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指数函数与对数函数对数的概念
如果河水开始的污染程度为1，经过治理后，河水污染程度y与治理时间(年) x的关系为y=0.8x，那么当污染程度为原来的20%时，需要治理多长时间？
容易得到，当污染程度为原来的20%时，有0.8x=0.2，要求治理时间就是求x的值，因为x是指数，所以问题转化为如何求指数.
已知底和幂，如何求出指数？
如何用底和幂来表示出指数的问题．
为了解决这类问题，引进一个新数——对数．
问题
解决
一般地,若ab=N(a>0且a≠1),则称b为以a为底N的对数,记作
b=logaN，
其中a称为对数的底数，N称为真数.
2
=
3
指数式：
改成对数式：
log 8
8
=
读作： 以2为底8的对数等于3
2 3
指数式： 10-3=0.001
改成对数式： log100.001=-3
读作： 以10为底0.001的对数等于-3
“情境与问题”中的治理时间我们可以记作：x=log0.80.2.
指对互化（或对指互化）
幂
ab = N
当a>0且a≠1, N >0时，指数式ab=N与对数式logaN=b有如下关系：
指数 对数
真数
logaN = b
底数
指数式与对数式表示的是a， b， N三者之间的同一关系，只是形式不同.
思考
20 1
30
1
改写成
log2 1 0
log3 1 0
loga 1 0
归纳
改写成
……
……
思考
21 2
31 3
log2 2 1
log3 3 1
loga a 1
改写成
归纳
改写成
……
……
思考
23 8
log2 8 3
log 23 log 8 3
2 2
ab
a
b
log
互化
同学们试着证明一下吧
a 0且a 1
思考
23 8
log2 8 3
改写成
2log2 8 23 8
2log2 8 8
N
aloga N
同学们试着证明
一下吧
a 0且a 1
对数的性质
N >0,即零和负数没有对数
loga1=0,即1的对数是0
logaa=1,即底的对数是1
N
(4) aloga N
(5) log a a b
b
其中：a 0且a 1
常用对数： 以10为底的对数
log10 N
lg N
简记作
loge N
ln N
自然对数： 以e为底的对数(e=2.71828…)
简记作
如： log102简记为lg2, log109简记为lg9．
如：loge5简记为ln5.
常用对数有着广泛的应用.在化学上,当溶液中氢离子浓度小于1 mol/L时,为使用方便,常用氢离子浓度
[H+]的负对数-lg[H+]来表示溶液的酸碱性,这个数值称为pH,即
pH=-lg[H+].
正常人体血液的pH为7.35～7.45.
例1 将下列指数式写成对数式.
(1)0.23=0.008；
(2)45=1024.
解 (1)由0.23=0.008，得log0.20.008=3；
(2)由45=1024，得log41024=5.
例2 将下列对数式写成指数式.
解 (1)由log381=4，得34=81；
ln
计算自然对数
log
log■□
计算对数
计算常用对数
例3 利用计算器求下列各式的值
(保留到小数点后第3位).
首先，我们点击
SHIFT
,点击 SET UP
选择6，输入3，计算器默认保留三位小数
例3 利用计算器求下列各式的值
(保留到小数点后第3位).
解：（1）
键可得到结果为
（2）
键可得到结果为
log 4 = lg4≈0.602;
ln 8 =
例3 利用计算器求下列各式的值
(保留到小数点后第3位).
解 （：3）按
3
（4）按
7
=
0.5
=
2
3
小结
1.对数的概念
2.对数的性质
3.用计算器求对数的值

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