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(共47张PPT)
3　简谐运动的回复力和能量
[定位·学习目标]　
1.通过阅读教材,掌握回复力的概念和特征,形成物理观念。2.通过教材做一做,结合牛顿运动定律能够独立运用能量守恒观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律,培养科学思维。3.通过探究弹簧振子系统的能量转化过程,培养学生比较、归纳分析问题的思想方法。
探究·必备知识
知识点一　简谐运动的回复力
「探究新知」
1.回复力
(1)定义:使物体在 附近做往复运动的力。
(2)方向:指向 ,与位移方向相反。
(3)表达式:F= ,式中“-”号表示F与x 。
2.简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置 的大小成 ,并且总是指向平衡位置,物体的运动就是简谐运动。
平衡位置
平衡位置
-kx
反向
位移
正比
正误辨析
(1)简谐运动的回复力可以是恒力。(　 　)
(2)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(　 　)
(3)回复力的方向总是跟位移的方向相反。(　 　)
(4)通过速度的增减变化情况,能判断回复力大小的变化情况。(　 　)
×
√
×
√
知识点二　简谐运动的能量
「探究新知」
1.能量转化
弹簧振子运动的过程就是 和 互相转化的过程。对于沿水平方向振动的弹簧振子:
(1)在最大位移处, 最大, 为0;
(2)在平衡位置处, 最大, 为0。
动能
势能
势能
动能
动能
势能
2.能量特点
(1)在简谐运动中,振动系统的机械能 ,而在实际运动中都有一定的能量损耗,因此简谐运动是一种 模型。
(2)对于沿水平方向振动的弹簧振子,当小球运动到最大位移时,动能为0,弹性势能最大,系统的机械能 最大弹性势能。对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统,振幅越大,机械能 。
守恒
理想化
等于
越大
正误辨析
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。(　 　)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(　 　)
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。(　 　)
(4)回复力F=-kx中的k一定是弹簧的劲度系数。(　 　)
×
√
×
×
突破·关键能力
要点一　简谐运动的回复力
如图甲所示为水平方向的弹簧振子,如图乙所示为竖直方向的弹簧振子,如图丙所示为m随M一起在光滑的水平面上振动的系统。
「情境探究」
探究:(1)图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么
【答案】 (1)弹簧的弹力提供回复力。
(2)图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么
【答案】 (2)弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
(3)图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么 m的回复力的来源是什么
【答案】 (3)m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供;m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
1.对回复力的理解
(1)作用效果:使振动物体回到平衡位置。
(2)来源:回复力可以由某一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由某一个力的分力提供。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
「要点归纳」
2.简谐运动的回复力的特点
(1)表达式:F=-kx。
①回复力大小:与振子的位移大小成正比,其中x是指物体对平衡位置的位移,不一定是弹簧的伸长量或压缩量。
②回复力的方向:“-”号表示与位移的方向相反,即回复力的方向总是指向平衡位置。
③表达式F=-kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数。
(3)简谐运动的回复力与时间的关系:因x=Asin(ωt+φ),故回复力F=-kx=
-kAsin(ωt+φ),可见回复力随时间按正弦规律变化。
[例1] (对回复力的理解)(2025·内蒙古兴安盟期中)关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是(　　)
[A]做简谐运动的物体回复力总是阻碍其远离平衡位置
[B]回复力不可能等于0
[C]回复力最大时,物体的速度最大
「典例研习」
A
[例2] (回复力的计算)(多选)如图所示,物体系在两水平弹簧之间,弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然伸长状态,今向右拉动物体,然后释放,物体在B、C间振动(不计阻力),O为平衡位置,则下列判断正确的是(　　 )
[A]物体做简谐运动,OC=OB
[B]物体做简谐运动,OC≠OB
[C]回复力F=-kx
[D]回复力F=-3kx
AD
【解析】 以O点为原点,水平向右为正方向建立x轴,物体在O点右方x处时所受合力F=-(k1x+k2x)=-3kx,因此物体做简谐运动,由对称性可知,OC=OB=A,故A、D正确。
要点二　简谐运动中各物理量的变化
「情境探究」
如图所示为水平弹簧振子,O点为平衡位置,B、C点为两个最大位移处。
则振子经历从B→O→C的过程中:
探究:(1)振子在振动过程中位移、回复力、速度、加速度、动能、势能都怎样变化
【答案】 (1)B→O的过程中,振子在振动过程中位移、回复力、加速度、势能均减小,速度、动能增大;
O→C的过程中,振子在振动过程中位移、回复力、加速度、势能均增大,速度、动能减小。
(2)振子在振动过程中机械能守恒吗
【答案】 (2)振子在振动过程中只有弹力做功,故机械能守恒。
「要点归纳」
1.简谐运动中各物理量的变化规律
过程 x F a v Ek Ep E
远离平衡 位置运动 增大 增大 增大 减小 减小 增大 不变
最大 位移处 最大 最大 最大 零 零 最大 不变
衡 位置运动 减小 减小 减小 增大 增大 减小 不变
平衡位置 零 零 零 最大 最大 最小 不变
2.对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定
能量的获得 最初的能量来自外部,通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化,机械能守恒
理想化 模型 (1)力的角度:简谐运动不考虑阻力。
(2)能量转化角度:简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
[例3] (多选)(2025·广东江门阶段练习)如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动,取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是(　 　)
[A]t=0.2 s时,振子在O点右侧6 cm处
[B]t=0.6 s和t=1.0 s时,振子的位移相同
[C]t=0.8 s时,振子的动能最大
[D]t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振动势能逐渐减小
「典例研习」
CD
·误区警示·
有关简谐运动的两点提醒
(1)简谐运动中的最大位移处,F、a、Ep最大,Ek=0;在平衡位置,F=0,a=0,
x=0,Ep=0,而Ek最大。
(2)水平弹簧振子的能量为动能和弹性势能,其他情形的弹簧振子的振动能量包含动能、弹性势能和重力势能。
提升·核心素养
简谐运动的判断和对称性的应用
「核心归纳」
1.判断振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法:对物体的位移分析,如果位移随时间的变化关系满足x=Asin(ωt+φ)或x- t图像满足正(余)弦规律,即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法:对物体进行受力分析,物体所受到的回复力满足形式F=-kx,即可判断为简谐运动。
2.判断振动是否为简谐运动的步骤
(1)以平衡位置为原点,沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外),对振动物体进行受力分析。
(3)将力在振动方向上合成,求出振动方向上的合力。
「典例研习」
[例1] (简谐运动的判断)(2025·广东佛山期末)如图所示,底面积为S、高为5l的圆柱浮筒漂浮于平静的水面上,静止时浮筒水面以下部分的长度为3l,已知水的密度为ρ,重力加速度为g,将浮筒竖直往下按压长度x(小于2l)后由静止释放,浮筒开始上下振动,忽略水对浮筒的黏滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动,分析回答以下问题:
(1)由哪些力提供浮筒振动的回复力
【答案】 (1)浮力和重力
【解析】 (1)浮筒受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力,浮力和重力的合力提供浮筒振动的回复力。
(2)试证明浮筒做简谐运动;
【答案及解析】 (2)浮筒的平衡位置是原来静止的位置,浮筒漂浮(静止)时有G=F浮,
而F浮=ρgS·3l,
以浮筒振动到平衡位置下方情形为例,取向下为正方向,当浮筒位移为x(小于2l)时,受到的浮力为F浮′=ρgS(3l+x),
其回复力为F=-F浮′+G,
联立解得F=-ρgSx,
即回复力与位移大小成正比,方向与位移方向相反;同理可证,浮筒振动到平衡位置上方时结果相同,所以浮筒此时做简谐运动。
(3)当按压长度x不同时会发现,浮筒的振动频率不变,对此可得到怎样的结论
【答案及解析】 (3)对一个简谐运动系统,其振动频率由自身物理性质决定,与振幅的大小无关。
[例2] (简谐运动的对称性)(2025·广东佛山阶段练习)一个弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置,P、Q是振动过程中关于O点对称的两个位置,下列说法正确的是(　　)
[A]振子在从M点向O点运动过程中,速度减小,弹性势能增大
[B]振子在OP间与OQ间的运动时间相等
[C]振子运动到P、Q两点时,位移相同
[D]振子经过P、Q两点时速度一定相等
B
【解析】 振子在从M点向O点运动过程中,速度增大,动能增大,弹性势能减小,故A错误;由对称性可知,振子在OP间与OQ间的运动时间相等,故B正确;振子运动到P、Q两点时,位移等大反向,故C错误;振子经过P、Q两点时速率一定相等,但速度方向不一定相同,故D错误。
·规律总结·
简谐运动的对称性规律
状态量的 对称性 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时:
①物体的位移、回复力、加速度各量的大小一定对应相等,方向一定相反;
②速度大小一定相等,方向可能相同、也可能相反;
③动能、势能、机械能一定相等
时间的 对称性 ①振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等,如图中tBC=tCB;
②振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等。如图中tBC=tB′C′
检测·学习效果
1.关于简谐运动的回复力F=-kx的含义,下列说法正确的是(　　)
[A]k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的长度
[B]k是回复力跟位移的比值,x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
B
[D]表达式中的“-”号表示F始终阻碍物体的运动
【解析】 对弹簧振子来说,k为劲度系数,x为质点离开平衡位置的位移,故A错误;对于其他简谐运动,k不是劲度系数,而是一个比例系数,故B正确;k由系统本身结构决定,与力F和位移x无关,故C错误;表达式中“-”号只表示回复力与位移反向,回复力有时是动力,故D错误。
2.(2025·吉林白山期末)如图所示,光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,取向左为正方向,则振子从O点运动到B点的过程中(　　)
[A]位移不断减小
[B]加速度不断减小
[C]位移方向与加速度方向始终相同
[D]速度减小,弹性势能增大
D
【解析】 振子从O→B的运动过程远离平衡位置,故位移增大,回复力增大,加速度增大,位移方向与加速度方向相反,速度减小,弹性势能增大。故D正确。
3.(多选)一弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x与时间t的关系图线如图所示,在t=3.2 s时,振子的(　 　)
[A]速度正在增大,加速度沿正方向且正在减小
[B]速度正在减小,回复力沿负方向且正在增大
[C]动能正在转化为势能
[D]势能正在转化为动能
BC
【解析】 当t=3.2 s时振子正在向最大位移处运动,位移为正,速度正在减小,加速度和回复力沿负方向且正在增大,振子动能减小,弹簧弹性势能增大,动能正在转化为势能,B、C正确,A、D错误。
4.(2025·河南南阳期中)如图甲所示的水上浮桥是由一个个浮筒组成的,拆下其中单个浮筒如图乙所示。单个浮筒的横截面积一定,在水面上的上下浮动可视为振幅为A的简谐运动,浮筒的质量为m,浮筒做简谐运动时最大排水体积为静止时排水体积的1.2倍。已知重力加速度为g,求:
(1)浮筒做简谐运动时回复力的最大值Fm;
【答案】 (1)0.2mg
【解析】 (1)设浮筒静止时排水体积为V,可知 mg=ρgV,
排水体积最大时,回复力为Fm=1.2ρgV-mg,
解得Fm=0.2mg。
(2)浮筒做简谐运动时回复力与位移的比例系数k。
感谢观看3　简谐运动的回复力和能量
[定位·学习目标]　1.通过阅读教材,掌握回复力的概念和特征,形成物理观念。2.通过教材做一做,结合牛顿运动定律能够独立运用能量守恒观点分析水平弹簧振子中动能、势能、总能量的变化规律,培养科学思维。3.通过探究弹簧振子系统的能量转化过程,培养学生比较、归纳分析问题的思想方法。
知识点一　简谐运动的回复力
探究新知
1.回复力
(1)定义:使物体在平衡位置附近做往复运动的力。
(2)方向:指向平衡位置,与位移方向相反。
(3)表达式:F=-kx,式中“-”号表示F与x反向。
2.简谐运动
如果物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位置,物体的运动就是简谐运动。
正误辨析
(1)简谐运动的回复力可以是恒力。(　×　)
(2)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。(　×　)
(3)回复力的方向总是跟位移的方向相反。(　√　)
(4)通过速度的增减变化情况,能判断回复力大小的变化情况。(　√　)
知识点二　简谐运动的能量
探究新知
1.能量转化
弹簧振子运动的过程就是动能和势能互相转化的过程。对于沿水平方向振动的弹簧振子:
(1)在最大位移处,势能最大,动能为0;
(2)在平衡位置处,动能最大,势能为0。
2.能量特点
(1)在简谐运动中,振动系统的机械能守恒,而在实际运动中都有一定的能量损耗,因此简谐运动是一种理想化模型。
(2)对于沿水平方向振动的弹簧振子,当小球运动到最大位移时,动能为0,弹性势能最大,系统的机械能等于最大弹性势能。对于弹簧劲度系数和小球质量都一定的系统,振幅越大,机械能越大。
正误辨析
(1)回复力的方向总是与位移的方向相反。(　√　)
(2)回复力的方向总是与速度的方向相反。(　×　)
(3)回复力的方向总是与加速度的方向相反。(　×　)
(4)回复力F=-kx中的k一定是弹簧的劲度系数。(　×　)
要点一　简谐运动的回复力
情境探究
如图甲所示为水平方向的弹簧振子,如图乙所示为竖直方向的弹簧振子,如图丙所示为m随M一起在光滑的水平面上振动的系统。
探究:(1)图甲中水平方向的弹簧振子的回复力的来源是什么
(2)图乙中竖直方向的弹簧振子的回复力的来源是什么
(3)图丙中水平方向m与M整体的回复力的来源是什么 m的回复力的来源是什么
【答案】 (1)弹簧的弹力提供回复力。
(2)弹簧的弹力与重力的合力提供回复力。
(3)m与M整体的回复力由弹簧的弹力提供;m的回复力由M对m的静摩擦力提供。
要点归纳
1.对回复力的理解
(1)作用效果:使振动物体回到平衡位置。
(2)来源:回复力可以由某一个力提供,也可以由几个力的合力提供,还可以由某一个力的分力提供。归纳起来,回复力一定等于振动物体在振动方向上所受的合力。
2.简谐运动的回复力的特点
(1)表达式:F=-kx。
①回复力大小:与振子的位移大小成正比,其中x是指物体对平衡位置的位移,不一定是弹簧的伸长量或压缩量。
②回复力的方向:“-”号表示与位移的方向相反,即回复力的方向总是指向平衡位置。
③表达式F=-kx中的k指的是由振动系统本身决定的比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数。
(2)简谐运动加速度的特点:根据牛顿第二定律得a==-x,表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小与位移大小成正比,加速度方向与位移方向相反。
(3)简谐运动的回复力与时间的关系:因x=Asin(ωt+φ),故回复力F=-kx=-kAsin(ωt+φ),可见回复力随时间按正弦规律变化。
典例研习
[例1] (对回复力的理解)(2025·内蒙古兴安盟期中)关于简谐运动的回复力,下列说法正确的是(　　)
[A]做简谐运动的物体回复力总是阻碍其远离平衡位置
[B]回复力不可能等于0
[C]回复力最大时,物体的速度最大
[D]物体在时间内的回复力一定是先增大后减小
【答案】 A
【解析】 做简谐运动的物体远离平衡位置时,一定会受到方向与位移方向相反的回复力而使其做减速运动,故A正确;做简谐运动的物体在平衡位置回复力等于0,故B错误;回复力最大时,物体的速度等于0,故C错误;物体做简谐运动,在的时间内,由于初始位置不确定,回复力不一定先增大后减小,故D错误。
[例2] (回复力的计算)(多选)如图所示,物体系在两水平弹簧之间,弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然伸长状态,今向右拉动物体,然后释放,物体在B、C间振动(不计阻力),O为平衡位置,则下列判断正确的是(　　)
[A]物体做简谐运动,OC=OB
[B]物体做简谐运动,OC≠OB
[C]回复力F=-kx
[D]回复力F=-3kx
【答案】 AD
【解析】 以O点为原点,水平向右为正方向建立x轴,物体在O点右方x处时所受合力F=-(k1x+k2x)=-3kx,因此物体做简谐运动,由对称性可知,OC=OB=A,故A、D正确。
要点二　简谐运动中各物理量的变化
情境探究
如图所示为水平弹簧振子,O点为平衡位置,B、C点为两个最大位移处。
则振子经历从B→O→C的过程中:
探究:(1)振子在振动过程中位移、回复力、速度、加速度、动能、势能都怎样变化
(2)振子在振动过程中机械能守恒吗
【答案】 (1)B→O的过程中,振子在振动过程中位移、回复力、加速度、势能均减小,速度、动能增大;
O→C的过程中,振子在振动过程中位移、回复力、加速度、势能均增大,速度、动能减小。
(2)振子在振动过程中只有弹力做功,故机械能守恒。
要点归纳
1.简谐运动中各物理量的变化规律
过程 x F a v Ek Ep E
远离平衡 位置运动 增大 增大 增大 减小 减小 增大 不变
最大 位移处 最大 最大 最大 零 零 最大 不变
衡 位置运动 减小 减小 减小 增大 增大 减小 不变
平衡位置 零 零 零 最大 最大 最小 不变
2.对简谐运动的能量的理解
决定因素 简谐运动的能量由振幅决定
能量的获得 最初的能量来自外部,通过外力做功获得
能量的转化 系统只发生动能和势能的相互转化,机械能守恒
理想化 模型 (1)力的角度:简谐运动不考虑阻力。 (2)能量转化角度:简谐运动不考虑因克服阻力做功带来的能量损耗
典例研习
[例3] (多选)(2025·广东江门阶段练习)如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动,取向右为正方向,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]t=0.2 s时,振子在O点右侧6 cm处
[B]t=0.6 s和t=1.0 s时,振子的位移相同
[C]t=0.8 s时,振子的动能最大
[D]t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振动势能逐渐减小
【答案】 CD
【解析】 由题图乙可知,简谐运动的振幅为12 cm,周期为1.6 s,则ω== rad/s,其振动方程为x=Asin ωt=12sin t cm,当t=0.2 s时,位移x1=12sin ×0.2 cm=6 cm,故A错误;当t=0.6 s 时,位移x2=12sin ×0.6 cm=6 cm,当t=1.0 s时,位移x3=12sin ×1 cm=-6 cm,故B错误;当t=0.8 s时,弹簧振子处于平衡位置,振子的速度最大,其动能也最大,故C正确;由图像可知在1.2～1.6 s时间内,振子由负的最大位移处向平衡位置运动,弹簧形变变小,则弹性势能变小,故D正确。
有关简谐运动的两点提醒
(1)简谐运动中的最大位移处,F、a、Ep最大,Ek=0;在平衡位置,F=0,a=0,x=0,Ep=0,而Ek最大。
(2)水平弹簧振子的能量为动能和弹性势能,其他情形的弹簧振子的振动能量包含动能、弹性势能和重力势能。
简谐运动的判断和对称性的应用
核心归纳
1.判断振动是否为简谐运动的方法
(1)运动学方法:对物体的位移分析,如果位移随时间的变化关系满足x=Asin(ωt+φ)或xt图像满足正(余)弦规律,即可判断为简谐运动。
(2)动力学方法:对物体进行受力分析,物体所受到的回复力满足形式F=-kx,即可判断为简谐运动。
2.判断振动是否为简谐运动的步骤
(1)以平衡位置为原点,沿运动方向建立直线坐标系。
(2)在振动过程中任选一个位置(平衡位置除外),对振动物体进行受力分析。
(3)将力在振动方向上合成,求出振动方向上的合力。
(4)判定振动方向上合外力(或加速度)与位移关系是否符合F=-kx(或a=-x),若符合,则为简谐运动,否则不是简谐运动。
典例研习
[例1] (简谐运动的判断)(2025·广东佛山期末)如图所示,底面积为S、高为5l的圆柱浮筒漂浮于平静的水面上,静止时浮筒水面以下部分的长度为3l,已知水的密度为ρ,重力加速度为g,将浮筒竖直往下按压长度x(小于2l)后由静止释放,浮筒开始上下振动,忽略水对浮筒的黏滞阻力和空气阻力。有关浮筒的振动,分析回答以下问题:
(1)由哪些力提供浮筒振动的回复力
(2)试证明浮筒做简谐运动;
(3)当按压长度x不同时会发现,浮筒的振动频率不变,对此可得到怎样的结论
【答案】 (1)浮力和重力
(2)(3)见解析
【解析】 (1)浮筒受到竖直向上的浮力和竖直向下的重力,浮力和重力的合力提供浮筒振动的回复力。
(2)浮筒的平衡位置是原来静止的位置,浮筒漂浮(静止)时有G=F浮,
而F浮=ρgS·3l,
以浮筒振动到平衡位置下方情形为例,取向下为正方向,当浮筒位移为x(小于2l)时,受到的浮力为
F浮′=ρgS(3l+x),
其回复力为
F=-F浮′+G,
联立解得F=-ρgSx,
即回复力与位移大小成正比,方向与位移方向相反;同理可证,浮筒振动到平衡位置上方时结果相同,所以浮筒此时做简谐运动。
(3)对一个简谐运动系统,其振动频率由自身物理性质决定,与振幅的大小无关。
[例2] (简谐运动的对称性)(2025·广东佛山阶段练习)一个弹簧振子在M、N之间做简谐运动。O为平衡位置,P、Q是振动过程中关于O点对称的两个位置,下列说法正确的是(　　)
[A]振子在从M点向O点运动过程中,速度减小,弹性势能增大
[B]振子在OP间与OQ间的运动时间相等
[C]振子运动到P、Q两点时,位移相同
[D]振子经过P、Q两点时速度一定相等
【答案】 B
【解析】 振子在从M点向O点运动过程中,速度增大,动能增大,弹性势能减小,故A错误;由对称性可知,振子在OP间与OQ间的运动时间相等,故B正确;振子运动到P、Q两点时,位移等大反向,故C错误;振子经过P、Q两点时速率一定相等,但速度方向不一定相同,故D错误。
简谐运动的对称性规律
状态量的 对称性 当振动物体通过关于平衡位置对称的两个位置时: ①物体的位移、回复力、加速度各量的大小一定对应相等,方向一定相反; ②速度大小一定相等,方向可能相同、也可能相反; ③动能、势能、机械能一定相等
时间的 对称性 ①振动物体来回通过相同的两点间的时间一定相等,如图中tBC=tCB; ②振动物体经过关于平衡位置对称的等长的两线段的时间一定相等。如图中tBC=tB′C′
1.关于简谐运动的回复力F=-kx的含义,下列说法正确的是(　　)
[A]k是弹簧的劲度系数,x是弹簧的长度
[B]k是回复力跟位移的比值,x是做简谐运动的物体离开平衡位置的位移
[C]根据k=-,可以认为k与F成正比
[D]表达式中的“-”号表示F始终阻碍物体的运动
【答案】 B
【解析】 对弹簧振子来说,k为劲度系数,x为质点离开平衡位置的位移,故A错误;对于其他简谐运动,k不是劲度系数,而是一个比例系数,故B正确;k由系统本身结构决定,与力F和位移x无关,故C错误;表达式中“-”号只表示回复力与位移反向,回复力有时是动力,故D错误。
2.(2025·吉林白山期末)如图所示,光滑水平面上的弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动,取向左为正方向,则振子从O点运动到B点的过程中(　　)
[A]位移不断减小
[B]加速度不断减小
[C]位移方向与加速度方向始终相同
[D]速度减小,弹性势能增大
【答案】 D
【解析】 振子从O→B的运动过程远离平衡位置,故位移增大,回复力增大,加速度增大,位移方向与加速度方向相反,速度减小,弹性势能增大。故D正确。
3.(多选)一弹簧振子在水平方向上做简谐运动,其位移x与时间t的关系图线如图所示,在t=3.2 s时,振子的(　　)
[A]速度正在增大,加速度沿正方向且正在减小
[B]速度正在减小,回复力沿负方向且正在增大
[C]动能正在转化为势能
[D]势能正在转化为动能
【答案】 BC
【解析】 当t=3.2 s时振子正在向最大位移处运动,位移为正,速度正在减小,加速度和回复力沿负方向且正在增大,振子动能减小,弹簧弹性势能增大,动能正在转化为势能,B、C正确,A、D错误。
4.(2025·河南南阳期中)如图甲所示的水上浮桥是由一个个浮筒组成的,拆下其中单个浮筒如图乙所示。单个浮筒的横截面积一定,在水面上的上下浮动可视为振幅为A的简谐运动,浮筒的质量为m,浮筒做简谐运动时最大排水体积为静止时排水体积的1.2倍。已知重力加速度为g,求:
(1)浮筒做简谐运动时回复力的最大值Fm;
(2)浮筒做简谐运动时回复力与位移的比例系数k。
【答案】 (1)0.2mg　(2)-
【解析】 (1)设浮筒静止时排水体积为V,可知 mg=ρgV,
排水体积最大时,回复力为Fm=1.2ρgV-mg,
解得Fm=0.2mg。
(2)根据回复力与位移的关系可知Fm=-kA,
解得k=-。
课时作业
(分值:60分)
考点一　简谐运动的判断及回复力
1.(4分)(2025·海南检测)如图所示,一正方体木块静止漂浮在开阔且平静的湖面上,小明同学先用力将其下压一段深度后(木块未全部浸没),撤掉外力,木块在水面上下做简谐运动,则(　　)
[A]木块的重力为简谐运动的回复力
[B]撤掉外力时,木块的位置即为振动的平衡位置
[C]撤掉外力时,木块浸没的深度即为振幅大小
[D]若减小开始时木块下压的深度,木块振动的周期不变
【答案】 D
【解析】 简谐运动中,沿振动方向的合力即为回复力,故木块的回复力是浮力和重力的合力,故A错误;简谐运动的平衡位置是其回复力为0的位置,故木块的平衡位置应是重力与浮力大小相等的位置,即初始时木块静止的位置,故B错误;简谐运动的振幅是指物体偏离平衡位置的最大位移的大小,故撤掉外力时木块浸没的深度与初始时木块浸没的深度之差才是振幅,故C错误;简谐运动的周期与振幅无关,其大小由振动系统决定,故D正确。
2.(4分)如图所示,A、B两物体组成弹簧振子,在振动过程中,物体A、B始终保持相对静止,下列四幅图中能正确反映振动过程中物体A所受摩擦力Ff与振子相对平衡位置位移x关系的图像为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 设弹簧的劲度系数为k,振子距平衡位置的位移为x时系统的加速度为a,根据牛顿第二定律有kx=-(mA+mB)a,所以当位移为x时,整体的加速度a=-,隔离对物体A分析,则摩擦力Ff=mAa=-kx,B正确。
考点二　简谐运动的能量
3.(6分)(多选)如图所示是某一质点做简谐运动的图像,下列说法正确的是(　　)
[A]在第1 s内,质点速度逐渐增大
[B]在第2 s内,质点速度逐渐增大
[C]在第3 s内,动能转化为势能
[D]在第4 s内,动能转化为势能
【答案】 BC
【解析】 在第1 s内,质点由平衡位置向正向最大位移处运动,速度逐渐减小,所以选项A错误;在第 2 s 内,质点由正向最大位移处向平衡位置运动,速度逐渐增大,所以选项B正确;在第3 s内,质点由平衡位置向负向最大位移处运动,动能转化为势能,所以选项C正确;在第4 s内,质点由负向最大位移处向平衡位置运动,势能转化为动能,所以选项D错误。
4.(14分)(2025·安徽合肥阶段练习)如图所示为一款“玩具弹簧小人”,由头部、弹簧及底部组成,头部质量为m,弹簧质量不计,劲度系数为k,底部质量为,开始时弹簧小人静止于桌面上,现轻压头部后由静止释放,弹簧小人上下振动不停。已知当弹簧形变量为x时,其弹性势能 Ep=kx2,不计一切摩擦和空气阻力,重力加速度为g,弹簧始终在弹性限度内。
(1)若使弹簧小人在振动过程中底部始终不离开桌面,则轻压头部释放时弹簧的压缩量需满足什么条件
(2)若轻压头部释放时弹簧的压缩量为,则弹簧小人在运动过程中头部的最大速度是多大
【答案】 (1)x≤　(2)g
【解析】 (1)设轻压头部释放弹簧的压缩量为x0时,弹簧小人在振动过程中底部恰好不离开桌面,则刚释放时,对弹簧小人头部有
kx0-mg=ma,
根据简谐运动的对称性,可知弹簧小人头部在最高点时的加速度大小也为a,方向竖直向下,设此时弹簧弹力为F,有F+mg=ma,
根据平衡条件,此时对底部有F=mg,
联立解得x0=,
则轻压头部释放时弹簧的压缩量需满足
x≤。
(2)刚释放时弹簧的形变量为x1=,
弹簧振子在平衡位置时的速度最大,此时弹簧压缩量为x2=,根据能量守恒定律有
k-k=mg(x1-x2)+m,
解得vmax=g。
考点三　简谐运动中各物理量的变化
5.(4分)(2025·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图甲所示,悬挂在竖直方向上的弹簧振子,在C、D两点之间做简谐运动,O点为平衡位置。振子到达D点时开始计时,以竖直向上为正方向,一个周期内的振动图像如图乙所示,下列说法正确的是(　　)
[A]振子在C、D两点时速度和位移均为0
[B]振子通过O点时速度方向发生改变
[C]t=0.3 s时,振子的速度方向向下
[D]t=0.5 s到t=1.5 s的时间内,振子的加速度先增大后减小
【答案】 D
【解析】 弹簧振子在C、D两点之间做简谐运动,所以振子在C、D两点时速度为0,位移大小为振幅的大小,故A错误。由于位移—时间图像的斜率的正负代表速度的方向,振子通过O点时,图线斜率的正负不变,即速度方向不变;在t=0.3 s时,振子的速度方向向上,故B、C错误。由题图乙可知,在0.5～1.5 s的时间内,振子的正向位移先增大后减小,根据F=-kx,结合牛顿第二定律可知,振子的加速度先增大后减小,D正确。
6.(6分)(多选)(2025·云南昆明阶段练习)如图所示,将一轻弹簧与小圆桶连接在一起,弹簧左端固定在墙上,保持弹簧水平且整个装置放在光滑的水平面上,小圆桶刚好静止在O点。用手缓慢拉动小圆桶到达B点,松开手后小圆桶一直在AB之间振动,若小圆桶运动到A处时将一小物体放到小圆桶内,小物体和小圆桶无相对运动而一起运动,下列说法正确的是(　　)
[A]振幅变小 [B]周期变大
[C]最大速度不变 [D]最大速度减小
【答案】 BD
【解析】 小圆桶在A处时运动速度为0,放上小物体时不会改变机械能,也不会改变平衡位置,振动的振幅不变,但小物体和小圆桶一起运动过程中,在同一位置的速度都会减小,可知其周期变大,故A、C错误,B、D正确。
7.(4分)(2025·山西大同期末)如图所示,水平面上一小车以2 m/s的速度向右做匀速运动,小车的上表面光滑且水平,A、B为固定在小车两侧的挡板,滑块与挡板A、B分别用两根相同的轻质弹簧连接,小车匀速运动时,滑块相对小车静止,滑块可视为质点,两弹簧恰好处于原长。已知滑块的质量为m=2 kg,弹簧劲度系数为k=1.0×104 N/m,某时刻小车与右侧一障碍物发生碰撞立即停下并被锁定,弹簧弹性势能为Ep=kx2,x为弹簧形变量,关于此后滑块的运动,下列说法正确的是(　　)
[A]滑块做简谐运动的振幅为2 cm
[B]滑块做简谐运动的周期小于8×10-2s
[C]滑块做简谐运动的最大加速度为20 m/s2
[D]滑块做简谐运动的半个周期内,两弹簧对滑块的冲量的矢量和一定为0
【答案】 B
【解析】 小车停止后滑块做简谐运动,滑块运动到最大位移的过程中,根据机械能守恒,有(2k)A2=mv2,代入数值解得其振幅为2 cm,故A错误;若滑块的运动视为匀变速运动,则A=×,解得T=8×10-2s,由于简谐运动中从平衡位置向位移最大位置运动时加速度越来越大,根据vt图像中图线面积表示位移可知,滑块做简谐运动的周期小于8×10-2s,故B正确;在最大位移处,根据牛顿第二定律有2kA=ma,其最大加速度为a=200 m/s2,故C错误;滑块经过半个周期,由于初始位置不确定,初、末速度不一定相等,即动量变化不一定为0,故两弹簧对滑块冲量的矢量和不一定为0,故D错误。
8.(4分)(2025·重庆沙坪坝阶段练习)质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接,弹簧下端固定在地面上。平衡时,弹簧的压缩量为x0,如图所示,一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下,落在钢板上并立刻与钢板一起向下运动,但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物块质量也为m,弹簧的弹性势能Ep=kx2,弹簧振子做简谐运动的周期T=2π,M为弹簧振子的质量,重力加速度为g,下列说法正确的是(　　)
[A]物块与钢板碰撞后一起下落的初速度是
[B]碰后物块与钢板一起做简谐运动,振幅A=3x0
[C]碰撞刚结束至两者第一次运动到最低点所经历的时间t=
[D]运动过程中弹簧的最大弹性势能Epmax=6mgx0
【答案】 C
【解析】 对物块,根据动能定理有mg×3x0=m,解得v0=,设物块与钢板碰撞后一起开始向下运动的速度为v1,因碰撞时间极短,则满足动量守恒,取v0方向为正方向,有mv0=2mv1,解得v1==,故A错误;碰后到最低点,根据能量守恒定律有k+×2m+2mg(x1-x0)=
k,根据平衡条件有kx0=mg,解得x1=4x0,物块与钢板受力平衡时有2mg=kx2,解得x2=2x0,所以振幅为A=x1-x2=2x0,故B错误;碰撞刚结束至两者第一次运动到平衡位置时间为t1,利用其逆过程,则t1时间内物块与钢板整体的位移为A-x0,则有Asin t1=A-x0,解得t1=,继续运动到最低点所经历的时间为t2,则t2=,即总时间t=t1+t2==×2π=,故C正确;当物块与钢板运动到最低点时,弹簧的弹性势能最大,其大小为Epmax=k=8k=8mgx0,故D错误。
9.(14分)(2025·山东日照期中)如图所示,在倾角θ=37°的光滑斜面顶端固定一轻弹簧,弹簧下端连接着小球甲,小球甲与小球乙通过轻绳连接。已知小球甲的质量m甲=200 g,小球乙的质量m乙=400 g,静止时弹簧的伸长量x=18 cm(未超出弹性限度)。现剪断甲、乙之间的轻绳,则甲沿斜面做简谐运动。重力加速度g取10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)小球甲做简谐运动的振幅A;
(2)小球甲运动过程中的最大加速度a;
(3)小球甲运动过程中弹簧的最大压缩量Δx。
【答案】 (1)12 cm　(2)12 m/s2　(3)6 cm
【解析】 (1)当小球甲静止时,有
kx=(m甲+m乙)gsin θ,
剪断轻绳后,小球甲经过平衡位置时,有
kx′=m甲gsin θ,
联立解得x′=6 cm,
则小球甲做简谐运动的振幅
A=x-x′=12 cm。
(2)根据简谐运动的特点,剪断轻绳瞬间小球甲具有最大加速度,根据牛顿第二定律有
a==12 m/s2。
(3)根据简谐运动的对称性,可知当小球甲运动到斜面最高点时,弹簧具有最大压缩量,且
kΔx+m甲gsin θ=m甲a,
代入数值解得Δx=6 cm。

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