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第4讲　正弦定理、余弦定理
1.(2025·全国Ⅱ卷，T5)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于(　　)
A.45° B.60° C.120° D.135°
答案　A
解析　方法一　由余弦定理得cos A=
==
又0°方法二　由题意得BC所以A<60°，结合选项可知A正确.
2.(2023·全国乙卷，文T4)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B-bcos A=c，且C=，则B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意结合正弦定理可得
sin Acos B-sin Bcos A=sin C，
即sin Acos B-sin Bcos A=sin(A+B)
=sin Acos B+sin Bcos A，
整理可得sin Bcos A=0，
由于B∈(0，π)，故sin B>0，
据此可得cos A=0，A=
则B=π-A-C=π--=.
3.(2021·全国甲卷，理T8)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373 C.446 D.473
答案　B
解析　如图所示，根据题意过C作CE∥C'B'，交BB'于E，过B作BD∥A'B'，交AA'于D，则BE=100，C'B'=CE=.在△A'B'C'中，
∠C'A'B'=75°，则BD=A'B'=.又在B点处测得A点的仰角为45°，所以AD=BD=所以高度差AA'-CC'=AD+BE=+100=+100=+100=+100=100(+1)+100≈373.
4.(2024·新课标Ⅰ卷，T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+，求c.
解　(1)由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C，
因为a2+b2-c2=ab，
所以cos C=
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C===
又因为sin C=cos B，
即cos B=
又B∈(0，π)，所以B=.
(2)由(1)可得B=cos C=C∈(0，π)，
从而C=sin A=sin(B+C)=sin
=×+×=.
方法一　由正弦定理有=
从而b=·c=c，
由三角形面积公式可知，
△ABC的面积可表示为S△ABC=bc·sin A
=·c·c·=c2，
由已知△ABC的面积为3+
可得c2=3+所以c=2.
方法二　记R为△ABC外接圆的半径，
由正弦定理得
S△ABC=ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C
=2R2···
=·R2=3+.
所以R=2.
所以c=2R·sin C=2×2×=2.
5.(2025·北京，T16)在△ABC中，cos A=-，asin C=4.
(1)求c；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高.
①a=6；②bsin C=；③△ABC面积为10.
解　(1)因为cos A=-A∈(0，π)，所以sin A==
由正弦定理有asin C=csin A=c=4解得c=6.
(2)如图所示，设在△ABC中，BC边上的高为AD，
若选①，a=6，因为c=6，所以C=A，因为cos∠CAB=-<0，则<∠CAB<π，此时△ABC有两个钝角，
而这是不可能的，所以△ABC不存在，故不能选①.
若选②，bsin C=由正弦定理有bsin C=csin B=6sin B=解得sin B=
因为cos∠CAB=-<0，所以cos B>0，所以cos B===AD=csin B=6×=
此时△ABC存在且唯一确定，且BC边上的高AD=.若选③，△ABC的面积是10则S△ABC=bcsin∠CAB=b×6×=10
解得b=5，
由余弦定理可得
a=
==9，
此时△ABC存在且唯一确定，又S△ABC=a·AD=AD=10所以AD=.
命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有考查.分值约为5~13分.
考查方向：一是考查正弦定理与余弦定理，利用正弦、余弦定理解三角形；二是考查利用正、余弦定理解决平面几何问题，将已知条件转化到三角形中，根据条件类型选择解题依据求解；三是考查解三角形在生活实际中的应用，涉及求距离、高度、角度等问题.
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
1.正弦定理：在△ABC中===2R(R为△ABC的外接圆半径).
2.余弦定理：在△ABC中，a2=b2+c2-2bccos A，
b2=a2+c2-2accos B，c2=a2+b2-2abcos C.
3.三角形的面积公式：S=absin C=acsin B=bcsin A.
例1　(1)(2025·抚州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2asin Ccos A=csin 2B，则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
答案　D
解析　根据正弦定理可得2sin Asin Ccos A=sin Csin 2B.
因为sin C>0，所以sin 2A=sin 2B.
所以2A=2B或2A=π-2B，
即A=B或A+B=.
所以△ABC为等腰三角形或直角三角形.
(2)(2025·岳阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a-c=3bcos C.
①求sin B；
②若△ABC的面积为a+c=b，求△ABC的周长.
解　①由3a-c=3bcos C和正弦定理可得，3sin A-sin C=3sin Bcos C，
因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，代入化简得sin C(3cos B-1)=0，
因为00，故cos B=
因为0②因为△ABC的面积为acsin B=ac=解得ac=3，
由余弦定理得，b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-8，
因为a+c=b，代入解得b=2，则a+c=2
故△ABC的周长为2+2.
[规律方法]　三角形边角转化的主要策略
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.
跟踪演练1　(2025·包头模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(2-cos B)=b(1+cos A).
(1)证明：b+c=2a；
(2)若△ABC的面积为bc，求角A的值并判断△ABC的形状.
(1)证明　因为a(2-cos B)=b(1+cos A)，
所以由正弦定理得sin A(2-cos B)=sin B(1+cos A)，
即2sin A-sin Acos B=sin B+sin Bcos A，
所以2sin A=sin B+sin Acos B+cos Asin B，
所以2sin A=sin B+sin(A+B)，
所以2sin A=sin B+sin C，
由正弦定理得2a=b+c.
(2)解　因为bcsin A=bc，
所以sin A=
因为2a=b+c，所以A为锐角，所以A=.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+c2-bc，
又a=代入化简得(b-c)2=0 b=c，
所以a=b=c，
所以△ABC为等边三角形.
考点二　正弦、余弦定理在几何中的应用
正、余弦定理在多边形中的应用，关键在于把所要求的边或角转化到三角形中，利用正弦或余弦定理求边长或角度.
例2　如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=∠ABC=cos∠ACD=.
(1)求∠BAC的值；
(2)求CD的长.
解　(1)在△ABC中，AB=1，AC=∠ABC=由余弦定理可得3=AB2+BC2-2AB·BCcos=1+BC2-2×1×BC×
整理可得BC2+BC-2=0，
因为BC>0，解得BC=1，则BC=AB=1，
故△ABC为等腰三角形，
故∠BAC==.
(2)由(1)知，∠BAC=
又因为AB⊥AD，则∠CAD=-=
因为cos∠ACD=则∠ACD为锐角，
且sin∠ACD===
所以sin∠ADC=sin(∠CAD+∠ACD)=sin∠CADcos∠ACD+cos∠CADsin∠ACD
=×+×=
在△ACD中，由正弦定理=
可得CD===.
[规律方法]　解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识(相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等)与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
跟踪演练2　(1)(2025·白银模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2=b2-ac，且AB边上的高等于AB，则sin C等于(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　由题意得cos B==-sin B=.
设CD⊥AB，垂足为D，易知点D在AB的延长线上，如图所示，
不妨设BC=5，则CD=3，BD=4，则AB=2，AD=6，AC==3
由=
解得sin C==.
(2)(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠ABC=D在边AC上，且BD平分∠ABC，若AD=4，CD=2，则下列结论正确的是(　　)
A.=2
B.AB=4
C.△ABC的面积为
D.BD=
答案　ACD
解析　△ABC中，BD平分∠ABC，由角平分线定理知===2，故A正确；
令BC=t，AB=2t(t>0)，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC，
即36=4t2+t2-2·2t·t·cos解得t=
所以BC=AB=故B错误；
又S△ABC=·2t·tsin=故C正确；
对于D，由S△ABC=S△ABD+S△DBC，得·2t·t·sin=·2t·BDsin+·t·BDsin
解得BD=t，所以BD=×=故D正确.
考点三　正弦、余弦定理在生活实际中的应用
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
例3　(1)(2025·温州模拟)一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°方向，距离为6海里，灯塔C在A的北偏东60°方向，距离为6海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的(　　)
A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向
答案　D
解析　如图，由题意，在△ABD中，∠DAB=60°，AB=6，∠ADB=60°，
则△ABD为正三角形，则AD=6，
在△ACD中，因为AC=6∠CAD=30°，
由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC×AD×cos 30°=(6)2+62-2×6×6×=36，
所以CD=6，故∠CDA=120°，
此时灯塔C位于渔船的北偏东30°方向.
(2)(2025·昆明模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30 m，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB=60°，则塔高AB约为(≈1.414)(　　)
A.30.42 m B.42.42 m
C.50.42 m D.60.42 m
答案　B
解析　由题意，在△BCD中，∠CBD=180°-75°-45°=60°，
由正弦定理可知= = BC=10.
在△ABC中，易知AB⊥BC，∠ACB=60°，
于是AB=BC×tan 60°=10×=30≈42.42.
[规律方法]　解三角形实际问题的步骤
跟踪演练3　(2025·江西省上进联考阶段性检测)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　)
A. m B. m
C. m D. m
答案　D
解析　由题意可得CD=t m，∠DAC=β，∠BDA=α+β，
则在Rt△ADC中，AD=
在△ABD中，∠ABD=-α，
由正弦定理得=即=
所以AB==(m).
专题突破练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=6，b=2cos C=则sin B等于(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　在△ABC中，由a=6，b=2cos C=及余弦定理得c==2又sin C==
所以由正弦定理得sin B===.
2.(2025·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=3，2acos C+2ccos A=3a，则a等于(　　)
A.2 B.3 C. D.
答案　A
解析　因为2acos C+2ccos A=3a，
由正弦定理，可得2sin Acos C+2sin Ccos A=3sin A，所以2sin(A+C)=3sin A，
又因为A+C=π-B，所以sin(A+C)=sin B，所以2sin B=3sin A，
又由正弦定理，可得2b=3a，即a=b，
因为b=3，所以a=2.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，b2，c2成等差数列，且△ABC的面积为则tan B等于(　　)
A. B.2 C. D.
答案　C
解析　若a2，b2，c2成等差数列，
则a2+c2=2b2，
在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，
则accos B=①
S△ABC=acsin B=则acsin B=②
由②÷①得tan B=.
4.(2025·石家庄模拟)如图，在△ABC中，已知∠CBA=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB等于(　　)
A.4 B.5 C.2 D.
答案　D
解析　在△ACD中，由余弦定理得cos C===
又因为C∈(0，π)，所以sin C==
在△ABC中，由正弦定理得=即=解得AB=.
5.(2025·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos(A-B)-cos(A+B)=且ab=则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A. B.π C.2π D.4π
答案　B
解析　由cos(A-B)-cos(A+B)=
得cos Acos B+sin Asin B-cos Acos B+sin Asin B=
所以sin Asin B=.
又因为ab=结合正弦定理==2R(其中R为△ABC的外接圆的半径)，
所以ab=4R2sin Asin B=R2=解得R2=1，
则△ABC的外接圆的面积为πR2=π.
6.(2025·成都期末)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，在A点测得M在A的南偏东15°的方向上，N在A的南偏东60°的方向上，在B点测得M在B的南偏西45°的方向上，N在B的南偏东30°的方向上，且AB=2 km，则MN等于(　　)
A. km B. km
C. km D. km
答案　C
解析　由题可知，∠BAN=30°，∠MAB=75°，∠MBA=45°，∠ABN=120°，∠MAN=45°，
所以∠AMB=60°，
所以在△ANB中，BN=AB=2，AN==2
在△AMB中= AM=
在△AMN中，MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN= MN=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·绥化模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于下列判断，其中正确的是(　　)
A.若A>B，则sin A>sin B
B.若sin2A+sin2BC.若b=8，c=10，B=则符合条件的△ABC有两个
D.若a-ccos B=acos C，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
答案　ABD
解析　对于A，若A>B，可得a>b，由正弦定理可得sin A>sin B，∴A正确；
对于B，若sin2A+sin2B则cos C=<0，∴C∈∴△ABC是钝角三角形，∴B正确；
对于C，∵sin C==>1，∴符合条件的△ABC有0个，∴C不正确；
对于D，∵a-ccos B=acos C，a=ccos B+bcos C，
∴ccos B+bcos C-ccos B=acos C，
∴bcos C=acos C，
∴(b-a)cos C=0，∴b=a或cos C=0，
若cos C=0，C∈(0，π)，则C=
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形，故D正确.
8.(2025·南宁模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos A=acos C+ccos A，b=4，边BC上的中线AD=则下列结论正确的有(　　)
A.A=
B.·=8
C.△ABC的面积为2
D.△ABC的外接圆的面积为4π
答案　ACD
解析　因为2bcos A=acos C+ccos A，
根据正弦定理得，2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A，即2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B，
因为B∈(0，π)，则sin B>0，
所以cos A=又A∈(0，π)，所以A=故A正确；
因为AD为边BC上的中线，所以=+)，则||2=(||2+||2+2||||cos A)，
即7=(||2+16+4||)，解得AB=2或AB=-6(舍去)，
所以·=||||cos A=2×4×=4，故B错误；
S△ABC=AB·ACsin A=×2×4×=2故C正确；
根据余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A
=4+16-2×2×4×=12，解得BC=2
设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理得==4=2R，解得R=2，
所以△ABC的外接圆的面积为πR2=4π，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，c2+9=a2+3c，则A=　　　　.
答案　
解析　由b=3及c2+9=a2+3c，得b2+c2-a2=bc，
由余弦定理，得cos A===
因为010.(2025·乐山期末)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°=2-AB=10米，则该建筑的高度OP=　　　　米.
答案　5
解析　设OP=x，则可得OA=x，OB=x，OC=x，
由=2-可得+=2即B是AC的中点，所以AB=BC=10，
而∠OBA+∠OBC=π，则cos∠OBA+cos∠OBC=0，
在△ABO，△CBO中，由余弦定理可得+=0，
解得x=5所以该建筑的高度OP=5米.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·邵阳模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcos C+bsin C=a+c.
(1)求B的大小；(7分)
(2)若b=则△ABC的面积为求a，c.(6分)
解　(1)由正弦定理，得sin Bcos C+sin Bsin C=sin A+sin C，①
∵A+B+C=π，
∴sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C，
∴①式可化为(sin B-cos B)sin C=sin C，
∵sin C≠0，∴sin B-cos B=.
从而2sin=
∴sin=
∵0∴-∴B=或.
(2)∵②
∴由(1)得，当B=时，②的解为或
当B=时，②式无解.
综上，a=2，c=或a=c=2.
12.(15分)在平面四边形ABCD中，AB=BC=∠ABC=120°，AC⊥CD且AC=CD.
(1)求AD的长；(6分)
(2)若M为CD的中点，求cos∠AMB.(9分)
解　(1)在△ABC中，AB=BC=∠ABC=120°，
所以由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC=3+3+2×3×=9，
所以AC=3，又AC=CD，所以CD=
又AC⊥CD，所以AD==2.
(2)在△ABC中，∠ABC=120°，AB=BC，所以∠BAC=∠ACB=30°，
所以∠BCD=30°+90°=120°，
所以在△BCM中，M为CD的中点，所以MC=BC=∠BCM=120°，
所以由余弦定理得BM2=BC2+CM2-2BC·CMcos∠BCM=3++2×××=
所以BM=
在△ADM中，∠ADC=60°，AD=2DM=
所以由余弦定理得AM2=AD2+DM2-2AD·DMcos∠ADM=12+-2×2××=
所以AM=
所以在△AMB中，由余弦定理得cos∠AMB===.第4讲　正弦定理、余弦定理
1.(2025·全国Ⅱ卷，T5)在△ABC中，BC=2，AC=1+，AB=，则A等于(　　)
A.45° B.60° C.120° D.135°
2.(2023·全国乙卷，文T4)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acos B-bcos A=c，且C=，则B等于(　　)
A. B. C. D.
3.(2021·全国甲卷，理T8)2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'=45°，∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(≈1.732)(　　)
A.346 B.373 C.446 D.473
4.(2024·新课标Ⅰ卷，T15)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab.
(1)求B；
(2)若△ABC的面积为3+，求c.
5.(2025·北京，T16)在△ABC中，cos A=-，asin C=4.
(1)求c；
(2)在以下三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在，求BC的高.
①a=6；②bsin C=；③△ABC面积为10.
命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中低档题目，三种题型都有考查.分值约为5~13分.
考查方向：一是考查正弦定理与余弦定理，利用正弦、余弦定理解三角形；二是考查利用正、余弦定理解决平面几何问题，将已知条件转化到三角形中，根据条件类型选择解题依据求解；三是考查解三角形在生活实际中的应用，涉及求距离、高度、角度等问题.
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
1.正弦定理：在△ABC中===2R(R为△ABC的外接圆半径).
2.余弦定理：在△ABC中，a2=b2+c2-2bccos A，
b2=a2+c2-2accos B，c2=a2+b2-2abcos C.
3.三角形的面积公式：S=absin C=acsin B=bcsin A.
例1　(1)(2025·抚州模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2asin Ccos A=csin 2B，则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形
B.等腰三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
(2)(2025·岳阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a-c=3bcos C.
①求sin B；
②若△ABC的面积为a+c=b，求△ABC的周长.
[规律方法]　三角形边角转化的主要策略
(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.
跟踪演练1　(2025·包头模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(2-cos B)=b(1+cos A).
(1)证明：b+c=2a；
(2)若△ABC的面积为bc，求角A的值并判断△ABC的形状.
考点二　正弦、余弦定理在几何中的应用
正、余弦定理在多边形中的应用，关键在于把所要求的边或角转化到三角形中，利用正弦或余弦定理求边长或角度.
例2　如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，AB=1，AC=∠ABC=cos∠ACD=.
(1)求∠BAC的值；
(2)求CD的长.
[规律方法]　解决与平面几何有关的问题时，要把平面几何中的一些知识(相似三角形的边角关系、平行四边形的性质等)与正弦、余弦定理有机结合，才能顺利解决问题.
跟踪演练2　(1)(2025·白银模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2+c2=b2-ac，且AB边上的高等于AB，则sin C等于(　　)
A. B.
C. D.
(2)(多选)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且∠ABC=D在边AC上，且BD平分∠ABC，若AD=4，CD=2，则下列结论正确的是(　　)
A.=2
B.AB=4
C.△ABC的面积为
D.BD=
考点三　正弦、余弦定理在生活实际中的应用
解三角形应用题的常考类型
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.
例3　(1)(2025·温州模拟)一艘渔船航行到A处时看灯塔B在A的南偏东30°方向，距离为6海里，灯塔C在A的北偏东60°方向，距离为6海里，该渔船由A沿正东方向继续航行到D处时再看灯塔B在其南偏西30°方向，则此时灯塔C位于渔船的(　　)
A.北偏东60°方向 B.北偏西30°方向
C.北偏西60°方向 D.北偏东30°方向
(2)(2025·昆明模拟)如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=75°，∠BDC=45°，CD=30 m，在点C测得塔顶A的仰角∠ACB=60°，则塔高AB约为(≈1.414)(　　)
A.30.42 m B.42.42 m
C.50.42 m D.60.42 m
[规律方法]　解三角形实际问题的步骤
跟踪演练3　(2025·江西省上进联考阶段性检测)南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度(两座双子塔的高度相同)，在地面上选择了一座高为t m的大楼CD，在大楼顶部D处测得双子塔顶部B的仰角为α，底部A的俯角为β，则双子塔的高度为(　　)
A. m B. m
C. m D. m
专题突破练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2025·贵阳模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=6，b=2cos C=则sin B等于(　　)
A. B. C. D.
2.(2025·南昌模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若b=3，2acos C+2ccos A=3a，则a等于(　　)
A.2 B.3 C. D.
3.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，b2，c2成等差数列，且△ABC的面积为则tan B等于(　　)
A. B.2 C. D.
4.(2025·石家庄模拟)如图，在△ABC中，已知∠CBA=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3，则AB等于(　　)
A.4 B.5 C.2 D.
5.(2025·哈尔滨模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cos(A-B)-cos(A+B)=且ab=则△ABC的外接圆的面积为(　　)
A. B.π C.2π D.4π
6.(2025·成都期末)如图，为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内，在A点测得M在A的南偏东15°的方向上，N在A的南偏东60°的方向上，在B点测得M在B的南偏西45°的方向上，N在B的南偏东30°的方向上，且AB=2 km，则MN等于(　　)
A. km B. km
C. km D. km
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·绥化模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，对于下列判断，其中正确的是(　　)
A.若A>B，则sin A>sin B
B.若sin2A+sin2BC.若b=8，c=10，B=则符合条件的△ABC有两个
D.若a-ccos B=acos C，则△ABC为等腰三角形或直角三角形
8.(2025·南宁模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos A=acos C+ccos A，b=4，边BC上的中线AD=则下列结论正确的有(　　)
A.A=
B.·=8
C.△ABC的面积为2
D.△ABC的外接圆的面积为4π
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·枣庄模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=3，c2+9=a2+3c，则A=　　　　.
10.(2025·乐山期末)某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度OP，选取了在同一水平面上的A，B，C三处，如图.已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为30°，45°，60°=2-AB=10米，则该建筑的高度OP=　　　　米.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·邵阳模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且bcos C+bsin C=a+c.
(1)求B的大小；(7分)
(2)若b=则△ABC的面积为求a，c.(6分)
12.(15分)在平面四边形ABCD中，AB=BC=∠ABC=120°，AC⊥CD且AC=CD.
(1)求AD的长；(6分)
(2)若M为CD的中点，求cos∠AMB.(9分)

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