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第6讲　平面向量
1.(2025·全国Ⅰ卷，T6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
级数 名称 风速大小(单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
2.(2024·全国甲卷，理T9)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则(　　)
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T3)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
4.(2025·全国Ⅱ卷，T12)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　 .
5.(2025·天津，T14)在△ABC中，D为AB边的中点，==a，=b，则=　　　　(用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=　　　　.
6.(2024·天津，T14)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=DE，=λ+μ，则λ+μ=　　　　；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为　　　　.
命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值约为5分.
考查方向：一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以及平面向量的数量积，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的值求参数等；二是考查平面向量基本定理，利用基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的综合应用，根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算研究最值问题或平面图形的几何性质等.
考点一　平面向量的基本运算
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2
模 |a|= |a|=
夹角 cos θ= cos θ=
a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤
例1　(1)如图所示，在矩形ABCD中，AB=4AD=8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·的值为(　　)
A.4 B. C.16 D.27
(2)(2025·安徽皖南八校模拟)已知向量a=(2，3)，b=且(a+2b)∥a，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是　　　　　　.
[规律方法]　含有线段中点的向量问题，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，
极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
极化恒等式的三角形式：如图，M为BC的中点，
则·=-.
跟踪演练1　(1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(2，1)，若(ta+b)⊥(-2a+tb)，则实数t等于(　　)
A.1或 B.-2或
C.-1或2 D.-2或1
(2)(2025·合肥质检)已知向量e1=(1，0)，e2=(1)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
考点二　平面向量基本定理
1.平面向量共线定理及其推论
共线定理：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中a≠0，则a∥b b=λa x1y2-x2y1=0.
共线定理的推论：=λ+μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.
2.平面向量基本定理
如果e1，e2是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
例2　(1)(2025·长沙模拟)在△ABC中，D是线段BC上一点，若=λ=+则实数λ等于(　　)
A. B. C. D.
(2)(多选)(2025·沈阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2·=-1，E为CD的中点=2则(　　)
A.cos∠DAB=- B.=-
C.||= D.AF⊥BF
[规律方法]　用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
跟踪演练2　(1)(2025·武汉模拟)如图，在△ABC中=P是BN上的一点，若=m+则实数m的值为(　　)
A. B. C. D.
(2)(2025·南昌模拟)若P为△ABC所在平面内一点，且满足++=2则等于(　　)
A. B. C. D.
考点三　平面向量的最值与范围问题
1.圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为θ为参数.
2.若点P在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则可设点P的坐标为(a+rcos θ，b+rsin θ)，θ∈[0，2π).
例3　(1)(2025·巴中模拟)已知点P在圆(x-1)2+y2=1上，点A的坐标为(1)，O为坐标原点，则·的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
(2)已知e为单位向量，向量a满足a·e=3=1，则|a|的最大值为　　　　　　.
[规律方法]　(1)向量数量积的最值(范围)问题的解题策略
①形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.
②数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
(2)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2=a2转化为实数问题、数形结合、坐标法.
(3)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
跟踪演练3　(1)(2025·呼和浩特模拟)已知平面向量a，b满足=1，b=(1)，则〈a，b〉的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·衡水模拟)已知向量a=(1，1)，b=(1，-1)，若(a+λb)⊥(a+μb)且λ>0，则λ-μ的最小值为　　　　　　.
专题突破练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.在边长为2的正△ABC中·等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
2.(2025·茂名模拟)已知向量e1，e2不共线，且(2e1+λe2)∥(3e1-2e2)，则实数λ等于(　　)
A.3 B.-3 C. D.-
3.(2025·泰安模拟)已知向量a=(-3，1)，b=(-1，2)，则a-2b在b上的投影向量的坐标为(　　)
A. B.
C.(-1，2) D.(1，-2)
4.如图，在 OACB中，E是AC的中点，点F满足=3若=m+nm，n∈R，则(　　)
A.m=n= B.m=n=
C.m=n= D.m=n=
5.(2025·杭州模拟)在四边形ABCD中，若=(1，3)=(-6，2)，则该四边形的面积为(　　 )
A. B.2 C.10 D.20
6.(2025·西安模拟)已知向量a=(x，1)，b=(-3，2-x)，若a，b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为(　　)
A.∪(3，+∞) B.(-1，3)∪(3，+∞)
C. D.
7.如图，在四边形ABCD中，||=4·=12，E为AC的中点.=2则·的值为(　　)
A.0 B.12 C.2 D.6
8.(2025·泰州模拟)在等边△ABC中，AB=2，P为△ABC所在平面内的一个动点，若PC=1，则·的最大值为(　　)
A.4 B.3+2 C.2+3 D.6
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·盐城模拟)已知向量a=(-1，2)，b=(3，4)，则下列说法正确的是(　　)
A.a∥b
B.(b-a)⊥a
C.与a同向的单位向量为
D.a与b的夹角的余弦值为
10.(2025·沈阳模拟)已知等边△ABC的边长为2=λ=λ(0<λ<1)，AD交BE于点M，则下列说法正确的是(　　)
A.若λ=则=+
B.若++=0，则λ=
C.若λ=则·=-
D.若λ=则M为AD的中点
11.(2025·重庆模拟)已知O为 △ABC 内部的一点，满足++=0=2=2·=0，则(　　)
A.= B.cos∠AOB=
C.=2 D.=+
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·白银模拟)若向量a，b满足=1=2，a⊥(a+b)，则a与b的夹角为　　　　.
13.在△ABC中，D为AC上一点且满足=若P为BD上一点，且满足=λ+μλ，μ为正实数，则λμ的最大值为　　　　.
14.已知向量a，b，单位向量e，若a·e=1，b·e=2，a·b=3，则|a+b|的最小值为　　　　　. 第6讲　平面向量
1.(2025·全国Ⅰ卷，T6)帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小和方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.表格给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图所示(线段长度代表速度大小，单位：m/s)，则该时刻的真风为(　　)
级数 名称 风速大小(单位：m/s)
2 轻风 1.6~3.3
3 微风 3.4~5.4
4 和风 5.5~7.9
5 劲风 8.0~10.7
A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风
答案　A
解析　由题意及题图得，视风风速对应的向量为n=(0，2)-(3，3)=(-3，-1)，
视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，
船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反，
设真风风速对应的向量为n1，船行风风速对应的向量为n2，
∴n=n1+n2，n2=-[(3，3)-(2，0)]=(-1，-3)，
∴n1=n-n2=(-3，-1)-(-1，-3)=(-2，2)，
∴|n1|==2≈2.828，
由表格可得，该时刻的真风为轻风.
2.(2024·全国甲卷，理T9)设向量a=(x+1，x)，b=(x，2)，则(　　)
A.“x=-3”是“a⊥b”的必要条件 B.“x=-3”是“a∥b”的必要条件
C.“x=0”是“a⊥b”的充分条件 D.“x=-1+”是“a∥b”的充分条件
答案　C
解析　对A，当a⊥b时，则a·b=0，
所以x(x+1)+2x=0，
解得x=0或x=-3，
即必要性不成立，故A错误；
对C，当x=0时，a=(1，0)，b=(0，2)，
故a·b=0，所以a⊥b，
即充分性成立，故C正确；
对B，当a∥b时，2(x+1)=x2，解得x=1±
即必要性不成立，故B错误；
对D，当x=-1+时，不满足2(x+1)=x2，
所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误.
3.(2024·新课标Ⅱ卷，T3)已知向量a，b满足|a|=1，|a+2b|=2，且(b-2a)⊥b，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.1
答案　B
解析　因为(b-2a)⊥b，
所以(b-2a)·b=0，
即b2=2a·b，
又因为|a|=1，|a+2b|=2，
所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4，
从而|b|=.
4.(2025·全国Ⅱ卷，T12)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　 .
答案　
解析　a-b=(1，1-2x)，因为a⊥(a-b)，则a·(a-b)=0，则x+1-2x=0，解得x=1.
则a=(1，1)，则|a|=.
5.(2025·天津，T14)在△ABC中，D为AB边的中点，==a，=b，则=　　　　(用a，b表示)，若||=5，AE⊥CB，则·=　　　　.
答案　a+b　-15
解析　如图，因为=所以-=-)，所以=+.
因为D为线段AB的中点，所以=+=a+b；
因为||=5，AE⊥CB=a-b，所以==a2+a·b+b2=25，①
·=·(a-b)=a2+a·b-b2=0，所以a2+3a·b=4b2，②
由①②得a2+4a·b=180，
又=-=-=a-b，
所以·=·=a2+a·b-b2=
=(a2+2a·b-2a2-6a·b)=(-a2-4a·b)=×(-180)=-15.
6.(2024·天津，T14)在边长为1的正方形ABCD中，点E为线段CD的三等分点，CE=DE，=λ+μ，则λ+μ=　　　　；若F为线段BE上的动点，G为AF的中点，则·的最小值为　　　　.
答案　　-
解析　方法一　因为CE=DE，
即=
则=+=+
可得λ=μ=1，所以λ+μ=；
由题意可知==1，
·=0，
因为F为线段BE上的动点，
设=k=k+kk∈
则=+=+k
=+k
又因为G为AF的中点，
则=+=-+
=+
可得·=·
=+k
=-
又由k∈可知，
当k=1时·取到最小值为-.
方法二　以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则A(-1，0)，B(0，0)，
C(0，1)，D(-1，1)，
E
可得=(-1，0)=(0，1)，
=
因为=λ+μ=(-λ，μ)，
则所以λ+μ=；
因为点F在线段BE：y=-3x，x∈上，
设F(a，-3a)，a∈
且G为AF的中点，则G
可得=(a+1，-3a)，
=
则·=+(-3a)
=5-
且a∈
所以当a=-时，
·取到最小值为-.
命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中低档题目，主要题型为选择题或填空题.分值约为5分.
考查方向：一是考查平面向量的基本运算，主要考查线性运算(加、减、数乘、共线问题)和坐标运算以及平面向量的数量积，利用已知向量分解目标向量，根据平面向量的模与夹角求平面向量数量积或由模的值求参数等；二是考查平面向量基本定理，利用基底表示向量及向量共线求参数等；三是考查平面向量的综合应用，根据向量的几何意义或数量积的定义与坐标运算研究最值问题或平面图形的几何性质等.
考点一　平面向量的基本运算
已知非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2
模 |a|= |a|=
夹角 cos θ= cos θ=
a⊥b的充要条件 a·b=0 x1x2+y1y2=0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤
例1　(1)如图所示，在矩形ABCD中，AB=4AD=8，E，O，F为线段BD的四等分点，则·的值为(　　)
A.4 B. C.16 D.27
答案　D
解析　方法一　BD==12，
∴AO=6，E，F分别为BO，DO的中点，
·=+)·+)=·++)·+==27.
方法二　向量极化恒等式
BD==12，∴AO=6，OE=3，
∴由极化恒等式知，
·=-=36-9=27.
(2)(2025·安徽皖南八校模拟)已知向量a=(2，3)，b=且(a+2b)∥a，则向量b在向量a上的投影向量的坐标是　　　　　　.
答案　
解析　方法一　由题意知a+2b=(2+2m，6)，
因为(a+2b)∥a，
可得2×6=3(2+2m)，
解得m=1，所以b=
a·b=2×1+3×=
所以b在a上的投影向量为|b|cos〈a，b〉·=·a=×(2，3)=.
方法二　同方法一得b=
则a=2b，即a∥b，所以b在a上的投影向量为b，即所求坐标为.
[规律方法]　含有线段中点的向量问题，利用向量的极化恒等式可以快速对数量积进行转化，
极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
极化恒等式的三角形式：如图，M为BC的中点，
则·=-.
跟踪演练1　(1)(2025·杭州模拟)已知向量a=(1，-1)，b=(2，1)，若(ta+b)⊥(-2a+tb)，则实数t等于(　　)
A.1或 B.-2或
C.-1或2 D.-2或1
答案　D
解析　ta+b=(t+2，-t+1)，-2a+tb=(-2+2t，2+t)，
∵(ta+b)⊥(-2a+tb)，
∴(ta+b)·(-2a+tb)=0，
即(t+2)(-2+2t)+(-t+1)(2+t)=(t+2)(t-1)=0，∴t=-2或t=1.
(2)(2025·合肥质检)已知向量e1=(1，0)，e2=(1)，设a=4e1+e2，b=3e1-e2则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　因为e1=(1，0)，e2=(1)，
所以a=4e1+e2=(4，0)+(1)=(5)，
b=3e1-e2=(3，0)-(1)=(2，-)，
所以a·b=5×2+×(-)=7，
|a|==2|b|==设a与b的夹角为θ，
则cos θ===又θ∈[0，π]，
所以θ=即a与b的夹角为.
考点二　平面向量基本定理
1.平面向量共线定理及其推论
共线定理：设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，其中a≠0，则a∥b b=λa x1y2-x2y1=0.
共线定理的推论：=λ+μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ+μ=1.
2.平面向量基本定理
如果e1，e2是平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a=λ1e1+λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
例2　(1)(2025·长沙模拟)在△ABC中，D是线段BC上一点，若=λ=+则实数λ等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　因为=λ(0<λ<1)，所以=+=+λ=+λ(-+)=(1-λ)+λ
因为=+所以λ=.
(2)(多选)(2025·沈阳模拟)在平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2·=-1，E为CD的中点=2则(　　)
A.cos∠DAB=- B.=-
C.||= D.AF⊥BF
答案　BCD
解析　对于A，cos∠DAB=cos〈〉==-A错误；
对于B==+)=+=-=-B正确；
对于C，
||=
===C正确；
对于D·=(2+)·-)=(2--·)
=×(2×22-32+1)=0，则AF⊥BF，D正确.
[规律方法]　用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.
跟踪演练2　(1)(2025·武汉模拟)如图，在△ABC中=P是BN上的一点，若=m+则实数m的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　=故=4
=m+故=m+
因为B，P，N三点共线，故m+=1，解得m=.
(2)(2025·南昌模拟)若P为△ABC所在平面内一点，且满足++=2则等于(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　如图所示，
因为++=2=2(-)，
所以3=-=
所以与共线，且3||=||，
所以=.
考点三　平面向量的最值与范围问题
1.圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为θ为参数.
2.若点P在圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上，则可设点P的坐标为(a+rcos θ，b+rsin θ)，θ∈[0，2π).
例3　(1)(2025·巴中模拟)已知点P在圆(x-1)2+y2=1上，点A的坐标为(1)，O为坐标原点，则·的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　由题设=(0-1，0-)=(-1，-)，
设P(1+cos θ，sin θ)，θ∈[0，2π)，则=(1+cos θ-1，sin θ-)=(cos θ，sin θ-).
所以·=(-1)·cos θ+(-)·(sin θ-)=-cos θ-sin θ+3
=-2+3=-2sin+3.
因为sin∈所以-2sin∈
所以·的取值范围是.
(2)已知e为单位向量，向量a满足a·e=3=1，则|a|的最大值为　　　　　　.
答案　
解析　方法一　根据条件得(a-λe)2=|a|2+λ2|e|2-2a·eλ=λ2-6λ+|a|2=1，
则|a|2=-(λ2-6λ-1)=-(λ-3)2+10≤10，
∴|a|≤即|a|的最大值为.
方法二　设a=(x，y)，e=(1，0)，
则a·e=x=3，∴a=(3，y)，
∴λe-a=(λ-3，-y)，
又|λe-a|=1，
∴=1 y2=1-(λ-3)2，
又|a|==
∴当λ=3时，|a|max=.
[规律方法]　(1)向量数量积的最值(范围)问题的解题策略
①形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断.
②数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决.
(2)求向量模的取值范围或最值的常见方法：通过|a|2=a2转化为实数问题、数形结合、坐标法.
(3)求向量夹角的取值范围、最值，往往要将夹角与其某个三角函数值用某个变量表示，转化为求函数的最值问题，要注意变量之间的关系.
跟踪演练3　(1)(2025·呼和浩特模拟)已知平面向量a，b满足=1，b=(1)，则〈a，b〉的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　因为=1，所以(a-b)2=1，即-2a·b+=1，
因为==2，所以-4cos〈a，b〉+3=0，
所以cos〈a，b〉=≥=
因为〈a，b〉∈所以〈a，b〉的取值范围为.
(2)(2025·衡水模拟)已知向量a=(1，1)，b=(1，-1)，若(a+λb)⊥(a+μb)且λ>0，则λ-μ的最小值为　　　　　　.
答案　2
解析　由题意得，a+λb=(1+λ，1-λ)，a+μb=(1+μ，1-μ)，
因为(a+λb)⊥(a+μb)，则(a+λb)·(a+μb)=(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)
=2(1+λμ)=0，则λμ=-1，
因为λ>0，则λ-μ=λ+≥2，当且仅当λ=1时等号成立，
故λ-μ的最小值为2.
专题突破练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.在边长为2的正△ABC中·等于(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案　A
解析　·=cos(π-B)=2×2×=-2.
2.(2025·茂名模拟)已知向量e1，e2不共线，且(2e1+λe2)∥(3e1-2e2)，则实数λ等于(　　)
A.3 B.-3 C. D.-
答案　D
解析　因为向量e1，e2不共线，且(2e1+λe2)∥(3e1-2e2)，
则存在实数k，使得(2e1+λe2)=k(3e1-2e2)，即2e1+λe2=3ke1-2ke2，
所以解得
3.(2025·泰安模拟)已知向量a=(-3，1)，b=(-1，2)，则a-2b在b上的投影向量的坐标为(　　)
A. B.
C.(-1，2) D.(1，-2)
答案　D
解析　因为a-2b=(-3，1)-2(-1，2)=(-1，-3)，
则(a-2b)·b=-1×(-1)+(-3)×2=-5，
又|b|==
故a-2b在b上的投影向量的坐标为·=-(-1，2)=(1，-2).
4.如图，在 OACB中，E是AC的中点，点F满足=3若=m+nm，n∈R，则(　　)
A.m=n= B.m=n=
C.m=n= D.m=n=
答案　B
解析　在 OACB中，E是AC的中点，点F满足=3
则=+
m+n
=m+n
=+
则+m=1+n=1，所以m=n=.
5.(2025·杭州模拟)在四边形ABCD中，若=(1，3)=(-6，2)，则该四边形的面积为(　　 )
A. B.2 C.10 D.20
答案　C
解析　因为=(1，3)=(-6，2)，所以·=(1，3)·(-6，2)=-6+6=0，
所以⊥则AC⊥BD，即四边形ABCD的对角线互相垂直，
因为||=||=2
所以该四边形的面积为S=||×||=××2=10.
6.(2025·西安模拟)已知向量a=(x，1)，b=(-3，2-x)，若a，b的夹角为钝角，则实数x的取值范围为(　　)
A.∪(3，+∞) B.(-1，3)∪(3，+∞)
C. D.
答案　A
解析　因为向量a=(x，1)，b=(-3，2-x)，
所以a·b=-3x+2-x=2-4x.
因为向量a，b的夹角为钝角，所以a·b<0且a，b不反向共线，由a·b=2-4x<0，解得x>
若a，b共线，则x(2-x)+3=0，解得x=3或x=-1，
故x>且x≠3，所以实数x的取值范围为∪(3，+∞).
7.如图，在四边形ABCD中，||=4·=12，E为AC的中点.=2则·的值为(　　)
A.0 B.12 C.2 D.6
答案　A
解析　方法一　(基底法)
在△ABC中，由余弦定理得
AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos∠ABC，
∴42=BA2+BC2-2·
=BA2+BC2-2×12，∴BA2+BC2=40.
又∵·=(-)·(-)
=·
=·
=·
=--+·
=-+)+·
=-×40+×12=0.
方法二　(极化恒等式)
∵||=4，E为AC的中点，∴||=||=2，
根据极化恒等式可得
·=||2-||2=||2-4=12，
∴||=4，∴||=||=2，
∴·=·=||2-||2=4-4=0.
8.(2025·泰州模拟)在等边△ABC中，AB=2，P为△ABC所在平面内的一个动点，若PC=1，则·的最大值为(　　)
A.4 B.3+2 C.2+3 D.6
答案　B
解析　以C为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
∵PC=1，
∴点P在以C为圆心，1为半径的圆上，设P(cos α，sin α)，α∈[0，2π)，
∵△ABC为等边三角形，即AB=AC=BC=2，
∴A(2，0)，B(1)，
∴=(2-cos α，-sin α)=(1-cos α-sin α)，
∴·=(2-cos α)(1-cos α)+(-sin α)(-sin α)
=cos2α-3cos α+2+sin2α-sin α=3-(sin α+3cos α)=3-2sin
又α∈[0，2π)，则α+∈
当α+=即α=时，
(·)max=3+2.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2025·盐城模拟)已知向量a=(-1，2)，b=(3，4)，则下列说法正确的是(　　)
A.a∥b
B.(b-a)⊥a
C.与a同向的单位向量为
D.a与b的夹角的余弦值为
答案　BC
解析　因为-1×4-2×3=-10≠0，所以a和b不共线，故A错误；
b-a=(4，2)，(b-a)·a=4×(-1)+2×2=0，所以(b-a)⊥a，故B正确；
因为=所以与向量a同向的单位向量为=故C正确；
cos〈a，b〉===故D错误.
10.(2025·沈阳模拟)已知等边△ABC的边长为2=λ=λ(0<λ<1)，AD交BE于点M，则下列说法正确的是(　　)
A.若λ=则=+
B.若++=0，则λ=
C.若λ=则·=-
D.若λ=则M为AD的中点
答案　AB
解析　对于A，当λ=时=+=+-)=+故A项正确；
对于B，由++=0，知M为△ABC的重心，所以D，E分别是BC和AC的中点，
所以λ=故B项正确；
对于C，当λ=时=+=+=-=-
则·=·=-·-=-故C项错误；
对于D，当λ=时，设=k=k=k=2k+(0由B，M，E三点共线，得2k+=1，解得k=≠故D项错误.
11.(2025·重庆模拟)已知O为 △ABC 内部的一点，满足++=0=2=2·=0，则(　　)
A.= B.cos∠AOB=
C.=2 D.=+
答案　ACD
解析　由++=0 =--
又=2=2·=0，
所以==
===故A正确；
==++2·=1+5+2cos∠AOB=4，
所以cos∠AOB=-故B错误；
==
=
=
===2故C正确；
+=-)+-)
=+-=+)-
=--=-=故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·白银模拟)若向量a，b满足=1=2，a⊥(a+b)，则a与b的夹角为　　　　.
答案　
解析　由条件可知a·(a+b)=a2+a·b=1+1×2×cos〈a，b〉=0，则cos〈a，b〉=-
又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉=.
13.在△ABC中，D为AC上一点且满足=若P为BD上一点，且满足=λ+μλ，μ为正实数，则λμ的最大值为　　　　.
答案　
解析　∵λ，μ为正实数=
∴=4∴=λ+4μ
又P，B，D三点共线，∴λ+4μ=1，∴λμ=·λ·4μ≤=当且仅当λ=μ=时取等号，∴λμ的最大值为.
14.已知向量a，b，单位向量e，若a·e=1，b·e=2，a·b=3，则|a+b|的最小值为　　　　　.
答案　
解析　设e=(1，0)，a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，
由a·e=1得x1=1，由b·e=2得x2=2，
由a·b=x1x2+y1y2=3，可得y1y2=1，
则|a+b|==
=≥=
当且仅当y1=y2=1时取等号，故|a+b|的最小值为.

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