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(共30张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
第一节 一次方程（组）及其应用
回归教材·理知识
知识点1 等式的性质
性质1 应用：解方程
中的移项
性质2 应用:解方程中
去分母或系数
化为1
回归教材·知识点1
1.（华师七下习题改编）在下列横线上填上适当的数或整式,使所得结果仍
是等式,并说明依据的是等式的哪一条性质.
（1）①如果,那么___;②如果,那么 ___.依据
的等式的性质为:_________________________________________________
___.
5
4
等式两边都加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
（2）①如果,那么____;②如果,那么 _____.依据
的等式的性质为:_________________________________________________
_________.
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结
果仍相等
知识点2 一元一次方程及其解法
1.定义:只含有一个未知数（元）,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一
元一次方程.
一般形式:,是常数,且
【温馨提示】 未知数不能出现在分母的位置.
2.一元一次方程的解法步骤与注意事项
步骤 注意事项
去分母 ④_________________ 不要漏乘不含分母的项
去括号 ⑤________________ 括号前是负号时，去括号后
括号内各项均要变号
移项 移项要变号
步骤 注意事项
合并同类项 合并同类项时，系数相加，
字母及其指数均不变
系数化为1 分子、分母不要颠倒
续表
回归教材·知识点2
2.（人教七上习题改编）解方程:
.
解: ，
，
，
.
知识点3 二元一次方程（组）及其解法
相关 概念 二元一次方程:含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是
⑥___的方程.
二元一次方程组:方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的
次数都是⑦___ ,并且一共有两个方程.
二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数
的值.
二元一次方程组的解:二元一次方程组的两个方程的公共解.
1
1
基本 思想
解法
续表
回归教材·知识点3
3.（人教七下习题改编）用代入消元法解方程组 将②代
人①,得_____________.
解得______.
将______代入②可得 ___.
方程组的解为_ _______.
4
4.（人教七下习题改编）用加减消元法解方程组 ，
得_______,
解得______.
,得_________.解得______.
方程组的解为_ _______.
知识点4一次方程（组）的实际应用
1.一般步骤:审、设、列、解、验、答.
2.列方程（组）解应用题的常见类型
销售问题
工程问题
数字问题
行程问题
浓度问题 （跨学科）
回归教材·知识点4
5.（北师七上习题改编）20名学生在进行一次科学实践活动时,需要组装一
种实验仪器.仪器是由三个部件和两个 部件组成.在规定时间内,每人可
以组装好10个部件或20个部件,那么,在规定时间内.设名学生组装 部
件.则_________名学生组装 部件.可列方程为________________________,
最多可以组装出实验仪器____套.
50
对接中考·明考向
命题点1 解一次方程（组）（10年1考）
1.（北师八上P105随堂练习改编）下列哪组是二元一次方程组
的解( )
A
A. B. C. D.
【练全国 拓视野】
2.（2025·深圳）若关于的方程的解为，则 ___ .
4
3.（2025·凉山州）若，则 的平
方根是( )
C
A.8 B. C. D.
二元一次方程组的解法
1.代入消元法:当方程组中某一个未知数的系数是1或 时，选择代入消元
法较为简单.
2.加减消元法:（1）当方程组中同一个未知数的系数相同或相反时，采用
加减消元法较为简单；（2）当系数不同也不相反时，可通过找系数最小
公倍数变成系数相同或相反，采用加减消元法较为合适.
命题点2 一次方程（组）及其应用（10年8考）
1.（2023河南，12题，3分）方程组 的解为_ _______.
2.（2025河南，20题，9分）为助力乡村振兴，支持惠农富农，
某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果.已知2箱
甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和
5箱乙种苹果的售价之和为800元.
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价;
解：设甲种苹果每箱的售价为元，乙种苹果每箱的售价为 元，
根据题意得解得
答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元.
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的
箱数不超过甲种苹果的箱数.求该公司最少需花费多少元.
设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果 箱，
根据题意得，解得 ，
设该公司需花费 元，
根据题意得 ，
，随 的增大而增大，
当时，有最小值 .
答：该公司最少需花费1 080元.
3.（2024河南，21题，9分）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号
召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作
为午餐.这两种食品每包质量均为 ，营养成分表如下.
（1）若要从这两种食品中摄入热量和 蛋白质，应选用A，B
两种食品各多少包？
解：设选用A种食品包，B种食品 包，
根据题意，得
解得
答：选用A种食品4包，B种食品2包.
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多.若每份午餐选用这
两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于 ，且热量最低，
应如何选用这两种食品？
设选用A种食品包，则选用B种食品 包，
根据题意，得， .
设每份午餐的总热量为 ，
则 .
，随 的增大而减小.
当时，最小,此时 .
答：选用A种食品3包，B种食品4包.
4.（2023河南，21题，9分）某健身器材专卖店推出两种优惠活动，并规
定购物时只能选择其中一种.
活动一：所购商品按原价打八折；
活动二：所购商品按原价每满300元减80元.（如：所购商品原价为300元，可
减80元，需付款220元；所购商品原价为770元，可减160元，需付款610元）
（1）购买一件原价为450元的健身器材时，选择哪种活动更合算？请说明
理由；
解：（元）， （元），
选择活动一更合算.
（2）购买一件原价在500元以下的健身器材时，若选择活动一和选择活动
二的付款金额相等，求一件这种健身器材的原价；
设一件这种健身器材的原价为 元.
若 ，则活动一按原价打八折，活动二按原价，此时付款金额
不可能相等，
，，解得 ，
一件这种健身器材的原价是400元.
（3）购买一件原价在900元以下的健身器材时，原价在什么范围内，选择
活动二比选择活动一更合算？设一件这种健身器材的原价为 元，请直接
写出 的取值范围.
当时，，解得 ，
；
当时，，解得 ，
.
综上所述，或 .
【练全国 拓视野】
5.（2025·长沙）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动
农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求，该食品企业将收购的农产
品加工成，两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克 等级农产品
和4千克等级农产品共收入112元，销售4千克等级农产品和2千克 等级
农产品共收入68元.（不考虑加工损耗）
（1）求每千克等级农产品和每千克 等级农产品的销售单价分别为多少元？
解：设每千克等级农产品的销售单价为元，每千克 等级农产品的销售
单价为 元，
由题意得解得
答：每千克等级农产品的销售单价为12元，每千克 等级农产品的销售
单价为10元.
（2）若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对外
销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工 等级农产品多少千克？
设需加工等级农产品千克，则需加工等级农产品 千克，
由题意得，解得 .
答：至少需加工 等级农产品2 000千克.(共23张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
第三节 一元二次方程及其应用
回归教材·理知识
知识点1 一元二次方程及其解法
1.定义:只含有一个未知数并且未知数的最高次数是①___的整式方程,叫做
一元二次方程.
2.一般形式:,,,为常数，其中二次项系数是 ,一
次项系数是,常数项是 .
3.一元二次方程的解法#3
2
解法 基本思想:②______ 直接开 平方法
配方法
因式分 解法
降次
解法 公式法
还可以用图象法求一元二次方程的近似根
续表
【温馨提示】1.用公式法解一元二次方程时应注意:（1）要把方程化为一
元二次方程的一般形式. （2）将,, 代入公式时应注意其符号.（3）若
,则代入求根公式,若 ,则原方程无解.
2.方程两边不能随便约去含有未知数的因式,如 中,
不能随便约去 .
3.当方程有等根时不能出现书写错误.如 ,它的两个根可以写成
,不能写成 .
回归教材·知识点1
1.（北师九上习题改编）关于的方程 是一元
二次方程,则 的值是___.
1
2.（人教九上习题改编）将一元二次方程 化成一般形
式为__________________,其中二次项系数是___，一次项系数是____,常数
项是_____.
3
3.（人教九上习题改编）完成下列配方过程:
（1）____ .
（2）_______ .
（3）____ .
36
36
6
4.（北师九上习题改编）把方程化为 的形式,
则 的值是___.
5.（北师九上习题改编）方程 的解是_____________.
3
,
知识点2 一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系
1.一元二次方程的根的判别式： _________,叫做一元二次方程
的根的判别式，使用判别式的前提条件是 ,
判别式的值与0的大小关系决定了一元二次方程根的情况.
（1） 一元二次方程有两个不相等的实数根；
（2）___ 一元二次方程有两个相等的实数根；
（3） ___ 一元二次方程无实数根.
2.一元二次方程的根与系数的关系（2022版课标增加的内容要求）
若一元二次方程有两个实数根, ，则
____, __.
注意： 是前提条件
回归教材·知识点2
6.（北师九上习题改编）已知和是关于 的方程
的两个实数根，试用,,表示和 .
解:由求根公式可知，
,
.
则 ,
,因此, ,
.
知识点3 一元二次方程的实际应用
1.一般步骤:审、设、列、解、验、答
2.实际问题常见类型#2
类型 数量间的相等关系
增长率问题
利润问题
类型 数量间的相等关系
面积问题
续表
类型 数量间的相等关系
循环问题
续表
回归教材·知识点3
7.（人教九上习题改编）某件商品连续降价两次后,零售价由原来的500元
降为405元，设此商品平均每次降价的百分率为 ,则根据题意列出的方程
是__________________.
8.（北师九上习题改编）某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又
长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,设每个支干长出
个小分支,可列方程为_______________.
9.（人教九上习题改编）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要
赛一场,共赛45场，则共有____个队参赛.
10
对接中考·明考向
命题点1 一元二次方程根的判别式（必考）
1.（2025河南，5题，3分）一元二次方程 的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
2.（2023河南，7题，3分）关于的一元二次方程 的根的
情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
3.（2022 河南,6题,3分）一元二次方程 的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.没有实数根
C.有两个相等的实数根 D.只有一个实数根
4.（2021河南,7题,3分）若方程没有实数根，则 的值可
以是( )
D
A. B.0 C.1 D.
5.（2024河南，13题，3分）若关于的方程 有两个相等的
实数根，则 的值为__.
【练全国 拓视野】
6.（2025·扬州）关于一元二次方程 的根的情况，下列结论
正确的是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法判断根的情况
7.（2025·遂宁）已知关于的一元二次方程 有实数根，
则实数 的取值范围是( )
D
A. B. C. D.
8.（2025·眉山）已知方程的两根分别为， ，则
的值为____.
解一元二次方程的一般方法
1.将一元二次方程整理成一般式.
2.若一次项系数为0，可用直接开平方法.
3.若常数项为0（或能分解为两个多项式之积），可用因式分解法.
4.若一次项系数和常数项都不为0，可用配方法或公式法求解.
命题点2 一元二次方程的应用（10年1考）
1.（2020河南,8题,3分）国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐
年增加.2017年至2019年我国快递业务收入由5 000亿元增加到7 500亿元.
设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为 ，则可列方程为
( )
C
A.
B.
C.
D.
【练全国 拓视野】
2.（2025·云南）某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元.设该
书店每月盈利的平均增长率为 .根据题意，下列方程正确的是( )
A
A. B.
C. D.
判断一元二次方程根的情况的一般方法
判断一元二次方程的根的情况，要明确，，
的值，然后比较 与0的大小:
当 时，方程有两个不相等的实数根；
当 时，方程有两个相等的实数根;
当 时，方程没有实数根.
一元二次方程根与系数的关系
根与系数的关系为:若一元二次方程的两根为 ，
，则， .(共17张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
第二节 分式方程及其应用
回归教材·理知识
知识点1 分式方程及其解法
1.分式方程:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.
增根:使得分式方程的分母为0的根,称为原分式方程的增根.
2.分式方程的解法
基本思路:将分式方程化为整式方程,一般步骤如下:
回归教材·知识点1
1.（人教八上习题改编）解分式方程:
.
解:方程两边乘______,
得_____________________.
解得______.
检验:当 ___时，
___0.
______是原分式方程的解.
0
知识点2 分式方程的实际应用
1.列分式方程解决实际问题的一般步骤
【温馨提示】（1）检验是否是分式方程的解；（2）检验是否符合题意.
2.常见应用类型及等量关系
（1）购买（销售）问题:数量, 单价，
折扣， 标价.
（2）行程问题:时间， 速度.
（3）航行问题:顺水速度静水船速 水流速度;
逆水速度 静水船速-水流速度.
【温馨提示】 题中出现“单独”或“几分之几”字样时，通常把工作总量看
作单位“1”.
（4）工程问题:工作时间， 工作效率.
回归教材·知识点2
2.（北师八下习题改编）某书店分别用500元和700元两次购进同一种小说.
第二次购进的数量比第一次多4套,且两次进价相同.若设该书店第一次购进
套,根据题意列方程为_________.
3.（北师八下习题改编）一艘轮船在两个码头之间航行,顺水航行 所
需的时间与逆水航行所需的时间相同，已知水流速度是 ,则
轮船在静水中航行的速度是____ .
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对接中考·明考向
命题点 分式方程及其应用（10年4考）
1.（2022河南,20题,9分）近日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标
准（2022年版）》，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来.某中
学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展
种植活动.据了解，市场上每捆种菜苗的价格是菜苗基地的 ，用300元在
市场上购买的 种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆.
（1）求菜苗基地每捆 种菜苗的价格;
解：设菜苗基地每捆种菜苗的价格是 元.
根据题意得，解得 ，
经检验， 是原方程的解.
答：菜苗基地每捆 种菜苗的价格是20元.
（2）菜苗基地每捆种菜苗的价格是30元.学校决定在菜苗基地购买，
两种菜苗共100捆，且种菜苗的捆数不超过 种菜苗的捆数.菜苗基地为支
持该校活动，对， 两种菜苗均提供九折优惠.问本次购买最少花费多少元.
设购买种菜苗捆，则购买种菜苗 捆.
种菜苗的捆数不超过 种菜苗的捆数，
，解得 .
设本次购买花费 元，
.
，随 的增大而减小，
时， 取最小值，
最小值为 （元）.
答：本次购买最少花费2 250元.
【练全国 拓视野】
2.（2025·齐齐哈尔）如果关于的分式方程 无解，那么实数
的值是( )
C
A. B.
C.或 D.且
3.（2025·北京）方程 的解为______.
4.（2025·江西）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费
6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相同，且
每百公里的耗油费比耗电费约多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费.设
纯电汽车每百公里的耗电费为 元，可列分式方程为____________.
5.（2025·兰州）解方程： .
解：去分母得，解得 ，
检验，当时， ，
故原方程的解为 .
6.（2025·云南）某化工厂采用机器人，机器人 搬运化工原料，机器人
比机器人每小时少搬运20千克，机器人 搬运800千克所用时间与机器
人搬运1 000千克所用时间相等.求机器人，机器人 每小时分别搬运多
少千克化工原料.
解：设机器人每小时搬运千克化工原料，则机器人 每小时搬运
千克化工原料，
根据题意得，解得 ，
经检验， 是所列方程的解，且符合题意，
（千克）.
答：机器人每小时搬运80千克化工原料，机器人 每小时搬运100千克化
工原料.(共26张PPT)
第二章 方程（组）与不等式（组）
第四节 一元一次不等式（组）及其应用
回归教材·理知识
知识点1 不等式的相关概念及其性质
1.不等式：用不等号（如“ ”“ ”“ ”“ ”“ ”）表示不等关系的式子是
不等式.
不等式的解:使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
不等式的解集:一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的
解集.
解不等式:求不等式的解集的过程叫做解不等式.
2.不等式的性质
性质1 应用:解不等式中
的移项
性质2 应用:解不等式中
的去分母
（或系数化为1）
性质3 应用:解不等式中
的去分母
（或系数化为1）
续表
回归教材·知识点1
1.（人教七下习题改编）小红每分钟踢毽子的次数正常范围为少于80次,但
不少于50次，用不等式表示为( )
B
A. B. C. D.
2.（人教七下习题改编）已知 ,下列式子不一定成立的是( )
D
A. B.
C. D.
知识点2 一元一次不等式及其解法
1.定义:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
2.一元一次不等式的解法及解集表示.
解法 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1 解集 表示
④______ ⑤______ ⑥______
回归教材·知识点2
3.（北师八下习题改编）下面是小明同学解不等式的过程,请认真阅读并完
成下列问题.
.
解: .①
.②
.③
.④
（1）以上解题过程中，第①步是依据____________（运算律）进行变形
的；第____步开始出现错误，这一步错误的原因是____________________
_______________________.
乘法分配律
④
不等式两边都除以，
不等号的方向没有改变
（2）该不等式的正确解集是______.
知识点3 一元一次不等式组及其解法
1.定义:一般地，含同一个未知数的几个一元一次不等式合起来,组成一个
一元一次不等式组.
2.一元一次不等式组的解法及解集表示
在数轴上的表示 口诀 解集
同大取大
同小取小 ⑦______
在数轴上的表示 口诀 解集
大小、小大中间找 ⑧__________
大大、小小取不了 无解
续表
回归教材·知识点3
4.（北师八下习题改编）解不等组
解:解不等式①,得______.
解不等式②，得______.
把不等式①和②的解集在数轴上表示出来:
原不等式组的解集为______.
5.（人教七下习题改编）不等式有三个负整数解,则 的取值范围是
______________.
知识点4 一元一次不等式的实际应用
1.列一元一次不等式解应用题的一般步骤
审题 设一个未知数 找出题中的数量关系,列出不等式 解不等式
检验不等式的解集是否合理,是否符合实际情况.
2.解决不等式的实际应用问题时,常见的关键词与不等号的对比表:
常用关键词 符号
大于,多于,超过,高于
小于,少于,不足,低于
至少,不低于,不小于,不少于 ⑨___
至多,不超过，不高于,不大于 ⑩___
回归教材·知识点4
6.（人教七下习题改编）一件商品的成本是60元，如果按原价的八五折销
售,至少可获得的利润.若设该商品的原价是 元，由题意可列不等式为
________________________.
7.（北师八下习题改编）现用甲、乙两种运输车将46吨物资运往 地，甲
种运输车载重5吨,乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆,则甲种运输
车至少应安排___辆.
6
对接中考·明考向
命题点 一元一次不等式（组）的解法及其解集的表示（10年8考）
1.（2024河南，5题，3分）下列不等式中，与 组成的不等式组无解
的是( )
A
A. B. C. D.
2.（2022 河南,12题,3分）不等式组 的解集为 __________.
3.（2020河南,12题,3分）已知关于的不等式组其中， 在数轴上
的对应点如图所示，则这个不等式组的解集为______.
4.（2019河南,12题,3分）不等式组 的解集是________.
【练全国 拓视野】
5.（2025·吉林）不等式 的解集为( )
A
A. B. C. D.
6.（2025·山西）不等式组 的解集是( )
C
A. B. C. D.无解
7.（2025·福建）不等式 的解集在数轴上表示正确的是( )
C
A. B.
C. D.
8.（2025·黑龙江）关于的不等式组恰有3个整数解，则 的
取值范围是_____________.
9.（2025·上海）不等式组 的解集为______.
10.（2025·兰州）解不等式组：
解：解不等式，得 ，
解不等式，得 ，
不等式组的解集为 .
11.（2025·扬州）解不等式组 并写出它的所有负整数解.
解：
解不等式①，得 ，
解不等式②，得 ，
所以不等式组的解集为，它的所有负整数解为, .
解一次不等式组的一般方法
1.数轴法
解不等式组一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，
再求出它们的公共部分就得到不等式组的解集.#6.1.1.1
无解
2.口诀法
同大取大，同小取小，
大小小大中间找，大大小小取不了.

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