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第3讲　三角函数中ω、φ的范围问题
1.(2022·全国甲卷，文T5)将函数f(x)=sin个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.
2.(2018·全国Ⅱ卷，理T10)若f(x)=cos x-sin x在[-a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B. C. D.π
3.(2025·北京，T8)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.3
4.(2022·全国甲卷，理T11)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
5.(2019·全国Ⅲ卷，理T12)设函数f(x)=sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点.下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点；
③f(x)在.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
6.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
命题热度：本讲是高考命题的常考内容，属于中高档题，主要题型为选择题或填空题，分值为5~6分.
考查方向：主要考查由三角函数的单调性、零点、对称性、极值、最值等求ω，φ的取值范围.
考点一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围
例1　 (2025·安康模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A.(1，2] B.
C. D.
[规律方法]　若三角函数在区间[a，b]上单调递增(减)，则区间[a，b]是该函数单调递增(减)区间的子集，利用集合的包含关系即可求解.
跟踪演练1　(2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)在区间上单调，则φ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
考点二　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围
例2　(2025·盐城模拟)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在内有且仅有两条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围是　　　　　.
[规律方法]　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
跟踪演练2　已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点三　三角函数的零点与ω，φ的取值范围
例3　已知f(x)=Asin(A>0，ω>0)，若函数y=f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点，则ω的取值范围是　　　　　　.
[规律方法]　已知三角函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围.
跟踪演练3　(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)，若集合恰有3个元素，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
考点四　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
例4　(2025·巴中模拟)已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3，则ω的取值范围为　　　　　　　　.
[规律方法]　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx+φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围.
跟踪演练4　(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上的值域为[-1，2]，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
专题突破练
[分值：42分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若函数y=cos ωx(ω>0)的图象在区间上只有一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A.1<ω≤2 B.1≤ω<2
C.1<ω≤3 D.1≤ω<3
2.(2025·贵阳模拟)已知函数f(x)=sin若f(x)在区间[-a，a]上单调递增，则a的最大值为(　　)
A. B. C. D.
3.已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4.已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·重庆模拟)记函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=且f(x)≤对 x∈R恒成立，则下列说法正确的是(　　)
A.φ= B.φ=或
C.ω的最小值为3 D.ω的最小值为6
6.已知函数f(x)=cos(ω>0)在[0，π]上恰有三个零点，则(　　)
A.ω的取值范围是
B.f(x)在[0，π]上只有一个极小值点
C.f(x)在[0，π]上恰有两个极大值点
D.f(x)在上单调递增
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·大同期末)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是　　　　　　.
8.(2025·漳州模拟)已知f(x)=sin若f(x)在区间(01.(2022·全国甲卷，文T5)将函数f(x)=sin个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　记曲线C的函数解析式为g(x)，则g(x)=sin=sin.因为函数g(x)的图象关于y轴对称，所以ω+=kπ+(k∈Z)，得ω=2k+(k∈Z).因为ω>0，所以ωmin=.故选C.
2.(2018·全国Ⅱ卷，理T10)若f(x)=cos x-sin x在[-a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)
A. B. C. D.π
答案　A
解析　f(x)=cos x-sin x
=-=-sin
当x∈即x-∈时，
y=sin单调递增，
f(x)=-sin单调递减.
∵函数f(x)在[-a，a]上是减函数，
∴[-a，a]
∴0故选A.
3.(2025·北京，T8)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.3
答案　C
解析　函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ω>0)，
设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*)，
所以T==(k∈N*)，即ω=2k(k∈N*)；
又函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx+∈
所以+≥π，即ω≥3，
综上，ω的最小值为4.
4.(2022·全国甲卷，理T11)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　由题意可得ω>0，故由x∈(0，π)，得ωx+∈.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，知<πω+≤得<ω≤.
根据函数f(x)在区间(0，π)上恰有两个零点，知2π<πω+≤3π，得<ω≤.
综上，ω的取值范围为.
5.(2019·全国Ⅲ卷，理T12)设函数f(x)=sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点.下述四个结论：
①f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点；
③f(x)在.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A.①④ B.②③ C.①②③ D.①③④
答案　D
解析　如图，根据题意知，xA≤2π6.(2023·新课标Ⅰ卷，T15)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.
答案　[2，3)
解析　因为0≤x≤2π，
所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=cos ωx-1=0，
则cos ωx=1有3个根，
令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]，
结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
命题热度：本讲是高考命题的常考内容，属于中高档题，主要题型为选择题或填空题，分值为5~6分.
考查方向：主要考查由三角函数的单调性、零点、对称性、极值、最值等求ω，φ的取值范围.
考点一　三角函数的单调性与ω，φ的取值范围
例1　 (2025·安康模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A.(1，2] B.
C. D.
答案　B
解析　f(x)=sin(ω>0)，
令+2kπ≤ωx+≤+2kπ，k∈Z，
则≤x≤k∈Z，
所以f(x)在k∈Z上单调递减，
因为f(x)在区间上单调递减，所以有k∈Z，
即k∈Z，
又ω>0，所以k=0≤ω≤.
[规律方法]　若三角函数在区间[a，b]上单调递增(减)，则区间[a，b]是该函数单调递增(减)区间的子集，利用集合的包含关系即可求解.
跟踪演练1　(2025·湘潭模拟)已知函数f(x)=sin(2x+φ)在区间上单调，则φ的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　已知 x∈
令t=2x+φ，则t∈
因为|φ|<所以φ∈.
故原条件等价于已知函数y=sin t在区间上单调，而函数y=sin t在区间上单调，所以
解得 -≤φ≤
又因为φ∈故φ的取值范围为.
考点二　三角函数的对称性与ω，φ的取值范围
例2　(2025·盐城模拟)若函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)的图象在内有且仅有两条对称轴和一个对称中心，则实数ω的取值范围是　　　　　.
答案　
解析　由题意，得f(x)=sin ωx+cos ωx=sin
方法一　令ωx+=kπ+(k∈Z)，解得x=(k∈Z)，
令k=0，1，2，得x=；
令ωx+=kπ(k∈Z)，解得x=(k∈Z)，
令k=1，2，得x=.
根据题意，得
解得<ω≤.
方法二　∵x∈令t=ωx+
则t∈
由y=sin t的图象可知<+≤2π，解得<ω≤.
[规律方法]　三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围.
跟踪演练2　已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间内恰有一个极值，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为ω>0，令t=ωx+则当0由题意得y=sin t在区间内恰有一个极值，
结合函数图象，得<ω+≤解得<ω≤
所以ω的取值范围为.
考点三　三角函数的零点与ω，φ的取值范围
例3　已知f(x)=Asin(A>0，ω>0)，若函数y=f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点，则ω的取值范围是　　　　　　.
答案　
解析　当x∈[0，2π]时，ωx+∈
因为函数y=f(x)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点和1个极小值点，
所以3π≤2ωπ+<故ω的取值范围是.
[规律方法]　已知三角函数的零点求ω，φ的取值范围问题，一是利用三角函数的图象求解；二是利用解析式直接求函数的零点，进而得所求的取值范围.
跟踪演练3　(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)，若集合恰有3个元素，则实数ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　令f(x)=-1，得sin=-
则ωx-=-+2kπ或ωx-=-+2kπ(k∈Z)，
解得x=或x=(k∈Z)，
分别取k=1，2，因为ω>0，从小到大排列得x=
因为集合{x|f(x)=-1，x∈(0，π)}恰有3个元素，
所以需满足解得<ω≤4.
考点四　三角函数的最值(值域)与ω，φ的取值范围
例4　(2025·巴中模拟)已知函数f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3，则ω的取值范围为　　　　　　　　.
答案　(-∞，-3]∪[2，+∞)
解析　由题意，f(x)=3sin ωx在区间上的最小值为-3，ω≠0，
当ω>0时，-ω≤ωx≤ω -ω≤- ω≥2；
当ω<0时ω≤ωx≤-ω ω≤- ω≤-3.
则ω的取值范围为(-∞，-3]∪[2，+∞).
[规律方法]　求三角函数的最值(值域)问题，主要是整体代换ωx+φ，利用正、余弦函数的图象求解，要注意自变量的范围.
跟踪演练4　(2025·郑州模拟)已知函数f(x)=2sin(ω>0)在上的值域为[-1，2]，则ω的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　由x∈及ω>0可得ωx-∈
根据其值域为[-1，2]，且2sin=-1，
由正弦函数的图象及性质可得≤ω-≤解得≤ω≤.
专题突破练
[分值：42分]
一、单项选择题(每小题5分，共20分)
1.若函数y=cos ωx(ω>0)的图象在区间上只有一个对称中心，则ω的取值范围为(　　)
A.1<ω≤2 B.1≤ω<2
C.1<ω≤3 D.1≤ω<3
答案　A
解析　因为y=cos ωx(ω>0)的图象在区间上只有一个对称中心，令t=ωx，则t∈结合y=cos t的图象(图略)可得解得1<ω≤2.
2.(2025·贵阳模拟)已知函数f(x)=sin若f(x)在区间[-a，a]上单调递增，则a的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　令-+2kπ≤2x-≤+2kπ，k∈Z，则-+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，
因为f(x)在区间[-a，a]上单调递增，
则[-a，a]
则解得0则a的最大值为.
3.已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为x∈(0，2π)，ω>0，令z=ωx-
则z∈
画出y=2cos z+1的图象，
要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则2ωπ-∈解得ω∈.
4.已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为f(x)在(0，π)上有且仅有2个极值点，
所以2π<ωπ+≤3π，解得<ω≤
因为f(x)在上单调递增，
又 (0，π)，
所以
解得≤ω≤4，所以≤ω≤.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
5.(2025·重庆模拟)记函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0，0<φ<π)的最小正周期为T.若f(T)=且f(x)≤对 x∈R恒成立，则下列说法正确的是(　　)
A.φ= B.φ=或
C.ω的最小值为3 D.ω的最小值为6
答案　BC
解析　f(T)= sin=sin φ=φ=或故A错误，B正确；
因为f(x)≤对 x∈R恒成立，所以ω·+φ=+kπ，k∈Z，
①φ＝ ω＝3＋9k，k∈Zωmin＝3；
②φ＝ ω＝－3＋9k，k∈Zωmin＝6；
综上，ω的最小值为3，故C正确，D错误.
6.已知函数f(x)=cos(ω>0)在[0，π]上恰有三个零点，则(　　)
A.ω的取值范围是
B.f(x)在[0，π]上只有一个极小值点
C.f(x)在[0，π]上恰有两个极大值点
D.f(x)在上单调递增
答案　ABD
解析　当x∈[0，π]时，-≤ωx-≤ωπ-
由函数f(x)=cos(ω>0)在[0，π]上恰有三个零点，
可得≤ωπ-<解得≤ω<因此A正确；
由A选项分析知≤ωπ-<则当ωx-=π，即x=时，函数f(x)取得极小值，
即f(x)在[0，π]上只有一个极小值点，因此B正确；
因为ωx-∈且≤ωπ-<当ωx-=0时，0∈函数f(x)有极大值，
当ωx-=2π时，2π不一定在内，f(x)在[0，π]上不一定有两个极大值点，因此C错误；
当0因为ω<所以-<×-=-
则
而y=cos x在上单调递增，
因此f(x)在上单调递增，因此D正确.
三、填空题(每小题5分，共10分)
7.(2025·大同期末)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间内有最大值，但无最小值，则ω的取值范围是　　　　　　.
答案　
解析　因为ω>0，令t=ωx+所以当0≤x<时，有≤t<ω+因为f(x)在区间内有最大值，但无最小值，
结合函数y=sin t的图象，得<ω+≤解得<ω≤.
8.(2025·漳州模拟)已知f(x)=sin若f(x)在区间(0答案　
解析　画出函数f(x)的部分图象如图所示，
因为0因为f(x)在区间(0所以解得

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