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指数函数与对数函数有理指数幂
我国农业科学家在研究某农作物的生长状况时，得到该农作物生长时间 x 周（从第 1 周到第 12 周）与植株高度 y cm 之间的关系：
x y＝3 4
当该农作物生长了 4 周，8 周时，植株高度分别是 3
cm，32 cm 。
当该农作物生长了 1 周，5 周时，植株的高度是多少呢？
有理指数幂
实数
无理数
有理数
整数
分数
正整数
自然数
负整数
零
有限小数
无限不循环小数
4
1 = 0.25
1
3 = 0.3
16
1 = 0.0625
12

0.08333 0.083
1
无限循环小数
例如（ 2 ， 5 等开方开不尽的数；含有特殊字母 ，e 的数；
无限不循环小数 ）
实数的分类
一个非零实数的负整数指数幂的实质是这个实数相应的正整数指数幂的倒数
n个相同因子a的连乘积记作an,称为a的n次幂,其中a
称为幂的底数,简称底,n称为幂的指数。即
规定当a≠0时，
正整数指数幂
整数指数幂
例如： 20=1
24
2-4= 1 = 1
16
0
3 = 1
(5 )-2=
1
(5 )2
=
1
25 2
(b≠0)
回顾
平方根
立方根
x3 a
b a
如果b2=a，那么b=叫做a的平方根或是二次方根，其中叫做a的
算数平方根。
b2=a
如果x3=a，那么x=3
a 叫做a的立方根或是三次方根。
x 3 a
一般地,如果数b的n次方等于a,即bn=a(n∈N*,n>1),那么称数b为a的n次方根
当n为奇数时 实数a的n次方根只有一个，用
表示。
当n为偶数时 正实数a的n次方根有两个,分别用
表示
其中 称为a的n次算数根,负实数a的n次方根没有意义。
0的n次方根为0。
形如
(n∈N*,n>1)的式子称为a的n次根式,其中n称为
根指数, a称为被开方数。
根据n次方根的定义，根式具有下列性质：
（1）(n ) = .
（2）当 为奇数时，n = .
当 为偶数时，n = = ， ≥ 0，
， < 0.
例如：
5
（ 3）5 = 5
（ 2）2 = 2
3
23 = 2
72 = 7
如果指数是最简分数，我们规定:
分数指数幂
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。
例如
1
02 = 0 = 0
1
1
0 3 = 3 0 无意义
（ 4）
1
2 =
1
4
无意义
所以，我们在研究指数幂的性质时，往往规定a>0。
有理数指数幂运算法则
当 > 0, > 0, , ∈ Q时，有
1 = + ， ÷ =
2 = > 0, , ∈ Q

3 = ， =

例题讲解
例1 将下列各分数指数幂写成根式的形式。
n am
m
a n
1 1

a
m n
m
解： a n
n am
例2 将下列各根式写成分数指数幂的形式.
（3）6 2
6
2
2
（3） = 6
m
a n
n am
n am
1
m
a n
1

a
m n
m
a n
n am
解：
小结
实数的分类
正整数指数幂
有理指数幂
负整数指数幂
零
n次根式
整数指数幂
有理数指数幂运算法则

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