a2+b2≥c2，
由余弦定理可知cos C≥0，则C∈
若C∈则A+B>注意到cos Acos Bsin C=则cos Acos B>0，
于是cos A>0，cos B>0(两者同负会有两个钝角，不成立)，于是A，B∈
结合A+B> A>-B，而A-B都是锐角，则sin A>sin=cos B>0，
于是sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，这和0故C∈不成立，则C=.下同方法一.
方法三　cos 2A+cos 2B+2sin C=2 2sin C=1-cos 2A+1-cos 2B 2sin C=2sin2A+2sin2B，
所以sin C=sin2A+sin2B，故A正确；设在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
由正弦定理===2R，可得a2+b2=c·2R≥c2，若a2+b2>c2，则cos C>0，0则A+B> A>-B，则sin A>sin即sin A>cos B，代入sin C=sin2A+sin2B，
有sin C=sin2A+sin2B>cos2B+sin2B=1，与C∈矛盾，故a2+b2=c2，则C=
即cos C=cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0 cos Acos B=sin Asin B，又cos Acos Bsin C=则sin Asin B=
因为S△ABC=absin C= ab=
所以=(2R)2=2 2R=所以=2R= c=故B正确；
(sin A+sin B)2=sin2A+sin2B+2sin Asin B=sin C+= sin A+sin B=故C正确；
因为C=则AC2+BC2=AB2=c2=2，故D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　　.
答案　-4
解析　f(x)=sin-3cos x=-cos 2x-3cos x=-2cos2x-3cos x+1=-2+
∵-1≤cos x≤1，∴当cos x=1时，f(x)min=-4，
故函数f(x)的最小值为-4.
13.对 x∈不等式asin2x-sin xcos x+a>0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.
答案　
解析　asin2x-sin xcos x+a>0对 x∈恒成立，
则a>=对 x∈恒成立，
因为x∈所以00，
则a>==
由于2tan x+≥2当且仅当tan x=时取等号，
所以≤所以a>.
14.已知x2-2xy+5y2=1，x，y∈R，则x2+y2的最小值为　　　　　　.
答案　
解析　因为x2-2xy+5y2=(x-y)2+(y)2=1，令x-y=cos θy=sin θ，
解得x=sin θ+cos θ，y=sin θ，
所以x2+y2=+=1+sin2θ+sin θcos θ
=+sin 2θ-cos 2θ=+sin(2θ-φ)，
其中cos φ=sin φ=.
因为-1≤sin(2θ-φ)≤1，
所以x2+y2的最小值为.第1讲　三角函数的运算
微点一　齐次化切
齐次分式：分子分母的正余弦次数相同.
(1)(一次显型齐次化)；
(2)asin2α+bcos2α+csin αcos α (二次隐型齐次化).
这种类型题，分子分母同除以cos α(一次显型)或者cos2α(二次隐型)，构造成tan α的代数式，这个思想在圆锥曲线里面关于斜率问题处理也经常用到.
例1　(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)若tan θ=-2，则等于(　　)
A.- B.- C. D.
(2)已知tan α=3，则等于(　　)
A.- B. C.- D.
[规律方法]　对于形如Asin2α+Bcos2α+Csin αcos α，Asin2α+Bcos2α+Csin 2α的式子可以借助“sin2α+cos2α=1”，将其转化为正弦、余弦的齐次式，进而用含tan α的式子来表示.
跟踪演练1　(1)已知曲线y=4在点(1，4)处的切线的倾斜角为则等于(　　)
A. B.2 C. D.1
(2)已知tan α，tan β是方程3x2+5x-7=0的两根，则=　　　　.
微点二　辅助角公式与降幂思想
1.降幂思想
三角函数中的降幂思想主要来源于二倍角公式的一些重要变形，如：
降幂公式
2.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ)，其中sin φ=cos φ=.
3.辅助角公式的应用
(1)求f(x)=asin x+bcos x的最值；
(2)方程asin x+bcos x=c有解求参.
例2　(1)已知函数f(x)=sin x+cos x，当x=β时，f(x)取得最大值，则cos β等于(　　)
A. B. C. D.
(2)若x∈则函数f(x)=3sin xcos x+sin2x的值域为(　　)
A. B.
C.[0] D.[0，3+]
[规律方法]　辅助角公式主要作用是把含sin x，cos x的一次三角函数式化为Asin(ωx±φ)或Acos(ωx±φ)的形式，从而便于进一步探索三角函数的性质.很多情况下，在使用辅助角公式之前，需要用二倍角公式对三角函数式进行降幂.对于涉及辅助角公式与降幂思想的综合题目，总体思路可以简记为“一拆二降三辅助四性质”.
跟踪演练2　(1)函数f(x)=sin 2x+2sin2x，若f(x1)f(x2)=-3，则|2x1-x2|的最小值是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知关于x的方程asin x+bcos x=2有实数解，则(a-1)2+(b-1)2的最小值是　　　　　　.
微点三　整体代换思想
整体代换是指将问题或者问题的一部分看成一个整体，用一个新的变量代之，进而简化研究过程.整体代换思想是研究数学问题的一种重要思想，这一思想在解决三角函数相关问题时有着广泛的应用.
1.整体代换求值
(1)用已知角表示未知角
①2α=(α+β)+(α-β)，2β=(α+β)-(α-β)；
②α=(α+β)-β=(α-β)+β，β=-；
③=-.
(2)互余与互补关系
①互余关系：+=；+=等；
②互补关系：+=π；+=π等.
2.三角函数和二次函数交汇也是一种常见题型，一般分为三类：
(1)sin x，cos x与cos 2x之间的二次函数关系；
(2)sin x+cos x与sin xcos x之间的关系；
(3)asin x+bcos x与sin 2x之间的关系.
3.整体代换求性质
在研究形如函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的性质时，可以根据函数y=sin x的相关性质，把y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)中的ωx+φ看成一个整体，结合函数y=sin x的图象，得到函数y=Asin(ωx+φ)+B(A>0，ω>0)的性质，这一过程把“数形结合”与“整体代换”紧密地结合起来了.
例3　(1)已知cos=则sin等于(　　)
A.- B. C.- D.
(2)已知f(x)=+x∈则函数y=f(x)的最小值为　　　　　.
[规律方法]　换元令t=sin x+cos x，将原函数变形为关于t的二次函数，再根据t的取值范围及二次函数的性质计算即可，但是一定不能忽视该题中x的限制范围，即在换元之后需要求出新元t的范围，否则容易出错.
跟踪演练3　(1)函数y=2sin xcos x+sin x-cos x+2的最大值为(　　)
A. B.3 C. D.4
(2)函数y=cos 2x+2sin x的最大值为　　　　　　.
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.已知sin=且0A. B. C.0 D.-
2.(2025·全国Ⅱ卷)已知0<α<π，cos=则sin等于(　　)
A. B. C. D.
3.当x=θ时，函数f(x)=5sin x-12cos x取得最小值，则cos θ等于(　　)
A. B.- C. D.-
4.已知函数f(x)=sin2x+sin xcos x-则当x∈时，函数f(x)的值域为(　　)
A. B.
C. D.
5.已知角θ的终边在第三象限，tan 2θ=-2则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于(　　)
A.- B. C.- D.
6.已知函数f(x)=1+cos 4x+2sin 2x，x∈[0，a]的值域为则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
7.已知复数z1=2+isin 2θ在复平面内对应的向量为(O为坐标原点)，z2=sin θ-cos θ+i在复平面内对应的向量为则的最大值为(　　)
A.2-1 B.+1
C.3-2 D.2
8.(2025·东莞模拟)若存在实数a，使得对于任意实数x和任意θ∈恒有(x+3+2sin θcos θ)2+(x+asin θ+acos θ)2≥则a的取值范围是(　　)
A.∪
B.(-∞，2]∪[7，+∞)
C.(-∞，2]∪
D.(-∞，2]∪
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·安顺模拟)对于任意角α，β，下列结论正确的是(　　)
A.(cos α+cos β)2+(sin α+sin β)2=2-2cos(α-β)
B.sin(α+β)sin(α-β)=sin2α-sin2β
C.sin α-sin β=2cossin
D.cos αcos β=[cos(α+β)+cos(α-β)]
10.下列说法正确的是(　　)
A.函数y=sin x+cos x+sin xcos x的最大值为+
B.若tan θ=则3sin2θ+2sin θcos θ-cos2θ=
C.若sin x+cos x=则3sin x+4cos x=0
D.已知函数g(x)=3sin x+acos x满足g(x)≤g恒成立，则a=
11.(2025·全国Ⅰ卷)已知△ABC的面积为cos 2A+cos 2B+2sin C=2，cos Acos Bsin C=则(　　)
A.sin C=sin2A+sin2B
B.AB=
C.sin A+sin B=
D.AC2+BC2=3
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.函数f(x)=sin-3cos x的最小值为　　　　.
13.对 x∈不等式asin2x-sin xcos x+a>0恒成立，则实数a的取值范围是　　　　　　　　　.
14.已知x2-2xy+5y2=1，x，y∈R，则x2+y2的最小值为　　　　　　.

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