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(共34张PPT)
第五章 四边形
微专题四 对角互补模型
模型1 含 90°的全等型
模型2 含120° ，60° 的全等型
1.对角互补模型概念：对角互补模型特指四边形中，存在一对对角互补，
而且有一组邻边相等的几何模型.
2.思想方法：解决此类问题常用的辅助线画法主要有两种：①过顶点作双
垂线，构造全等三角形；②进行旋转的构造，构造手拉手全等.
模型1 含 90°的全等型
情形1 “共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型）
条件 如图，已知 ，平分 .
图示 ______________________________________________ _____________________________________________________ ______________________________________________________________
结论 ； ；
.
续表
1.如图，点在第一象限的角平分线上， ，
点在轴正半轴上，点在 轴正半轴上.
（1）求点 的坐标;
解： 点在第一象限的角平分线 上，
，， .
（2）当绕点 旋转时，
① 的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出
这个定值.
不变； .
解：不变.
过点作轴于点，于点 .
， ，
四边形 是正方形，
， .
在和中
， ，
，
②请求出 的最小值.
的最小值为8.
【解析】连接， ， ，
， ，
，当最小时， 也最小.
根据垂线段最短原理， 最小值为2，
的最小值为8.
情形2 “斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型）
条件 如图，已知的一边与的延长线交于点 ，
，平分 .
图示 _______________________________________________________ __________________________________________________________ __________________________________________________________
结论 ；； .
2.提出问题：如图1，已知平分，点,分别在， 上.若
，求证： .
思路梳理：
（1）请根据思路梳理的过程填空.
证法1：由平分，， ，可得
_______________，则 .
证法2：由平分， ，得 ，其理论
依据是__________________________________.
角平分线上的点到角的两边距离相等
【解析】证法1：如原题图1，平分， ，
在和中，
， .
故答案为 .
证法平分， ，
（角平分线上的点到角的两边距离相等）.
故答案为角平分线上的点到角的两边距离相等.
类比探究：
（2）如图2，已知平分，点,分别在， 上.若
，求证： .
证明：如图，过点作于点，于点 ，
， ,
.
点在的平分线上，且， ，
.
，， .
拓展迁移：
（3）如图3，已知平分，点在的反向延长线上，点在 上，
且，若，，点到 的距离是3，则
的值是___.（直接写出结果，不说明理由）
8
解：如图3，过点作于点， 于点
， ，
，
， ，
， ，
， ，
点是的平分线上，且， ，
，
，， ，
， ，
又, ，
，， ，
.故答案为8.
模型2 含120° ，60° 的全等型
情形1
条件 如图，已知 ，平分 .
图示 ______________________________________________________ ______________________________________________________ _____________________________________________________
结论 ；； .
3.若四边形满足 ，则我们称该四边形为“对角互补
四边形”.
（1）四边形为对角互补四边形，且，则 的
度数为 ____；
90
解： 四边形 为对角互补四边形，
， ，
， ， ，故答案为 .
（2）如图1，四边形为对角互补四边形， ，
.
求证：平分 .
小云同学是这么做的：延长至，使得，连接 ，可证明
，得到是等腰直角三角形，由此证明出 平分
，还可以知道，， 三者关系为_________________；
【解析】，， ，
是等腰直角三角形， ，
， ，故答案为
.
（3）如图2，四边形为对角互补四边形，且满足 ，
，试证明：
①平分 ；
证明：延长至，使，连接 ，
四边形 为对角互补四边形，
， ，
， ，
， ，
， ， 是等边三角形，
，
， ，，平分 .
② ；
，， ，
.
（4）如图3，四边形为对角互补四边形，且满足 ，
，则，， 三者关系为_________________.
【解析】延长至，使 ，连接
，
四边形 为对角互补四边形，
，
， ，
，， ，
， ， ，
.
过点作交于点，为的中点， ，在
中，， ，
.故答案为 .
情形2
条件 如图，已知 ，平分， 的一
边与的延长线交于点 .
图示 ______________________________________________________ _____________________________________________________ _______________________________________________________
结论 ；； .
4.如图，已知 ，在的平分线上有一点，一个
角的顶点与点重合，它的两条边分别与直线,相交于点, .
（1）当绕点旋转到与垂直时（如图1），请猜想 与
的数量关系，并说明理由；
解：是的角平分线， .
， ， ，
.
在中，，同理，， .
（2）当绕点旋转到与 不垂直时，到达图2的位置，（1）中
的结论是否成立？并说明理由；
成立.
【解析】（1）中结论仍然成立，理由：过点 作
于点，于点 ，如图，
， ，
，
同（1）的方法得，， ，
，
，，且点是的平分线上一点， ，
， ， ，
， ，
， ，
，
.
（3）当绕点旋转到与 的反向延长线相交时，（1）中的结论
是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段,与 之间又有
怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.
不成立. .
【解析】（1）中结论不成立，结论为：
，
理由：过点作于点，于点 ，
如图，
，
， ，
同（1）的方法得，， ，(共18张PPT)
第五章 四边形
微专题五 十字模型
模型1 正方形的十字架模型
（全等模型）
模型2 矩形的十字架模型
（相似模型）
模型1 正方形的十字架模型（全等模型）
“十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字
形”，由此产生了两组相等的锐角及一组全等的三角形.#1
图示 结论
若,分别是, 上的点，
,则 .
图示 结论
若,,分别是,, 上的
点，,则 .
续表
图示 结论
若,,,分别是,,, 上
的点，,则 .
模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直.
续表
1.（1）如图1，在正方形中，，相交于点 ，
且，则和 的数量关系为_________.
解： ， ，
，
在和中，
， .故答案为
.
（2）如图2，在正方形中，，，分别是边，， 上的
点，，垂足为.求证： .
证明：如图，过点作于点 ，则四边形
为矩形，则 .
在正方形中，， ，
， ，
， ，
.
在和 中，
，
.
（3）如图3，在正方形中，，， 分别是边
，，上的点，，， ，将
正方形沿折叠，点的对应点恰好与边上的点
重合，求 的长度.
.
【解析】如图，连接 ，
，关于 对称，
，过点作于点 ，
过点作于点，则 ，
由（2）同理可得： ，
，
，， ，
又， .
模型2 矩形的十字架模型（相似模型）
若矩形相对两边上的任意两点连接的线段是互相垂直的，则这两条线
段的比等于矩形的两边之比.通过平移线段构造基本图形，再借助相似三
角形和平行四边的性质求得线段间的比例关系.#1
图示 结论
在矩形中，若是 上的
点，且，则 .
图示 结论
在矩形中，若, 分别是
，上的点，且 ，则
.
续表
图示 结论
在矩形中，若,,, 分别
是,,, 上的点，且
，则 .
续表
2.（1）如图1，矩形中，，分别交，于点， ，
分别交，于点，.求证： ；
证明：如图，过点作，交于，过点 作
，交于，与交于点 .
四边形是矩形，， 四边形
,四边形 都是平行四边形，
，.又， ，
.
四边形是矩形， ， ，
,， ，
.
（2）如图2，在满足（1）的条件下，又 ，点
，分别在边，上，若，求 的值；
.
解：如图2，， ，
由（1）中的结论可得 ，
.
（3）如图3，四边形中， ， ，
，，点，分别在边，上，求 的值.
.
【解析】过点作平行于的直线，交过点 平行于
的直线于，交的延长线于 ，如图3，则四边
形 是平行四边形.
， 是矩形，
，， .
， 由（1）中的结论可得 .(共16张PPT)
第五章 四边形
核心素养创新练
1.［新定义］（2025·广西）【平行六边形】如图1，在凸六边形
中，满足，， ，我们称这样的凸六边形叫作“平
行六边形”，其中与，与，与叫作“主对边”；和 ，
和，和叫作“主对角”；,, 叫作“主对角线”.
（1）类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正
确”或“错误”.
猜想 判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等 ______
②平行六边形的三组主对角分别相等 ______
③平行六边形的三条主对角线互相平分 ______
【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫作“菱六边形”.
错误
正确
错误
图1
解：连接,,，,交于点 ，由图1可知：
①平行于，只能知道 ，其他对边
同理，故平行六边形的三组主对边分别相等是错误的；
②平行于， ，同理可得
，其他对角同理，故平行六边形的三组
主对角分别相等是正确的；
③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错
误的.
（2）如图2，已知平行六边形满足 .求证：
平行六边形 是菱六边形：
图2
证明：如图2，过点作平行且等于，连接 ,
，则四边形是平行四边形， 平行于
， .
在平行六边形中，平行于 ，
，平行且等于， 四边形 为平
行四边形，平行于， .
在平行六边形中，平行于，平行于 ，
平行于，平行于， 四边形 为平行四边形，
,，, .
， ，
平行六边形 是菱六边形.
（3）如图3是一张边长为3,4,6的三角形纸片.剪裁掉三个小三角形，使剪裁
后的纸片为菱六边形.请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长.
图3
解：如图3，设三角形纸片为 ，裁
剪后的纸片为菱六边形 ，
平行于，平行于， 平行
于 ，
，
, ，
, .
设，则, ，
,, .
，，解得 ，
,, .
2.［实践操作］（2025·眉山）综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图1，将矩形
纸片沿过点 的直线折
叠，使点落在边上的点
处，折痕交于点 ，再沿着
过点的直线折叠，使点 落
在边上的点处，折痕交于点.将纸片展平，画出对应点， 及
折痕，，连接，， .
【初步猜想】
（1）确定和的位置关系及线段和 的数量关系.创新小组经过
探究，发现 ，证明过程如下：由折叠可知
， .由矩形的性质，
可知，_______________. .智慧
小组先测量和 的长度，猜想其关系为②_________.经过探究，发现
验证和 数量关系的方法不唯一：
方法一：证明，得到，再由 可得结论；
方法二：过点作的平行线交于点，构造平行四边形 ，然后
证 可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容.
解：由折叠可知 ，
.
由矩形的性质，可知， .
.
智慧小组先测量和的长度，猜想其关系为 .
【推理证明】
（2）请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证和 的数量
关系，写出证明过程；
四边形 是矩形，
, .
由折叠的性质， ,, ，
， ，
，即， .
由（1）知 ,
又 ,
， .
又, ，
， .
， .
【尝试运用】
（3）如图2，在矩形中，，按上述操作折叠并展开后，过点
作交于点，连接.当为直角三角形时，求出 的长.
作交于点，则 .
由（2）可知，，， ，
.
设，则， ，
.
如题图2，当 时，
， ，
.
又， ，
.
， ，
在和中， ，
，即 ，
，解得或 （舍去）.故
.
如图，当 时，
，
，
，，三点共线， .
四边形 是平行四边形，
四边形是菱形， .
，
.
设，则 ，(共41张PPT)
第五章 四边形
第二节 矩形、菱形和正方形
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，3~16分）
回归教材·理知识
知识点1 矩形的性质与判定
定义 有一个角是①______的平行四边形叫做矩形
性质 ___________________________________________________
（1）对边平行且相等;
（2）四个角都是②______;
直角
直角
性质 （3）对角线③________________;
（4）既是④________图形,又是⑤__________图形,它有⑥___条对
称轴,分别是每组对边中点连线所在的直线，对称中心是两条对角
线的交点
互相平分且相等
轴对称
中心对称
2
续表
判定 （1）平行四边形
____________________________________________________________________________________________________
续表
判定
（2）四边形
面积 ,分别表示矩形的长和宽
续表
回归教材·知识点1
1.（北师九上习题改编）在矩形中,对角线,相交于点 ,若对角
线,边,则 的周长为_______.
2.（北师九上习题改编）在平行四边形中,对角线,相交于点 .
下列条件不能判定平行四边形 为矩形的是( )
C
A. B.
C. D.
知识点2 菱形的性质与判定
定义 有一组邻边⑦______的平行四边形叫做菱形
性质 （1）对边平行;
__________________________________________________
相等
性质 （2）四条边都⑧______;
（3）对角线⑨________________;
（4）每条对角线平分一组对角;
（5）既是⑩________图形，又是 __________图形，它有 ___
条对称轴,分别是两条对角线所在直线,对称中心是两条对角线的
交点
相等
互相垂直且平分
轴对称
中心对称
2
续表
判定
续表
判定 （1）平行四边形
（2）四边形
续表
面积 为底边长,为对应底边上的高或, 分别是两
条对角线的长
续表
回归教材·知识点2
3.（人教八下习题改编）已知菱形的两条对角线长为和 ,菱形的
周长是____,面积是____ .
4.（人教八下习题改编）菱形的面积是,两条对角线的长度比为 ,
则它的两条对角线长度分别为__________.
20
24
,
5.（北师九上习题改编）如图,菱形中,对角线,相交于点,点 ,
分别是边,的中点.若,,则线段 的长为___.
3
知识点3 正方形的性质与判定
定义 有一组邻边 ______，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正
方形
性质 （1）对边平行;
______________________________________
相等
性质 （2）四条边都 ______;
（3）四个角都是 ______;
（4）对角线互相垂直平分且 ______;
（5）两条对角线分别平分一组对角,且把这个正方形分为四个全
等的等腰直角三角形;
（6）既是 ________图形，又是 __________图形,它有四条对
称轴，分别为过两对边中点的直线和两条对角线所在的直线,它的
对称中心是对角线的交点
相等
直角
相等
轴对称
中心对称
续表
判定
面积 表示正方形的边长或表示对角线的长
续表
回归教材·知识点3
6.（北师九上习题改编）正方形的面积为4,则它的边长为___,一条对角线
长为_____.
2
7.（北师九上习题改编）已知,对角线,交于点 .
（1）若，则 是______.
（2）若 ,则 是______.
（3）若,且,则 是________.
菱形
矩形
正方形
（4）若,且,则 是________.
正方形
8.（人教八下习题改编）对角线______的菱形是正方形,对角线__________
的矩形是正方形,对角线________________的平行四边形是正方形,对角线
____________________的四边形是正方形.
相等
互相垂直
互相垂直且相等
互相垂直平分且相等
知识点4 中点四边形
1.定义:顺次连接任意四边形各边中点,所形成的四边形.
2.中点四边形的形状由原四边形的两条对角线的位置关系和数量关系确定.
（判定中点四边形的原理是中位线的性质定理）
（1）任意四边形 平行四边形
（2）对角线相等的四边形 菱形
（3）对角线互相垂直的四边形 矩形
（4）对角线互相垂直且相等的四边形 正方形#2.4
【温馨提示】
1.特殊四边形的中点四边形：（1）平行四边形 平行四边形；（2）矩
形 菱形;（3）菱形 矩形;（4）正方形 正方形.
2.中点四边形的周长是原四边形两条对角线的长度之和，面积是原四边形
面积的一半.#3.2
回归教材·知识点4
9.（人教八下习题改编）如图，在四边形中,,点，,，
分别是，，，的中点,若，,则四边形 的形
状是______,面积是____.
矩形
12
对接中考·明考向
命题点1 矩形的性质与判定（10年5考）
第1题图
1.（2019河南,9题,3分）如图，在四边形 中，
， ，，，分别以点 ，
为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点 ，作射
线交于点，交于点，若点是 的中点，则
的长为( )
A
A. B.4 C.3 D.
2.（2019河南,15题,3分）如图，在矩形中，，，点
在边上，且.连接，将沿折叠，若点的对应点
落在矩形的边上，则 的值为_ _____.
或
第1题图
【练全国 拓视野】
第3题图
3.（2025·德阳）如图，要使平行四边形 是矩形，
需要增加的一个条件可以是( )
D
A. B. C. D.
4.（2025·内江）如图，在矩形中，,，点， 分别是
边，上的动点，连接，，点为的中点，点为 的中点，
连接，则 的最大值是___.
5
第4题图
与矩形性质有关的计算方法
1.若题目中涉及矩形的折叠，要注意折叠前后对应线段相等，被折叠的角
折叠之后在任何位置依旧是直角.
2.矩形四个角都是直角，则想到将所求或涉及的线段放在直角三角形中，
即常用到勾股定理、特殊角三角函数的计算.
3.常结合矩形对角线相等且互相平分的性质，应用全等三角形的判定或等
腰三角形的性质进行求解.
命题点2 菱形的性质与判定（10年9考）
1.（2022河南,5题,3分）如图，在菱形 中，对
角线，相交于点，点为 的中点.若
，则菱形 的周长为( )
C
A.6 B.12 C.24 D.48
2.（2021河南,6题,3分）关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
B
A.四条边相等 B.对角线相等
C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形
【练全国 拓视野】
3.（2025·黑龙江）如图，在平行四边形中，对角线, 相交于点
，请添加一个条件___________________________________，使平行四
边形 为菱形.
（或，答案不唯一）
第3题图
4.（2025·兰州）如图，在菱形中，，垂足为，交 于点
，.若，则 ___.
4
第4题图
利用菱形的性质进行相关计算
1.求角度.应注意菱形的四条边相等、对角相等和邻角互补等,可利用等腰三
角形的性质和平行线的相关性质转化要求的角，直到找到与已知角的关系.
2.求长度（线段或周长）.应注意使用等腰三角形的性质,若菱形中有一个
顶角为 ,则连接另外两点的对角线所形成的两个三角形均为等边三角
形,在计算时可借助等边三角形的性质;若菱形中存在直角三角形,则应注意
使用勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等进行求解.
3.求面积可直接利用“ 底×高”来求解，也可利用面积等于对角线之积的
一半来进行求解.
命题点3 正方形的性质与判定（10年3考）
第1题图
1.（2024河南，14题，3分）如图，在平面直角坐标系
中，正方形的边在轴上，点 的坐标为
，点在边上.将沿折叠，点 落在点
处.若点的坐标为，则点 的坐标为_______.
2.（2020河南,14题,3分）如图，在边长为的正方形中，点，
分别是边，的中点，连接，，点，分别是， 的中点，
连接，则 的长度为___.
1
第2题图
【练全国 拓视野】
第3题图
3.（2025·陕西）如图，正方形的边长为4，点为
的中点，点在上，，则 的面积为( )
C
A.10 B.8 C.5 D.4
4.（2025·北京）如图，在正方形中，点在边上， ，垂
足为.若， ，则 的面积为__.
正方形的性质与判定方法
1.正方形的性质矩形的性质 菱形的性质.
（1）四角相等,均为 ,四边相等;
（2）对角线互相垂直且相等;
（3）对角线平分一组对角得到 角;
（4）边长与对角线的长度比为1 .
2.正方形的判定:以矩形和菱形的判定为基础,可以引申出更多正方形的判
定方法,证明四边形是正方形的一般步骤是先证出四边形是矩形或菱形，
再根据相应判定方法证明四边形是正方形.(共35张PPT)
第五章 四边形
第一节 平行四边形与多边形
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，3~12分）
回归教材·理知识
知识点1 平行四边形的性质与判定
概念 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质 边 两组对边分别平行且①______
角 两组对角分别②______,邻角③______
对角线 对角线④__________
对称性 平行四边形是⑤______对称图形,对称中心是对角线的交点
相等
相等
互补
互相平分
中心
判定 边 两组对边分别⑥______的四边形是平行四边形（定义）
两组对边分别⑦______的四边形是平行四边形
一组对边⑧____________的四边形是平行四边形
角 两组对角分别⑨______的四边形是平行四边形
对角线 对角线⑩__________的四边形是平行四边形
面积公式 是底边长,是底边上的高
平行
相等
平行且相等
相等
互相平分
续表
【温馨提示】
1.不能用“有两条边相等,且另外两条边也相等的四边形”来判定平行四边形，
因为满足这一条件的四边形可能是“筝形”,如图1,, .
2.不能用“一组对边平行，另一组对边相等”来判定平行四边形，因为满足
这一条件的四边形可能是等腰梯形.
3.当有角平分线的条件时，可利用“平行角平分线 等腰三角形”的结论
得到等角、等边,如图2所示.#1.1.3
4.当存在边上的中点时,与对角线的交点连接可得到三角形的中位线,如图3
所示.#1.1.4
回归教材·知识点1
1.（人教八下习题改编）如图,在中,已知 ,则 的
度效为____.
2.（人教八下习题改编）如图,的周长为,对角线, 交于
点,若点是的中点,连接,则线段的值为___ .
9
3.（北师八下习题改编）如图,在中,, ,
,则____, 的面积为_____.
12
120
4.（北师八下习题改编）如图，四边形中,对角线,相交于点 ,
下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
D
A., B.,
C., D.,
知识点2 多边形及其性质
1.一般多边形
定义 在平面内,由 条不在同一条直线上的线段 ________
___相接所组成的封闭图形叫做 边形
内角和 边形的内角和为 ______________
外角和 多边形的外角和为 ______
对角线 过边形的一个顶点可以引 ______条对角线，把这个 边形
分成个三角形， 边形共有 _ ______条对角线
首尾顺次
【温馨提示】 多边形中除了三角形具有稳定性，其他多边形都具有不稳
定性.
2.正多边形
定义 各角都相等,各边都相等的多边形为正多边形
性质 正多边形的各边 ______,各角 ______
内角、 外角 正边形的每一个内角为或 ,每一个外角为
_ ____
对称性 （1）正边形有 条对称轴.
（2）当为奇数时,正 边形为轴对称图形,但不是中心对称图形;
当为偶数时,正 边形既是轴对称图形又是中心对称图形
相等
相等
回归教材·知识点2
5.教材再现（人教八上P21思考）试推导出七边形的
内角和,并拓展到 边形内角和.
解:如图,在七边形中,从点 出发,可以作4条
对角线,它们将七边形分为5个三角形,七边形的内角
和等于 .同理,在 边形中，从一顶点
出发，可以作条对角线，它们将边形分为个三角形, 边形
的内角和等于 .
对接中考·明考向
命题点1 平行四边形（多边形）的性质与判定（10年5考）
1.（2022河南,9题,3分）如图，在平面直角坐标系中，
边长为2的正六边形的中心与原点 重合，
轴，交轴于点.将绕点 顺时针旋转，
每次旋转 ，则第2 022次旋转结束时，点 的坐
标为( )
B
A. B. C. D.
【练全国 拓视野】
第2题图
2.（2025·自贡）如图，正六边形与正方形的两
邻边相交，则 ( )
B
A. B. C. D.
第3题图
3.（2025·山西）如图，在平行四边形 中，
点是对角线的中点，点是边 的中点，
连接 .下列两条线段的数量关系中一定成立
的是( )
C
A. B. C. D.
4.（2025·贵州）如图，在 中，
,, ，以 为圆心，
长为半径作弧，交于点，则 的长为
( )
D
A.5 B.4 C.3 D.2
5.（2025·吉林）如图，正五边形的边，的延长线交于点 ，
则 的大小为____度.
36
与平行四边形性质有关的计算方法
1.求角度:将已知中提供的角平分线、直角及角的数量关系，在图中找出来，
再结合平行四边形性质（对角相等、邻角互补及平行关系），将所求角度
进行和差变化转化为已知角求解.
2.求线段长:①根据平行四边形性质及已知角关系，将已知线段和未知线段
转化到同一个三角形中，利用勾股定理、直角三角形性质或等腰三角形性
质进行求解；②根据平行四边形性质，利用平行线分线段成比例
（三角形相似）求线段长或线段比值.
命题点2 新定义下四边形的运用
1.（2024河南，23题，10分）综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经
验，对“邻等对补四边形”进行研究.
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.
（1）操作判断
用分别含有 和 角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，
其中是邻等对补四边形的有______（填序号）.
②④
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.下面研究与对角线相关
的性质.
如图2，四边形是邻等对补四边形，， 是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
图1
解： ，
理由：如图1，延长至点，使 ，连接
，
四边形 是邻等对补四边形，
.
， .
， ，
， ，
， .
②若，， ，求的长（用含，， 的式
子表示）.
图2
如图2，过点作于点 ，
，
.
， .
在中， ，
，的长为 .
（3）拓展应用
如图3，在中， ，，，分别在边，
上取点，，使四边形 是邻等对补四边形.当该邻等对补四边形仅
有一组邻边相等时，请直接写出 的长.
的长为或 .
【练全国 拓视野】
2.（2025·深圳）综合与探究
【探索发现】如图1，小军用两个大小不同的等腰直角三角板拼接成一个
四边形.
【抽象定义】以等腰三角形为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于
原等腰三角形的顶角，此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称
为四边形的“伴随三角形”.如图2，在中，， ，
.此时，四边形是“双等四边形”， 是“伴随三角形”.
【问题解决】 如图3，在四边形中，， ，
.求：
①与 的位置关系为：______；
②___.（填“ ”，“ ”或“ ”）
平行
【方法应用】①如图4，若，将绕点逆时针旋转至 ，
点恰好落在边上，求证：四边形 是双等四边形；
为 旋转得到，
.
令 ，则 ， ，
.
由旋转得, .
又，， ，
， ，
四边形 为双等四边形.
②如图5，在等腰三角形中，，， ，在平面
内找一点，使四边形是以 为伴随三角形的双等四边形，若
存在，请求出 的长；若不存在，请说明理由.
图1
如图1，作于点 .
， ，
， .
设，则 ，
若，时， .
在中，，即，解得 ，
， .
图2
如图2，若， 时，
.
作于点 ，
，
，
， .
图3
如图3，若， 时，
，
，
， ，
.
综上所述，满足条件时或或 .

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