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第7讲　三角恒等变换
基础回归
经典回眸
1．(人A必一P217练习T3)已知cos α=－，α∈，则cos=　　．
【解析】 因为cos α=－，cos2α＋sin2α=1，所以sin α=±．因为α∈，所以
sin α=，所以cos=coscos α＋sinsin α=×＋×=．
2．(2021·全国乙卷)计算：cos2－cos2=(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 cos2－cos2=cos2－cos2=cos2－sin2=cos=．
3．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)=，cos α·sin β=，则cos(2α＋2β)=(　B　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】 因为sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=，且cos αsin β=，所以sin αcos β=，则sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β=，所以cos(2α＋2β)=cos[2(α＋β)]=1－2sin2(α＋β)=1－2×2=．
4．(2025·新高考Ⅱ卷)已知0＜α＜π，cos=，则sin=(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 cos α=2cos2－1=2×2－1=－，因为0＜α＜π，所以＜α＜π，则sin α===，则sin=sin αcos －cos αsin =×－×=．
5．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)=m，tan αtan β=2，则cos(α－β)=(　A　)
A．－3m B．－
C． D．3m
【解析】 因为cos(α＋β)=m，所以cos αcos β－sin αsin β=m，而tan αtan β=2，所以sin αsin β=2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β=m即cos αcos β=－m,从而sin αsin β=－2m，故cos(α－β)=－3m．
要点梳理
1．两角和与差的公式
sin(α＋β)=　sin αcos β＋cos αsin β　；
sin(α－β)=　sin αcos β－cos αsin β　；
cos(α＋β)=　cos αcos β－sin αsin β　；
cos(α－β)=　cos αcos β＋sin αsin β　；
tan(α＋β)=　　；
tan(α－β)=　　．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x=　sin(x＋φ)　，其中cos φ=，sin φ=，tan φ=(a≠0)．
3．二倍角公式及其变形
(1) 二倍角公式：sin 2α=　2sin αcos α　；
cos 2α=　cos2α－sin2α　=　2cos2α－1　=　1－2sin2α　；
tan 2α=　．
(2) 降幂公式：sin2α=，
cos2α=，
sin αcos α=sin 2α．
(3) 升幂公式：1＋cos 2α=2cos2α，
1－cos 2α=2sin2α，
1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
举题固法
和角、差角、二倍角公式的应用
例 1　(1) (2025·武汉2月调研)已知tan αtan β=2，cos(α－β)=，则cos(α＋β)=　－　．
【解析】 由tan αtan β==2，得sin αsin β=2cos αcos β．由cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β=，得cos αcos β=，所以cos(α＋β)=cos αcos β－sin αsin β=－cos αcos β=－．
(2) (人A必一P228习题T2)已知α，β都是锐角，cos α=，cos(α＋β)=－，则cos β=　　．
【解析】 由cos α=，α是锐角，得sin α===．因为α，β是锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)=－，所以sin(α＋β)===，所以cos β=cos[(α＋β)－α]=cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α=×＋×=．
(3) (2025·武汉三模)已知sin(α－β)=，且=3，则cos(2α＋2β)=　　．
【解析】 由===3，得sin αcos β=3cos αsin β．由sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=，得2cos αsin β=，即cos αsin β=，sin αcos β=，所以sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β=＋=，则cos(2α＋2β)=1－2sin2(α＋β)=1－2×2=．
公式的直接应用，并非只有顺用，还有逆用，有时还伴随简单的角的变换，如：α=(α＋β)－β，2α=(α＋β)＋(α－β)，＋α=－等．
变式1　(1) (人A必一P220练习T5)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=，β是第三象限角，则sin=　　．
【解析】 因为sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=，所以sin[(α－β)－α]=，所以sin β=－．又β是第三象限角，所以cos β=－．因此sin=sin βcos＋cos βsin=×＋×=．
(2) (2025·镇江期初)已知cos(α－β)=，cos αcos β=，则cos(2α＋2β)=(　D　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】 cos αcos β＋sin αsin β=＋sin αsin β=，所以sin αsin β=，所以cos(α＋β)=cos αcos β－sin αsin β=－=－，所以cos(2α＋2β)=2cos2(α＋β)－1=－1=－．
降幂公式和辅助角公式的应用
例 2　(1) (2025·沈阳期中)(多选)下列选项化简值为1的有(　BC　)
A．2 B．
C． D．tan 20°＋4sin 20°
【解析】 对于A，2=2cos =≠1，A错误；对于B，=
×=×=1，B正确；对于C，====1，C正确；对于D，tan 20°＋4sin 20°=＋
4sin 20°====
===≠1，故D错误．
(2) (2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x－cos x在上的最大值是　2　．
【解析】 f(x)=sin x－cos x=2sin，当x∈时，x－∈．故当x－=，即x=时，f(x)max=2.
在使用辅助角公式时，对于角度φ，不能简单用公式中的正切去计算，要注意符号问题，一般要再次展开后做一次验证．
变式 2　(1) 已知cos α＋sin α=，则cos=(　D　)
A． B．－
C．－ D．
【解析】 cos α＋sin α=2sin=，则sin=，故cos=cos=1－2sin2=．
(2) (多选)设函数f(x)=2sin xcos x－2cos2x，若函数y=f(x＋φ)为偶函数，则φ的值可以是(　BC　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为f(x)=2sin xcos x－2cos2x=sin 2x－cos 2x－1=2sin－1，所以y=f(x＋φ)=2sin－1，又函数y=f(x＋φ)为偶函数，所以2φ－=kπ＋，k∈Z，即φ=＋，k∈Z，所以φ的值可以是，．
换元(整体)思想的应用
例 3　(2025·蚌埠三模)已知cos=，θ∈，则sin=(　D　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 令θ＋=t，则cos t=，t∈，所以sin t=，又θ=t－，所以sin=sin=sin=sin cos t－cos ·sin t=×－×=．
此类问题总体思想是利用换元法寻找未知角与已知角之间的关系，这个关系包括倍数关系、和(差)角与特殊角的关系，然后用公式展开．
变式 3　(1) (2025·烟台期末)若cos=，则sin=(　A　)
A．－ B．
C．－ D．
【解析】 因为2θ＋=＋2，所以sin=sin=
cos =2cos2－1=－．
(2) 若α∈，sin=－，则cos的值为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 令－α=t，则α=－t，又α∈，所以t∈，所以sin t=－，
cos t=．故cos=cos=cos cos t＋sin sin t=×＋×=．
估算缩小角范围的应用
例 4　已知锐角α，β满足sin α=，cos 2β=．
(1) 求sin(α－β)的值；
【解答】 因为sin α=，0＜α＜，所以cos α===．因为
cos 2β=，0＜β＜，所以cos 2β=2cos2β－1=，则cos2β=，又0＜β＜，所以cos β=，则sin β==，所以sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=×－×=－=
－．
(2) 求α＋β的值．
【解答】 由(1)得sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β=×＋×=．因为0＜α＜，0＜β＜，sin α=＜，所以0＜α＜，由(1)知sin β=＜，所以0＜β＜，则0＜α＋β＜，所以α＋β=．
在三角函数求值的过程中，常常因为忽略角的范围或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除的情况．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，
①已知正切函数值，一般选正切函数，②已知正、余弦函数值时，若角在(0，π)上，一般选余弦函数，若角在上，一般选正弦函数．此外，在三角形中还要注意大边对大角．
变式 4　已知α，β为锐角，cos α=，sin β=．
(1) 求sin(α－β)的值；
【解答】 因为α为锐角，cos α=，所以sin α==．因为β为锐角，sin β=，所以cos β==，所以sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=×－×=－．
(2) 求α－β的值．
【解答】 因为α，β为锐角，cos α=＞，所以α∈．因为sin β=＞，所以β∈，－β∈，所以α－β∈，所以α－β=－．
配套热练
1．(2025·武汉4月调研)若tan=7，则cos 2α的值为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 由tan=7，可得==7，解得tan α=，所以cos 2α====．
2．(2024·全国甲卷)已知=，则tan=(　B　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
【解析】 因为=，所以=，即tan α=1－，所以tan==2－1.
3．(2025·邢台二模)已知α∈，β∈，且sin α－cos α=cos β，则α－β=(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 因为sin α－cos α=sin=cos β=sin，α∈，β∈，所以α－∈，＋β∈，所以α－=＋β，则α－β=．
4．(2025·苏锡常镇一模)已知sin(α＋β)=，tan α=2tan β，则sin(α－β)=(　B　)
A．－ B．
C． D．
【解析】 由tan α=2tan β，可得=，即sin αcos β=2cos αsin β．联立可得所以sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=－=．
5．(2025·广州二模)已知θ∈，tan 2θ=，则tan θ=(　A　)
A． B．
C．2 D．3
【解析】 由θ∈可得sin θ＞0，cos θ＞0，所以===sin θ＋cos θ，又tan 2θ=，因此==，即可得=，所以2tan θ=1－tan θ，解得
tan θ=．
6．(2025·聊城三模)(多选)已知sin(α－β)=－，sin αcos β=，则(　BC　)
A．cos αsin β=－ B．sin(α＋β)=
C．3tan α=2tan β D．sin 2αsin 2β=
【解析】 已知sin(α－β)=sin αcos β－cos αsin β=－，sin αcos β=，则cos αsin β=＋=，A错误；sin(α＋β)=sin αcos β＋cos αsin β=＋=，B正确；===，所以3tan α=2tan β，C正确；sin 2αsin 2β=2sin αcos α·2sin βcos β=4sin αcos β·cos αsin β=4××=，D错误．
7．(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α=，cos(α＋β)=－，则下列结论正确的是(　BD　)
A．cos 2α= B．sin α－cos α=
C．sin(α＋β)= D．β－α=
【解析】 由≤α≤π，即≤2α≤2π，sin 2α=，所以≤2α≤π，即cos 2α=－，故A错误；因为≤2α≤π，所以≤α≤，则有sin α≥≥cos α，即sin α－cos α===，故B正确；因为≤α≤，π≤β≤，所以≤α＋β≤2π，又因为cos(α＋β)=－，所以sin(α＋β)=－=－，故C错误；由sin(β－α)=sin(α＋β－2α)=sin(α＋β)cos 2α－cos(α＋β)sin 2α=－×＋×=，因为≤α≤，π≤β≤，所以≤β－α≤，则β－α=，故D正确．
8．(2025·阳江三模)已知sin α=sin，则cos 2α＋cos2α=　　．
【解析】 由sin α=sin可得sin α=sin α－cos α，化简可得cos α=
－sin α，又sin2α＋cos2α=1，所以cos2α=，所以cos 2α＋cos2α=2cos2α－1＋cos2α=．
9．已知tan α=，cos β=－，其中α，β∈(0，π)，则α－β=　－　．
【解析】 由β∈(0，π)，cos β=－，得β∈，sin β==，所以tan β==－．又tan α=，所以α∈，则α－β∈(－π，0)，tan(α－β)====1，所以α－β=－．
10．(2025·南京三模)已知sin=，则cos=　－或　．
【解析】 由sin=，则cos=±，又θ＋=＋，所以cos=cos =coscos－sinsin．当cos=时，cos=×－×=－；当cos=－时，cos=－×
－×=．
11．已知α，β为锐角，tan α=，且cos(α＋β)=－．
(1) 求sin β的值；
【解答】 由α，β为锐角，则0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)=－，则sin(α＋β)==，所以tan(α＋β)=－7，即tan β=tan[(α＋β)－α]==，所以17sin β=31cos β，又sin2β＋cos2β=1②，由β为锐角，解得sin β=．
(2) 求2α＋β的值．
【解答】 方法一：由(1)知tan(α＋β)=－7，又tan α=，则tan(2α＋β)==
－1.由0＜α＜，且tan α=＜1=tan，则0＜α＜，所以0＜2α＜，又0＜β＜，则0＜2α＋β＜π，所以2α＋β=．
方法二：因为α，β为锐角，tan α=，sin2α＋cos2α=1，解得sin α=，cos α=．由0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)=－，所以sin(α＋β)==，则cos(2α＋β)=cos α·cos(α＋β)－sin αsin(α＋β)=×－×=－．由0＜α＜，且tan α=＜1=tan，则0＜α＜，所以0＜2α＜，又0＜β＜，则0＜2α＋β＜π，所以2α＋β=．
12．(1) 求值：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)；
【解答】 因为tan 45°=tan(18°＋27°)==1，所以tan 18°＋tan 27°=1－tan 18°tan 27°，则(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)=1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°=1＋(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°tan 27°=2.
(2) 化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)．
【解答】 由tan 70°==，tan 20°=，得tan 70°cos 10°(tan 20°－1)=·cos 10°·=·cos 10°·==
===－1.(共49张PPT)
专题二
三角函数与解三角形
第7讲　三角恒等变换
基础回归
【解析】
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
D
所以sin α sin β=2cos αcos β，故cos αcos β－2cos αcos β=m即cos αcos β=－m，
从而sin αsin β= －2m，故cos(α－β)=－3m．
【解析】
因为cos(α＋β)=m，所以cos αcos β－sin αsin β=m，而tan αtan β=2，
A
1．两角和与差的公式
sin(α＋β)=__________________________；
sin(α－β)=__________________________；
cos(α＋β)=__________________________；
cos(α－β)=__________________________；
tan(α＋β)= _________________；
tan(α－β)= _________________．
sin αcos β＋cos αsin β
sin αcos β－cos αsin β
cos αcos β－sin αsin β
cos αcos β＋sin αsin β
2sin αcos α
cos2α－sin2α
2cos2α－1
1－2sin2α
举题固法
和角、差角、二倍角公式的应用
目标
1
【解析】
1
【解析】
【解析】
【解析】
变式1　
【解析】

D
降幂公式和辅助角公式的应用
目标
2
2
【解析】
【答案】BC
【解析】
2
在使用辅助角公式时，对于角度φ，不能简单用公式中的正切去计算，要注意符号问题，一般要再次展开后做一次验证．
【解析】
D
变式2　
【解析】
BC
换元(整体)思想的应用
目标
3
【解析】
D
3
此类问题总体思想是利用换元法寻找未知角与已知角之间的关系，这个关系包括倍数关系、和(差)角与特殊角的关系，然后用公式展开．
【解析】
A

变式3　
【解析】
C
估算缩小角范围的应用
增分点
【解答】
4
【解答】
4
【解答】
变式4　
【解答】
变式4　
热练
【解析】
A
【解析】
B
【解析】
D
【解析】
B
【解析】
A
【解析】
BC
【解析】
【答案】BD

【解析】

【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
12．(1) 求值：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)；
【解答】
【解答】第7讲　三角恒等变换
基础回归
经典回眸
1．(人A必一P217练习T3)已知cos α=－，α∈，则cos=　 ．
2．(2021·全国乙卷)计算：cos2－cos2=(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(α－β)=，cos α·sin β=，则cos(2α＋2β)=(　 　)
A． B．
C．－ D．－
4．(2025·新高考Ⅱ卷)已知0＜α＜π，cos=，则sin=(　 　)
A． B．
C． D．
5．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos(α＋β)=m，tan αtan β=2，则cos(α－β)=(　 　)
A．－3m B．－
C． D．3m
要点梳理
1．两角和与差的公式
sin(α＋β)=　 　；
sin(α－β)=　 　；
cos(α＋β)=　 　；
cos(α－β)=　 　；
tan(α＋β)=　 　；
tan(α－β)=　 　．
2．辅助角公式
asin x＋bcos x=　 　，其中cos φ=，sin φ=，tan φ=(a≠0)．
3．二倍角公式及其变形
(1) 二倍角公式：sin 2α=　 　；
cos 2α=　 =　　 　=　 　；
tan 2α=　 ．
(2) 降幂公式：sin2α=，
cos2α=，
sin αcos α=sin 2α．
(3) 升幂公式：1＋cos 2α=2cos2α，
1－cos 2α=2sin2α，
1±sin 2α=(sin α±cos α)2.
举题固法
和角、差角、二倍角公式的应用
例 1　(1) (2025·武汉2月调研)已知tan αtan β=2，cos(α－β)=，则cos(α＋β)=　 ．
(2) (人A必一P228习题T2)已知α，β都是锐角，cos α=，cos(α＋β)=－，则cos β=　 ．
(3) (2025·武汉三模)已知sin(α－β)=，且=3，则cos(2α＋2β)=　 ．
公式的直接应用，并非只有顺用，还有逆用，有时还伴随简单的角的变换，如：α=(α＋β)－β，2α=(α＋β)＋(α－β)，＋α=－等．
变式1　(1) (人A必一P220练习T5)已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α=，β是第三象限角，则sin=　 ．
(2) (2025·镇江期初)已知cos(α－β)=，cos αcos β=，则cos(2α＋2β)=(　 　)
A． B．
C．－ D．－
降幂公式和辅助角公式的应用
例 2　(1) (2025·沈阳期中)(多选)下列选项化简值为1的有(　 　)
A．2 B．
C． D．tan 20°＋4sin 20°
(2) (2024·全国甲卷)函数f(x)=sin x－cos x在上的最大值是　 　．
在使用辅助角公式时，对于角度φ，不能简单用公式中的正切去计算，要注意符号问题，一般要再次展开后做一次验证．
变式 2　(1) 已知cos α＋sin α=，则cos=(　 　)
A． B．－
C．－ D．
(2) (多选)设函数f(x)=2sin xcos x－2cos2x，若函数y=f(x＋φ)为偶函数，则φ的值可以是(　 　)
A． B．
C． D．
换元(整体)思想的应用
例 3　(2025·蚌埠三模)已知cos=，θ∈，则sin=(　 　)
A．－ B．
C．－ D．
此类问题总体思想是利用换元法寻找未知角与已知角之间的关系，这个关系包括倍数关系、和(差)角与特殊角的关系，然后用公式展开．
变式 3　(1) (2025·烟台期末)若cos=，则sin=(　 　)
A．－ B．
C．－ D．
(2) 若α∈，sin=－，则cos的值为(　 　)
A． B．
C． D．
估算缩小角范围的应用
例 4　已知锐角α，β满足sin α=，cos 2β=．
(1) 求sin(α－β)的值；
(2) 求α＋β的值．
在三角函数求值的过程中，常常因为忽略角的范围或不能发现隐含的角的大小关系而出现增根不能排除的情况．要避免上述情况的发生，应合理选择三角函数形式进行求解，根据计算结果估算出角的较精确的取值范围，并不断缩小角的范围，在选择三角函数公式时，
①已知正切函数值，一般选正切函数，②已知正、余弦函数值时，若角在(0，π)上，一般选余弦函数，若角在上，一般选正弦函数．此外，在三角形中还要注意大边对大角．
变式 4　已知α，β为锐角，cos α=，sin β=．
(1) 求sin(α－β)的值；
(2) 求α－β的值．
配套热练
1．(2025·武汉4月调研)若tan=7，则cos 2α的值为(　 　)
A． B．
C． D．
2．(2024·全国甲卷)已知=，则tan=(　 　)
A．2＋1 B．2－1
C． D．1－
3．(2025·邢台二模)已知α∈，β∈，且sin α－cos α=cos β，则α－β=(　 　)
A． B．
C． D．
4．(2025·苏锡常镇一模)已知sin(α＋β)=，tan α=2tan β，则sin(α－β)=(　 　)
A．－ B．
C． D．
5．(2025·广州二模)已知θ∈，tan 2θ=，则tan θ=(　 　)
A． B．
C．2 D．3
6．(2025·聊城三模)(多选)已知sin(α－β)=－，sin αcos β=，则(　 　)
A．cos αsin β=－ B．sin(α＋β)=
C．3tan α=2tan β D．sin 2αsin 2β=
7．(多选)已知≤α≤π，π≤β≤，sin 2α=，cos(α＋β)=－，则下列结论正确的是(　 　)
A．cos 2α= B．sin α－cos α=
C．sin(α＋β)= D．β－α=
8．(2025·阳江三模)已知sin α=sin，则cos 2α＋cos2α=　 ．
9．已知tan α=，cos β=－，其中α，β∈(0，π)，则α－β=　 ．
10．(2025·南京三模)已知sin=，则cos=　 ．
11．已知α，β为锐角，tan α=，且cos(α＋β)=－．
(1) 求sin β的值；
(2) 求2α＋β的值．
12．(1) 求值：(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)；
(2) 化简：tan 70°cos 10°(tan 20°－1)．

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