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第5讲　解三角形中的范围与最值问题
1.(2020·全国Ⅱ卷，理T17)在△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.
解　(1)由正弦定理和已知条件得
BC2-AC2-AB2=AC·AB.①
由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos A.②
由①②得cos A=-.
因为0(2)由正弦定理及(1)得===2
从而AC=2sin B，
AB=2sin(π-A-B)=3cos B-sin B.
故BC+AC+AB=3+sin B+3cos B
=3+2sin.
又0所以当B=时，△ABC的周长取得最大值，为3+2.
2.(2020·浙江，T18)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsin A-a=0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
解　(1)∵2bsin A=a，
∴2sin Bsin A=sin A，
∵sin A≠0，
∴sin B=
又∵△ABC为锐角三角形，
∴B=.
(2)∵△ABC为锐角三角形，B=
∴C=-A，
∴cos A+cos B+cos C=cos A+cos+cos=cos A-cos A+sin A+
=cos A+sin A+
=sin+
∵△ABC为锐角三角形，0∴∴∴∴+∴cos A+cos B+cos C的取值范围为.
3.(2019·全国Ⅲ卷，理T18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin =bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
解　(1)由题设及正弦定理，
得sin Asin=sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin =sin B.
由A+B+C=180°，可得sin =cos
故cos =2sin cos .
因为cos ≠0，故sin =因此B=60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=a.
由正弦定理，得a===+.
由于△ABC为锐角三角形，故0°从而因此，△ABC面积的取值范围是.
4.(2022·新高考全国Ⅰ卷，T18)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=.
(1)若C=，求B；
(2)求的最小值.
解　(1)因为=
所以=
所以=
所以cos Acos B=sin B+sin Asin B，
所以cos(A+B)=sin B，
所以sin B=-cos C=-cos =.
因为B∈所以B=.
(2)由(1)得cos(A+B)=sin B，
所以sin=sin B，
且0所以0所以-(A+B)=B，解得A=-2B，
由正弦定理得=
==
==
==4cos2B+-5
≥2-5=4-5，当且仅当cos2B=时取等号，
所以的最小值为4-5.
命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有考查，分值约为5~15分.
考查方向：一是利用基本不等式求最值(范围)；二是利用三角函数的性质求最值(范围)；三是转化为其他函数(如二次函数、三次函数、对勾函数等)求最值(范围).
考点一 　利用基本不等式求最值(范围)
常见不等式及其变形
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a=b时，等号成立.
(2)a+b≥2 (a>0，b>0)，当且仅当a=b时，等号成立.
(3)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a=b时，等号成立.
(4)≤≤(a>0，b>0)，当且仅当a=b时，等号成立.
例1　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(c-a)sin A=csin C-bsin B，b=3，则下列选项错误的是(　　)
A.B=
B.△ABC周长的取值范围是(6，9]
C.△ABC面积的最大值为
D.AC边上的中线长度的最大值为
答案　C
解析　(c-a)sin A=csin C-bsin B，由正弦定理可得(c-a)a=c2-b2，
即a2+c2-b2=ac，则cos B=
又因为B∈(0，π)，所以B=A正确；
又b=3，所以a2+c2-9=ac，所以(a+c)2-9=3ac≤3
解得(a+c)2≤36，则0又a+c>b=3，所以3所以△ABC周长的取值范围是(6，9]，B正确；
由a2+c2-9=ac，得ac+9=a2+c2≥2ac，即ac≤9，当且仅当a=c=3时等号成立，
所以S△ABC=acsin B=ac≤×9=故△ABC面积的最大值为C错误；
设AC边上的中线为BD，则=+)，
故====≤=
当且仅当a=c=3时等号成立，所以AC边上的中线长度的最大值为D正确.
[规律方法]　求解三角形中面积和周长的最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积的最值时，S=bcsin A，即求bc的最值，在等量关系中利用重要不等式b2+c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a+b+c的最值时，即求b+c的最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b+c)2-2bc，再利用基本不等式bc≤即可求得b+c的最值.
跟踪演练1　(2025·海口模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=.
(1)证明：c=2b；
(2)当角B最大时，求角A的大小.
(1)证明　因为c=
所以c-ccos A=b+acos C，
由正弦定理得sin C-sin Ccos A=sin B+sin Acos C，
即sin C=sin B+sin Acos C+sin Ccos A=sin B+sin(A+C)=2sin B，
由正弦定理得 c=2b.
(2)解　由余弦定理得cos B====+≥2=
当且仅当=即c=a=2b时等号成立，此时B取到最大值.
当角B最大，即B=时，c>a>b，所以A∈又因为a=b，由正弦定理得sin A=sin B=
所以A=.
考点二　转化为三角函数求最值(范围)
例2　(2025·南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos=ccos B.
(1)求角B；
(2)若△ABC是锐角三角形，且c=4，求a的取值范围.
解　(1)因为bcos=ccos B，由正弦定理可得sin Bsin C=cos Bsin C，
因为B，C∈(0，π)，则sin C>0，所以sin B=cos B>0，
则有tan B=故B=.
(2)由正弦定理=
得a====2+.
因为△ABC为锐角三角形，则
所以所以tan C>则0<<
所以2<2+<8，即a的取值范围是(2，8).
[规律方法]　利用正弦定理、余弦定理把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
跟踪演练2　已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=.
(1)求A的大小；
(2)若a=6，求b+c的取值范围.
解　(1)根据=
由正弦定理得=
整理得sin A=cos A，
即tan A=
又A∈(0，π)，所以A=.
(2)因为====4
所以b=4sin B，c=4sin C，
又A+B+C=π，所以C=-B，
所以b+c=4sin B+4sin C
=4
=4
=4
=12sin
因为△ABC为锐角三角形，且A=C=-B，
所以
解得则所以所以6<12sin≤12，
当且仅当B=时，等号成立，
所以b+c的取值范围是(612].
考点三　转化为其他函数求最值(范围)
例3　(2025·成都模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1，b=2，则A的取值范围是　　　　.
答案　
解析　根据三角形三边关系可得|a-b|又cos A===
因为函数y=+x在(1)上单调递减，在(3)上单调递增，
所以当c=时=+=2
又1+=4，3+=4，所以2≤c+<4，
所以≤cos A<1，又A∈(0，π)，
所以0[规律方法]　解决此类题目，一是利用正、余弦定理转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪演练3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.
(1)求角B的大小；
(2)若a+c=1，求b的最小值.
解　(1)∵cos C+(cos A-sin A)cos B=0，
∴-cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0，
化简得sin Asin B-sin Acos B=0，
∵A，B∈(0，π)，则sin A>0，∴tan B=∴B=.
(2)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B，
∴b2=a2+c2-ac，
又a+c=1，∴c=1-a，且a∈(0，1)，
故b2=a2+(1-a)2-a(1-a)=3a2-3a+1
=3+.
∵0∴b的最小值为.
专题突破练
[分值：70分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=则b的取值范围是(　　)
A.(0，6] B.(0，2]
C.(0，3] D.(0]
答案　A
解析　由正弦定理可得==6，则b=6sin B，
由于B∈所以sin B∈(0，1]，故b的取值范围为(0，6].
2.(2025·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2B=的三角形有两个，则b的取值范围为(　　)
A.(0，2) B.(24)
C.(2，4) D.(2，2)
答案　D
解析　在△ABC中，a=2B=
由△ABC有两解，得
即解得2所以b的取值范围为(2，2).
3.(2025·武汉模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
答案　D
解析　由题意得，S△ABC=S△ABD+S△CBD，
即acsin 120°=a·BDsin 60°+c·BDsin 60°，
所以ac=a+c，得+=1，a>0，c>0，
得4a+c=(4a+c)=4+++1≥5+2=9，
当且仅当=即c=3，a=时，等号成立，所以4a+c的最小值为9.
4.已知在锐角△ABC中，AB=2C=则AB边上的高的取值范围为(　　)
A.(0，3] B.(0，3) C.(2，3] D.(2，3)
答案　C
解析　设AB边上的高为h，因为△ABC为锐角三角形，C=
所以
解得记在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则c=AB=2
由正弦定理可得====4，
所以a=4sin A，b=4sin B，
因为S△ABC=ch=absin
所以h==4sin Asin=4sin A
=2sin Acos A+2sin2A=sin 2A+1-cos 2A=2sin+1，
因为所以2<2sin+1≤3，所以AB边上的高的取值范围为(2，3].
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.若某锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值不可能为(　　)
A. B.2 C. D.
答案　ACD
解析　由题意可得解得6.(2025·毕节模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=(a+b)(sin B-sin A)=c(sin B-sin C)，则(　　)
A.A=
B.△ABC的周长的最大值为3
C.当b最大时，△ABC的面积为
D.b-c的取值范围为(-)
答案　BCD
解析　对于A选项，因为(a+b)(sin B-sin A)=c(sin B-sin C)，
由正弦定理可得(a+b)(b-a)=c(b-c)，整理可得b2+c2-a2=bc，
由余弦定理可得cos A==
因为A∈(0，π)，故A=A错误；
对于B选项，因为a=由余弦定理得a2=3=b2+c2-2bccos A
=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc≥(b+c)2-=即b+c≤2
当且仅当b=c=时，等号成立，故△ABC的周长为a+b+c≤3
即△ABC的周长的最大值为3B正确；
对于C选项，由正弦定理可得===2，则b=2sin B≤2，
当且仅当B=时，b取得最大值2，此时c===1，S△ABC=ac=C正确；
对于D选项，由正弦定理可得====2，则b=2sin B，c=2sin C，
所以b-c=2sin B-2sin C=2sin B-2sin(B+A)=2sin B-2
=sin B-cos B=2sin
因为A=则0所以b-c的取值范围为(-)，D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B+sin C=2sin A，则A的最大值为　　　　.
答案　
解析　因为sin B+sin C=2sin A，则由正弦定理得b+c=2a.
则cos A===≥=
当且仅当b=c时，等号成立，
又A∈(0，π)，所以A的最大值为.
8.(2025·张家口模拟)已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，4S=a2+b2-c2，则的取值范围为　　　　.
答案　
解析　由4S=a2+b2-c2，
得2absin C=a2+b2-c2，所以sin C==cos C，
所以tan C=1，又C∈所以C=
由正弦定理得====·+
由得所以tan B∈(1，+∞)，所以∈(0，1)，
所以·+∈即的取值范围为.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2025·湛江模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足=a.
(1)求角B的大小；(6分)
(2)若b=求△ABC面积的最大值.(7分)
解　(1)由正弦定理得=sin A，即sin Bsin A=sin A(1+cos B)，
因为00，
所以sin B=1+cos B，所以sin=
又因为-所以B-=即B=.
(2)由余弦定理得，
cos B==代入b=得，a2+c2=3+ac，根据基本不等式a2+c2≥2ac，得ac≤3，当且仅当a=c=时，等号成立，
又△ABC的面积为acsin B=ac≤故△ABC面积的最大值为.
10.(15分)(2025·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，且bcos A-cos B=1.
(1)若C=求A；(6分)
(2)若△ABC是锐角三角形，求b+c的取值范围.(9分)
解　(1)由a=1，可得bcos A-acos B=a，即sin Bcos A-sin Acos B=sin A，
∴sin(B-A)=sin A，则B-A=A或(B-A)+A=π(舍去)，∴B=2A，
当C=时，由A+B+C=π，可得A=.
(2)由正弦定理可得==
∴b=c=
∴b+c==
=
=
=2cos A+cos 2A+2cos2A
=4cos2A+2cos A-1=4-
∵△ABC是锐角三角形，
∴解得∴cos A∈
又y=4-在上单调递增，
∴b+c∈(1+2+)，
∴b+c的取值范围为(1+2+).第5讲　解三角形中的范围与最值问题
1.(2020·全国Ⅱ卷，理T17)在△ABC中，sin2A-sin2B-sin2C=sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若BC=3，求△ABC周长的最大值.
2.(2020·浙江，T18)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知2bsin A-a=0.
(1)求角B的大小；
(2)求cos A+cos B+cos C的取值范围.
3.(2019·全国Ⅲ卷，理T18)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin =bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.
4.(2022·新高考全国Ⅰ卷，T18)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知=.
(1)若C=，求B；
(2)求的最小值.
命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中高档题目，三种题型都有考查，分值约为5~15分.
考查方向：一是利用基本不等式求最值(范围)；二是利用三角函数的性质求最值(范围)；三是转化为其他函数(如二次函数、三次函数、对勾函数等)求最值(范围).
考点一 　利用基本不等式求最值(范围)
常见不等式及其变形
(1)a2+b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a=b时，等号成立.
(2)a+b≥2 (a>0，b>0)，当且仅当a=b时，等号成立.
(3)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a=b时，等号成立.
(4)≤≤(a>0，b>0)，当且仅当a=b时，等号成立.
例1　已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(c-a)sin A=csin C-bsin B，b=3，则下列选项错误的是(　　)
A.B=
B.△ABC周长的取值范围是(6，9]
C.△ABC面积的最大值为
D.AC边上的中线长度的最大值为
[规律方法]　求解三角形中面积和周长的最值问题的常用方法
在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2=b2+c2-2bccos A，即可得到“b2+c2”与“bc”的等量关系.
(1)求面积的最值时，S=bcsin A，即求bc的最值，在等量关系中利用重要不等式b2+c2≥2bc，即可求得bc的最值.
(2)求周长a+b+c的最值时，即求b+c的最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b+c)2-2bc，再利用基本不等式bc≤即可求得b+c的最值.
跟踪演练1　(2025·海口模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=.
(1)证明：c=2b；
(2)当角B最大时，求角A的大小.
考点二　转化为三角函数求最值(范围)
例2　(2025·南京模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos=ccos B.
(1)求角B；
(2)若△ABC是锐角三角形，且c=4，求a的取值范围.
[规律方法]　利用正弦定理、余弦定理把所求量转化为关于某个角的三角函数，利用三角函数的有界性、单调性，再结合角的范围确定最值或范围.要特别注意题目隐含条件的应用，如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.
跟踪演练2　已知在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且=.
(1)求A的大小；
(2)若a=6，求b+c的取值范围.
考点三　转化为其他函数求最值(范围)
例3　(2025·成都模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a=1，b=2，则A的取值范围是　　　　.
[规律方法]　解决此类题目，一是利用正、余弦定理转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解.
跟踪演练3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0.
(1)求角B的大小；
(2)若a+c=1，求b的最小值.
专题突破练
[分值：70分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=3，A=则b的取值范围是(　　)
A.(0，6] B.(0，2]
C.(0，3] D.(0]
2.(2025·秦皇岛模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a=2B=的三角形有两个，则b的取值范围为(　　)
A.(0，2) B.(24)
C.(2，4) D.(2，2)
3.(2025·武汉模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为(　　)
A.6 B.7 C.8 D.9
4.已知在锐角△ABC中，AB=2C=则AB边上的高的取值范围为(　　)
A.(0，3] B.(0，3) C.(2，3] D.(2，3)
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.若某锐角三角形的三边长分别为1，2，a，则a的取值不可能为(　　)
A. B.2 C. D.
6.(2025·毕节模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=(a+b)(sin B-sin A)=c(sin B-sin C)，则(　　)
A.A=
B.△ABC的周长的最大值为3
C.当b最大时，△ABC的面积为
D.b-c的取值范围为(-)
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B+sin C=2sin A，则A的最大值为　　　　.
8.(2025·张家口模拟)已知△ABC是锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，4S=a2+b2-c2，则的取值范围为　　　　.
四、解答题(共28分)
9.(13分)(2025·湛江模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足=a.
(1)求角B的大小；(6分)
(2)若b=求△ABC面积的最大值.(7分)
10.(15分)(2025·益阳模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=1，且bcos A-cos B=1.
(1)若C=求A；(6分)
(2)若△ABC是锐角三角形，求b+c的取值范围.(9分)

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