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(共56张PPT)
专题二
三角函数与解三角形
第8讲　三角函数的图象与性质
基础回归
1．(2024·上海卷)下列函数的最小正周期是2π的是 (　　)
A．sin x＋cos x B．sin xcos x
C．sin2x＋cos2x D．sin2x－cos2x
【解析】
A
【解析】
B
【解析】
C
【解析】
D
【解析】
2．设A＞0，ω＞0，函数y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的性质如下表：
函数 y=Asin(ωx＋φ) y=Acos(ωx＋φ)
定义域 R R
值域 [－A，A] [－A，A]
周期性
函数 y=Asin(ωx＋φ) y=Acos(ωx＋φ)
单调性
函数 y=Asin(ωx＋φ) y=Acos(ωx＋φ)
最值 当ωx＋φ=2kπ(k∈Z)时，ymax=A
当ωx＋φ=2kπ＋π(k∈Z)时，ymin=－A
对称轴
对称中心
3．常用结论
(1) 对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离
是______个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是______个周期．②正切曲
线相邻两对称中心之间的距离是______个周期．
(2) 奇偶性：若函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则①函数f(x)为偶函数的充要条件
是____________________；②函数f(x)为奇函数的充要条件是______________．
φ=kπ(k∈Z)
举题固法
单调性与最值
目标
1
【解答】
1
【解答】
1
(1) 求单调区间：把三角函数化为f(x)=Asin(ωx＋φ)(ω＞0)或f(x)=Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，把ωx＋φ看作一个整体代入y=sin x或y=cos x相应的单调区间解不等式即可．
(2) 求最值：求出ωx＋φ整体的范围，而后借助y=sin x或y=cos x的图象求最值．
【解答】
变式1　
【解答】
变式1　
由图象求解析式
目标
2
2
【解析】
【答案】AD
【解析】
变式2　
【答案】ABD
图象变换
目标
3
【解析】
C
3
【解析】
C
1．对y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移，还是先伸缩，只要平移|φ|个单位长度，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|．
2．注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
【解析】
D
变式3　
【解析】
【答案】B
热练
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】A

【解析】
【答案】C
【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】BD
【解析】
【答案】BC
【解析】
【答案】AC
【解析】
【解析】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】第8讲　三角函数的图象与性质
基础回归
经典回眸
1．(2024·上海卷)下列函数的最小正周期是2π的是(　A　)
A．sin x＋cos x B．sin xcos x
C．sin2x＋cos2x D．sin2x－cos2x
【解析】 对于A，sin x＋cos x=sin，周期T=2π，故A正确；对于B,sin xcos x=
sin 2x，周期T==π，故B错误；对于C，sin2x＋cos2x=1，是常函数，不存在最小正周期，故C错误；对于D，sin2x－cos2x=－cos 2x，周期T==π，故D错误．
2．(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a＞0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 根据正切函数的性质，y=2tan的对称中心横坐标满足x－=，k∈Z，即a=＋，k∈Z，又a＞0，则k=0时，amin=．
3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　C　)
A．3 B．4
C．6 D．8
【解析】 因为函数y=sin x的最小正周期为T=2π，函数y=2sin的最小正周期为T=，所以在x∈[0，2π]上函数y=2sin有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象如图所示．由图易知，交点个数为6.
4．(2023·全国乙卷理)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间上单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴，则f=(　D　)
A．－ B．－
C． D．
【解析】 由题意知=－=，则T=π，ω==2.当x=时，f(x)取得最小值，即2×＋φ=2kπ－，k∈Z，φ=2kπ－，k∈Z．不妨取k=0，则f(x)=sin，所以f=sin=．
5．函数y=3sin的单调递增区间是　，k∈Z　．
【解析】 由题意得y=－3sin，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，可得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z，由复合函数的单调性原理，得函数y=3sin的单调递增区间是，k∈Z．
要点梳理
1．三角函数图象的变换
(1) 平移(左加右减，上加下减)
注意：左右平移的量是加在x上的，而不是加在整个括号里的；上下平移的量是加在整个解析式后面的．
(2) 伸缩
2．设A＞0，ω＞0，函数y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的性质如下表：
函数 y=Asin(ωx＋φ) y=Acos(ωx＋φ)
定义域 R R
值域 [－A，A] [－A，A]
周期性 最小正周期为 最小正周期为
单调性 增区间：(k∈Z) 减区间：(k∈Z) 增区间：(k∈Z) 减区间：(k∈Z)
最值 当ωx＋φ=2kπ＋(k∈Z)时，ymax=A 当ωx＋φ=2kπ－(k∈Z)时，ymin=－A 当ωx＋φ=2kπ(k∈Z)时，ymax=A 当ωx＋φ=2kπ＋π(k∈Z)时，ymin=－A
对称轴 x=(k∈Z) x=(k∈Z)
对称中心 (k∈Z) (k∈Z)
3．常用结论
(1) 对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是　　个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是　　个周期．②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是　　个周期．
(2) 奇偶性：若函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则①函数f(x)为偶函数的充要条件是　φ=＋kπ(k∈Z)　；②函数f(x)为奇函数的充要条件是　φ=kπ(k∈Z)　．
举题固法
单调性与最值
例 1　(2025·威海期末)已知函数f(x)=4sinsin x．
(1) 求f(x)的单调递减区间；
【解答】 f(x)=4sin x=2sin2x＋2sin xcos x=1－cos 2x＋sin 2x
=2＋1=2sin＋1，令2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
(2) 当x∈时，求f(x)的最值．
【解答】 设t=2x－，则y=2sin t＋1，因为x∈，所以t∈，所以sin t∈，所以f(x)的最小值为1－，最大值为3.
(1) 求单调区间：把三角函数化为f(x)=Asin(ωx＋φ)(ω＞0)或f(x)=Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，把ωx＋φ看作一个整体代入y=sin x或y=cos x相应的单调区间解不等式即可．
(2) 求最值：求出ωx＋φ整体的范围，而后借助y=sin x或y=cos x的图象求最值．
变式 1　(人A必一P255T22)已知函数f(x)=sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6.
(1) 求常数m的值；
【解答】 f(x)=sin 2x＋2cos2x＋m=sin 2x＋1＋cos 2x＋m=2sin＋m＋1，因为x∈，所以2x＋∈，－≤sin≤1，所以函数f(x)的最大值为3＋m，所以3＋m=6，解得m=3.
(2) 当x∈R时，求函数f(x)的最小值，以及相应x的取值集合．
【解答】 由(1)得f(x)=2sin＋4，当x∈R时，函数f(x)的最小值为2，此时2x＋=＋2kπ(k∈Z)，解得x=＋kπ(k∈Z)，即f(x)取最小值时，x的取值集合为．
由图象求解析式
例 2　(2025·厦门二模)(多选)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　AD　)
A．ω=2
B．φ=
C．y=f是奇函数
D．当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
【解析】 由图可知T=2×=π，故ω==2，f=sin=1，故＋φ=＋
2kπ，k∈Z，因为|φ|＜，所以φ=，故f(x)=sin，故A正确，B错误；y=f=sin=cos 2x为偶函数，故C错误；令f(x)=sin=0，则2x＋=kπ，k∈Z，故x=－＋，k∈Z，当x∈[3π，4π]时，x=－＋或x=－＋4π，故D正确．
根据图象求解析式f(x)=Asin(ωx＋φ)＋B：
①用最大值和最小值求A和B：
|A|=，
B=；
②用最小正周期T求ω：|ω|=；
③最值点求φ：将函数图象上的最大值或最小值点代入解析式，求出φ．若图象上没有标最值点，也无法通过简单的推理得出最值点，则考虑代其他已知点求φ．之所以首选最值点，是因为不容易产生增根，若代其他点，可能会有增根需要舍去．
变式 2　(2025·福州一模)(多选)如图，这是函数f(x)=sin(ωx＋φ)的部分图象，则(　ABD　)
A．π是f(x)的一个周期
B．f=f
C．f＞f
D．f(x)在[0，3π]上恰有6个零点
【解析】 对于A，由图知，=－=，得T=π，所以A正确．由T==π，得ω=2或ω=－2.当ω=2时，为减区间上的零点，所以2×＋φ=π＋2kπ，k∈Z，得φ=＋2kπ，k∈Z，所以f(x)=sin．当ω=－2时，由sin=0，得－＋φ=kπ，k∈Z，即φ=＋kπ，k∈Z，当k=2m＋1，m∈Z时，f(x)=sin=sin，而f=sin=＞0，由图知f(x)=sin不合题意；当k=2m，m∈Z时，f(x)=sin=sin．综上，f(x)=sin．对于B，f=sin=－，f=sin=－，则f=f，所以B正确．对于C，f=sin=sin=－＞f，所以C错误．对于D，令sin=0，得2x＋=kπ，k∈Z，即x=－＋，k∈Z，又x∈[0，3π]，由0≤－＋≤3π，且k∈Z，得1≤k≤6，k∈Z，所以f(x)在[0，3π]上恰有6个零点，所以D正确．
图象变换
例 3　(1) (2025·汕头一模)要得到函数y=sin 2x的图象，只要将函数y=sin的图象向__________平移__________个单位长度(　C　)
A．右　 B．左　
C．右　 D．左　
【解析】 将函数y=sin的图象向右平移个单位长度，得函数y=
sin=sin 2x的图象．
(2) (2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题意知，曲线C为y=sin=sin．因为C关于y轴对称，所以＋=＋kπ，k∈Z，解得ω=＋2k，k∈Z．又ω＞0，故当k=0时，ω取得最小值为．
对y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移，还是先伸缩，只要平移
|φ|个单位长度，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|．
2．注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
变式 3　(1) (2025·济宁一模)将函数f(x)=2cos的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为g(x)=(　D　)
A．2cos B．2cos
C．2cos D．－2cos
【解析】 周期T==π，所以函数y=2cos的图象向右平移个周期可得y=2cos=2cos=－2cos=－2cos=－2cos的图象．
(2) (2021·全国乙卷)把函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，则f(x)=(　B　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
【解析】 由已知的函数y=sin逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到y=sin=sin的图象；第二步：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin的图象，即为y=f(x)的图象，所以f(x)=sin．
配套热练
1．(2025·南京二模)把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)=(　B　)
A．cos B．cos
C．cos D．cos
【解析】 把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得函数y=
cos 2x的图象，再将图象上所有的点向右平移个单位长度后，得函数y=f(x)=cos=cos的图象．
2．(2025·安庆二模)若将函数f(x)=sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 f(x)=sin，将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度得y=sin的图象，由题知该函数为奇函数，则2φ－=kπ，k∈Z，即φ=＋，k∈Z，所以φ的最小正值为．
3．(2025·佛山三模)将函数f(x)=4cos的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　C　)
A．g(x)是奇函数
B．g(x)的图象关于直线x=对称
C．g(x)在上的值域为[－2，4]
D．g(x)在上单调递增
【解析】 由题意知g(x)=4cos，g(x)不是奇函数，故A错误．g=4cos=2≠±4，g(x)不关于直线x=对称，故B错误．由x∈，得2x－∈，则4cos∈[－2，4]，故C正确．当x∈时，2x－∈，而y=cos x在上不单调，所以g(x)在上不单调，故D错误．
4．(2026·嘉兴期初)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的最小正周期为T，若f(T)=，则cos(x＋3φ)＋cos(2x－6φ)的最小值为(　B　)
A．－2 B．－
C．0 D．
【解析】 由已知T=，所以f(T)=sin=sin φ=，又－＜φ＜，所以φ=，所以cos(x＋3φ)＋cos(2x－6φ)=cos＋cos(2x－π)=－sin x－cos 2x=－sin x－(1－2sin2x)=2sin2x－sin x－1=22－，又sin x∈[－1，1]，则当sin x=时，有最小值－．
5．(2025·鹰潭二模)(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　BD　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)图象的一个对称中心为
C．当函数f(x)取得最大值时，x=＋2kπ，k∈Z
D．将f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
【解析】 由图有A=2，T=－= T=π，即ω==2.由f=2sin=0 －＋φ=kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜，所以当k=0时，φ=，所以f(x)=2sin．对于A，当x∈时，2x＋∈[0，π]，因为y=sin x在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)在上不单调，故A错误；对于B，f=0，故B正确；对于C，当函数f(x)取得最大值时，2x＋=＋2kπ，k∈Z，解得x=＋kπ，k∈Z，故C错误；对于D，将f(x)的图象向左平移个单位长度后得y=f=2sin=2sin=2cos 2x的图象，故D正确．
6．(2024·新高考Ⅱ卷)(多选)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列结论正确的有(　BC　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
【解析】 对于A，令f(x)=sin 2x=0，解得x=，k∈Z，即为f(x)的零点．令g(x)=sin=0，解得x=＋，k∈Z，即为g(x)的零点．显然f(x)，g(x)的零点不同，故A错误．对于B，显然f(x)max=g(x)max=1，故B正确．对于C，根据周期公式，f(x)，g(x)的最小正周期均为=π，故C正确．对于D，根据正弦函数的性质，f(x)图象的对称轴满足2x=
kπ＋，k∈Z，解得x=＋，k∈Z；g(x)图象的对称轴满足2x－=kπ＋，k∈Z，解得x=＋，k∈Z，显然f(x)，g(x)图象的对称轴不同，故D错误．
7．(2025·武汉2月调研)(多选)已知函数f(x)=sin2＋sin2，则下列关于f(x)的说法中正确的是(　AC　)
A．最小正周期是π
B．最大值是2
C．是区间上的减函数
D．图象关于点中心对称
【解析】 f(x)=＋=sin 2x－cos 2x＋1=sin＋1，则f(x)的最小正周期是=π，故A正确．由三角函数的性质可知f(x)≤＋1，即f(x)的最大值是＋1，故B错误．当x∈时，2x－∈，因为y=sin z在上单调递减，所以f(x)是区间上的减函数，故C正确．因为f=sin＋1=＋1，所以f(x)的图象不关于点中心对称，故D错误．
8．(2025·景德镇三模)已知函数f(x)=3sin－1(ω＞0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域为　　．
【解析】 由f(x)的最小正周期为π，得ω=2，故f(x)=3sin－1，则g(x)=f=3sin－1.因为x∈，所以2x－∈，则sin∈
，则g(x)∈，故g(x)在区间上的值域为．
9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　－　．
【解析】 设A，B，由sin(ωx＋φ)=，得ωx1＋φ=＋2kπ，ωx2＋φ=＋2kπ(k∈Z)，作差得ω(x2－x1)=．由|AB|=，得x2－x1=，所以ω=4.由题图知，是f(x)增区间上的零点，所以＋φ=2kπ(k∈Z)，即φ=－＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)=sin=sin，所以f(π)=sin=－．
10．(人A必一P255T21)已知函数f(x)=sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1.
(1) 求常数a的值；
【解答】 由题意知函数f(x)=sin＋sin＋cos x＋a=sin xcos＋cos xsin＋
sin xcos－cos xsin＋cos x＋a=sin x＋cos x＋a=2sin＋a，因为－1≤sin≤1，所以f(x)max=2×1＋a=1，解得a=－1.
(2) 求函数f(x)的单调递减区间；
【解答】 由(1)可知f(x)=2sin－1.令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以f(x)的单调递减区间为，k∈Z．
(3) 求使f(x)≥0成立的x的取值集合．
【解答】 令f(x)≥0，得2sin－1≥0，sin≥，所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得2kπ≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以使f(x)≥0成立的x的取值集合是．
11．(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x＋φ)(0≤φ＜π)，f(0)=．
(1) 求φ；
【解答】 由题意得f(0)=cos φ=(0≤φ＜π)，所以φ=．
(2) 设函数g(x)=f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．
【解答】 由(1)可知f(x)=cos，所以g(x)=f(x)＋f=cos＋cos 2x=
cos 2x－sin 2x＋cos 2x=cos 2x－sin 2x=cos，所以函数g(x)的值域为．令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ，k∈Z，解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，所以函数g(x)的单调递减区间为，k∈Z，单调递增区间为，k∈Z．第8讲　三角函数的图象与性质
基础回归
经典回眸
1．(2024·上海卷)下列函数的最小正周期是2π的是(　 　)
A．sin x＋cos x B．sin xcos x
C．sin2x＋cos2x D．sin2x－cos2x
2．(2025·新高考Ⅰ卷)若点(a，0)(a＞0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2024·新高考Ⅰ卷)当x∈[0，2π]时，曲线y=sin x与y=2sin的交点个数为(　 　)
A．3 B．4
C．6 D．8
4．(2023·全国乙卷理)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)(ω＞0)在区间上单调递增，直线x=和x=为函数y=f(x)图象的两条相邻对称轴，则f=(　 　)
A．－ B．－
C． D．
5．函数y=3sin的单调递增区间是　 ．
要点梳理
1．三角函数图象的变换
(1) 平移(左加右减，上加下减)
注意：左右平移的量是加在x上的，而不是加在整个括号里的；上下平移的量是加在整个解析式后面的．
(2) 伸缩
2．设A＞0，ω＞0，函数y=Asin(ωx＋φ)和y=Acos(ωx＋φ)的性质如下表：
函数 y=Asin(ωx＋φ) y=Acos(ωx＋φ)
定义域 R R
值域 [－A，A] [－A，A]
周期性 最小正周期为 最小正周期为
单调性 增区间：(k∈Z) 减区间：(k∈Z) 增区间：(k∈Z) 减区间：(k∈Z)
最值 当ωx＋φ=2kπ＋(k∈Z)时，ymax=A 当ωx＋φ=2kπ－(k∈Z)时，ymin=－A 当ωx＋φ=2kπ(k∈Z)时，ymax=A 当ωx＋φ=2kπ＋π(k∈Z)时，ymin=－A
对称轴 x=(k∈Z) x=(k∈Z)
对称中心 (k∈Z) (k∈Z)
3．常用结论
(1) 对称与周期：①正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是
　 个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是　 个周期．②正切曲线相邻两对称中心之间的距离是　 个周期．
(2) 奇偶性：若函数f(x)=Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)，则①函数f(x)为偶函数的充要条件是　 　；②函数f(x)为奇函数的充要条件是　 　．
举题固法
单调性与最值
例 1　(2025·威海期末)已知函数f(x)=4sinsin x．
(1) 求f(x)的单调递减区间；
(2) 当x∈时，求f(x)的最值．
(1) 求单调区间：把三角函数化为f(x)=Asin(ωx＋φ)(ω＞0)或f(x)=Acos(ωx＋φ)(ω＞0)的形式，把ωx＋φ看作一个整体代入y=sin x或y=cos x相应的单调区间解不等式即可．
(2) 求最值：求出ωx＋φ整体的范围，而后借助y=sin x或y=cos x的图象求最值．
变式 1　(人A必一P255T22)已知函数f(x)=sin 2x＋2cos2x＋m在区间上的最大值为6.
(1) 求常数m的值；
(2) 当x∈R时，求函数f(x)的最小值，以及相应x的取值集合．
由图象求解析式
例 2　(2025·厦门二模)(多选)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　 　)
A．ω=2
B．φ=
C．y=f是奇函数
D．当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
根据图象求解析式f(x)=Asin(ωx＋φ)＋B：
①用最大值和最小值求A和B：
|A|=，
B=；
②用最小正周期T求ω：|ω|=；
③最值点求φ：将函数图象上的最大值或最小值点代入解析式，求出φ．若图象上没有标最值点，也无法通过简单的推理得出最值点，则考虑代其他已知点求φ．之所以首选最值点，是因为不容易产生增根，若代其他点，可能会有增根需要舍去．
变式 2　(2025·福州一模)(多选)如图，这是函数f(x)=sin(ωx＋φ)的部分图象，则( 　)
A．π是f(x)的一个周期
B．f=f
C．f＞f
D．f(x)在[0，3π]上恰有6个零点
图象变换
例 3　(1) (2025·汕头一模)要得到函数y=sin 2x的图象，只要将函数y=sin的图象向__________平移__________个单位长度(　 　)
A．右　 B．左　
C．右　 D．左　
(2) (2022·全国甲卷)将函数f(x)=sin(ω＞0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　 　)
A． B．
C． D．
对y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移，还是先伸缩，只要平移
|φ|个单位长度，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|．
2．注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移．
变式 3　(1) (2025·济宁一模)将函数f(x)=2cos的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为g(x)=(　 　)
A．2cos B．2cos
C．2cos D．－2cos
(2) (2021·全国乙卷)把函数y=f(x)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y=sin的图象，则f(x)=(　 　)
A．sin B．sin
C．sin D．sin
配套热练
1．(2025·南京二模)把函数y=cos x图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数y=f(x)的图象，则f(x)=(　 　)
A．cos B．cos
C．cos D．cos
2．(2025·安庆二模)若将函数f(x)=sin 2x＋cos 2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于原点成中心对称，则φ的最小正值是(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2025·佛山三模)将函数f(x)=4cos的图象向右平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的是(　 　)
A．g(x)是奇函数
B．g(x)的图象关于直线x=对称
C．g(x)在上的值域为[－2，4]
D．g(x)在上单调递增
4．(2026·嘉兴期初)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)的最小正周期为T，若f(T)=，则cos(x＋3φ)＋cos(2x－6φ)的最小值为(　 　)
A．－2 B．－
C．0 D．
5．(2025·鹰潭二模)(多选)已知函数f(x)=Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则下列说法正确的是(　 　)
A．f(x)在上单调递增
B．f(x)图象的一个对称中心为
C．当函数f(x)取得最大值时，x=＋2kπ，k∈Z
D．将f(x)的图象向左平移个单位长度后，可得到一个偶函数的图象
6．(2024·新高考Ⅱ卷)(多选)对于函数f(x)=sin 2x和g(x)=sin，下列结论正确的有(　 　)
A．f(x)与g(x)有相同的零点
B．f(x)与g(x)有相同的最大值
C．f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D．f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
7．(2025·武汉2月调研)(多选)已知函数f(x)=sin2＋sin2，则下列关于f(x)的说法中正确的是(　 　)
A．最小正周期是π
B．最大值是2
C．是区间上的减函数
D．图象关于点中心对称
8．(2025·景德镇三模)已知函数f(x)=3sin－1(ω＞0)的最小正周期为π，将f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)在区间上的值域为　 ．
9．(2023·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=sin(ωx＋φ)，如图，A，B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=，则f(π)=　 ．
10．(人A必一P255T21)已知函数f(x)=sin＋sin＋cos x＋a的最大值为1.
(1) 求常数a的值；
(2) 求函数f(x)的单调递减区间；
(3) 求使f(x)≥0成立的x的取值集合．
11．(2025·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x＋φ)(0≤φ＜π)，f(0)=．
(1) 求φ；
(2) 设函数g(x)=f(x)＋f，求g(x)的值域和单调区间．

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