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(共32张PPT)
第1课时 勾股定理的逆定理
01
课前预习
1.勾股定理的逆定理
内 容：如果三角形的三边长，， 满足_____________，那么这
个三角形是直角三角形.
2.勾股数
像8，15，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，
称为勾股数.
02
考点探究
1
勾股定理的逆定理
例1 判断以下列三边组成的三角形是不是直角三角形：
（1），， ；
解：， 它不是直角三角形．
（2），， ；
解：， 它不是直角三角形．
（3），， ．
解：，即， 它是直角三角形．
例2 如图，每个小正方形的边长都为1.
（1）求图中格点三角形 的面积；
解： .
（2）判断 的形状，并证明你的结论.
解： 是直角三角形.证明如下：
，， ，
，
是直角三角形.
2
勾股数
例3 下列几组数中，是勾股数的有( )
，12，13；，14，15；，，为正整数； ，
2， .
B
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
03
课堂检测
1.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
C
A.5，6，7 B.10，8，4 C.7，25，24 D.9，17，15
2.下列各组数为勾股数的是( )
C
A.，， B.，，
C.8，15，17 D.4，5，6
3.已知在中，，，的对边分别为，， ，判断下
列三角形是否为直角三角形，若是，则判断哪一个角是直角.
（1），， ；
解：，， ，
，， ，
不是直角三角形.
（2），， .
解：，，， ，
是直角三角形， 是直角.
4.如图，在中，，，是 的中线，
且.求 的长.
解：是的中点， ，
.
， ，
，
是直角三角形，且 ，
也是直角三角形，且 是斜边，
，
.
第2课时 勾股定理的逆定理的实
际应用
01
课前预习
勾股定理的逆定理
内 容：如果三角形的三边长，，满足 ，那么这个
三角形是____________.
直角三角形
02
考点探究
1
勾股定理的逆定理的实际应用
例1 （教材P37练习 3变式）一个零件的形状如图①所示，按规定
这个零件中和 都应为直角.工人师傅量得这个零件各边长如
图②所示.你认为这个零件符合要求吗？为什么？
解：符合.理由如下：
，，，， ，
， .
，都是直角三角形，且 ， .
故这个零件符合要求.
2
勾股定理及其逆定理的综合运用
例2 如图，在中，边上的垂直平分线 与
，分别交于点，，且 .
（1）求证： ；
例2答图
证明：连接 ，如答图.
垂直平分， .
， ，
， .
（2）若，，求 的长.
解：设，则 ，
在中， ，
即，解得 ，
.
03
课堂检测
1.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的
“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是
3，4，5，6，9选取其中三块（可重复选取）按图中
的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直
角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )
B
A.5，6，9 B.4，5，9 C.3，4，5 D.3，3，6
2.（教材P36例2变式）如图，有一艘货船和一艘客船同时从港口
出发，客船每小时比货船多走 ，客船与货船的速度比为
，货船沿南偏东 方向航行，后货船到达处，客船到达
处，若此时两船相距 ，求客船航行的方向.
解：设客船的速度为，则货船的速度为 ，
由题意，得，解得 ，
客船的速度为，货船的速度为 .
货船沿南偏东 方向航行，后货船到达处，客船到达 处，
， .
又，， ，
，
客船航行的方向为北偏东 .
3.如图，在四边形中，，， ，且
，求 的度数.
第3题答图
解：如答图，连接 .
， ，
， .
， ，
， ，
，
是直角三角形，且 ，
.(共61张PPT)
第1课时 勾股定理
01
课前预习
勾股定理:在一个直角三角形中,______________的平方和等于
_________的平方.
说 明:我国古代把直角三角形中短的直角边称为勾,长的直角边称为
股,斜边称为弦.
两条直角边长
斜边长
图 示:如图,如果直角三角形的两条直角边长分别
为,,斜边长为,那么 .
应 用:在如图所示的直角三角形中,知道其中任意
两边
的______都可以求出第三边:, ,
.
02
考点探究
1
勾股定理的证明
例1 （教材P23探究变式）4个全等的直角三角形的两
直角边长分别为,,斜边长为 .现把它们适当地拼合,
可以得到如图所示的图形,利用这个图形可以验证勾股
定理,你能说明其中的道理吗？请试一试.
解：图形的总面积可以表示为 ,
图形的总面积也可以表示为 ,
,
.
【变式1】 我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创
制了一幅“勾股圆方图”,后人称之为“赵爽弦图”,它
是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成.如
图,直角三角形的两直角边长分别为,,斜边长为 ,
若, ,则每个直角三角形的面积为
____.
96
【变式2】 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》
时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直
角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若
大正方形的面积是34，小正方形的面积是4，设直角
8
三角形中较长直角边为，较短直角边为，则 的值是___.
2
利用勾股定理进行计算
例2 （教材P25练习T1变式）在中, , ,
, .
（1）已知,,求 ;
解： .
（2）已知,,求 ;
解： .
（3）已知,,求 ;
解： .
（4）已知,,求, .
解：设,则 .
由勾股定理,得,解得或
（不合题意,舍去）.
, .
03
课堂检测
1.如图,数字代表所在正方形的面积,则字母B所代
表的正方形的面积是( )
C
A.12 B.13 C.144 D.194
2.如图是由四个两条直角边分别为3和4的全等直角三角形拼成的“赵
爽弦图”,则阴影部分的面积是___.
1
3.在中, ,,, .
（1）若,求 ;
解： .
（2）若, ,求, .
解： 在中, ,, ,
, .
4.将两个全等的直角三角形按图所示摆放，其中 ，求
证： .
第4题答图
证明：如答图,连接，过点作 边上的高
交的延长线于点 ，则
.
，
又 ，
，
.
第2课时 勾股定理的实际应用
01
课前预习
勾股定理在实际问题中的应用
运用勾股定理解答实际应用题,首先要审清题意,然后找出实际
情境中涉及的直角三角形,再结合勾股定理求解.
02
考点探究
1
勾股定理在实际问题中的应用
例1 （教材P26例2变式）一个门框的尺寸如图所示.
（1）若有一块长、宽 的长方形薄木板,请问能
否从门框内通过？为什么？
解：能从门框内通过.理由如下:
,
一块长、宽 的长方形薄木板,能从门框内通过.
（2）若长方形薄木板长、宽 呢？为什么？
解：能从门框内通过.理由如下:
,
若长方形薄木板长、宽 ,能从门框内通过.
（3）若长方形薄木板长、宽 呢？为什么？
解：能从门框内通过.理由如下:
在中, ,
若长方形薄木板长、宽 ,能从门框内通过.
【变式1】 已知放在墙角的立柜（图①）上、下面是一个等腰直角
三角形（图②）,腰长为, ,现要将这个立柜搬
过宽为 的通道,能通过吗？请通过计算进行说明.（参考数据:
）#2
解： ,
.
,
,
.
,
能通过.
【变式2】 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发,现有 处需
要爆破,已知点与公路上的停靠站的距离为 ,与公路上的另
一停靠站的距离为,且 ,如图所示.为了安全起见,爆破
点周围半径内不得进入,请问在进行爆破时,公路 段是否有
危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答.
变式2答图
解：如答图,过点作于点 .
,, ,
.
,
.
,故公路段有危险,因此
段公路需要暂时封锁.
例2 （教材P26例3变式）如图,一架梯子长 ,斜靠
在一面墙上的点处,梯子底端在点 处且离墙的距离
是 .
（1）这个梯子的顶端距地面多高？
解：由题意,得,, ,
.
答:这个梯子的顶端距地面 .
（2）如果梯子的顶端下滑了到达点 处,那么梯子的底端在水
平方向滑动了几米？
解：由题意,得 ,
,
.
答:梯子的底端在水平方向滑动了 .
2
利用勾股定理求两点间的距离
例3 （教材P26练习T3变式）如图,在平面直角坐标系中, ,
,,则,两点间的距离是____;,两点间的距离是___; ,
两点间的距离是___.
5
5
03
课堂检测
1.如图,一架长为 的梯子斜靠在一面墙上,梯子
底端离墙.如果梯子的顶端下滑了 ,那么梯子
底部在水平方向滑动了( )
A
A. B. C. D.
2.如图所示（单位:）的长方形零件上,两孔中心和 的距离为
_____ .
100
3.小明的妈妈买了一台29英寸 的电视机.小明量了电视机的
屏幕后,发现屏幕只有长和 宽,他觉得一定是售货员搞错
了.你觉得售货员搞错了吗？
解：,长和 宽的电视
机的屏幕的对角线长大约为, 售货员没有搞错.我们通常所说
的29英寸 的电视机,是指电视机的屏幕的对角线的长度.
4.“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢.”某校八（1）班
的数学兴趣小组学习了“勾股定理”之后，想测风筝的
垂直高度 ，他们进行了如下操作（如图）：①测得
水平距离的长为 ；②根据手中剩余线的长度计
算出风筝线的长为 ；③牵线放风筝的同学的身
高为 .
（1）求风筝的垂直高度 ；
解：在 中，由勾股定理，得
，
.
答：风筝的垂直高度为 .
（2）如果想让风筝沿方向下降 ，那么应该往回收线多少米？
解：当风筝沿方向下降时，此时 ，
在 中，由勾股定理，得
，
应该往回收线 .
答：应该往回收线 .
第3课时 利用勾股定理证明与作图
01
课前预习
1.利用勾股定理证明“ ”定理
证明：如图，根据勾股定理可得，另一条直
角边也相等，故这两个三角形的各边对应相
等，所以这两个三角形全等.
2.利用勾股定理表示无理数
方 法：如果长为的线段是直角边长为正整数， 的直角三角形
的斜边，则依照下面的画法，在数轴上可以画出表示 的点.
画 法：为数轴原点，在数轴正半轴上找到点，使 ，过点
作直线垂直于，在上取点，使，以原点 为圆心，
的长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点即为表示 的点.
02
考点探究
1
利用勾股定理证明“ ”定理
例1 （教材 28思考变式）我
们知道“两边和一角分别相等
的两个三角形不一定全等”，
如图①，，，，但 与
却不全等. 但是如果是两个直角三角形呢？如图②，
，，， 和
全等吗？#1
（1）根据图②完成以下证明和阅读：
在和中， ，
根据勾股定理，得， ___________.
，， ____.
_____（____）.
归纳：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称为
“斜边直角边”或“ ”.
（2）如图③，已知 ，.求证： 平分
.
证明： ，
和 是直角三角形.
在和中， .
，
，平分 .
2
画线段表示无理数
例2 作图：请在如图所示的数轴上作出表示 的点（保留作图痕
迹，不写作法）.
解：如答图，即为表示 的点.
例2答图
【变式】 图①、②中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形
的顶点叫作格点.
（1）在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
解：如答图.
变式答图
（2）如图②，，，是小正方形的顶点，则 的度数是____.
3
等腰三角形中的勾股定理
例3 （教材P29练习2变式）如图，在 中，
， ，求该等腰三角形底边上的高与面积.
例3答图
解：如答图，过点作于点 .
， ，
，
即等腰三角形底边上的高为 .
.
03
课堂检测
1.如图，数轴上点所表示的数为，则 的值是( )
B
A. B.
C. D.
2.如图，，，要根据“ ”证明
，还应添加一个条件是( )
C
A. B.
C. D.
3.在数轴上作出表示 的点（不写作法，保留作图痕迹）.
解：如答图，点 即为所求.
第3题答图
4.如图，在等腰三角形中，， .
（1）求 的面积；
第4题答图①
解：过点作于点 ，如答图①.
，， .
， ，
.
（2）过点作边的高线，求 的长.
第4题答图②
解：过点作边的高线 ，如答图②.
， ，
.

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