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概率与统计初步
样本的均值与标准差
复习回顾
样本的均值和标准差
我国被誉为基建狂魔，我们的造桥技术世界一流。港珠澳大桥是世界上最长的钢结构桥梁，仅主体工程的主梁钢板用量就达42万吨，相当于10座“鸟巢”体育场或60座埃菲尔铁塔的重量。
港珠澳大桥主桥的三座通航孔桥全部采用斜拉索桥，
由多条8t至23t、1860 MPa的超高强度平行钢丝巨型斜拉缆索从约3000t自重主塔处张拉承受约7000t重的梁面；保障了整座大桥具有跨径大、桥塔高、结构稳定性强等特点。
思考
钢索 l 2 3 4 5
甲厂 l 000 1100 900 1 000 1 200
乙厂 1 000 800 1200 700 1 300
为了检测钢丝的抗拉强度，桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的厂方各随
机选取 5 根钢索进行抗拉强度的检测，数据（单位：吨）统计如下表：
桥梁建设方决定从抗拉强度的总体水平和稳定性来决定钢索的质量，哪一家的钢索质量更优呢？
在这个问题中，建设方采用合适的抽样方法从众多的钢丝中抽取一部分钢丝作为样本，用这部分钢丝的质量估算所有钢丝的质量。
这是一种用样本估计总体的方法，采用合适的抽样方法抽取样本是很重要的，因为这将直接影响对总体的估计结果。
常用的样本统计量有样本均值和样本方差。
从总体中随机抽取一个容量为n的样本，若样本数据为
为样本均值或平
x1, x2, …，xn，则称
均数。
=
+ + +
1 2

在统计工作中，样本均值反映样本的平均水平，通常用来估计总体的平均数，样本容量越大，这种估计的可信程度越高。
例1 为奥运会射击项目选拔运动员，现要求甲、乙两名运动员各射靶5次，
成绩见下表，判断这次射击中哪一位运动员的成绩比较好？
解： 分别计算甲、乙两名运动员5次射击成绩的样本均值如下：
，所以这次射击乙运动员的成绩比较好．
因为 甲 < 乙

甲

乙
5 5
= 6 + 8 + 8 + 9 + 9 = 8 = 7 + 7 + 8 + 9 + 10 = 8.2
现在又安排丙和丁各进行五次射靶，如下表所示，哪一位运动员的成绩更好呢？
这种情况就需要比较两名运动员的成绩相对于样本
均值的偏离程度。
次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
丙击中环数 4 5 6 7 8 6
丁击中环数 4 4 8 6 8 6
如果样本由 个数 1， 2，…， ，组成， 是这 个
数的均值，则
2
1

1
= [
2
+
2 2

+ + 2]
称为样本方差．
=
1

1
[
2
2
+
2

+ + 2
样本标准差
方差或标准差越大，说明数据的离散程度越大
；方差或标准差越小，说明数据的离散程度越
小。
它们对于数据的表现不同。真正能反映稳定性的是标准差，因为它的单位和数据的单位是一样的，而方差的单位是数据单位的平方，所以方差有点夸大波动的情况。
现在又安排丙和丁各进行五次射靶，如下表所示，哪一位运动员的成绩更好呢？
由于S丙次数 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次
丙击中环数 4 5 6 7 8 6
丁击中环数 4 4 8 6 8 6
丙
S ≈1.414
丁
2
=1
5
4 6 2 + 4 6 2 + 8 6 2 + 6 6 2 + 8 6 2
= 3.2
丁
S ≈1.789
丙
2
= 1
5
4 6 2 + 5 6 2 + 6 6 2 + 7 6 2 + 8 6 2 = 2
例2 从我校一年级机电专业A班与B班各选取10人的数学成绩进行
分析，见下表．
试判断哪一个班级的数学成绩比较稳定？
解 分别将10人的数学成绩作为全班成绩的样本，计算均值：
10
x 1 (63+67+90+72+93+84+76+69+81+86)=78.1 ，
A
10
B
x = 1 58+96 +79+86+72+97+90+93+40+70）=78.1 ．
（
由于SA
=
1

1 2
2 2
10
[( ) +( ) + + ( )2
10
= 1 [(63 78.1)2+(67 78.1)2+ + (86 78.1)2
≈9.720

=
1

1 2
2 2
10
[( ) +( ) + + ( )2
10
= 1 [(58 78.1)2+(96 78.1)2+ + (70 78.1)2
≈17.500
计算样本标准差：
例3 为选拔参加奥运会自行车比赛的队员，对甲，乙两名运动员
进行训练和测试．在多次测试后，抽取6次测试成绩，测得所用时间（单位：s）数据见下表：
问甲，乙两名运动员谁更适合参加比赛（保留到小数点后第3位）？
6
解: x = 1 27+38+30+37+35+31 =33
甲
6
x = 1 33+29+38+34+28+36 =33
，乙
．
甲
6
S = 1 [(27 33)2+(38 33)2+(30 33)2+(37 33)2+(35 33)2+(31 33)2
6
= 1 （62 + 52 + 32 + 42 + 22 + 22）
≈3.958
乙
6
S = 1 [(33 33)2+(29 33)2+(38 33)2+(34 33)2+(28 33)2+(36 33)2
6
= 1 （02 + 42 + 52 + 12 + 52 + 32）
≈3.559
由于S甲>S乙，所以运动员乙的成绩比较稳定，比较适合参加比赛。
思考
为了检测钢丝的抗拉强度，桥梁建设方从甲、乙两家生产钢索的厂方各
随机选取 5 根钢索进行抗拉强度的检测，数据（单位：吨）统计如下表：
钢索 l 2 3 4 5
甲厂 l000 1100 900 1000 1200
乙厂 1000 800 1200 700 1300
桥梁建设方决定从抗拉强度的总体水平和稳定性来决定钢索的质盘，哪一家的钢索质量更优呢？
甲
5
= 1 [(1000 1040)2+(1100 1040)2+(900 1040)2+(1000 1040)2+(1200 1040)2
乙
5
= 1 [(1000 1000)2+(800 1000)2+(1200 1000)2+(700 1000)2+(1300 1000)2
=102
=228
由于S甲甲
5
= 1 （1000 + 1100 + 900 + 1000 + 1200） = 1040
乙
5
= 1 （1000 + 800 + 1200 + 700 + 1300） = 1000
小结

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