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1　简谐运动
第二章　机械振动
[定位·学习目标]　
1.通过阅读教材,知道机械振动、弹簧振子、简谐运动等概念,形成物理观念。2.经历对简谐运动运动学特征的探究过程,理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦曲线,能从简谐运动的图像中了解简谐运动的规律,培养科学思维。3.通过对生活中振动实例的观察,体会振动对生活的影响,培养科学态度和责任。
探究·必备知识
知识点一　弹簧振子
「探究新知」
1.机械振动:物体或物体的一部分在一个位置附近的 运动称为机械振动,简称 。
2.弹簧振子模型:如图所示,把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球套在 的杆上,能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小,也可以忽略。我们把小球和弹簧组成的系统称为 ,有时也简称为 。
3.平衡位置:弹簧未形变时,小球所受合力为 ,处于平衡位置。
往复
振动
光滑
弹簧振子
振子
0
正误辨析
(1)弹簧振子的平衡位置都在原长处。(　 　)
(2)振动的物体可以做直线运动,也可以做曲线运动。(　 　)
(3)简谐运动是匀变速运动。(　 　)
(4)弹簧振子每次经过平衡位置时,位移为零。(　 　)
×
√
√
×
知识点二　弹簧振子的位移—时间图像
「探究新知」
1.建立坐标系:以小球的 为坐标原点,沿着 方向建立坐标轴,规定水平向右为正方向。小球在平衡位置的 时它的位置坐标x为正,在 时位置坐标x为负。
2.绘制图像:若用横轴表示振子运动的 ,纵轴表示振子在振动过程中离开 的位移x,则振子振动的x-t图像如图所示,是一条正弦曲线。
3.物理意义:反映了振子的 随 的变化规律。
平衡位置
它的振动
右边
左边
时间t
平衡位置
位移
时间
正误辨析
(1)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(　 　)
(2)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(　 　)
(3)振动图像中弹簧振子的位移为-5 cm,小于1 cm。(　 　)
(4)振子的位移相同时,速度也相同。(　 　)
×
√
×
×
知识点三　简谐运动
「探究新知」
1.简谐运动:如果物体的位移与时间的关系遵从 的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条 曲线,这样的振动是一种简谐运动。
正弦函数
正弦
2.特点
(1)简谐运动是最 、最简单的振动。
(2)简谐运动的位移随时间按正弦规律变化,所以它不是匀变速运动,是变力作用下的 运动。
基本
变加速
如图所示的三个图像分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图像。从三个图像可知,这三个物体的振动有什么共同特点 三个振动物体中,最基本的振动是哪一个
「新知检测」
【答案】 由题图可看出,三个物体振动的共同特点是都具有周期性;弹簧振子振动的图像是简谐运动的图像,是最基本的振动。
突破·关键能力
要点一　弹簧振子模型
「情境探究」
如图所示的装置,把小球向右拉开一段距离后释放,可以观察到小球左右运动了一段时间后,最终停止运动。
【答案】 (1)小球的运动具有往复性。小球因为受到阻力的作用最终停止运动。
探究:(1)小球的运动具有什么特点 为什么小球最终停止运动
(2)在横杆上涂上一层润滑油,重复刚才的实验,观察到的结果与第一次实验有何不同
【答案】 (2)小球往复运动的次数增多,运动时间变长。
(3)如果小球受到的阻力忽略不计,弹簧的质量比小球的质量小得多,也忽略不计,实验结果如何
【答案】 (3)小球将持续地做往复运动。
1.弹簧振子的理想化条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多,可以认为质量集中于小球。
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小,可以认为小球是一个质点。
(3)忽略一切摩擦及阻力。
(4)小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧的弹性限度内。
「要点归纳」
2.弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化:位移指相对平衡位置的位移,由平衡位置指向振子所在的位置。当振子从平衡位置向最大位移处运动时,位移增大;反之,位移减小。
(2)速度及其变化:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。振子在平衡位置处速度最大,在最大位移处速度为零。振子由平衡位置向最大位移处运动时,速度减小;反之,速度增大。
(3)加速度及其变化:水平弹簧振子中弹簧的弹力是振动物体受到的合力,竖直弹簧振子中振动物体所受的重力与弹力之和是振动物体受到的合力。不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子,均满足在平衡位置处所受的合力为零,加速度为零;而在最大位移处所受的合力最大,加速度最大。
[例1] (对弹簧振子的理解)小球和弹簧作如下连接,下列说法正确的是(　　)
[A]只有甲可以被看成弹簧振子
[B]甲、乙都可以看成弹簧振子,丙、丁不可以
[C]甲在任何情况下都可以看成弹簧振子
[D]在一定条件下,甲、乙、丙、丁都可以看成弹簧振子
「典例研习」
D
【解析】 只要满足弹簧振子的振动规律的小球和弹簧的组合都可以看成弹簧振子,弹簧振子可以是水平的、竖直的、倾斜的,也可以是多个弹簧和小球的组合体,故A、B、C错误,D正确。
[例2] (弹簧振子的振动分析)如图所示为一个水平方向的弹簧振子,小球在M、N间做简谐运动,O是平衡位置。关于小球的运动情况,下列描述正确的是(　　)
[A]小球经过O点时速度为零
[B]小球经过M点与N点时有相同的加速度
[C]小球从M点向O点运动的过程中,加速度增大,速度增大
[D]小球从O点向N点运动的过程中,加速度增大,速度减小
D
【解析】 小球经过O点时速度最大,A错误;小球在M点与N点的加速度大小相等,方向相反,B错误;小球从M点向O点运动的过程中,加速度减小,速度增大,C错误;小球从O点向N点运动的过程中,加速度增大,速度减小,D正确。
·规律方法·
对弹簧振子的两点说明
(1)弹簧振子有多种表现形式,对于不同的弹簧振子,在平衡位置处,弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子),但运动方向上的合外力一定为零,速度也一定最大。
(2)弹簧振子位于关于平衡位置对称的两点时,振子的位移大小相等,方向相反;振子的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
要点二　简谐运动及其图像
「情境探究」
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x-t图像:如图所示,取一张白纸,在正中间画一条直线OO′,将白纸平铺在桌面上,甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线,乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸。
探究:(1)白纸不动时,甲同学画出的轨迹是怎样的
【答案】 (1)是一条垂直于OO′的直线。
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时,甲同学画出的轨迹又是怎样的
【答案】 (2)轨迹如图所示,类似于正弦曲线。
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴,说说两坐标轴可表示什么物理量 图线上点的坐标表示什么 用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线
【答案】 (3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点,也可以说是位移坐标轴),沿O′O方向的轴为时间轴t。图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置。一种方法是用图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验,另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线,看看这条曲线可以用什么函数表示。
「要点归纳」
1.简谐运动的x-t图像
x-t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移,也表示振子的位置坐标。它反映了振子位移随时间变化的规律。
注意:x-t图像不是振子的运动轨迹。
2.由简谐运动的图像获取的信息
(1)任意时刻质点的位移。
如图所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
(2)任意时刻质点速度的大小和方向。
任一时刻图线上过该点切线的斜率的绝对值表示该时刻振子的速度大小。斜率的正负表示速度的方向,斜率为正表示速度方向为正方向,反之为负方向。
(3)任意时间内质点的速度、加速度、位移的变化情况。
根据下一时刻质点的位移,判断是远离还是衡位置。若远离平衡位置,则速度越来越小,加速度、位移越来越大;若衡位置,则速度越来越大,加速度、位移越来越小。
[例3] [对振动图像(x-t图像)的初步理解](2025·湖南张家界阶段练习)如图所示为质点P在0～4 s内的振动图像,下列叙述正确的是(　　)
[A]再过1 s,该质点的位移是正方向且最大
[B]再过2 s,该质点的速度方向为正方向
[C]再过3 s,该质点的速度方向为负方向
[D]再过4 s,该质点的速度方向为负方向且最大
「典例研习」
A
【解析】 由振动图像可知,4 s时质点向正方向振动,再过1 s即第5 s时,质点在正方向最大位移处,速度为零;同理,6 s时质点处于平衡位置且沿x轴负方向运动;7 s时质点处于负的最大位移处,其速度为0;8 s时质点又回到平衡位置且向正方向运动。故A正确,B、C、D错误。
[例4] (简谐运动的特点)(多选)(2025·广东广州期中)图甲所示为“弹簧公仔”玩具,由头部、轻弹簧及底座组成,可简化为图乙所示模型。现固定底座B,用力向下按物块A,物块A在竖直方向上的位移随时间的变化规律如图丙所示,下列说法正确的是(　 　)
[A]物块A的振动为简谐运动
[B]0.5 s时和0.7 s时,物块A的位移大小相等、方向相反
[C]0.2～0.4 s内,物块A的速度方向沿x轴负方向
[D]物块A在任意0.4 s内经过的路程一定为20 cm
AD
【解析】 由题图丙可知,物块A的振动图像为正弦曲线,即物块A做简谐运动,故A正确;0.5 s时和0.7 s时,物块A处于同一位置,位移大小相等、方向相同,故B错误;0.2～0.4 s内,物块A由负的最大位移处运动到平衡位置,且速度增大,所以速度方向沿x轴正方向,故C错误;在任意0.4 s内,物块A的始、末位置一定关于平衡位置对称,所以物块A在0.4 s内经过的路程为s=2A=20 cm,故D正确。
·规律方法·
分析简谐运动图像问题的提醒
(1)简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律,简谐运动的图像并不是质点的运动轨迹,运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度。
(2)在x-t图像中,质点在某时刻的位移,即为此时刻对应的纵坐标。
(3)质点在某段时间内的路程,需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算。
检测·学习效果
1.(多选)(2025·浙江绍兴期中)下列各图中物体可能做简谐运动的是( 　 　)
AC
[A]　　 　 [B] [C]　　 　 [D]
【解析】 振动图像为正弦(余弦)曲线的运动是简谐运动,A、C正确。
2.(2025·陕西延安期中)下列关于简谐运动的说法正确的是(　　)
[A]位移的方向总是指向平衡位置
[B]位移总是由平衡位置指向物体所在位置
[C]位移的方向总是跟速度的方向相反
[D]速度的方向总是跟位移的方向相同
B
【解析】 简谐运动中质点的位移是由平衡位置指向物体所在位置,故A错误,
B正确;质点的位移方向总是离开平衡位置,而速度方向有时离开平衡位置,有时衡位置。所以速度的方向有时跟位移的方向相同,有时跟位移的方向相反,故C、D错误。
3.(2025·河南新乡阶段练习)如图所示,一弹簧振子做简谐运动,下列说法正确的是(　　)
[A]若位移为负值,则加速度一定为负值
[B]小球通过平衡位置时,速度为零,位移最大
[C]小球每次经过平衡位置时,位移相同,速度也一定相同
[D]小球每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但位移一定相同
D
【解析】 弹簧振子运动过程中,小球只要离开平衡位置,一定会受到指向平衡位置的力,则小球的位移为负值时,受到的力为正值,小球的加速度为正值,故A错误;当小球通过平衡位置时,位移为零,速度最大,故B错误;小球每次通过平衡位置时,速度大小相等,方向不一定相同,但位移相同,故C错误;小球每次通过同一位置时,位移相同,速度大小相等,但速度方向可能相同,也可能不同,故D正确。
4.(2025·江苏连云港阶段练习)如图所示是某弹簧振子做简谐运动的位移随时间变化的图像,求:
(1)振子从计时时刻起20 s内通过的路程。
【答案】 (1)60 cm
【解析】 (1)由题图可知,振子离开平衡位置的最大距离为30 cm,在0～20 s,振子从平衡位置到达正向最大位移后又回到平衡位置,即通过的路程为60 cm。
(2)在30 s末,振子的位移。
【答案】 (2)30 cm,方向沿x轴负方向
【解析】 (2)与(1)中分析类同,可知在30 s末,振子的位移大小为30 cm,方向沿x轴负方向。
感谢观看1　简谐运动
[定位·学习目标]　1.通过阅读教材,知道机械振动、弹簧振子、简谐运动等概念,形成物理观念。2.经历对简谐运动运动学特征的探究过程,理解简谐运动的位移—时间图像是一条正弦曲线,能从简谐运动的图像中了解简谐运动的规律,培养科学思维。3.通过对生活中振动实例的观察,体会振动对生活的影响,培养科学态度和责任。
知识点一　弹簧振子
探究新知
1.机械振动:物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动称为机械振动,简称振动。
2.弹簧振子模型:如图所示,把一个有小孔的小球连接在弹簧的一端,弹簧的另一端固定,小球套在光滑的杆上,能够自由滑动。弹簧的质量与小球相比可以忽略。小球运动时空气阻力很小,也可以忽略。我们把小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子,有时也简称为振子。
3.平衡位置:弹簧未形变时,小球所受合力为0,处于平衡位置。
正误辨析
(1)弹簧振子的平衡位置都在原长处。(　×　)
(2)振动的物体可以做直线运动,也可以做曲线运动。(　√　)
(3)简谐运动是匀变速运动。(　×　)
(4)弹簧振子每次经过平衡位置时,位移为零。(　√　)
知识点二　弹簧振子的位移—时间图像
探究新知
1.建立坐标系:以小球的平衡位置为坐标原点,沿着它的振动方向建立坐标轴,规定水平向右为正方向。小球在平衡位置的右边时它的位置坐标x为正,在左边时位置坐标x为负。
2.绘制图像:若用横轴表示振子运动的时间t,纵轴表示振子在振动过程中离开平衡位置的位移x,则振子振动的x-t图像如图所示,是一条正弦曲线。
3.物理意义:反映了振子的位移随时间的变化规律。
正误辨析
(1)简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。(　×　)
(2)弹簧振子的位移是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段。(　√　)
(3)振动图像中弹簧振子的位移为-5 cm,小于1 cm。(　×　)
(4)振子的位移相同时,速度也相同。(　×　)
知识点三　简谐运动
探究新知
1.简谐运动:如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律,即它的振动图像(x-t图像)是一条正弦曲线,这样的振动是一种简谐运动。
2.特点
(1)简谐运动是最基本、最简单的振动。
(2)简谐运动的位移随时间按正弦规律变化,所以它不是匀变速运动,是变力作用下的变加速运动。
新知检测
如图所示的三个图像分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图像。从三个图像可知,这三个物体的振动有什么共同特点 三个振动物体中,最基本的振动是哪一个
【答案】 由题图可看出,三个物体振动的共同特点是都具有周期性;弹簧振子振动的图像是简谐运动的图像,是最基本的振动。
要点一　弹簧振子模型
情境探究
如图所示的装置,把小球向右拉开一段距离后释放,可以观察到小球左右运动了一段时间后,最终停止运动。
探究:(1)小球的运动具有什么特点 为什么小球最终停止运动
(2)在横杆上涂上一层润滑油,重复刚才的实验,观察到的结果与第一次实验有何不同
(3)如果小球受到的阻力忽略不计,弹簧的质量比小球的质量小得多,也忽略不计,实验结果
如何
【答案】 (1)小球的运动具有往复性。小球因为受到阻力的作用最终停止运动。
(2)小球往复运动的次数增多,运动时间变长。
(3)小球将持续地做往复运动。
要点归纳
1.弹簧振子的理想化条件
(1)弹簧的质量比小球的质量小得多,可以认为质量集中于小球。
(2)构成弹簧振子的小球体积足够小,可以认为小球是一个质点。
(3)忽略一切摩擦及阻力。
(4)小球从平衡位置被拉开的距离在弹簧的弹性限度内。
2.弹簧振子的振动分析
(1)位移及其变化:位移指相对平衡位置的位移,由平衡位置指向振子所在的位置。当振子从平衡位置向最大位移处运动时,位移增大;反之,位移减小。
(2)速度及其变化:速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。振子在平衡位置处速度最大,在最大位移处速度为零。振子由平衡位置向最大位移处运动时,速度减小;反之,速度增大。
(3)加速度及其变化:水平弹簧振子中弹簧的弹力是振动物体受到的合力,竖直弹簧振子中振动物体所受的重力与弹力之和是振动物体受到的合力。不论是水平弹簧振子还是竖直弹簧振子,均满足在平衡位置处所受的合力为零,加速度为零;而在最大位移处所受的合力最大,加速度最大。
典例研习
[例1] (对弹簧振子的理解)小球和弹簧作如下连接,下列说法正确的是(　　)
[A]只有甲可以被看成弹簧振子
[B]甲、乙都可以看成弹簧振子,丙、丁不可以
[C]甲在任何情况下都可以看成弹簧振子
[D]在一定条件下,甲、乙、丙、丁都可以看成弹簧振子
【答案】 D
【解析】 只要满足弹簧振子的振动规律的小球和弹簧的组合都可以看成弹簧振子,弹簧振子可以是水平的、竖直的、倾斜的,也可以是多个弹簧和小球的组合体,故A、B、C错误,D正确。
[例2] (弹簧振子的振动分析)如图所示为一个水平方向的弹簧振子,小球在M、N间做简谐运动,O是平衡位置。关于小球的运动情况,下列描述正确的是(　　)
[A]小球经过O点时速度为零
[B]小球经过M点与N点时有相同的加速度
[C]小球从M点向O点运动的过程中,加速度增大,速度增大
[D]小球从O点向N点运动的过程中,加速度增大,速度减小
【答案】 D
【解析】 小球经过O点时速度最大,A错误;小球在M点与N点的加速度大小相等,方向相反,B错误;小球从M点向O点运动的过程中,加速度减小,速度增大,C错误;小球从O点向N点运动的过程中,加速度增大,速度减小,D正确。
对弹簧振子的两点说明
(1)弹簧振子有多种表现形式,对于不同的弹簧振子,在平衡位置处,弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子),但运动方向上的合外力一定为零,速度也一定最大。
(2)弹簧振子位于关于平衡位置对称的两点时,振子的位移大小相等,方向相反;振子的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
要点二　简谐运动及其图像
情境探究
甲、乙两同学合作模拟弹簧振子的x-t图像:如图所示,取一张白纸,在正中间画一条直线OO′,将白纸平铺在桌面上,甲同学用手使铅笔尖从O点沿垂直于OO′方向振动画线,乙同学沿O′O方向水平向右匀速拖动白纸。
探究:(1)白纸不动时,甲同学画出的轨迹是怎样的
(2)乙同学向右慢慢匀速拖动白纸时,甲同学画出的轨迹又是怎样的
(3)沿O′O方向与垂直O′O方向分别建立坐标轴,说说两坐标轴可表示什么物理量 图线上点的坐标表示什么 用什么方法判断上述图像是否为正弦曲线
【答案】 (1)是一条垂直于OO′的直线。
(2)轨迹如图所示,类似于正弦曲线。
(3)垂直O′O方向的轴为位置坐标轴x(如果以O′为出发点,也可以说是位移坐标轴),沿O′O方向的轴为时间轴t。图线上点的坐标表示某时刻铅笔尖的位移(以O′为出发点)或位置。一种方法是用图上坐标点代入正弦函数表达式中进行检验,另一种是用图上多个点的坐标值输入计算机作出这条曲线,看看这条曲线可以用什么函数表示。
要点归纳
1.简谐运动的x-t图像
x-t图像上的x坐标表示振子相对平衡位置的位移,也表示振子的位置坐标。它反映了振子位移随时间变化的规律。
注意:x-t图像不是振子的运动轨迹。
2.由简谐运动的图像获取的信息
(1)任意时刻质点的位移。
如图所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
(2)任意时刻质点速度的大小和方向。
任一时刻图线上过该点切线的斜率的绝对值表示该时刻振子的速度大小。斜率的正负表示速度的方向,斜率为正表示速度方向为正方向,反之为负方向。
(3)任意时间内质点的速度、加速度、位移的变化情况。
根据下一时刻质点的位移,判断是远离还是衡位置。若远离平衡位置,则速度越来越小,加速度、位移越来越大;若衡位置,则速度越来越大,加速度、位移越来越小。
典例研习
[例3] [对振动图像(x-t图像)的初步理解](2025·湖南张家界阶段练习)如图所示为质点P在0～4 s内的振动图像,下列叙述正确的是(　　)
[A]再过1 s,该质点的位移是正方向且最大
[B]再过2 s,该质点的速度方向为正方向
[C]再过3 s,该质点的速度方向为负方向
[D]再过4 s,该质点的速度方向为负方向且最大
【答案】 A
【解析】 由振动图像可知,4 s时质点向正方向振动,再过1 s即第5 s时,质点在正方向最大位移处,速度为零;同理,6 s时质点处于平衡位置且沿x轴负方向运动;7 s时质点处于负的最大位移处,其速度为0;8 s时质点又回到平衡位置且向正方向运动。故A正确,B、C、D错误。
[例4] (简谐运动的特点)(多选)(2025·广东广州期中)图甲所示为“弹簧公仔”玩具,由头部、轻弹簧及底座组成,可简化为图乙所示模型。现固定底座B,用力向下按物块A,物块A在竖直方向上的位移随时间的变化规律如图丙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]物块A的振动为简谐运动
[B]0.5 s时和0.7 s时,物块A的位移大小相等、方向相反
[C]0.2～0.4 s内,物块A的速度方向沿x轴负方向
[D]物块A在任意0.4 s内经过的路程一定为20 cm
【答案】 AD
【解析】 由题图丙可知,物块A的振动图像为正弦曲线,即物块A做简谐运动,故A正确;0.5 s时和0.7 s时,物块A处于同一位置,位移大小相等、方向相同,故B错误;0.2～0.4 s内,物块A由负的最大位移处运动到平衡位置,且速度增大,所以速度方向沿x轴正方向,故C错误;在任意0.4 s内,物块A的始、末位置一定关于平衡位置对称,所以物块A在0.4 s内经过的路程为s=2A=20 cm,故D正确。
分析简谐运动图像问题的提醒
(1)简谐运动的位移—时间图像反映的是质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律,简谐运动的图像并不是质点的运动轨迹,运动轨迹的长度也不是正弦或余弦图线拉开后的长度。
(2)在x-t图像中,质点在某时刻的位移,即为此时刻对应的纵坐标。
(3)质点在某段时间内的路程,需结合振动质点的实际运动轨迹进行计算。
1.(多选)(2025·浙江绍兴期中)下列各图中物体可能做简谐运动的是(　　)
[A]　　　 [B]
[C]　　　 [D]
【答案】 AC
【解析】 振动图像为正弦(余弦)曲线的运动是简谐运动,A、C正确。
2.(2025·陕西延安期中)下列关于简谐运动的说法正确的是(　　)
[A]位移的方向总是指向平衡位置
[B]位移总是由平衡位置指向物体所在位置
[C]位移的方向总是跟速度的方向相反
[D]速度的方向总是跟位移的方向相同
【答案】 B
【解析】 简谐运动中质点的位移是由平衡位置指向物体所在位置,故A错误,B正确;质点的位移方向总是离开平衡位置,而速度方向有时离开平衡位置,有时衡位置。所以速度的方向有时跟位移的方向相同,有时跟位移的方向相反,故C、D错误。
3.(2025·河南新乡阶段练习)如图所示,一弹簧振子做简谐运动,下列说法正确的是(　　)
[A]若位移为负值,则加速度一定为负值
[B]小球通过平衡位置时,速度为零,位移最大
[C]小球每次经过平衡位置时,位移相同,速度也一定相同
[D]小球每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但位移一定相同
【答案】 D
【解析】 弹簧振子运动过程中,小球只要离开平衡位置,一定会受到指向平衡位置的力,则小球的位移为负值时,受到的力为正值,小球的加速度为正值,故A错误;当小球通过平衡位置时,位移为零,速度最大,故B错误;小球每次通过平衡位置时,速度大小相等,方向不一定相同,但位移相同,故C错误;小球每次通过同一位置时,位移相同,速度大小相等,但速度方向可能相同,也可能不同,故D正确。
4.(2025·江苏连云港阶段练习)如图所示是某弹簧振子做简谐运动的位移随时间变化的图像,求:
(1)振子从计时时刻起20 s内通过的路程。
(2)在30 s末,振子的位移。
【答案】 (1)60 cm
(2)30 cm,方向沿x轴负方向
【解析】 (1)由题图可知,振子离开平衡位置的最大距离为30 cm,在0～20 s,振子从平衡位置到达正向最大位移后又回到平衡位置,即通过的路程为60 cm。
(2)与(1)中分析类同,可知在30 s末,振子的位移大小为30 cm,方向沿x轴负方向。
课时作业
(分值:60分)
考点一　弹簧振子
1.(4分)(2025·甘肃天水期末)弹簧振子的运动属于(　　)
[A]匀变速直线运动
[B]匀速直线运动
[C]匀速圆周运动
[D]变速运动
【答案】 D
【解析】 弹簧振子在运动过程中,当经过平衡位置时合力为0,但在其他位置合力不为0,且离平衡位置越远合力越大,物体向平衡位置运动时速度增大,说明物体速度和加速度都时刻改变,属于变速运动。故D正确。
2.(4分)(2025·河南阶段练习)如图所示,甲质点在x1轴上做简谐运动,O1为其平衡位置,A1、B1为其所能到达的最远处。乙质点沿x2轴从A2点开始做初速度为零的匀加速直线运动。已知A1O1=A2O2,甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等,设甲质点从A1运动到O1的时间为t1,乙质点从A2运动到O2的时间为t2,则下列式子正确的是(　　)
[A]t1t2
[C]t1=t2 [D]t1=2t2
【答案】 A
【解析】 由于甲、乙两质点分别经过O1、O2时速率相等,且A1O1=A2O2,而质点甲做加速度逐渐减小的加速运动,质点乙做匀加速运动,则甲、乙分别运动到O1、O2的vt图像如图所示,可得t13.(6分)(多选)(2025·湖南娄底阶段练习)轻质弹簧的下端悬挂一个钢球,上端固定,它们组成了一个振动系统,称为竖直弹簧振子,如图甲所示。用手把钢球向上托起一段距离,然后释放,钢球便上下振动。如图乙所示的照片是通过频闪照相得到的,频闪仪每隔0.05 s闪光一次,闪光的瞬间振子被照亮,从而得到闪光时钢球的位置,相邻两个位置之间的时间相隔为0.05 s。拍摄时底片从左往右匀速运动,因此在底片上留下了钢球的一系列的像。下列说法正确的是(　　)
[A]钢球托起前的位置就是振子的平衡位置
[B]释放钢球的初始位置就是振子的平衡位置
[C]忽略空气阻力,以地面为参考系可以将钢球的运动看作是简谐运动
[D]忽略空气阻力,以底片为参考系可以将钢球的运动看作是简谐运动
【答案】 AC
【解析】 钢球的平衡位置是弹力和重力相平衡的位置,也就是钢球托起前所处的位置,钢球在初始位置释放时,合力竖直向下,此位置不是平衡位置,选项A正确,B错误;忽略空气阻力,以地面为参考系,钢球在竖直方向上的运动是简谐运动;而以底片为参考系时,钢球还参与水平方向的匀速直线运动,则钢球的运动不是简谐运动,选项C正确,D错误。
考点二　简谐运动及振动图像
4. (4分)(2025·天津静海期中)一个弹簧振子在A、B间做简谐运动,O点为振子的平衡位置,如图所示。规定向右为正方向,当振子向左运动经过O点时开始计时,则下列选项中画出的振动图像正确的是(　　)
[A]　　 [B]
[C]　 　 [D]
【答案】 B
【解析】 由于规定向右为正方向,当振子向左运动经过O点时开始计时,即位移由O向负方向增大,故B正确。
5.(6分)(多选)(2025·新疆伊犁阶段练习)如图甲所示,弹簧振子以点O为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]t=0.8 s时,振子的速度方向向左
[B]t=0.2 s时振子正在做加速度增大的减速运动
[C]t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的加速度完全相同
[D]t=0.4 s到t=0.8 s的时间内,振子的速度逐渐减小
【答案】 AB
【解析】 从振子的位移—时间图像可以看出,在0～0.4 s,振子由平衡位置向右运动,t=0.4 s时到达B点,0.4～0.8 s由B点运动到O点,t=0.8 s时,振子速度方向向左,故A正确。0～0.2 s,振子从平衡位置向右侧最大位移处运动,离平衡位置越远,则加速度越大,振子做的是加速度增大的减速运动,故B正确。t=0.4 s时,振子处在正向最大位移处,加速度向左,t=1.2 s时,振子处在负向最大位移处,加速度向右,两个位置加速度大小相等,但方向相反,故C错误。在0.4～0.8 s的时间内,振子从正向最大位移处向平衡位置运动,振子速度逐渐增大,故D错误。
6.(4分)(2025·陕西延安阶段练习)如图,为某鱼漂的示意图。当鱼漂静止时,水位恰好在O点。用手将鱼漂往下按,使水位处于M点。松手后,鱼漂会在M、N之间来回移动,其运动类同于弹簧振子。下列说法正确的是(　　)
[A]水位由O点到N点过程,鱼漂的位移向下最大
[B]水位在O点时,鱼漂的速度最大
[C]水位到达M点时,鱼漂具有向下的加速度
[D]鱼漂由上往下运动时,速度越来越大
【答案】 B
【解析】 水位由O点到N点过程鱼漂向上运动,位移方向向上且达到最大,故A错误;水位在O点时鱼漂经过平衡位置,所以水位在O点时鱼漂的速度最大,故B正确;水位处于M点时,鱼漂具有向上的加速度,故C错误;鱼漂由上往下运动时,当水位在O点上方时加速度向上,水位在O点下方时加速度向下,即可能加速也可能减速,故D错误。
7.(10分)如图所示,简谐运动的图像上有a、b、c、d、e、f六个点,其中:
(1)与a点位移相同的点有哪些
(2)与a点速度相同的点有哪些
(3)b点离开平衡位置的最大距离是多少
【答案】 (1)b、e、f　(2)d、e　(3)2 cm
【解析】 (1)位移是矢量,位移相同意味着位移的大小和方向都要相同,可知与a点位移相同的点有b、e、f。
(2)速度也是矢量,速度相同要求速度的大小和方向都要相同,可知与a点速度相同的点有d、e。
(3)b点离开平衡位置的最大距离即为振动物体最大位移的大小。由题图知最大距离为2 cm。
8.(6分)(多选)(2025·辽宁沈阳阶段练习)如图所示的弹簧振子,O点为它的平衡位置,关于振子的运动,下列说法正确的是(　　)
[A]振子从A点运动到C点时,在C点的位移大小为OC,方向向右
[B]振子从A点运动到C点的过程中,速度在增大,加速度在减小
[C]振子从C点运动到A点时,在A点的位移大小为CA,方向向右
[D]振子从A点运动到O点的过程中,速度先增大后减小,加速度先减小后增大
【答案】 AB
【解析】 振子从A点运动到C点时,其位移是以O点为起点,C点为终点,故位移大小为OC,方向向右;振子从C点运动到A点时位移大小为OA,方向向右,故A正确,C错误。振子的合力为弹簧的弹力,振子从A点运动到C点的过程中弹力在减小,加速度在减小,速度在增大;振子从C点运动到O点的过程中,弹力在减小,加速度在减小,速度在增大,所以振子从A点运动到O点的过程中,速度增大,加速度减小,故B正确,D错误。
9.(4分)(2025·江苏南通阶段练习)如图甲所示,一只小鸟站在树枝上与树枝一起上下振动,小鸟振动的v-t图像如图乙所示,速度向下为正。下列说法正确的是(　　)
[A]t=0时刻小鸟的速度方向向上
[B]t1时刻树枝对小鸟弹力最大
[C]t2时刻小鸟的加速度最大
[D]t3时刻小鸟处在最低点
【答案】 C
【解析】 根据题图乙可知,t=0时刻速度为正,由于速度向下为正方向,所以小鸟的速度方向向下,故A错误;t1时刻小鸟的速度最大,此时小鸟受力平衡,即所受弹力等于重力,此后小鸟向下做减速运动,树枝对其弹力逐渐增大,故t1时刻,树枝对其弹力未达到最大,故B错误;t2时刻小鸟的速度为0,这一瞬间停止了向下的运动,即将向上运动,此时树枝弹力最大,小鸟的加速度方向向上,且达到最大值,故C正确;t3时刻小鸟向上运动达到最大速度后向上做减速运动,故此时小鸟在平衡位置处,不是最低点,故D错误。
10.(12分)(2025·山东泰安期中)如图所示,在倾角为θ=30° 的固定光滑斜面上,C为一固定挡板,轻质弹簧的一端连接物体A,另一端固定在挡板上。物体B在A上方斜面的某处。用力控制A、B保持静止,且使弹簧处于自然状态,现同时释放物体A、B,物体A完成一次全振动,经过的时间为T,此时B和A恰好相碰且粘为一体。物体A的质量为m,物体B的质量为2m。弹簧始终在弹性限度内,劲度系数为k,弹簧弹性势能表达式Ep=kx2,重力加速度为g。
(1)求释放前物体A、B间的距离L;
(2)求B和A粘为一体后的最大速度;
(3)若B和A到达物体A释放位置上方x0处时其速度恰好为零,运动过程中物体A、B整体离开平衡位置的最大距离是多少
【答案】 (1)　(2) (3)+x0
【解析】 (1)由题意可知,当物体A处于平衡位置时受力平衡,有kx1=mgsin 30°,
解得此时弹簧的压缩量为x1=,
物体A完成一次全振动时,又回到了最初释放的位置。物体B在这段时间内沿着斜面向下做匀加速直线运动,则有
mBgsin 30°=mBaB,
得aB=gsin 30°=,由匀变速直线运动的位移—时间关系可得
L=aBT2=。
(2)由匀变速直线运动的速度—时间关系可得,物体B下滑到刚与物体A接触时的速度为
vB=aBT=,
物体A、B发生碰撞,根据动量守恒定律有
2mvB=3mv,v=vB=,
物体A、B粘为一体,此时的平衡位置满足
kx2=3mgsin 30°,
解得x2=,
当A、B整体到达平衡位置时速度最大。从A、B粘为一体到平衡位置,根据动能定理有
3mgx2sin 30°-W弹=·3m-·3mv2,
其中W弹=k=,
化简可得,最大速度为
vmax=。
(3)由于释放物体A时弹簧处于自然状态,A、B碰撞后其整体速度最大时弹簧压缩量为x2,而整体振动过程中到达初始物体A释放位置上方x0处速度恰好为零,可知A、B整体在2(x2+x0)范围内做简谐运动,即离开平衡位置的最大距离为+x0。

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