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第4讲　平面向量
微点一　共线向量定理与等和线
平面向量等和线定理
平面内一组基底{，}及任一向量，且=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k===，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比.
例1　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ等于(　　)
A.1 B. C. D.
答案　B
解析　如图，AD为以{}为基底，值是1的等和线，
延长BE交AD于点F，
过E作AD的平行线，
设λ+μ=k，则k=
由图易知=所以λ+μ=.
(2)给定两个长度为1的平面向量和它们的夹角为90°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若=x+y.其中x，y∈R，则3x+5y的最大值为(　　)
A. B.5 C. D.6
答案　A
解析　如图所示，分别取===x+y=3x+5y根据等和线知识可得3x+5y=当OD⊥MN时，|OD|取得最小值，|OD|min===
故(3x+5y)max==.
[规律方法]　用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
跟踪演练1　(1)如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且=λ+μ则λ+μ的取值范围为(　　)
A.[2，3] B.[1，2]
C.[1，3] D.[1，4]
答案　C
解析　如图，当点P位于线段BC上时，
(λ+μ)min=1，
当点P位于点D时，
(λ+μ)max=3，
故1≤λ+μ≤3.
(2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=若点C为弧AB上任意一点，且=x+y(x，y∈R)，则x+y的最大值是　　　　.
答案　2
解析　如图所示，设x+y=k，则直线AB为以{}为基底，k1=1的等和线，所有与直线AB平行且与弧AB有公共点的直线中，切线离圆心O最远，即此时k取得最大值，设切点为D，连接OD，与AB交于点E，易知OE⊥AB.
因为OA=1，∠AOB=
所以OE=则k===2，
即x+y的最大值为2.
微点二　奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0.
①若O为△ABC的重心，则++=0 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；
②若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，且||=||=||；
③若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0，或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；
④若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且==.
例2　(1)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(　　)
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
答案　A
解析　因为++=0，
即2+2+=0，
所以S△BCD∶S△ACD∶S△ABD=2∶2∶1，所以△ABC的面积是△ABD的面积的5倍.
(2)已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，2+2+3=0，则△ABC的外接圆面积为　　　　.
答案　
解析　∵2+2+3=0，且O为内心，
∴△ABC的三边长之比为a∶b∶c=2∶2∶3，
令a=2k，则b=2k，c=3k，k>0，
∴cos C=-sin C=
设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，
又S△ABC=(a+b+c)·r=absin C，
即×7k×2=×2k×2k×
解得k=c=4
又2R==解得R=
∴△ABC的外接圆面积S=πR2=.
[易错提醒]　涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
跟踪演练2　(多选)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.以下命题正确的有(　　)
A.若M为△ABC的重心，AB=6，AC=8，BC=2则△BMC的面积为4
B.若M为△ABC的内心，2+3+=0，则C=
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则 SA∶SB∶SC=2∶∶1
D.若M为△ABC 的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB=
答案　ABC
解析　对于A，由余弦定理得
cos A===
又A∈(0，π)，所以A=
所以S△ABC=×6×8×sin=12
又M为△ABC的重心，所以++=0，
即S△AMB∶S△AMC∶S△BMC=1∶1∶1，
所以S△BMC=S△ABC=4故A正确；
对于B，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，
由M为△ABC的内心，且2+3+=0，
可得a∶b∶c=2∶3∶
令a=2k，则b=3k，c=k，k>0，
cos C==
又C∈(0，π)，所以 C=故B正确；
对于C，如图，
因为M为△ABC的外心，设外接圆半径为R，
因为∠BAC=45°，∠ABC=60°，
所以∠BMC=90°，
∠AMC=120°，
故∠AMB=360°-120°-90°=150°，
所以SA∶SB∶SC=R2sin 90°∶R2sin 120°∶R2sin 150°=sin 90°∶sin 120°∶sin 150°=1∶∶=2∶∶1，故C正确；
对于D，由M为△ABC的垂心，3+4+5=0，
所以SA∶SB∶SC=3∶4∶5，
则=4=3，
延长AM，BM，CM，分别交BC，AC，AB于点D，F，E，如图，
设MD=x，MF=y，则AM=3x，BM=2y，
所以cos∠BMD==cos∠AMF=
得3x2=2y2，
所以cos∠BMD=
则cos∠AMB=-故D错误.
微点三　数量积问题的六种常用求法
1.定义法
若已知或易求对应向量的模与夹角，优先考虑用定义法：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
2.平方法
若已知向量关系式，需联系条件中的模、数量积或夹角，考虑用平方法计算.例如：已知a=λe1+μe2，平方即为a2=(λe1+μe2)2=λ2+2λμe1·e2+μ2.
3.坐标法
一般适用于具备垂直(易建系)、点的坐标易写出，或含有动点的数量积问题中.
4.基底法
若向量数量积的相关要素(对应的模、夹角)未知或不易直接求出，则可考虑把已知向量利用合适的基底表示，进而转化为基底运算求解.
5.投影法
若向量数量积的相关要素(对应的模、夹角)未知或不易直接求出，而且在图形中存在垂足确定的情况，或者其中一个向量的模为定值，即可考虑利用投影法计算数量积.利用投影法可实现降元，以形助数快速求解向量数量积.
6.极化恒等式
计算共起点的向量数量积的过程中，若数量积的相关要素(对应的模、夹角)未知或不易直接求出，而且存在长度确定的线段，如底边BC或中线AM确定，即可考虑使用极化恒等式，将数量积转化为线段长相关的代数计算.
极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
①=(||2-||2)(平行四边形模式)；
②=||2-||2(三角形模式).
例3　(1)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a-b|=1，则(a-2b)·(a-c)的取值范围是(　　)
A.[-] B.[-2，2]
C.[-] D.[-3，3]
答案　A
解析　方法一　(平方法结合定义法)
因为平面向量a，b，c均为单位向量，
所以|a|=|b|=|c|=1，
又|a-b|=1，所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+1=1，
所以a·b=.
又(a-2b)·(a-c)=a2-a·c-2b·a+2b·c=(2b-a)·c=|2b-a||c|cos〈2b-a，c〉=|2b-a|·cos〈2b-a，c〉，
由题设知，平面向量c的方向没有限制，可以认为任意方向都有可能，所以(a-2b)·(a-c)∈[-|2b-a|，|2b-a|].
又|2b-a|2=4b2-4b·a+a2=4-2+1=3，
所以|2b-a|=
所以(a-2b)·(a-c)的取值范围是[-].
方法二　(基底法结合平方法)
平面向量a，b，c均为单位向量，
则|a|=|b|=|c|=1，
又|a-b|=1，所以(a-b)2=a2-2a·b+b2=1-2a·b+1=1，
所以a·b=.
由平面向量a，b，c均为单位向量，三者共面，不妨以a，b为基底表示c，
设c=λa+μb(λ，μ∈R)，
则(a-2b)·(a-c)=a2-a·c-2b·a+2b·c=(2b-a)·c=(2b-a)·(λa+μb)=2λb·a+2μb2-λa2-μa·b=λ+2μ-λ-μ=μ，
又|c|=1，所以|c|=|λa+μb|=1，
所以|λa+μb|2=λ2a2+2λμa·b+μ2b2=λ2+λμ+μ2=1.
又λ，μ∈R，所以方程λ2+λμ+μ2=1必然有解，
所以要求μ的范围，只需让关于λ的方程λ2+λμ+μ2-1=0的根的判别式Δ=μ2-4(μ2-1)≥0即可，即4-3μ2≥0，
解得-≤μ≤
故(a-2b)·(a-c)=μ∈[-].
方法三　(投影法)
如图，设a，b，c分别为
则点A，B，C均在以O为圆心，半径为1的圆上，
由|a-b|=1可得△ABO是正三角形，延长OB到点P，使BP=OB，连接AP，
则2b-a=易得∠OAP为直角，且||=.
设和的夹角为θ，
由向量投影可知，||·cos θ的取值范围是[-1，1]，
故(a-2b)·(a-c)=的取值范围是[-].
(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.- C.- D.-1
答案　B
解析　方法一　(极化恒等式)
取BC的中点M，连接AM，取AM的中点N，连接PM，PN，如图1所示，
则·(+)=·2
=2
≥2=-
当且仅当点P与点N重合时取等号，
故·(+)的最小值是-.
方法二　(坐标法)
以BC的中点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，
则A(0)，B(-1，0)，C(1，0)，
设P(x，y)，则=(-x-y)，
=(-1-x，-y)=(1-x，-y)，
则·(+)=2x2-2y+2y2
=2
所以当x=0，y=时·(+)取得最小值，为2×=-.
[规律方法]　利用投影法计算向量数量积的取值范围，常作动向量a在定向量b上的投影向量，记a，b的夹角为θ，进而判断|a|cos θ的取值范围，利用单变量思维解决问题.
跟踪演练3　(1)在△ABC中，AB=2，cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1，则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　因为A，B，C∈(0，π)，
所以A-B∈(-π，π)，B-C∈(-π，π)，C-A∈(-π，π)，
可得cos(A-B)∈(-1，1]，cos(B-C)∈(-1，1]，
cos(C-A)∈(-1，1]，
若cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，
则cos(A-B)=1，cos(B-C)=1，cos(C-A)=1，
可得A-B=0，B-C=0，C-A=0，
所以A=B=C，所以△ABC是边长为2的等边三角形.
如图，取BC的中点G，由PA=1可知点P的轨迹是半径为1的圆，
根据极化恒等式可知=||2-||2，
易知PGmin=AG-PA=-1，PGmax=AG+PA=+1，
故(-1)2-12≤≤(+1)2-12，
即3-2≤≤3+2
所以 的取值范围是[3-23+2].
(2)(2025·宜春模拟)若图中正方形ABCD的边长为4，圆O的半径为 4正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，且=λ+μ则 λ+μ的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
答案　C
解析　方法一　(坐标法)
建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(4，0)，D(0，4)，
点P在圆(x-2)2+(y-2)2
=32上，
设点P(2+4cos θ，2+4sin θ)，
则=(2+4cos θ，2+4sin θ)=(4，0)=(0，4)，因为=λ+μ
所以(2+4cos θ，2+4sin θ)=λ(4，0)+μ(0，4)=(4λ，4μ)，
所以4λ=2+4cos θ，4μ=2+4sin θ，
所以λ+μ=sin θ+cos θ+1=2sin+1≤3，即 λ+μ的最大值为3.
方法二　(等和线法)
因为=+
则直线BD是以{}为基底，值为1的等和线，如图，作BD的平行线与圆O相切于点P，由等和线定理可知，此时λ+μ取得最大值，最大值为==3.
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则等于(　　)
A. B.3 C.2 D.5
答案　B
解析　方法一　以{}为基底，
可知||=||=2=0，
则=+=+
=+=-+
所以=
=-+=-1+4=3.
方法二　如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(1，0)，C(2，2)，D(0，2)，
可得=(1，2)=(-1，2)，
所以=-1+4=3.
方法三　由题意可得，ED=EC=CD=2，
在△CDE中，由余弦定理可得
cos∠DEC===
所以=||||cos∠DEC
=××=3.
方法四　设CD的中点为O，由极化恒等式可得=||2-||2=3.
2.(2025·郴州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，-1)，B(1，1)=λ+(2-λ)若⊥则λ的值为(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-3
答案　A
解析　因为 A(2，-1)，B(1，1)，
所以=(2，-1)=(1，1)，
又=λ+(2-λ)=λ(2，-1)+(2-λ)(1，1)=(2+λ，2-2λ)，
且⊥所以=(2+λ)×1+(2-2λ)×1=4-λ=0，解得λ=4.
3.(2025·蚌埠模拟)在四边形ABCD中，2=3=(1)=(-1)，则该四边形的面积为(　　)
A.4 B.2 C. D.
答案　C
解析　由=(1)=(-1)，
可得=(1)·(-1)=-=0，
所以⊥所以S△ABD=||||=××=
又 2=3所以=且∥
所以 ||=||=⊥
S△BCD=×||||=××=1，
所以 S四边形ABCD=S△BCD+S△ABD=1+=.
4.设O点在△ABC内部，且有3+2+=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为(　　)
A.2 B. C. D.3
答案　A
解析　根据奔驰定理△AOC的面积与△AOB的面积的比值为=2.
5.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x+y-4=0上运动，则的最小值为(　　)
A.7 B.9 C.13 D.15
答案　A
解析　由椭圆C：+=1可得
F1(-1，0)，F2(1，0)，
设原点为O，根据极化恒等式可得
=||2-||2=||2-1，
点M在直线l：x+y-4=0上运动，根据点到直线的距离公式，可得|MO|min==2
故的最小值为7.
6.如图，正六边形的边长为2半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为(　　)
A.[4，5] B.[5，7] C.[4，6] D.[5，8]
答案　B
解析　由极化恒等式可得，
=-=-1，
当OM与正六边形的边垂直时=
当点M运动到正六边形的顶点时=2
所以||∈[2]，
则∈[6，8]，
即=(||2-1)的取值范围为[5，7].
7.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若=x+y则2x+2y的最大值为(　　)
A. B.2 C. D.1
答案　A
解析　作BC的平行线与圆O相交于点P，与直线AB相交于点E，与直线AC相交于点F，
∵BC∥EF，设==k，
∵P为圆O上任意一点，则k≥0，
∴当AP⊥EF时，kmax===
则k∈
由等和线定理得x+y=k，
∴2x+2y=2k≤.
8.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·+S2·+S3·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且+2+3=0，则cos∠ACB等于(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　延长CO交AB于点P，
∵O是△ABC的垂心，∴OP⊥AB，
∴S1∶S2=∶
=BP∶AP=(OPtan∠POB)∶(OPtan∠POA)
=tan∠COB∶tan∠COA
=tan(π-∠BAC)∶tan(π-∠ABC)
=tan∠BAC∶tan∠ABC.
同理可得S1∶S3=tan∠BAC∶tan∠ACB，
∴S1∶S2∶S3=tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB.
又S1·+S2·+S3·=0，
∴tan∠BAC·+tan∠ABC·+tan∠ACB·=0.
又+2+3=0，
∴tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
不妨设tan∠BAC=k，tan∠ABC=2k，tan∠ACB=3k，其中k≠0.
∵tan∠BAC=-tan(∠ABC+∠ACB)
=-
∴k=-
解得k=±1.
当k=-1时，此时tan∠BAC<0，tan∠ABC<0，tan∠ACB<0，
则∠BAC，∠ABC，∠ACB都是钝角，不符合题意，舍去；
当k=1时，tan∠ACB=3>0，故∠ACB为锐角，
∴
解得cos∠ACB=.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点(包括端点)=λ+μ则下列结论正确的是(　　)
A.当M为线段AD的中点时，λ+μ=
B.λμ的最大值为
C.μ的取值范围为[0，1]
D.λ+μ的取值范围为
答案　AC
解析　根据题意建立平面直角坐标系，如图所示，设BC=2，则B(0，0)，E(0，1)，D(2，2)，
设M(t，2)，则0≤t≤2，
由于=λ+μ所以(t，2)=λ(0，1)+μ(2，2)，
整理得2μ=t，λ+2μ=2，则λ=2-t，μ=
对于A，当M为AD的中点时，t=1，故λ+μ=2-=故A正确；
对于B，λμ=(2-t)·=t-t2=-(t-1)2+由于0≤t≤2，当t=1时，λμ取得最大值故B错误；
对于C，由于μ=0≤t≤2，所以 0≤μ≤1，故μ的取值范围为[0，1]，故C正确；
对于D，λ+μ=2-由0≤t≤2，得2-∈[1，2]，故λ+μ的取值范围为[1，2]，故D错误.
10.已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)
A.若||+||+||=0，则点O是△ABC的重心
B.若==0，则点O是△ABC的内心
C.若(+)·=(+)·=0，则点O是△ABC的外心
D.若O为△ABC的外心，且2=+则B为△ABC的垂心
答案　BCD
解析　对于A，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，在AB，AC上分别取点D，E，
使得==
则||=||=1，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，如图所示，
则四边形ADFE是菱形，且=+=+所以AF平分∠BAC，
因为||+||+||=0，
即a+b+c=0，
所以a·+b·(+)+c·(+)=0，
即(a+b+c)+b+=0，
所以=+
==
所以A，O，F三点共线，即O在∠BAC的平分线上，
同理可得O在其他两角的平分线上，所以O为△ABC的内心，故A错误；
对于B，在AB，AC上分别取点D，E，使得=
=如图，
则||=||=1，且-=
因为=0，
即⊥又||=||=1知，AO平分∠BAC，
同理，可得BO平分∠ABC，故O为△ABC的内心，故B正确；
对于C，取AB，BC的中点分别为M，N，如图，
因为(+)·
=(+)·=0，
所以2=2
=0，
即OM⊥AB，ON⊥BC，所以O是△ABC的外心，故C正确；
对于D，因为2=+
所以=-即O为AC的中点，
又O为△ABC的外心，
所以∠B=90°，则B为△ABC的垂心，故D正确.
11.在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别为边BC和CD上两个动点(含端点)，且EF=5，设=λ=μ则(　　)
A.≤λ≤1≤μ≤1
B.λ+μ为定值
C.的最小值为50
D.|+|的最大值为
答案　AC
解析　对于A，由题意知当F和C重合时，BE=1，此时λ取到最小值μ取到最大值1；
当E和C重合时，DF=3，此时μ取到最小值λ取到最大值1，故≤λ≤1≤μ≤1，A正确；
对于B，当F和C重合时，λ=μ=1，λ+μ=；
当E，F分别位于BC，DC的中点时，满足EF=5，
此时λ=μ=λ+μ=1，由此可知λ+μ不为定值，B错误；
对于C=
=
=+λ+μ+λμ
=λ+μ=λ+μ
=36λ+64μ，
由EF=5，得=25，即(+)2=25，
即[(1-λ)+(μ-1)]2=25，
即36(1-λ)2+64(μ-1)2=25，
设6(λ-1)=5cos θ，8(μ-1)=5sin θ，θ∈[0，2π)，
则36λ+64μ=36×+64×
=100+30cos θ+40sin θ=100+50sin(θ+φ)
当sin(θ+φ)=-1时，36λ+64μ取到最小值50，即的最小值为50，C正确；
对于D，当μ=1，λ=时+=++=2+则|+|=
==
=>D错误.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　.
答案　
解析　a-b=(1，1-2x)，因为a⊥(a-b)，则a·(a-b)=0，
则x+1-2x=0，解得x=1.
则a=(1，1)，则|a|=.
13.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若的最小值为3，则cos∠ACB=　　　　　　　　.
答案　
解析　取线段MN的中点P，连接CP，过C作CO⊥AB于O，如图，PM=MN=1，
依题意=-=-1，
因为的最小值为3，则||的最小值为2，因此CO=2，在Rt△AOC中，
cos∠OCA==sin∠OCA=
在Rt△BOC中，cos∠OCB==
sin∠OCB=
所以cos∠ACB=cos(∠OCA+∠OCB)
=cos∠OCAcos∠OCB-sin∠OCAsin∠OCB
=.
14.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC=如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为x，y，则x+y的最大值是　　　　.
答案　
解析　方法一　根据奔驰定理得+x+y=0，即=2x+2yx>0，y>0，
平方得=4x2+4y2+8xy||·
||·cos∠BPC，
又因为点P是△ABC的外心，∠BAC=
所以||=||=||，且∠BPC=2∠BAC=
所以x2+y2+xy=
(x+y)2=+xy≤+
解得x+y≤当且仅当x=y=时取等号，
所以(x+y)max=.
方法二　因为点P是△ABC的外心，所以S△PBC∶S△PCA∶S△PAB=sin 2∠BAC∶sin 2∠ABC∶sin 2∠ACB=∶x∶y，x>0，y>0，
又∠BAC=所以sin 2∠BAC=
所以x=sin 2∠ABC，y=sin 2∠ACB，
所以x+y=(sin 2∠ABC+sin 2∠ACB)
=
=sin
又因为∠ABC∈所以2∠ABC-∈所以sin∈
所以x+y∈所以(x+y)max=.第4讲　平面向量
微点一　共线向量定理与等和线
平面向量等和线定理
平面内一组基底{，}及任一向量，且=λ+μ(λ，μ∈R)，若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，且k===，则λ+μ=k(定值)，反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线.
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1；
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(0，1)；
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈(1，+∞)；
(4)当等和线过O点时，k=0；
(5)若两条等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；
(6)定值k的绝对值与等和线到O点的距离成正比.
例1　(1)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ等于(　　)
A.1 B. C. D.
(2)给定两个长度为1的平面向量和它们的夹角为90°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动，若=x+y.其中x，y∈R，则3x+5y的最大值为(　　)
A. B.5 C. D.6
[规律方法]　用等和线求基底系数和的步骤
(1)确定值为1的等和线；
(2)平移该线，作出满足条件的等和线；
(3)从长度比或点的位置两个角度，计算满足条件的等和线的值.
跟踪演练1　(1)如图，△BCD与△ABC的面积之比为2，点P是△BCD内任意一点(含边界)，且=λ+μ则λ+μ的取值范围为(　　)
A.[2，3] B.[1，2]
C.[1，3] D.[1，4]
(2)如图所示，半径为1的扇形AOB，∠AOB=若点C为弧AB上任意一点，且=x+y(x，y∈R)，则x+y的最大值是　　　　.
微点二　奔驰定理
如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0.
①若O为△ABC的重心，则++=0 S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1；
②若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，且||=||=||；
③若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0，或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)；
④若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且==.
例2　(1)已知△ABC所在平面内一点D满足++=0，则△ABC的面积是△ABD的面积的(　　)
A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍
(2)已知△ABC的内切圆的圆心为O，半径为2，2+2+3=0，则△ABC的外接圆面积为　　　　.
[易错提醒]　涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件.
跟踪演练2　(多选)奔驰定理的几何表示因酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论，它与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联.具体内容是：已知M是△ABC内一点，△BMC，△AMC，△AMB的面积分别为SA，SB，SC，则SA·+SB·+SC·=0.以下命题正确的有(　　)
A.若M为△ABC的重心，AB=6，AC=8，BC=2则△BMC的面积为4
B.若M为△ABC的内心，2+3+=0，则C=
C.若∠BAC=45°，∠ABC=60°，M为△ABC的外心，则 SA∶SB∶SC=2∶∶1
D.若M为△ABC 的垂心，3+4+5=0，则cos∠AMB=
微点三　数量积问题的六种常用求法
1.定义法
若已知或易求对应向量的模与夹角，优先考虑用定义法：a·b=|a||b|cos〈a，b〉.
2.平方法
若已知向量关系式，需联系条件中的模、数量积或夹角，考虑用平方法计算.例如：已知a=λe1+μe2，平方即为a2=(λe1+μe2)2=λ2+2λμe1·e2+μ2.
3.坐标法
一般适用于具备垂直(易建系)、点的坐标易写出，或含有动点的数量积问题中.
4.基底法
若向量数量积的相关要素(对应的模、夹角)未知或不易直接求出，则可考虑把已知向量利用合适的基底表示，进而转化为基底运算求解.
5.投影法
若向量数量积的相关要素(对应的模、夹角)未知或不易直接求出，而且在图形中存在垂足确定的情况，或者其中一个向量的模为定值，即可考虑利用投影法计算数量积.利用投影法可实现降元，以形助数快速求解向量数量积.
6.极化恒等式
计算共起点的向量数量积的过程中，若数量积的相关要素(对应的模、夹角)未知或不易直接求出，而且存在长度确定的线段，如底边BC或中线AM确定，即可考虑使用极化恒等式，将数量积转化为线段长相关的代数计算.
极化恒等式：a·b=[(a+b)2-(a-b)2].
(1)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的.
(2)若O是平行四边形PMQN对角线的交点，则：
①=(||2-||2)(平行四边形模式)；
②=||2-||2(三角形模式).
例3　(1)已知平面向量a，b，c均为单位向量，且|a-b|=1，则(a-2b)·(a-c)的取值范围是(　　)
A.[-] B.[-2，2]
C.[-] D.[-3，3]
(2)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(+)的最小值是(　　)
A.-2 B.- C.- D.-1
[规律方法]　利用投影法计算向量数量积的取值范围，常作动向量a在定向量b上的投影向量，记a，b的夹角为θ，进而判断|a|cos θ的取值范围，利用单变量思维解决问题.
跟踪演练3　(1)在△ABC中，AB=2，cos(A-B)cos(B-C)cos(C-A)=1，P为△ABC所在平面内的动点，且PA=1，则的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)(2025·宜春模拟)若图中正方形ABCD的边长为4，圆O的半径为 4正方形ABCD的中心与圆O的圆心重合，动点P在圆O上，且=λ+μ则 λ+μ的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
专题强化练
[分值：73分]
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.(2023·全国乙卷)正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则等于(　　)
A. B.3 C.2 D.5
2.(2025·郴州模拟)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(2，-1)，B(1，1)=λ+(2-λ)若⊥则λ的值为(　　)
A.4 B.2 C.-2 D.-3
3.(2025·蚌埠模拟)在四边形ABCD中，2=3=(1)=(-1)，则该四边形的面积为(　　)
A.4 B.2 C. D.
4.设O点在△ABC内部，且有3+2+=0，则△AOC的面积与△AOB的面积的比值为(　　)
A.2 B. C. D.3
5.已知椭圆C：+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在直线l：x+y-4=0上运动，则的最小值为(　　)
A.7 B.9 C.13 D.15
6.如图，正六边形的边长为2半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的取值范围为(　　)
A.[4，5] B.[5，7] C.[4，6] D.[5，8]
7.如图，边长为2的等边△ABC的外接圆为圆O，P为圆O上任意一点，若=x+y则2x+2y的最大值为(　　)
A. B.2 C. D.1
8.奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则S1·+S2·+S3·=0.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知O是△ABC的垂心，且+2+3=0，则cos∠ACB等于(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，M为线段AD上的动点(包括端点)=λ+μ则下列结论正确的是(　　)
A.当M为线段AD的中点时，λ+μ=
B.λμ的最大值为
C.μ的取值范围为[0，1]
D.λ+μ的取值范围为
10.已知点O在△ABC所在的平面内，则以下说法正确的有(　　)
A.若||+||+||=0，则点O是△ABC的重心
B.若==0，则点O是△ABC的内心
C.若(+)·=(+)·=0，则点O是△ABC的外心
D.若O为△ABC的外心，且2=+则B为△ABC的垂心
11.在长方形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别为边BC和CD上两个动点(含端点)，且EF=5，设=λ=μ则(　　)
A.≤λ≤1≤μ≤1
B.λ+μ为定值
C.的最小值为50
D.|+|的最大值为
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·全国Ⅱ卷)已知平面向量a=(x，1)，b=(x-1，2x)，若a⊥(a-b)，则|a|=　　　　　.
13.在△ABC中，AC=2BC=6，∠ACB为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且MN=2，若的最小值为3，则cos∠ACB=　　　　　　　　.
14.设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC=如图.若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为x，y，则x+y的最大值是　　　　.

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