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第3讲　解三角形
微点一　正弦定理、余弦定理
例1　(1)(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+AB=则A等于(　　)
A.45° B.60° C.120° D.135°
答案　A
解析　方法一　由余弦定理得cos A=
==
又0°方法二　由题意得BC所以A<60°，结合选项可知A正确.
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab.
①求B；
②若△ABC的面积为3+求c.
解　①由余弦定理有a2+b2-c2=2abcos C，
因为a2+b2-c2=ab，
所以cos C=
因为C∈(0，π)，所以sin C>0，
从而sin C===
又因为sin C=cos B，
即cos B=
又B∈(0，π)，所以B=.
②由①可得B=cos C=C∈(0，π)，
从而C=sin A=sin(B+C)=sin
=×+×=.
方法一　由正弦定理有=
从而b=c=c，
由三角形面积公式可知，
△ABC的面积可表示为S△ABC=bc·sin A
=c·c·=c2，
由已知△ABC的面积为3+
可得c2=3+所以c=2.
方法二　记R为△ABC外接圆的半径，
由正弦定理得
S△ABC=ab·sin C=2R2sin Asin Bsin C
=2R2·
=·R2=3+.
所以R=2.
所以c=2R·sin C=2×2×=2.
[规律方法]　(1)三角形边角转化的主要策略
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.
(2)解决此类问题时要注意
①“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”；②三角形内角和定理；③公式变形，角的范围限制.
跟踪演练1　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，设△ABC的面积为S，若accos B=S，则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
答案　C
解析　由accos B=S，可得accos B=×acsin B，解得tan B=
因为0又因为a，b，c成等比数列，可得ac=b2.
由余弦定理得b2=a2+c2-2accos所以b2=a2+c2-ac，
因为ac=b2，所以(a-c)2=0，解得a=c，所以△ABC为等边三角形.
(2)(2025·海口模拟)在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，∠BAC的角平分线交BC于D，AD=2，则(　　)
A.BC=2 B.BD=-
C.S△ADC=+1 D.S△ABD=2
答案　B
解析　如图所示，在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，则∠ABC=75°，
在△ABD中，∠ADB=∠CAD+∠BCA=30°+45°=75°=∠ABC，
所以AB=AD=2，
在△ABC中，由正弦定理可得=所以BC===A错误；
sin 75°=sin(45°+30°)=sin 45°cos 30°+cos 45°sin 30°=
在△ABD中，由正弦定理可得=则BD===-B正确；
S△ABD=AB·ADsin 30°=×2×2×=1，D错误；
因为CD=BC-BD=-(-)=
所以S△ADC=AD·CDsin 105°=AD·CDsin 75°=×2××=C错误.
微点二　范围与最值问题
例2　(2025·江西省重点高中协作体联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2，B=.
(1)若1+cos A=bsin Asin C，求△ABC的面积；
(2)求△ABC周长的取值范围.
解　(1)由正弦定理可得=
即asin B=bsin A，
因为1+cos A=bsin Asin C，
所以1+cos A=asin Bsin C=sin C，
又cos A=-cos(B+C)，
则1-cos(B+C)=sin C，
展开可得1-cos C+sin C=sin C，
即sin C+cos C=1，
即sin=1，
又C∈所以C=又B=
所以△ABC为等边三角形，
则S△ABC=absin C=×2×2×=.
(2)由正弦定理可得b+c
=+=
==+1
=+1=+1，
因为△ABC为锐角三角形，
所以
解得则tan∈
其中tan=tan==2-
所以b+c=+1∈(1+4+2)，
所以a+b+c∈(3+6+2)，
即△ABC周长的取值范围为(3+6+2).
[规律方法]　解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a+b与ab相互转化求最值或范围.
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值或范围.
跟踪演练2　(2025·长春模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=cos B+b=c.
(1)求A；
(2)求的取值范围.
解　(1)因为a=cos B+b=c，
则acos B+b=c，
由正弦定理得sin Acos B+sin B=sin C=sin(A+B)，
即sin Acos B+sin B=sin Acos B+cos Asin B，
所以cos Asin B=sin B，
因为A，B∈则sin B>0，
所以cos A=所以A=.
(2)在锐角△ABC中，由
可得则====+
又则0<<
所以的取值范围为
又=+
设t=∈
设f(t)=2t+其中t∈
则f'(t)=2-==
由f'(t)<0，得由f'(t)>0，得所以f(t)在上单调递减，在上单调递增，所以f(t)min=f =2
又因为f =3，f(2)=
故f(t)∈
即的取值范围为.
微点三　射影定理、中线定理、角平分线定理及张角定理
1.射影定理
在△ABC中，若将a，b，c分别记作角A，B，C的对边，则有a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=acos B+bcos A.
2.中线定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
3.角平分线定理
在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，D在BC上，
则=.进而得到
(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理).
(2)==.
4.张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则+=.
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　　　　.
答案　9
解析　方法一　由S△ABC=S△ABD+S△CBD，
可得acsin 120°=asin 60°+csin 60°，
所以ac=a+c，即+=1，
由基本不等式，得4a+c=(4a+c)·=++5≥2+5=4+5=9，
当且仅当a=c=3时等号成立，
所以4a+c的最小值为9.
方法二　由张角定理可得=+即+=1，
由基本不等式，得4a+c=(4a+c)·=++5≥2+5=4+5=9，
当且仅当a=c=3时等号成立，
所以4a+c的最小值为9.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin+cos A=0.
①求角C的大小；
②若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=2，BD=2AD，求△ABC的面积.
解　①由已知可得2cos C·-cos(B+C)=0，
sin Bcos C+cos Bcos C-(cos Bcos C-sin Bsin C)=0，
整理得，sin B(cos C+sin C)=0，
因为B∈(0，π)，所以sin B>0，
所以cos C+sin C=0，即tan C=-
因为C∈(0，π)，所以C=.
②由题意得==即=
所以a=2b.
因为S△ACD+S△BCD=S△ABC，
所以×2bsin+×2asin=absin
所以b+a=ab.
因为a=2b，所以b=3，a=6，
所以S△ABC=absin=.
[规律方法]　与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形.
跟踪演练3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos C=-.
(1)求角B；
(2)若△ABC外接圆的半径为且AC边上的中线长为求△ABC的面积和周长.
解　(1)由cos C=-
得2bcos C=2a-c，
利用正弦定理得2sin Bcos C=2sin A-sin C，
即2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C，
化简得sin C=2sin Ccos B.
因为C∈(0，π)，sin C>0，
所以cos B=
又因为B∈(0，π)，所以B=.
(2)由正弦定理得=2 b=3，
设D为AC边上的中点，
则AD=CD=BD=.
方法一　在△BCD中，cos∠CDB=
在△ABD中，cos∠ADB=
因为∠ADB+∠CDB=π，
所以cos∠ADB+cos∠CDB=0，
所以a2+c2=17，
由余弦定理b2=c2+a2-2accos B，
可得9=c2+a2-ac，即ac=8，
由三角形的面积公式得S△ABC=acsin B=2
又(a+c)2=a2+c2+2ac=17+2×8=33，
所以a+c=
所以△ABC的周长为3+.
方法二　利用向量的加法法则得2=+
两边平方得4=++2
即25=c2+a2+ac， ①
由余弦定理b2=c2+a2-2accos B，
得9=c2+a2-ac， ②
①-②得16=2ac，即ac=8，
由三角形的面积公式得S△ABC=acsin B=2
由25=c2+a2+ac，
得(a+c)2-ac=25，a+c=
所以△ABC的周长为3+.
专题强化练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，b2，c2成等差数列，且△ABC的面积为则tan B等于(　　)
A. B.2 C. D.
答案　C
解析　若a2，b2，c2成等差数列，则a2+c2=2b2，在△ABC中，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B，则accos B= ①
S△ABC=acsin B=则acsin B= ②
由②÷①得tan B=.
2.(2025·赤峰模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b+c=a，cos B=则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不确定
答案　A
解析　由余弦定理可得
cos B===
则a+c=b，
又因为b+c=a，所以a=b=3c，
所以△ABC是等腰三角形.
3.(2025·苏州模拟)在△ABC中，A=BC=2，若满足上述条件的△ABC恰有一解，则边长AC的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(0，2]
C.(0，2)∪{4} D.(0，2]∪{4}
答案　D
解析　若满足条件的△ABC恰有一解，如图，
则BC⊥AB或AC≤BC，
当BC⊥AB时，AC===4；
当AC≤BC时，AC∈(0，2]，
所以AC的取值范围是(0，2]∪{4}.
4.在△ABC中，BCcos B=ACsin则的最大值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　设AB=c，AC=b，BC=a，
则acos B=bsin=bsin A+bcos A，
故由正弦定理可知sin Acos B=sin Bsin A+sin Bcos A，
sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=sin Bsin A+2sin Bcos A，
于是==sin A+2cos A=sin(A+φ)≤
其中tan φ=2，当且仅当tan A=时，等号成立，故的最大值为.
5.(2025·咸阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=1，a+b=cos A+cos B，则该三角形的外接圆的面积为(　　)
A. B. C. D.π
答案　B
解析　因为c=1，所以=cos A+cos B，
由正弦定理得=cos A+cos B，
则sin A+sin B=cos Asin C+cos Bsin C，
所以sin(B+C)+sin(A+C)=cos Asin C+cos Bsin C，
整理得sin Bcos C+sin Acos C=0，
所以(sin B+sin A)cos C=0，
因为A，B，C∈(0，π)，
所以sin A>0，sin B>0，cos C∈(-1，1)，
故cos C=0，即C=
则该三角形的外接圆的半径r=c=所以外接圆的面积为πr2=.
6.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，∠B=2∠D=120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2-S1的值为(　　)
A.2 B. C.1 D.
答案　B
解析　在△ABC中，由余弦定理得cos B=即-=
则BC2-AC2=-2BC-4， ①
在△ACD中，由余弦定理得
cos D=
即=
则CD2-AC2=2CD-4， ②
又S1=AB·BCsin 120°=BC，
S2=AD·CDsin 60°=CD，
所以S2-S1=CD-BC=(CD-BC)， ③
由②-①得CD2-BC2=2(CD+BC)，
由CD+BC>0，得CD-BC=2，
代入③得S2-S1=.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·南宁模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos A=acos C+ccos A，b=4，边BC上的中线AD=则下列结论正确的有(　　)
A.A=
B.=8
C.△ABC的面积为2
D.△ABC的外接圆的面积为4π
答案　ACD
解析　方法一　由射影定理知b=acos C+ccos A，
所以2bcos A=b，
所以cos A=解得A=故A正确；
方法二　因为2bcos A=acos C+ccos A，
根据正弦定理得，2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A，
即2sin Bcos A=sin(A+C)=sin B，
因为B∈(0，π)，则sin B>0，
所以cos A=又A∈(0，π)，所以A=故A正确；
因为AD为边BC上的中线，所以=+)，则||2=(||2+||2+2||||cos A)，
即7=(||2+16+4||)，解得AB=2或AB=-6(舍去)，
所以=||||cos A=2×4×=4，故B错误；
S△ABC=AB·ACsin A=×2×4×=2故C正确；
根据余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+16-2×2×4×=12，解得BC=2
设△ABC的外接圆的半径为R，由正弦定理得==4=2R，解得R=2，
所以△ABC的外接圆的面积为πR2=4π，故D正确.
8.(2025·秦皇岛模拟)在平面四边形ABCD中，AB=2，BC=1，AD=CD，AD⊥CD，M为边BC的中点，则以下四个命题中正确的是(　　)
A.若A，B，C，D四点共圆，则AD=
B.当cos∠BAD=时，A，B，C，D四点共圆
C.若∠ABC=120°，则△ACD的面积为
D.当∠ABC变化时，DM的长度的最大值为+1
答案　AC
解析　对于选项A，若A，B，C，D四点共圆，则AB⊥BC，根据勾股定理可得
AC===
在Rt△ACD中，AD=CD，
所以AD=AC=故A正确；
对于选项B，若A，B，C，D四点共圆，则∠BAD+∠BCD=π，
所以cos∠BAD+cos∠BCD=0，
在△ABD中，根据余弦定理得cos∠BAD=
在△BCD中，根据余弦定理得cos∠BCD=
所以+=0，
即+=0，
可得BD2=
所以cos∠BAD==≠故B错误；
对于选项C，如图，连接AC，取AC的中点N，连接DN，MN，在△ABC中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，
根据余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos 120°=22+12-2×2×1×=7，则AC=
因为AD=CD，AD⊥CD，N为AC的中点，所以DN⊥AC，DN=AC=
所以△ACD的面积为AC·DN=××=故C正确；
对于选项D，设∠ABC=α，∠BAC=β，
因为M，N分别为边BC，AC的中点，
所以MN∥AB，MN=AB=1，∠MNC=∠BAC=β，
在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos α=5-4cos α，
由正弦定理得=
则sin β==
在△MDN中，cos∠MND=cos(∠MNC+∠CND)=cos=-sin β，
由余弦定理得DM2=MN2+DN2-2MN·DN·cos∠MND=1+AC2+2×1×AC×sin β
=1+×(5-4cos α)+2×1×AC×
=-cos α+sin α，
令t=-cos α+sin α=sin
因为0<α<π，所以-<α-<
则t∈(-1]，那么DM=
令f(t)=t∈(-1]，则f(t)在(-1]上单调递增，
当t=时，f(t)取得最大值为f()===所以DM的长度的最大值为故D错误.
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·马鞍山质检)在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，且CD⊥BE，BC=1，则△ABC面积的最大值为　　　　　　　.
答案　
解析　因为点D，E分别为边AB，AC的中点，设CD∩BE=O，则O为△ABC的重心，
所以OB=2OE，OC=2OD，
设OE=x，OD=y，则OB=2x，OC=2y，BE=3x，CD=3y.
因为CD⊥BE，在Rt△OBC中，
由勾股定理得OB2+OC2=BC2，
即4x2+4y2=1.
由基本不等式可得
1=4x2+4y2≥2=8xy，
即xy≤
当且仅当x=y=时，等号成立，
因为OB=BE，则S△ABC=2S△BCE=2×S△OBC=3S△OBC=3×OB·OC
=×2x×2y=6xy≤
当且仅当x=y=时，等号成立，
所以△ABC面积的最大值为.
10.(2025·长沙模拟)如图，在△ABC中，AB=6，AC=2BC，D为AB的中点，则tan∠BDC的取值范围为　　　　　　.
答案　
解析　以D为坐标原点，AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A(-3，0)，D(0，0)，B(3，0)，
设C(x，y)，又AC=2BC，则C在第一象限或者第四象限，结合对称性，不妨设C在第一象限，
则=2整理得(x-5)2+y2=16且y>0，
又tan∠BDC=结合图象知，tan∠BDC>0，
则tan2∠BDC===-9+10×-1=-9+
当=即x=时，
tan2∠BDC取得最大值
则0即tan∠BDC的取值范围为.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·太原模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+cos 2B+sin2C=1，且a，b，c成等比数列.
(1)求B；(6分)
(2)若点D满足=△ABC的外接圆半径为求△BCD的内切圆半径.(7分)
解　(1)∵cos 2B=1-2sin2B，
∴sin2A+cos 2B+sin2C=sin2A+1-2sin2B+sin2C=1，
即sin2A+sin2C=2sin2B，
由正弦定理得a2+c2=2b2， ①
又∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac， ②
由①②得a=b=c，则A=B=C，
∵A+B+C=π，∴B=.
(2)由(1)得∠BAC=∠ABC=∠ACB=
∵△ABC的外接圆半径为
∴=2×∴a=2××=2，
∴a=b=c=2，
∴在△BCD中，BC=BD=2，∠CBD=
由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BC·BD·cos=12，
∴CD=2
∴S△BCD=BC·BD·sin∠CBD=×2×2×=
设△BCD的内心为P，内切圆的半径为r，连接PC，PB，PD，如图，
则S△BCD=S△BCP+S△BDP+S△CDP
=(BC+BD+CD)r
=×(2+2+2)r=(2+)r=
∴r=2-3，即△BCD的内切圆半径为2-3.
12.(15分)(2025·宜昌模拟)如图所示，在△ABC中，sin C=3sin B，AD平分∠BAC，且AD=kAC.
(1)若DC=2，求BC的长度；(4分)
(2)求实数k的取值范围；(5分)
(3)若S△ABC=求k为何值时，BC最短.(6分)
解　(1)因为sin C=3sin B，
由正弦定理得c=3b，
在△ABD中，由正弦定理得
=
在△ACD中，由正弦定理得
=
因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，
因为∠ADB+∠ADC=π，
所以sin∠ADB=sin∠ADC，
所以=
因为c=3b，即AB=3AC，DC=2，所以=3，
得BD=6，所以BC=8.
(2)因为S△ABC=S△ABD+S△ADC，
设∠BAD=∠CAD=θ，0<θ<
所以AB·ACsin 2θ=AB·ADsin θ+AC·ADsin θ，
因为AB=3AC，AD=kAC，
所以3AC·AC·2sin θcos θ=3AC·kACsin θ+AC·kACsin θ，
因为sin θ>0，所以6cos θ=4k，
所以k=cos θ，因为θ∈所以cos θ∈(0，1)，所以实数k的取值范围为.
(3)由余弦定理得
BC2=c2+b2-2c·bcos∠BAC=2b2(5-3cos 2θ)，
因为S△ABC=
所以bcsin 2θ=
因为c=3b，所以b2=
所以BC2=(5-3cos 2θ)=2·
方法一　令y=y>0，
则ysin 2θ+3cos 2θ=5，
所以sin(2θ+φ)=5
所以当sin(2θ+φ)=1，即2θ+φ=时，y取得最小值4，此时tan φ=
所以cos 2θ=cos=sin φ=
因为0<θ<
所以cos θ==
由(2)知k=cos θ=×=
所以当k=时，BC最短.
方法二　BC2=2·===
===8tan θ+
≥2=8，
当且仅当8tan θ=即tan θ=时取等号，此时cos θ=k=
所以当k=时，BC最短.第3讲　解三角形
微点一　正弦定理、余弦定理
例1　(1)(2025·全国Ⅱ卷)在△ABC中，BC=2，AC=1+AB=则A等于(　　)
A.45° B.60° C.120° D.135°
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C=cos B，a2+b2-c2=ab.
①求B；
②若△ABC的面积为3+求c.
[规律方法]　(1)三角形边角转化的主要策略
①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系.
②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系.
(2)解决此类问题时要注意
①“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”；②三角形内角和定理；③公式变形，角的范围限制.
跟踪演练1　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，设△ABC的面积为S，若accos B=S，则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
(2)(2025·海口模拟)在△ABC中，∠BAC=60°，∠BCA=45°，∠BAC的角平分线交BC于D，AD=2，则(　　)
A.BC=2 B.BD=-
C.S△ADC=+1 D.S△ABD=2
微点二　范围与最值问题
例2　(2025·江西省重点高中协作体联考)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a=2，B=.
(1)若1+cos A=bsin Asin C，求△ABC的面积；
(2)求△ABC周长的取值范围.
[规律方法]　解三角形中常见的求最值与范围问题的解题策略
(1)利用余弦定理，找三角形三边之间的关系，利用基本不等式将a+b与ab相互转化求最值或范围.
(2)利用正弦定理，将边化成角的正弦，利用三角恒等变换进行化简；利用三角函数的性质求最值或范围.
跟踪演练2　(2025·长春模拟)已知锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=cos B+b=c.
(1)求A；
(2)求的取值范围.
微点三　射影定理、中线定理、角平分线定理及张角定理
1.射影定理
在△ABC中，若将a，b，c分别记作角A，B，C的对边，则有a=bcos C+ccos B；b=acos C+ccos A；c=acos B+bcos A.
2.中线定理
在△ABC中，AD为BC边上的中线，则AB2+AC2=2(AD2+DC2).
3.角平分线定理
在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，D在BC上，
则=.进而得到
(1)AD2=AB·AC-BD·CD(斯库顿定理).
(2)==.
4.张角定理
在△ABC中，D为BC边上的一点，连接AD，若∠BAD=α，∠CAD=β，则+=.
例3　(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为　　　　.
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2cos C·sin+cos A=0.
①求角C的大小；
②若∠ACB的平分线交AB于点D，且CD=2，BD=2AD，求△ABC的面积.
[规律方法]　与三角形的特征线(中线、角平分线、高线)有关的解三角形问题是高考的热点，命题形式灵活新颖，实质为在两个三角形中应用正、余弦定理解三角形.
跟踪演练3　在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos C=-.
(1)求角B；
(2)若△ABC外接圆的半径为且AC边上的中线长为求△ABC的面积和周长.
专题强化练
[分值：80分]
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2，b2，c2成等差数列，且△ABC的面积为则tan B等于(　　)
A. B.2 C. D.
2.(2025·赤峰模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b+c=a，cos B=则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.不确定
3.(2025·苏州模拟)在△ABC中，A=BC=2，若满足上述条件的△ABC恰有一解，则边长AC的取值范围是(　　)
A.(0，2) B.(0，2]
C.(0，2)∪{4} D.(0，2]∪{4}
4.在△ABC中，BCcos B=ACsin则的最大值为(　　)
A. B. C. D.
5.(2025·咸阳模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=1，a+b=cos A+cos B，则该三角形的外接圆的面积为(　　)
A. B. C. D.π
6.如图，在平面四边形ABCD中，AB=AD=2，∠B=2∠D=120°，记△ABC与△ACD的面积分别为S1，S2，则S2-S1的值为(　　)
A.2 B. C.1 D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2025·南宁模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2bcos A=acos C+ccos A，b=4，边BC上的中线AD=则下列结论正确的有(　　)
A.A=
B.=8
C.△ABC的面积为2
D.△ABC的外接圆的面积为4π
8.(2025·秦皇岛模拟)在平面四边形ABCD中，AB=2，BC=1，AD=CD，AD⊥CD，M为边BC的中点，则以下四个命题中正确的是(　　)
A.若A，B，C，D四点共圆，则AD=
B.当cos∠BAD=时，A，B，C，D四点共圆
C.若∠ABC=120°，则△ACD的面积为
D.当∠ABC变化时，DM的长度的最大值为+1
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2025·马鞍山质检)在△ABC中，点D，E分别为边AB，AC的中点，且CD⊥BE，BC=1，则△ABC面积的最大值为　　　　　　　.
10.(2025·长沙模拟)如图，在△ABC中，AB=6，AC=2BC，D为AB的中点，则tan∠BDC的取值范围为　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)(2025·太原模拟)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin2A+cos 2B+sin2C=1，且a，b，c成等比数列.
(1)求B；(6分)
(2)若点D满足=△ABC的外接圆半径为求△BCD的内切圆半径.(7分)
12.(15分)(2025·宜昌模拟)如图所示，在△ABC中，sin C=3sin B，AD平分∠BAC，且AD=kAC.
(1)若DC=2，求BC的长度；(4分)
(2)求实数k的取值范围；(5分)
(3)若S△ABC=求k为何值时，BC最短.(6分)

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