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(共24张PPT)
第六章 圆
第三节 与圆有关的计算
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，3分）
回归教材·理知识
知识点1 弧长公式和扇形面积公式
如图，的半径为,所对的圆心角为 ,的长为 ____________________________________________ 圆的周长: _____ 弧长: _ ___
圆的面积: _____ 扇形面积:_____
回归教材·知识点1
1.（北师九下习题改编）已知扇形的圆心角为 ,半径为 ,则扇形的
弧长是___ .
2.（北师九下习题改编）一个扇形的圆心角为 ,它所对的弧长为
,则此扇形的半径为___ .
3.（人教九上习题改编）在半径为6的圆中,圆心角为 的扇形面积为
_____.
9
知识点2 圆柱、圆锥的相关计算
圆柱 _______________________________________________ 为底面圆半径, 为高 （1） ______
（2） _____________
（3）圆柱的侧面展开图是⑦______
矩形
圆锥 ___________________________ 为母线长, 为底面半 径, 为圆锥高 （1） ___
（2）圆锥的侧面展开图是⑨______，轴
截面是⑩____________
（3）圆锥底面圆的周长等于其侧面展开
图扇形的 ______
扇形
等腰三角形
弧长
续表
圆锥 ___________________________ 为母线长, 为底面半 径, 为圆锥高 （4）圆锥的母线长等于其侧面展开图扇
形的 ______
（5）圆锥的侧面积为 ____,圆锥的全面
积为 _________
半径
续表
回归教材·知识点2
4.（人教九上习题改编）圆柱的底面周长为 ,高为3,则圆柱侧面展开图
的面积是____.
5.（北师九下习题改编）若圆锥侧面展开图的面积为 ,母线长为5,则底
面圆的半径为___.
6.（北师九下习题改编）已知圆锥的底面半径为1,高是 ,则该圆锥的侧
面展开图的圆心角的度数为______,全面积为____.
3
知识点3 正多边形与圆
圆内接正 边形 _______________________________ 中心角 边心距 周长/面积
_ ____ _ __________ ____,
_ ___
回归教材·知识点3
7.（人教九上习题改编）如果一个正多边形的中心角为 ,那么这个正多
边形的边数是___.
8.（人教九上习题改编）已知正四边形外接圆的半径为6,则它的边心距为
_____.中心角的度数为____，面积为____.
5
72
对接中考·明考向
命题点1 弧长的计算（10年5考）
1.（2021河南,14题,3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，
点，，均在小正方形的顶点上，且点，在上， ，
则 的长为___.
2.（2020河南,15题,3分）如图，在扇形中， ， 平分
交于点，点为半径上一动点.若 ，则阴影部分周长
的最小值为_ _____.
【练全国 拓视野】
3.（2025·浙江）如图，在中， ,是斜边 上的中线，
以点为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为点.若 ，
则 的长为( )
B
A. B. C. D.
4.（2025·湖南）如图，北京市某处位于北纬 即 ，东经
，三沙市海域某处位于北纬 即，东经 .设
地球的半径约为千米，则在东经 所在经线圈上的点和点 之间的
劣弧长约为( )
C
A.（千米） B. （千米）
C.（千米） D. （千米）
计算弧长的一般方法
1.圆周长公式： .
2.弧长公式：弧长为，圆心角度数为，圆的半径为 .
①在弧长的计算公式中，是表示 的圆心角的倍数， 和180都不要带
单位;
②若圆心角的单位不全是度，则需要先化为度后再计算弧长;
③题设未标明精确度的，可以将弧长用 表示.
命题点2 阴影部分面积的计算（10年5考）
1.（2024河南，9题，3分）如图，是边长为的等边三角形 的
外接圆，点是的中点，连接，.以点为圆心， 的长为半径
在 内画弧，则阴影部分的面积为( )
C
A. B. C. D.
2.（2025河南，14题，3分）我国魏晋时期数学家刘徽
在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”.如图是研
究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点 ，
四边形为矩形，边与相切于点 ，连接
， ，连接交于点.若 ，
则图中阴影部分的面积为_ ________.
3.（2022河南,14题,3分）如图，将扇形沿 方
向平移，使点移到的中点处，得到扇形 .
若 ， ，则阴影部分的面积为_ _____.
4.（2019河南,14题,3分）如图，在扇形中， ，半径
交弦于点，且.若 ，则阴影部分的面积为________.
【练全国 拓视野】
5.（2025·山西）如图，在中， ，
，分别以点,为圆心, 的长为半径画弧，与
,的延长线分别交于点,.若 ，则图中阴影
部分的面积为( )
D
A. B. C. D.
6.（2025·黑龙江）若圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥侧面展开图的
面积为_____.
7.（2025·成都）如图，的半径为1，，，是 上的三个点.若四
边形为平行四边形，连接 ，则图中阴影部分的面积为__.
计算阴影部分面积的方法
1.计算扇形面积的公式选择
（1）当已知半径和圆心角的度数 ,求扇形的面积时，选用公式
;
（2）当已知半径和弧长,求扇形的面积时，应选用公式 ;
（3）当已知面积,求半径或圆心角度数时，要将计算公式当作方程用.
2.求与扇形有关的不规则图形面积的常用方法:构造扇形，将不规则图形的
面积转化成规则图形面积的和或差.(共9张PPT)
第六章 圆
核心素养创新练
1.［传统文化］（2025·山东）在中国古代文化中，玉
璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐
家的象征.下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形
的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2，则图
中阴影部分的面积是( )
D
A. B. C. D.
2.［新定义］（2025·德阳）等宽曲线是指在任何方
向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日
常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设
计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形
的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封
闭图形就是等宽曲线（图中阴影部分），如果
，那么这个等宽曲线的周长是___.
3.［实际运用］（2025·遂宁）综合与实践——
硬币滚动中的数学.将两枚半径为 的硬币放在
桌面上，固定白色硬币，深色硬币沿其边缘滚
动一周，深色硬币的圆心移动的路径如图1；
将三枚半径均为 的硬币连贯地放在桌面上，
固定两枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一
周，深色硬币的圆心移动的路径如图2；现将四枚半径均为 的硬币按如图
3、图4摆放在桌面上，固定三枚白色硬币，深色硬币沿其边缘滚动一周，
则在图3与图4这两种情形中深色硬币的圆心移动路径长的比值为___.
【解析】如图1，依题意 ，
图1
则是等边三角形；则 ，
同理得，， 是等边三角形，
则 ，
,
，
,
，
,
.
图2
如图2，依题意 ，
是等边三角形.
则 ，
同理得，， 是等边三角形，
则 ，
，
，
则 ，
则.故答案为 .
4.［传统文化］（2025·广西）绣球是广西民族文化的特色载体.如图，设
计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点
，为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于, 两点，其公共部分构
成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②.
（1）写出, 两点的坐标；
解： 以原点，为圆心、以5为半径作圆，两圆相交于, 两点，
，
四边形 是正方形，
，
, .(共12张PPT)
第六章 圆
微专题六 辅助圆模型
模型1 动点定长模型
模型2 直角圆周角模型
模型3 定弦定角模型
模型4 四点共圆模型
模型1 动点定长模型
图例 结论
若为动点，但 ，则 ，，三点共圆，圆心， 半径. 原理：圆中， .
备注：常转全等或相似证明出定长.
1.如图，已知，， ，则
的度数为____.
【思路点拨】，，在以为圆心， 为半径的圆上，由圆周角定理，
证得，，继而可得 .
模型2 直角圆周角模型
图例 结论
图例 结论
固定线段所对动角 恒为 ,则，，三点共圆， 为直径. 原理：圆中，圆周角为 所对弦是
直径.
备注：常通过互余转换等证明出动角
恒为直角.
续表
2.如图，在正方形中，，是正方形 内一点，若
，则 的最小值是_______.
【思路点拨】取的中点，以为圆心，为半径作，则点 在
上，由题意可知，当，，在一条直线上时， 有最小值.
模型3 定弦定角模型
图例 结论
固定线段所对动角 为定值, 则点的运动轨迹为过，， 三 点的圆. 原理：弦 所对同侧圆周角恒相等.
备注：点 在优弧、劣弧上运动皆可.
3.如图，在中，，点为动点，在点 运动的过程中始终有
，则 面积的最大值为_______.
【思路点拨】作出的外接圆，连接， ，求出
，过点作，求出半径的长度，底边 一定，
当边上的高过圆心 时，三角形的面积最大.
模型4 四点共圆模型
图例 结论
若动角动角 ,则 ， ，， 四点共圆. 原理：圆内接四边形对角互补.
备注：点与点在线段 异侧.
4.如图，在矩形中，，，点在对角线上，连接 ，
作，垂足为，直线交线段于点，则 __.
【思路点拨】连接，取的中点，连接，，，， 四点共
圆，推出，推出,从而可得 .
图例 结论
固定线段 所对同侧动角 ，则,,, 四点共圆. 原理：弦 所对同侧圆周角恒相等.
备注：点与点需在线段 同侧.(共37张PPT)
第六章 圆
第二节 与圆有关的位置关系
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（10年8考，3~9分）
回归教材·理知识
知识点1 点与圆的位置关系
（设的半径为,平面内一点到圆心的距离为 ）
回归教材·知识点1
1.（人教九上习题改编）已知的面积为 .
（1）若,则点在 ____;
（2）若,则点在 ____;
（3）若___,则点在 上.
外
内
5
知识点2 直线与圆的位置关系
（设的半径为，圆心到直线的距离为 ）
位置关系 相离 相切 相交
示意图
与 的关系 ___ ___
公共点的个数 没有公共点 有且只有③______公共点 有两个公共点
一个
回归教材·知识点2
2.（北师九下习题改编）已知的半径为2,圆心到直线 的距离为1,将直
线沿垂直于的方向平移,使与 相切,则平移的距离是______.
1或3
知识点3 切线的性质与判定
概念 直线和圆只有④____个公共点，这时我们说这条直线和圆相
切，这条直线叫做圆的切线,这个点叫做切点
性质 （1）定理:圆的切线⑤______于过切点的半径.
（2）推论:①经过圆心且垂直于切线的直线必过⑥______.
②经过切点且垂直于切线的直线必过⑦______.
一
垂直
切点
圆心
判定 （1）和圆只有⑧____个公共点的直线是圆的切线. （定义）
（2）经过半径的外端并且⑨______于这条半径的直线是圆的切
线. （简述为:有切点,连圆心,证垂直）
（3）如果圆心到一条直线的距离⑩______圆的半径，那么这条
直线是圆的切线（简述为:无切点,作垂直，证半径）
一
垂直
等于
续表
切线长 （1）定义:经过圆外一点作圆的切线,这点与切点之间的
______的长，叫做这点到圆的切线长.
（2）切线长定理:从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线
长 ______,这一点和圆心的连线 ______两条切线的夹角
线段
相等
平分
续表
回归教材·知识点3
3.（北师九下习题改编）在中,,,,以 为圆心的
圆与相切，则 的半径为____.
4.（人教九上习题改编）如图,,,分别与相切于,, 三点,且
,,,则____ .
2.4
10
知识点4 三角形的外接圆与内切圆
名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆
圆心 外心:三角形三条边的垂直平分 线的交点 内心:三角形三条角平分线的交点
描述 经过三角形的三个顶点的圆 与三角形各边都相切的圆
名称 三角形的外接圆 三角形的内切圆
图形
性质 三角形的外心到三角形三个顶 点的距离相等,如 三角形的内心到三角形三边的距
离相等，如
角度 关系
续表
回归教材·知识点4
第5题图
5.（人教九上习题改编）如图,在中,,
是的外接圆，的延长线交边于点 ,
,则 的度数为( )
B
A. B. C. D.
第6题图
6.（人教九上习题改编）如图,已知等边三角形 的内切
圆的半径为3,则 的长为( )
C
A. B. C. D.
对接中考·明考向
命题点 切线的性质（10年9考）
1.（2023河南，14题，3分）如图，与相切于点，交 于点
，点在上，且.若，，则 的长为___.
2.（2022河南,22题,10分）为弘扬民族传统体育文化，某校将传统游戏“滚
铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚
铁环的启动阶段进行了研究，如图，滚铁环时，铁环 与水平地面相切
于点，推杆与铅垂线的夹角为，点，，，， 在同一
平面内.当推杆与铁环相切于点时，手上的力量通过切点 传递到
铁环上，会有较好的启动效果.
（1）求证： ；
证明：如图，过点作，分别交于点 ，
交于点 .
与相切于点 ，
.
， .
，
，
， .
为的切线， ，
，
， .
（2）实践中发现，切点 只有在铁环上一定区域内时，才能保证铁环平
稳启动.图中点是该区域内最低位置，此时点距地面的距离 最小，测
得.已知铁环的半径为，推杆的长为 ，求
此时 的长.
解：如图，在 中，
，， .
由（1）知，， ，
在中，，， .
， .
，
四边形为矩形， ，
.
3.（2021河南,20题,9分）在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其
原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转
动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的
“连杆”，的连接点在上，当点在上转动时，带动点，
分别在射线，上滑动，.当与相切时，点 恰好落
在 上，如图2.
请仅就图2的情形解答下列问题.
（1）求证： ；
证明：如图1，连接，延长与圆交于点，则，
与相切于点 ，
， .
， ，
， ，
，
.
（2）若的半径为5，，求 的长.
解：如图2所示，连接，延长与圆交于点，过点作 于点
，则有 .
由（1）可知 ，
，
，即 ，
解得，， ，
.
故的长为 .
【练全国 拓视野】
4.（2025·青岛）如图，四边形是 的内接四
边形， ，，直线与 相切
于点.若 ，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
5.（2025·黑龙江）如图，,是的切线，，
为切点，是直径， ， ____.
6.（2025·山东）如图，在中，点在上，边交于点 ，
于点是 的平分线.
（1）求证：为 的切线；
证明：于点 ，
.
是 的平分线，
.
， .
， ，
，
，
.
是的半径，且 ，
为 的切线.
（2）若的半径为2， ，求 的长.
解： ， ，
， .
的半径为2， ，
，
，
的长是 .
7.（2025·齐齐哈尔）如图，内接于，为的直径，点 在
的延长线上，连接，，过点作，交于点 .
（1）求证：是 的切线；
证明：如图，连接 ，
是 的直径，
，
.
，
.
，
，即 ，
.
为的半径，是 的切线.
（2）若点是的中点，且，求 的半径.
解： 点是的中点， .
，， .
， .
又 ， ，
.
在中 .
.即的半径为 .
证明圆的切线的一般方法
分下面两种情况:
1.若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是:连接过公
共点的半径或直径，证明这条半径或直径与直线垂直即可.可简述为:有切
点,连半径,证垂直.
2.若未知圆与直线的交点,则采用数量关系法,其基本思路是:过圆心作直线
的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径,可简述为:无切点,作垂线,证半径.(共31张PPT)
第六章 圆
第一节 圆的基本性质
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（10年9考，3~12分）
回归教材·理知识
知识点1 与圆有关的概念和性质
1.与圆有关的概念#1
定义
圆
圆心
半径
弦
弦
直径
弦
直径
续表
弧
圆弧
弧
半圆
优弧
劣弧
续表
等圆 能够 ______的两个圆叫做等圆
同心圆 圆心 ______，半径 ______的圆叫做同心圆
等弧 在同圆或等圆中,能够 __________的弧叫做等弧
圆心角
重合
相同
不同
互相重合
圆心
续表
圆周角
确定圆的 条件 不在同一条直线上的 ____个点确定一个圆
圆
三
续表
2.与圆有关的性质#2
对称性 圆既是轴对称图形,又是 __________图形,任何一条直径所
在的直线都是圆的对称轴, ______是它的对称中心
旋转不变性 把圆绕圆心旋转任意一个角度,所得的图形都与原图形
______
【温馨提示】 旋转不变性是圆的特有性质，区别于其他平面图形.#3
中心对称
圆心
重合
回归教材·知识点1
1.（人教九上习题改编）如图,点,,均在半径为3的
上,连接,,,,过点 .
（1） 的弦有___条，最长的弦是____,其长度为___;
3
6
（2）弦 所对的圆心角是_______, 所对的圆周角是_______;
（3） 的劣弧有___条,优弧有___条;
（4）若,则 的取值范围是__________.
2
2
2.（人教九上习题改编）下列说法中,正确的是________.（填序号）
①经过圆心的线段是直径;
②直径是圆中最长的弦;
③半径相等的圆是等圆;
④长度相等的两条弧是等弧;
⑤圆心不同的圆不可能是等圆;
⑥等弧所对的圆心角相等.
②③⑥
知识点2 垂径定理及其推论
垂径 定理 垂直于弦的直径 ________,并且平分弦所对的两条弧
推论 平分弦（不是直径）的直径 ________弦,并且平分弦所对的两
条弧
平分弦
垂直于
常用 结论
续表
回归教材·知识点2
3.（北师九下习题改编）已知是的直径,弦于点 ,
,,则 的长为______或______.
知识点3 弧、弦、圆心角的关系
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等
推论 （1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相
等，所对的弦相等；
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相
等,所对的优弧和劣弧分别相等
4.（北师九下习题改编）如图，是的直径，弦,垂足为 ,若
,则 的半径的长是___.
5
5.（人教九上习题改编）下列说法中,正确的是( )
B
A.等弦所对的弧相等
B.在同圆或等圆中,相等的弧所对的弦相等
C.圆心角相等,所对的弦相等
D.等弦所对的圆心角相等
知识点4 圆周角定理及其推论
内容 圆周角定理:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 常见 图形
结论
推论 （1）同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等;
（2）_____________________________________________________________________________________________________________________________________
续表
回归教材·知识点4
6.（人教九上习题改编）如图,点,,在上,点 在
优弧上，若 ,则 的度数为____.
7.（北师九下习题改编）如图,为的直径，点 ,
在上.若 ,则 的度数是____.
知识点5 圆内接四边形
定义 所有顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接 四边形
性质 互补
回归教材·知识点5
8.（北师九下习题改编）如图,是的内接正三角形,若是 上一
点,则____;若是上一点,则 ______.
对接中考·明考向
命题点1 圆周角定理及其推论（10年8考）
1.（2023河南，6题，3分）如图，点，，在 上，
若 ，则 的度数为( )
D
A. B. C. D.
【练全国 拓视野】
第2题图
2.（2025·重庆）如图，点，，在 上，
， 的度数是( )
B
A. B. C. D.
第3题图
3.（2025·东营）如图，四边形内接于 ，若
，则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
利用圆周角定理及其推论解题时的一般思路
1.利用圆周角定理及其推论解题时,关键是找准同弧所对的圆周角及其圆心
角,利用圆周角定理进行角的转换,然后结合圆周角定理的推论或直角三角
形的性质进行解题,即直径所对圆周角是 ,或直角三角形斜边上的中线
等于斜边的一半等.
2.与圆周角有关的常用辅助线:①从圆上某点过圆心作直径,连接过直径端
点的弦,构造直角三角形;②半径和弦互相垂直时，可构造直角三角形;③构
造同弧所对的圆周角.
命题点2 圆内接四边形的性质（10年1考）
1.（2016河南，18题，9分）如图，在中， ，点 是
的中点，以为直径作分别交，于点， .
（1）求证： ；
证明： ， ，
，
.
四边形 是圆内接四边形，
，
又 ，
.
同理证明 ，
， .
（2）填空：
①若，当时， ___；
②连接，，当的度数为____时，四边形 是菱形.
2
【练全国 拓视野】
第2题图
2.（2025·平凉）如图，四边形内接于 ，
，连接，若 ，则 的度数
为( )
C
A. B. C. D.

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