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(共15张PPT)
直线与圆的方程
直线与圆的位置关系
太阳看成一个圆，海平面看成一条直线
直线和圆有几种位置关系吗？
当直线与圆没有公共点时, 直线l 与圆C 相离当直线与圆有唯一公共点时,直线l与圆C 相切当直线与圆有两个公共点时,直线l 与圆C 相交
在平面几何中,我们已经知道直线与圆的三种位置关系
直线叫做圆的切线
例1 已知直线l：x+2y +C=0和圆x2+y 2-4x +2y +1=0。问C 为何值时，
直线 l 和圆相交、相切、相离。
解：圆化为标准方程（x -2）2+（y +1）2=4，圆心为（2，-1），
半径r=2，圆心到直线的距离d =
5
12 22
| 2 - 2 C | | C |
5
| C |＞2，即C＜- 2 5或C＞2
5
5＜C＜2
当d＜r，| C |＜2，即- 2
5 时，直线与圆相交；
当d=r， 5
| C | 2，即C -2 5或C 2 5时，直线与圆相切；
当d＞r，
5 时，直线与圆相离。
例2 判断直线 l：2x+y+5=0 和圆 C：x2＋y2-10x＝0 的位置关系．
解法一： 将圆的方程x 2＋y 2 -10x＝0 化为圆的标准方程
（x-5）2+y 2=25
则圆心坐标为（5,0），圆的半径r =5.
因为圆心C（5,0）到直线l ：2x+y+5= 0的距离d
5
22 12
| 2 5 1 0 5 | 15 3 5＞5
即d＞r，所以直线与圆相离
d与r 的关系
利用直线与圆的公共点的个数就可以判定直线与圆的位置关系，而公共点的个数又可以通过直线与圆的方程组的解的个数来确定。
因而，还可以得到判定直线与圆的位置关系的另一种方法：利用一元二次方程的判别式来确定方程组解的个数，从而确定直线与圆的公共点的个数。
探究

Ax By C 0,
x2 y2 Dx Ey F 0,
圆C的方程为联立得
设直线方程为 Ax By C 0(A,B 不全为0)，
x2 y2 Dx Ey F 0(D2+E2-4F＞0),
方程组
经消元后得到一元二次方程，设判别式为△，则有

△＞0
直线l与圆C相交；直线l与圆C相切；
直线l与圆C相离.
△ =0
△＜0
例2 判断直线 l ：2x+y+ 5=0 和圆 C：x 2＋y 2 -10x＝0 的位置关系．
代入②得化简得
x 2 +（-2x-5）2-10x =0
x2+2x + 5=0
因为 =22-4×1×5=-16＜0，所以方程组没有实数解，即直线l与圆C没有交点，直线与圆相离
解法二： 将直线 l与圆 C的方程联立，得方程组
2x+y+5=0 x2＋y2-10x＝0 ①
②
判别式 的正负 由①得 y =-2x-5
x
l
C
P
在平面直角坐标系中，如果过点p能做出圆的切线，该如何判断切线的条数呢？
y y
o x
C
P
l2
l1
o
y
x
（1）点P 在圆C上，过点P 只能作一条直线与圆C 相切
（2）点P在圆外，过点P 可以作两条直线与圆C 相切
d=r
（3）点P在圆内，过点P不存在与圆C相切的直线
d＞r
d＜r
d
r
d
C
r
d
P
o
由上图可以看出:
例3 经过下列各点与圆C：（x+1）2+（y-1）2=4有几条切线．
（1）P（0，-2） （2）Q（1，1） （3）R（0,2）
解：
由圆的方程（x +1）2+（y-1）2=4，得圆心坐标为C（-1,1），半径r =2.
即|CP|＞r，所以点P在圆外，过点P 有两条直线与圆C 相切
10＞2
（1）点P（0，-2）到圆心C 的距离为
| CP | 0（- -1） 2 - 2 -1 2
例3 经过下列各点与圆C：（x+1）2+（y-1）2=4有几条切线．
（1）P（0，-2） （2）Q（1，1） （3）R（0,2）
解：
由圆的方程（x +1）2+（y-1）2=4，得圆心坐标为C（-1,1），半径r =2.
（2）点Q（1，1）到圆心C 的距离为
| CQ | 1（- -1） 2 1-1 2 2
即|CQ| = r，所以点Q在圆上，过点Q 有一条直线与圆C 相切
例3 经过下列各点与圆C：（x+1）2+（y-1）2=4有几条切线．
（1）P（0，-2） （2）Q（1，1） （3）R（0,2）
解：
由圆的方程（x +1）2+（y-1）2=4，得
圆心坐标为C（-1,1），半径r =2.
（3）点R（0，2）到圆心C 的距离为
| CR | 0（- -1） 2 2 -1 2 2＜2
即|CR |＜r，所以点R在圆内，过点R不存在直线与圆C 相切
例4 已知圆O：x2＋y2＝1，判断过点Q（0，
并求切线方程．
分析：求切线方程关键是求出切线斜率k，可以利用圆心到切线的距离等
于圆的半径来确定k．
解： 由圆O：x2＋y2＝1，得圆心坐标为O（0,0），半径r为1
| OQ | （0 - 0）2 2 - 0 2 2
）2 与圆O有几条切线，
即|OQ|＞r，所以点Q在圆外，过点Q与圆O有两条切线。
1.判断 d . r 的关系
例4 已知圆O：x2＋y2＝1，判断过点Q（0，
并求切线方程．
）2 与圆O有几条切线，
圆心O 到切线 l 的距离为 d
=1
2 | 2
k 2 1
k 2 12
| k 0 0
化简得k2+1=2，解得k1=1，k2= -1，所以切线方程为
2.求切线方程
y- 2 =x和y- 2 =-x
解： 设所求切线 l 的斜率为k，切线过点Q（0，
切线方程为
即
y - 2 =kx
2），则
kx-y + 2 =0
直线方程
点斜式：y-a=k（x-b）
A（a，b）为直线上一点，
k 为直线斜率
相离
直线与圆没有公共点
相切
直线与圆有唯一公共点
相交
直线与圆有两个公共点
位置关系
图形表示
公共点个数
d，r关系
d＞r
＜0
d=r
=0
d＜r
＞0

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