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(共7张PPT)
第七章 图形的变化
核心素养创新练
1.［跨学科］（2025·新疆）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图
形的是( )
C
A. B. C. D.
2.［古典工艺］（2025·扬州）窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既
散发着古典之韵，又展现了几何之美.下列窗棂图案中，是轴对称图形但
不是中心对称图形的是( )
C
A. B. C. D.
3.［传统文化］（2025·福建）福建博物院收藏着一件“镇馆之宝”——云纹
青铜大铙，如图1.云纹青铜大铙是西周乐器，鼓饰变形兽面纹，两侧饰云
雷纹，浑大厚重，作风稳重古朴，代表了福建古代青铜文化曾经的历史和
辉煌.图2为其示意图，它的主视图是( )
A
A. B. C. D.
4.［古代著作］（2025·甘肃）如图1，月洞门是中国古典建筑中的一种圆
形门洞，形如满月，故称“月洞门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学
与功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰的《营造法式》是中国古代
最完整的建筑技术典籍之一.如图2是古人根据《营造法式》中的“五举法”
作出的月洞门的设计图，月洞门呈圆弧形，用表示，点是 所在
圆的圆心，是月洞门的横跨， 是月洞门的拱高.
现在我们也可以用尺规作图的方法作出月洞门的设计图.如图3，已知月洞
门的横跨为，拱高的长度为 .作法如下：
①作线段的垂直平分线，垂足为 ；
②在射线上截取 ；
③连接，作线段的垂直平分线交于点 ；
④以点为圆心，的长为半径作 .
则 就是所要作的圆弧.
请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图3中作出月洞门的设计图
（保留作图痕迹，不写作法）.(共32张PPT)
第七章 图形的变化
第一节 投影与视图
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，3分）
回归教材·理知识
知识点1 投影
投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上
得到的影子叫做物体的投影.其中,照射光线叫做投影线,投影
所在的平面叫做投影面
中心投影 由①___________________发出的光线形成的投影叫做中心
投影
平行投影 由②__________形成的投影叫做平行投影
正投影 投影线③________投影面产生的投影叫做正投影
同一点（ 点光源）
平行光线
垂直于
回归教材·知识点1
1.（北师九上习题改编）一张矩形纸片在太阳光的照射下,在地面上的投影
不可能是( )
D
A.正方形 B.平行四边形 C.矩形 D.等边三角形
知识点2 三视图
概念 主视图:在正面内④__________观察物体得到的视图
左视图:在侧面内⑤__________观察物体得到的视图
俯视图:在水平面内⑥__________观察物体得到的视图
由前向后
由左向右
由上向下
画法 主视图与俯视图要⑦________;主视图与左视图要⑧________;
左视图与俯视图要⑨________
__________________________________________________________________________
长对正
高平齐
宽相等
续表
【温馨提示】1.主视图反映几何体的长和高,俯视图反映几何体的长和宽,
左视图反映几何体的宽和高.2.看得见部分的轮廓线画成⑩______,看不见
部分的轮廓线画成 ______.3.三视图位置有规定,以主视图为参照,左视图
在右，俯视图在下.#1.1
实线
虚线
回归教材·知识点2
2.（人教九下习题改编）下列图形中,主视图和左视图不相同的是( )
D
A. B. C. D.
3.（人教九下习题改编）如图是由3个小正方体堆成的几何体,请写出它对
应的三视图的名称.
①________,
②________,
③________.
俯视图
左视图
主视图
知识点3 常见几何体的三视图
几何体
主视图
长方体
正方体
圆柱
圆锥
球体
正三棱柱
正三棱锥
左视图
俯视图
续表
回归教材·知识点3
4.（北师九上习题改编）如图所示的三视图对应的物体是( )
C
A. B.
C. D.
知识点4立体图形的展开与折叠
1.常见几何体的展开图#1
常见几何体
展开图（选其中一种）
正方体
圆柱
圆锥
正三棱柱
2.正方体展开图的常见类型（11种） （注:图案相同的面为相对面）#2
“一四一”型（巧记:中间四个面,上、下各一面）
________________________________________________________________________________________________________________________________________
“二三一”型（巧记:中间 三个面,一、二隔河见） ________________________________________________________________ “三三”型（巧记:中间 没有面,三、三连 一线） ___________________________________ “二二二”型（巧记:中间
两个面，楼梯天天见）
____________________
续表
【温馨提示】 正方体的展开图是 ____个正方形,共有11种展开图.正方
体的展开图中不能出现“ ”图形，可记为“7,田,凹”应弃
之；相间的两个小正方形（中间隔一个小正方形）是正方体的相对面,“ ”
字端处的两个小正方形是正方体的相对面.#3
六
回归教材·知识点4
5.（人教七上习题改编）下列第二列的哪种几何体能展开成第一列的平面
图形 请连线.
6.（人教七上习题改编）在下方的展开图中，分别填上数字1,2,3,4,5,6,使
得折叠成正方体后,相对面上的数字之和相等，则___,___, ___.
6
2
4
对接中考·明考向
命题点1 三视图（10年9考）
1.（2024河南，4题，3分）信阳毛尖是中国十大名茶之一.如图是信阳毛尖
茶叶的包装盒，它的主视图为( )
A
A. B. C. D.
2.（2023河南，2题，3分）北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶
是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价
值.如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是 ( )
A
A.主视图与左视图相同 B.主视图与俯视图相同
C.左视图与俯视图相同 D.三种视图都相同
3.（2021河南,3题,3分）如图是由8个相同的小正方体组成的几
何体，其主视图是( )
A
A. B. C. D.
【练全国 拓视野】
4.（2025·成都）下列几何体中，主视图和俯视图相同的是( )
C
A. B. C. D.
5.（2025·资阳）如图是由6个相同的正方体堆成的物体，则该物体的左视
图是( )
D
A. B. C. D.
6.（2025·云南）下列图形是某几何体的三视图（主视图也称
正视图，左视图也称侧视图），则这个几何体是( )
D
A.正方体 B.长方体 C.圆锥 D.圆柱
找三视图的一般方法
1.找简单组合体的三视图要循序渐进.
2.视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，而相连的两个闭合
线框常不在一个平面上.
3.画物体的三视图的口诀为：
主、俯：长对正；
主、左：高平齐；
俯、左：宽相等.
命题点2 立体图形的展开与折叠（10年2考）
1.（2025河南，2题，3分）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形的展开
图如图所示，则该立体图形是( )
D
A. B. C. D.
2.（2022河南,2题,3分）2022年北京冬奥会的奖牌“同心”表达了“天地合·人
心同”的中华文化内涵.将这六个汉字分别写在某正方体的表面上，如图是
它的一种展开图，则在原正方体中，与“地”字所在面相对的面上的汉字是
( )
D
A.合 B.同 C.心 D.人
【练全国 拓视野】
3.（2025·常州）下列图形中，为三棱柱的侧面展开图的是( )
D
A. B. C. D.
4.（2025·吉林）一个正方体的展开图如图所示，
把它折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上
的字为( )
C
A.我 B.中 C.国 D.梦
5.（2025·德阳）下列图形中可以作为正方体的展开图的是( )
A
A. B. C. D.
寻找正方体展开图中相对面的一般方法
1.同一行或同一列有三个面及以上相连的，隔着一面的两个面必定是相对
的面，可归纳为“上下隔一行，左右隔一列”，如: .
2.不在同一行的，寻找 字形,如:
. .
字形两端的面一定是相对的面.
正方体展开图口诀
正方体展有规律,十一种类看仔细;
中间四个成一行,两边各一无规矩;
二三紧连错一个,三一相连一随意;
两两相连各错一,三个两排一对齐;
一条线上不过四，田七和凹要放弃;
相间 端是对面,间二拐角面相邻.(共33张PPT)
第七章 图形的变化
第二节 尺规作图
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（10年8考，3 10分）
回归教材·理知识
1.作一条线段等于已知线段已知线段
图示 步骤 应用
1.作射线 ; 2.以点 为圆心，①___________为半径画 弧，交于点, 即为所求作的线段 已知三边作
_____________________________________
作图原理:圆上的点到圆心的距离等于半径 线段的长
2.作一个角等于已知角已知 #2
图示 步骤 应用
1.以的顶点 为圆心,②______ ___为半径画弧,交 的两边于点 , ; 2.作射线 ; 3.以点 为圆心，③______为半 径画弧,交于点 ; 已知两边及其夹
角作
______________________
任意长
长
图示 步骤 应用
4.以点 为圆心，④______为半 径画弧,交第3步中所画的弧于点 ; 5.过点画射线,则 即为 所求作的角 已知两边及其夹
角作
______________________
作图原理:三边分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应角相等 长
续表
3.作角的平分线已知
图示 步骤 应用
1.以点为圆心,⑤________为半径画弧,交 于点,交于点 ; 2.分别以点, 为圆心，⑥______ __________为半径画弧,两弧在⑦__________ ____相交于点 ; 3.画射线,射线 即为所求作的角平分线 作三角形的
内切圆
_________________________________
适当长
大于
的长
的
内部
图示 步骤 应用
作图原理:三边分别相等的两个三角形全等,全等三角形的对应角相等 【温馨提示】 不能叙述为连接,因为角平分线 是射线，而不是线段.
续表
4.作已知线段的垂直平分线已知线段
图示 步骤 应用
1.分别以点和点 为圆心、⑧__________ ____为半径作弧，两弧相交于, 两点; 2.作直线, ,⑨_________即为所求作的垂 直平分线 已知底边及底边上
的高作等腰三角形
________________________________
作图原理:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 【温馨提示】 小于 找不到交点!
大于
的长
直线
5.过一点作已知直线的垂线已知点和直线 #5
图示 步骤 应用
点 在直 线 上 1.以点为圆心,⑩________为半径向点 两侧作弧,交直线于点, ; 2.分别以点, 为圆心， ___________ ____为半径向直线 两侧作弧，交于点 , ; 已知一直角
边和斜边作
直角三角形
____
适当长
大于
的长
图示 步骤 应用
点 在直 线 上 3.作直线,则直线 即为所求作的垂线 已知一直角边和斜边作直角三角形
___________________________
续表
图示 步骤 应用
点 在直 线 外 1.任意取一点,使点和点在直线 的 两侧; 2.以点 为圆心, _______为半径作弧 交直线于点, ; 3.分别以点, 为圆心， ___________ ____为半径作弧，两弧相交于点 ； 已知一直角
边和斜边作
直角三角形
____
长
大于
的长
续表
图示 步骤 应用
点 在直 线 外 4.作直线,则直线 即为所求作的垂线 已知一直角边和斜边作直角三角形
___________________________
续表
图示 步骤 应用
作图原理:到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 续表
回归教材
1.（人教八上习题改编）四个基本作图的痕迹如图1
~图4所示.下列关于四条弧 的说法正确
的是( )
D
A.弧①是以点为圆心, 长为半径所画的弧
B.弧②是以点 为圆心，任意长为半径所画的弧
C.弧③是以点 为圆心，任意长为半径所画的弧
D.弧④是以点 为圆心，任意长为半径所画的弧
2.（人教八上习题改编）如图,已知,求作射线 ,使
平分.①作射线;②在和上分别截取 ,
,使;③分别以点,为圆心,以大于 的长
为半径，在内作弧,两弧交于点 .
（1）上述作法合理的顺序是________. （填序号）
（2）这样作出的射线就是 的平分线,其依据是________________
_____________________________________.
②③①
三边分别相等的
两个三角形全等,全等三角形的对应角相等
3.（北师八下习题改编）如图，在中，分别以点和点 为圆心，大
于的长为半径画弧,两弧相交于点,,作直线,交于点,连接 ,
若的周长为10,,则 的周长为( )
C
A.9 B.18 C.19 D.20
4.（北师八下习题改编）如图,已知为的直径,为圆上（除点, 外）
一动点,按以下步骤作图:①以为圆心,任意长为半径作弧，分别交,
于点,;②分别以,为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交
于点,作射线,交于点；③连接.若,则 的长为____.
对接中考·明考向
命题点 与尺规作图相关的计算（10年7考）
1.（2025河南，19题，9分）如图，四边形是平行四边形，以 为
直径的圆交于点 .
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心 （保留作图痕迹，不写作法）；
解：如图，点 即为所求.
（2）若点是的中点，连接，.求证：四边形 是平行四边形.
证明： 四边形 是平行四边形，
， .
是的中点，是 的中点，
.
， 四边形 是平行四边形.
2.（2024河南，19题，9分）如图，在中，是斜边 上的中
线，交的延长线于点 .
（1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线 交
于点 （保留作图痕迹，不写作法）;
解：如图，
（2）证明（1）中得到的四边形 是菱形.
证明：， .
， 四边形 是平行四边形.
在中，是斜边 上的中线，
，
平行四边形 是菱形.
3.（2023河南，18题，9分）如图，在中，点
在边上，且 .
（1）请用无刻度的直尺和圆规作出 的平分线
（保留作图痕迹，不写作法）；
解：如图所示，射线 即为所求.
（2）若（1）中所作的角平分线与边交于点，连接 .求证：
.
证明：平分， .
，， ，
.
【练全国 拓视野】
4.（2025·内蒙古）如图，直线，点， 分别
在直线，上，连接，以点 为圆心，适当长为
半径画弧，交射线于点，交于点 ，再分别以
点，为圆心，大于 的长为半径画弧
D
A. B. C. D.
（两弧半径相等），两弧在的内部相交于点，画射线交 于点
，若 ，则 的度数为( )
5.（2025·新疆）如图，在四边形中，， 是对角线.
（1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作线段 的垂直平分线，垂
足为点，与边，分别交于点， （要求：不写作法，保留作图痕
迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）；
解：如图，直线 即为所求.
（2）在（1）的条件下，连接，，求证：四边形 为菱形.
证明： 直线是线段 的垂直平分线，
，， .
，
， ，
，
， ，
四边形 为菱形.
6.（2025·福建）如图，矩形中， .
（1）求作正方形，使得点， 分别落在
边，上，点，落在 上；（要求：尺规作
图，不写作法，保留作图痕迹）
解：如图，正方形 即为所求.
（2）若， ，求（1）中所作的正方形的边长.
四边形是矩形， ，
，
.
， .
四边形 是正方形，
， ，
，
正方形的边长为 .
解决与尺规作图有关的计算问题的步骤
1.根据作图步骤与痕迹判断是哪种基本尺规作图（常见的有角平分线的尺
规作图和线段的垂直平分线的尺规作图）.
2.利用图形的性质（角平分线上的点到角的两边的距离相等;垂直平分线上
的点到线段两端点的距离相等;平行四边形的两对边平行且相等;三角形的
内角和为 等）来进行计算.(共42张PPT)
第七章 图形的变化
第三节 图形的平移、对称与旋转
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，3 9分）
回归教材·理知识
知识点1 图形的平移
定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形
运动称为平移
图形
要素 ①__________、②__________
性质 （1）平移前后的两个图形全等，对应线段③_________________
_______且④______,对应角⑤______
（2）对应点所连线段互相⑥__________________________且
⑦______
平移方向
平移距离
平行（或在一条直
线上）
相等
相等
平行（或在同一条直线上）
相等
续表
回归教材·知识点1
1.（人教七下习题改编）如图,经过平移后得到 ,下列说法：
;;; ,其中正确的有___个.
3
2.（人教七下习题改编）如图,通过______运动能与 重合.若
,，,,则____, ___
,___ .
平移
4
1
知识点2图形的轴对称
1.轴对称#1
轴对称 轴对称图形
定义 把一个图形沿着某一条直线折叠,如果 它能够与另一个图形重合,那么就说这 两个图形关于这条直线⑧__________ _____，这条直线叫做⑨________,折 叠后重合的点是对应点,叫做对称点 如果把一个平面图形沿一
条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，这个
图形就叫做⑩__________
___，这条直线就是它的
________
（成轴）
对称
对称轴
轴对称图形
对称轴
轴对称 轴对称图形
图形
续表
轴对称 轴对称图形
性质 （1）成轴对称的两个图形 ______，对应线段 ______, 对应 角 ______ （2）对应点所连线段被对称轴 __________ （3）对应线段平行或延长线的交点在 ________上 全等
相等
相等
垂直平分
对称轴
续表
轴对称 轴对称图形
区别 （1）轴对称是指两个全等图形之间 的位置关系;（2）成轴对称的两个图 形只有一条对称轴 （1）轴对称图形是指具
有特殊形状的一个图形;
（2）轴对称图形的对称
轴至少有一条
续表
2.图形的折叠
实质 图形的 ________
性质 （1）位于折痕两侧的图形关于折痕成 ________.
（2）折叠前后的两部分图形 ______,对应边、角、线段、周
长、面积都分别 ______.
（3）折叠前后对应点的连线被折痕 __________
轴对称
轴对称
全等
相等
垂直平分
回归教材·知识点2
3.（北师八下习题改编）下列图形中,不是轴对称图形的是( )
D
A. B. C. D.
4.（北师八下习题改编）如图,三角形纸片中,, ,
.沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点 处,
折痕为,则 的周长为______.
知识点3 图形的旋转
1.旋转#1
定义 把一个平面图形绕着平面内某一点 转动一个角度,叫做图形的旋
转,点 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
【温馨提示】 旋转中心可以在图形上，也可以在图形内或图
形外
图形
续表
要素 __________、 __________、 ________
性质 （1）旋转前后的两个图形全等，对应线段 ______,对应角
______.
（2）对应点到旋转中心的距离 ______.
（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角 ______旋转角
旋转中心
旋转方向
旋转角
相等
相等
相等
等于
续表
2.中心对称与中心对称图形#2
中心对称 中心对称图形
定义 把一个图形绕着某一点旋转 ,如果它能够与另一个图形 重合,那么就说这两个图形关于 这个点对称或 __________,这 个点叫做 __________ 把一个图形绕着某一个点旋转
,如果旋转后的图形能够与
原来的图形重合,那么这个图形
叫做 ______________，这个
点就是它的 __________
中心对称
对称中心
中心对称图形
对称中心
中心对称 中心对称图形
图形
续表
中心对称 中心对称图形
性质 （1）成中心对称的两个图形全等,对应线段相等,对应角相等. （2）成中心对称的两个图形,其对应线段互相平行（或在一条直 线上）. （3）对应点所连线段都经过对称中心,且被对称中心平分 续表
【温馨提示】 1.常见的轴对称图形:等腰三角形、等腰梯形、等边三角形、
正五边形等.
2.常见的中心对称图形:平行四边形等.
3.常见的既是轴对称图形又是中心对称图形:线段、菱形、矩形、正方形、
正六边形、圆等.
4.轴对称图形与轴对称的联系:如果把成轴对称的两个图形看成一个整体
（一个图形）,那么这个图形是轴对称图形;反之,把一个轴对称图形中对称
的部分看成两个图形,那么它们成轴对称.
5.中心对称图形的识别:如果两个图形的对称点连成的线段经过某一点并且
被这一点平分，那么这两个图形一定关于这一点成中心对称.
回归教材·知识点3
5.（北师八下习题改编）如图，把绕点 顺时
针旋转 ，到的位置，若 ，则
等于( )
A
A. B. C. D.
6.（人教九上习题改编）如图, 为等边三角形,边
长为2,为的中点，是绕点旋转
得到的,则____,___,连接,则 为
______三角形.
1
等边
7.（人教九上习题改编）下列图形是中心对称图形的是( )
B
A. B. C. D.
8.（人教九上习题改编）如图，与关于点 成中心对称，点
，，的对称点分别为，， ．下列结论不一定正确的是( )
A
A. B.
C. D.
对接中考·明考向
命题点1 图形的对称（折叠）的相关计算（10年7考）
1.（2025河南，9题，3分）如图，在菱形 中，
，，点在边上，连接 ，将
沿折叠，若点落在延长线上的点 处，
则 的长为( )
D
A.2 B. C. D.
【练全国 拓视野】
2.（2025·遂宁）汉字作为中华优秀传统文化的根脉和重要载体，在发展
过程中演变出多种字体，给人以美的享受.下面是“遂宁之美”四个字的篆
书，能看作是轴对称图形的是( )
D
A. B. C. D.
3.（2025·内江）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在 轴
上，点的坐标为，点在边上.将沿折叠，点落在点
处.若点的坐标为，则点 的坐标为_________.
识别对称图形的一般方法
1.轴对称图形的判断方法:寻找对称轴，使图形按照某条直线折叠后两部分
重合.
2.中心对称图形的判断方法:
（1）将图形倒过来，看是否与原来的图形完全一致；
（2）先找对称中心，连接两对应点，看对称中心是不是两对应点连线的
中点.
图形折叠的相关计算通法
1.折叠的性质:
（1）位于折叠两侧的图形关于折痕成轴对称图形；
（2）满足折叠性质即折叠前后的两部分图形全等，对应边、角、线段均
相等；
（3）折叠之后，对应点的连线被折痕垂直平分.
2.找出隐含的折叠前后的图形中线段、角的位置关系和数量关系.
3.一般运用三角形全等、直角三角形、相似三角形等知识及方程思想，可
设一边长为，再用含 的代数式来表示其他的边，最后利用勾股定理求解.
命题点2 图形的平移与旋转（10年7考）
1.（2024河南，15题，3分）如图，在中， ，
，线段绕点在平面内旋转，过点作 的垂线，交射线
于点.若，则 的最大值为_________，最小值为_________.
2.（2023河南，23题，10分）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，
帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.
下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答.
（1）观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点的直线 轴，
作关于轴对称的图形，再分别作关于 轴和直
线对称的图形和，则可以看作是 绕点
顺时针旋转得到的，旋转角的度数为______； 可以看作是
向右平移得到的，平移距离为___个单位长度;
8
解：关于轴对称的图形是，与 关于
轴对称，
与关于 点中心对称，
则可以看作是绕点 顺时针旋转得到的，旋转角的度数为
.
， .
,,关于直线 对称，
，即 ，
则可以看作是 向右平移得到的，平移距离为8个单位长度.
故答案为 ，8.
（2）探究迁移：如图2，在中，， 为
直线下方一点，作点关于直线的对称点，再分别作点 关于直
线和直线的对称点和，连接， ，请仅就图2的情形解决以
下问题：
①若 ，请判断 与 的数量关系，并说明理由；
②若，求， 两点间的距离；
，理由如下：如图1，连接 ，
由对称性可得，， ,
，
.
②如图2，连接,分别交,于,两点，过点作 ，交
于点 .
由对称性可知：,且, .
四边形 为平行四边形，
,
,, 三点共线，
.
，, ,
，
四边形 是矩形，
.
在中， ， ，
，
,
.
（3）拓展应用：在（2）的条件下，若 ， ，
，连接.当与的边平行时，请直接写出 的长.
的长为或 .
【练全国 拓视野】
3.（2025·青岛）如图，在平面直角坐标系中，点
，，都在格点上，将关于 轴的对称
图形绕原点旋转 .得到，则点 的
对应点 的坐标是( )
A
A. B. C. D.
4.（2025·凉山州）如图，将周长为20的沿 方
向平移2个单位长度得，连接 ，则四边形
的周长为____.
24
5.（2025·山西）如图，在平面直角坐标系中，点 的
坐标为，将线段绕点逆时针旋转 ，则
点 对应点的坐标为___________.(共28张PPT)
第七章 图形的变化
微专题七 利用轴对称性质求最值
模型1 两定一动型（四种）
模型2 一定两动型（两种）
模型3 两动两定型（两种）
模型4 平移线段型（两种）
模型1 两定一动型（四种）
图形
条件 如图，， 两定 点分布在直线 两侧，点 为直 线上一动点，求 的最 小值. 如图，， 两 定点分布在直线 同侧，点 为 直线上一动点， 求 的最 小值. 如图，， 两 点分布在直线 同侧，点 为直线 上一 动点,求 的最 大值. 如图，， 两
点分布在直线
两侧，点 为
直线 上一动
点,求
的最
大值.
续表
解题 方法 （1）连:连接 ； （1）找:找定点关于直线 的对称点 ； （2）连:连接对称点 和另外一个定点 ； （1）连:连接 并延长交直线于 ； （1）找:找一个定点关于直线的对称点；
（2）连:连接另外一个定点和对称点，并延长交直线于一点;
续表
解题 方法 （2）求: 的长度即为 的最小值. （3）求: 的长度即为 的最小值. （2）求:当点 和点 重合时， 的值最大， 的长度即为 的最大值. （3）求:另外一个定点和对称点间的距离即为所求.
续表
1.如图,四边形是菱形,对角线, 相交于点
, ,,点是上一动点,是 的中
点, 则 的最小值为( )
A
A. B. C.3 D.
【思路点拨】由三角形的三边关系可得当在上时， 的最小值
为 的长.
2.如图，在等腰中，，，作于点 ，
，为边上的中点，点为上一动点，则 的最小
值为__．
【思路点拨】先作出点关于直线的对称点，连接，交于点 ,
此时的值最小，为 的长.
3.如图,在中,,,,是的垂直平分线,点 是
上的动点，则 的最大值为___.
3
【思路点拨】延长交于点，此时 的值最大.
4.如图,在正方形中,,与交于点, 是
的中点,点在边上,且,为对角线 上一
点，则 的最大值为___.
2
【思路点拨】以为对称轴作的对称点 ，连接
并延长交于点，连接 .依据
，可得当,,三点共线时，
有最大值.
模型2 一定两动型（两种）
图形
条件 如图，点为直线 上一动点， 点为直线上一动点，点 为定 点，求 的最小值. 如图，点，分别为，
上的动点，点 为定点，求
的最小值.
解题 方法 作点关于的对称点 ,那么当 时， 取得最小 值，最小值为 的长. 作点关于，的对称点 ,
，那么当，，， 四
点共线时， 取
得最小值，最小值为 的长.
续表
5.如图，在矩形中，， ，
若点，分别是线段， 上的两个动点，则
的最小值为____.
15
【思路点拨】如图，以为对称轴作点 的对称点
，过点作于点，交于点 ，则
最短，再利用矩形的性质与锐角三
角函数求解 即可得到答案.
6.如图，扇形中，， ，点是 上的一个定点
（不与，重合），点，分别是，上的动点，则 周长的
最小值为_____.
【思路点拨】如图，连接，作点关于，的对称点， ，连接
，，，交于点，交于点，连接，， ,此时
的周长最小，最小值线段的长.作 ,解直角三角形求出
的长，即可解决问题.
模型3 两动两定型（两种）
图形
条件 如图，点，分别为， 上 的动点，点，为 内的两 个定点，求 的最小值. 如图，点，分别为，
上的动点，点， 分别为
， 上的定点，求
的最小值.
续表
解题 方法 作点关于的对称点，作 点关于的对称点，当 ， ，， 四点共线时， 取得最小值，最小 值为 的长，所以 的最小值就 是 . 作点关于的对称点，作
点关于的对称点，当 ，
，， 四点共线时，
取得最小值，最
小值为 的长.
续表
7.如图，在等边三角形中，，,是边上的三等分点，点 ,
分别在边，上运动，则四边形 周长的最小值是___.
5
【思路点拨】作点关于的对称点，点关于
的对称点，连接分别与和交于和 ，
则当点运动至点、点运动至 点时，
取得最小值为 ，此时四边形
的周长最小，分别作， ，
由对称及等边易知和 均为等
边三角形，由此可求解出 的长度，进而求解四边形周长的最小值.
8.如图， ，点、点 分别为
，上的定点，且，，点 、
点分别是射线， 上的动点，则
的最小值为_____.
【思路点拨】作点关于的对称点 ，作点
关于的对称点，连接交于点 ，
交于点，连接，，则 即为
的最小值.利用对称以及角之间
的关系求出为 ，最后根据勾股定
理求解出 的值.
模型4 平移线段型（两种）
图形
条件 如图，，为定点，， 分 别为， 上的动点， ，，且 为定 值，求 的最小 值. 如图，，为定点，，为 上
的动点，且 为定值，求
最小值.
续表
解题 方法 如图，将点向下平移 的单 位长度得到点，连接 ，交 于点，过点作 ， 垂足为点，点和点 即为所 求，当，， 三点共线时 取得最小值， 最小值为 . 如图，将点向右平移 个单位
长度得点，作关于直线 的对
称点，连接，交直线 于点
，将点向左平移 个单位长
度得点，点和点 即为所求，
当，， 三点共线时
取得最小值，最小
值为 .
续表
9.如图，小明要从一条东西走向的河流北岸的处去往河流南岸的 处，
因河流较宽，需在河面搭建一个与河两岸垂直的平板桥，已知 距离河流
北岸4.5米，距离河流南岸1.5米，河宽3米，且处相对于 处的东西距离
为8米.根据以上条件，从处经过平板桥到达 处的最短路程是____米.
13
【思路点拨】将点向下平移河流的宽度到点，过点作交
的延长线于点，在河流下沿取一点，连接，，则 即为桥.由
两点之间线段最短可知，当点在 上时路程最短，根据勾股定理求出
的长即可解题.
10.如图，是直线上长度固定为1的一条动线段.已知点 ，
，则 的最小值为_____.

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