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(共30张PPT)
第三章 函 数
第五节 二次函数的综合与应用
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，11 21分）
回归教材·理知识
知识点1 二次函数的实际应用
常见类型 解题步骤
抛物线型 （类抛物线 型）问题 （1）根据实际问题的条件建立适当的平面直角坐标系；
（2）指出已知点的坐标（长度转化为坐标）；
（3）设立适当的解析式；
（4）用待定系数法求出解析式；
（5）根据条件解决相应问题.
常见类型 解题步骤
销售利润问题 理清变量之间的关系，找出问题中的数量关系,列出函数
关系式,确定自变量的取值范围，根据要求求函数的最值
或建立方程求解
图形面积问题 利用几何知识用变量表示出图形的面积 ,确定自变量的
取值范围,根据要求求函数的最值或建立方程求解
续表
回归教材·知识点1
1.（人教九上习题改编）某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆.该爆竹点
燃后离地高度单位:关于离地时间单位: 的函数解析式是
,其中 的取值范围是__________.
2.（北师九下引例改编）体育老师对小豪投掷实心球的录像进行技术分析，
如图，实心球在行进过程中的高度与水平距离 之间的关系为
,由此可知小豪此次投掷的成绩是___ .
9
3.（人教九上习题改编）某种商品每件的进价为30元，在某时间段内以每
件元出售，可卖出件.想要获得最大利润，则定价 应为____元.
若 ,则获得的最大利润是_______元.
65
1 189
知识点2 二次函数与几何的综合
1.最值问题:线段最值;周长最值；面积最值.
2.存在性问题:注意灵活运用数形结合思想，可先假设存在,再借助已知条
件求解,若有解，则假设成立，即存在;若无解，则假设不成立,即不存在.可
在二次函数图象中考查特殊三角形或特殊四边形存在性问题.
3.动点问题:通常利用数形结合、分类讨论和转化等数学思想，借助图形，
切实把握图形运动的全过程,动中取静,选取某一时刻为研究对象,然后根据
题意建立方程模型或函数模型求解.
对接中考·明考向
命题点1 二次函数的综合应用（10年7考）
1.（2021河南,22题,10分）如图，抛物线 与直线
相交于点和点 .
（1）求和 的值；
解：将点的坐标代入抛物线解析式得 ，解得
.将点的坐标代入直线解析式得，解得 .
故， .
（2）求点的坐标，并结合图象写出不等式 的解集；
由（1）得，直线和抛物线的表达式分别为， ，联
立上述两个函数表达式并解得（不合题意的值已舍去），即点
的坐标为.从图象看，不等式的解集为 或
.
（3）点是直线上的一个动点，将点向左平移3个单位长度得到点 ，
若线段与抛物线只有一个公共点，直接写出点的横坐标 的取值范围.
当点在线段上不含端点时，线段 与抛物线只有一个公共点.
的距离为3，而， 的水平距离是3，故此时只有一个交点，即
；
当点在点的左侧时，线段 与抛物线没有公共点；
当点在点的右侧时，当时，抛物线和 交于抛物线的顶点
，即时，线段 与抛物线只有一个公共点.
综上，或 .
【练全国 拓视野】
2.（2025·内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与
轴相交于,两点，与轴交于点 .
（1）求抛物线的表达式；
解： 抛物线与轴相交于,两点，与 轴
交于点 ，
解得
抛物线的表达式为 .
（2）如图1，过点的直线与抛物线的另一个交点为点 ，点
为抛物线对称轴上的一点，连接,，设点的纵坐标为 ，当
时，求 的值；
联立得
解得 .
，
抛物线的对称轴为直线，顶点为 .
设 ，
， ，
，
解得，的值为 .
（3）如图2，点是抛物线的顶点，点是轴上一动点，将顶点绕点
旋转 后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点
的坐标.
由（2）得顶点 ，
设，由旋转得 ， ，
图1
如图1，当时，过点作轴的平行线 ，过点
，分别作的垂线，垂足为点， ，
，
，
， ，
， ，
.
将点代入 ，
得 ，
整理得，解得 ，
或 .
图2
如图2，当时，过点作轴的平行线，过点，
分别作平行线的垂线，垂足为点， ，
，
，
， ，
， ，
.
将点代入 ，
得 ，
整理得，解得 ，
或 .
综上，点的坐标为或或或 .
命题点2 二次函数的实际应用（10年4考）
1.（2024河南，22题，10分）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度
满足关系式，其中是物体运动的时间，
是物体被发射时的速度.社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向
上发射小球.
（1）小球被发射后_ __时离地面的高度最大（用含 的式子表示）;
【解析】 ，
当时，最大.故答案为 .
（2）若小球离地面的最大高度为 ，求小球被发射时的速度;
解：根据题意，当时， ，
，
（负值舍去）.
（3）按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高
度相同.小明说：“这两次间隔的时间为.”已知实验楼高 ，请判断他
的说法是否正确，并说明理由.
小明的说法不正确.理由如下：
由（2），得 ，
当时， ，
解方程，得， ，
两次间隔的时间为 ，
小明的说法不正确.
2.（2023河南，22题，10分）小林同学不仅是
一名羽毛球运动爱好者，还喜欢运用数学知
识对羽毛球比赛进行技术分析，下面是他对
击球线路的分析.
如图，在平面直角坐标系中，点，在轴上，球网与 轴的水平距离
，，击球点在 轴上.若选择扣球，羽毛球的飞行高度
与水平距离近似满足一次函数关系 ；若选择吊
球，羽毛球的飞行高度与水平距离 近似满足二次函数关系
.
（1）求点的坐标和 的值；
解：在中，令，得 ，
点的坐标为 .
把代入 ，
得，解得 ，
的值是 .
（2）小林分析发现，上面两种击球方式均能使球过网.要使球的落地点到
点的距离更近，请通过计算判断应选择哪种击球方式.
，，， .
在中，令得 .
在中，令，得 （舍去）或
.
，
选择吊球方式，球的落地点到 点的距离更近.
【练全国 拓视野】
3.（2025·陕西）某景区大门上半部分的
截面示意图如图所示，顶部 ，左、右门
洞， 均呈抛物线型，水平横梁
，的最高点到 的距离
，，关于 所在直线对称.
，，为框架，点，在上，点，分别在， 上，
，，.以为原点，以所在直线为轴，以
所在直线为 轴，建立平面直角坐标系.
（1）求抛物线 的函数表达式；
解： ，
抛物线的顶点坐标为 .
设抛物线的函数表达式为 .
，结合二次函数的对称性得， ，
将代入 ，
得，则 ，
抛物线的函数表达式为 .
（2）已知抛物线的函数表达式为，，求
的长.
由（1）得抛物线的函数表达式 .
，，，，且抛物线 的函数表达式
为 ，
，
整理得，解得 ，
.(共50张PPT)
第三章 函 数
第四节 二次函数的图象与性质
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（10年9考，3 13分）
回归教材·理知识
知识点1 二次函数的图象与性质
概念 一般地,形如,,是常数, 的函数，叫做
二次函数
图象 对称轴平行（或重合）于 轴的①________ ,开口向上 ,开口向下
抛物线
续表
对称轴 （1）利用对称轴公式:直线 _ ____;
（2）利用配方法:将一般式 化为顶点式
,则对称轴为直线③______;
（3）利用对称性:若, 是关于对称轴对称的两点的横坐标,则
对称轴为直线④__________.
续表
顶点 坐标 （1）利用顶点坐标公式:（_ ____, _______）; （2）利用配方法:将一般式 化为顶点式 ,则顶点坐标为⑦______. 增减性 时,在对称轴左侧,随 的 增大而⑧______;在对称轴右侧, 随 的增大而⑨______ 时,在对称轴左侧,随 的
增大而⑩______;在对称轴右侧,
随 的增大而 ______
减小
增大
增大
减小
续表
最值 当时,有最 ____值 ; 或当时, 有最小值 _ ______ 当时,有最 ____值 ;或
当时 有最大值
_ ______
小
大
续表
回归教材·知识点1
1.（北师九下习题改编）在下列关于 的函数中,一定是二次函数的是 ( )
D
A. B.
C. D.
2.（人教九上习题改编）二次函数 的一般形式为__________
_______,一次项系数为___,常数项为___.
3.（人教九上习题改编）把二次函数 化成
的形式是___________________.
2
0
4.（北师九下习题改编）关于二次函数 的图象及性质,下
列说法正确的是( )
B
A.对称轴是直线
B.当时,取得最小值，且最小值为
C.顶点坐标为
D.当时,的值随 值的增大而增大
5.（北师九下习题改编）已知点,, 都在二次函数
的图象上,当时,,则,, 的大小比较正确
的是( )
C
A. B. C. D.
知识点2 二次函数的图象与系数 ，
， 的关系
决定抛物线的形状和开 口方向 ,开口向 ____ ,开口向下
【拓展】 越大,抛物线的开口越小 上
, 共同决定对称轴位置 （同左异右） ___0 同号,即 异号,即
对称轴为 轴 对称轴在 轴 ____侧 对称轴在 轴
____侧
决定与 轴交点位置
左
右
续表
决定与 轴交点位置 经过 ______ 与 轴正半轴 相交 与 轴负半轴
相交
决定与 轴交点 个数
与 轴有唯一交点 （即顶点） 与 轴有 ______交点 与 轴
______交点
原点
两个
没有
续表
若出现,则令,看纵坐标;若出现,则令 ____,看
纵坐标
若出现,则令,看纵坐标;若出现,则令
____,看纵坐标
若出现,则比较与1;若出现,则比较与
续表
回归教材·知识点2
6.（人教九上习题改编）如果在二次函数中,, ,
,那么这个二次函数的图象可能是( )
C
A. B. C. D.
7.（人教九上习题改编）二次函数 的图象如图所
示，对称轴为直线,下列结论:; ;
;; ,其中正确的个数是
( )
B
A.2 B.3 C.4 D.5
知识点3 二次函数解析式的确定
确定二次函数解析式最常用的方法为待定系数法,一般步骤如下:#1
已知条件 设解析式 对称轴 求解
图象上的三点坐标 一般式: 代入对应条件所给
的点坐标，求出所设参数（如,, ,
等）的值,再代回
所设的解析式中
顶点 另一点坐标 顶点式: 已知条件 设解析式 对称轴 求解
与轴的两个交点 另一点坐标 （不在 轴上） 交点式: 代入对应条件所给
的点坐标，求出
所设参数（如,, , 等）的值,再代回所设的解析式中
顶点是原点 另一点坐标 轴 续表
已知条件 设解析式 对称轴 求解
对称轴为 轴 （顶点在轴上） 另两 点坐标 轴 代入对应条件所给的点坐标，求出所设参数（如,, , 等）的值,再代回所设的解析式中
顶点在轴上 另两点 坐标 原点 另外两点坐标 续表
回归教材·知识点3
8.（北师九下习题改编）抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 轴，且经过
点 ,则该抛物线的表达式为________.
9.（北师九下习题改编）若抛物线的顶点是 ,且经
过点 ，则抛物线的解析式为_________________.
10.（北师九下习题改编）已知二次函数的图象经过,, 三点,
那么这个二次函数的解析式为_________________.
知识点4 二次函数图象的平移
1.抛物线顶点式的平移（左加右减自变量，上加下减常数项）
2.抛物线一般式的平移
平移前的解 析式 移动方向 平移后的解析式 口诀
向左平移 个单 位长度 左加右减自
交量
向右平移 个单 位长度 _____ _____
向上平移 个单 位长度 上加下减常
数项
向下平移 个单 位长度 _____
续表
回归教材·知识点4
11.（人教九上习题改编）将抛物线 向右平移2个单位长
度,再向下平移3个单位长度,得到的抛物线的解析式为( )
A
A. B.
C. D.
12.（人教九上习题改编）将函数 的图象向左平移1个单
位长度,再向上平移3个单位长度，可得到的抛物线是_________________.
知识点5 二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与一元二次方程
二次函数与 轴交点的横坐标是一元二次方程
的实数根.#1.1
的符号 ___ 0 ___
0
抛物线 与 轴的交点的个数
两个交点 ____个交点 无交点
一元二次方程 实 数根的情况 有两个不相等的 实数根 有两个相等的 实数根 没有实数根
一
2.二次函数与不等式
（1）不等式的解集的图象在 轴上
方时,对应的 的取值范围;
（2）不等式的解集的图象在 轴下
方时,对应的 的取值范围.
回归教材·知识点5
13.（北师九下习题改编）已知二次函数的顶点为 ,
那么关于的一元二次方程 的根的情况是( )
A
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
14.（北师九下习题改编）如图是抛物线 的
一部分,其对称轴为直线且与轴的一交点为 ,则由
图象可知,不等式 的解集是____________.
对接中考·明考向
命题点 二次函数的图象与性质（10年7考）
1.（2023河南，9题，3分）二次函数 的图象
如图所示，则一次函数 的图象一定不经过
( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.（2019河南,8题,3分）已知抛物线经过和
两点，则 的值为( )
B
A. B. C.2 D.4
3.（2025河南，22题，10分）在二次函数中，与 的几
组对应值如下表所示.
… 0 1 …
… 1 …
（1）求二次函数的表达式；
解：由题意，结合表格数据可得，二次函数图象的对称轴是直线
.
可设二次函数的表达式为 .
又 图象过， ，
，且 ，
， ，
二次函数为，即 .
（2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二
次函数的图象；
由题意，结合（1）得 ，
顶点坐标为 .
作图如下.
（3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当 时，若图
象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出 的值.
由题意，
二次函数的图象向右平移 个单位长度，
新函数的表达式为 ，
此时对称轴是直线 ，函数图象开口向上.
①当时，即 ，
当时，取最大值为 ；
当时，取最小值为 .
又 最大值与最小值的差为5，
， ，不合题意.
②当时，即 ，
当或时，取最大值为或 ；当
时，取最小值为 .
又 最大值与最小值的差为5，
或 ，
或（不合题意，舍去）或 （不合题意，
舍去）或 .
③当时，即 ，
当时，取最小值为 ；
当时，取最大值为 .
又 最大值与最小值的差为5，
，
，不合题意.
综上，或 .
4.（2020河南,21题,10分）如图，抛物线与 轴正半轴，
轴正半轴分别交于点，，且，点 为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式及点 的坐标；
解:抛物线解析式为 .
顶点的坐标为 .
（2）点，为抛物线上两点（点在点 的左侧），且到对称轴的距离
分别为3个单位长度和5个单位长度，点为抛物线上点，之间
含点，的一个动点，求点的纵坐标 的取值范围.
，
对称轴为直线 .
点，为抛物线上两点（点在点 的左侧），且到对称轴的距离分
别为3个单位长度和5个单位长度，
点的横坐标为或4，点 的横坐标为6，
点坐标为或，点坐标为 .
点为抛物线上点，之间含点，的一个动点，
或 .
【练全国 拓视野】
5.（2025·威海）已知点，， 都在二次函数
的图象上，则，， 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
6.（2025·陕西）在平面直角坐标系中，二次函数
的图象与 轴有两个交点，且这两个交点分
别位于 轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( )
D
A.图象的开口向下
B.当时，的值随 值的增大而增大
C.函数的最小值小于
D.当时，
7.（2025·泸州）已知抛物线的对称轴为直线，与
轴的交点位于轴下方，且时， ，下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
8.（2025·福建）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象
过点， .
（1）求 的值；
解：二次函数的对称轴为直线 .
点， 在该函数的图象上，
， .
（2）已知二次函数的最大值为 .
（ⅰ）求该二次函数的表达式；
由（1）可得，
， 该函数的表达式为 ，
函数图象的顶点坐标为 .
函数的最大值为，，且 ，解得
或 （舍去），
该二次函数的表达式为 .
（ⅱ）若，为该二次函数图象上的不同两点，且 ，
求证： .
证明： 点在函数 的图象上，
.
由（ⅰ）知，点，关于直线 对称，
不妨设，则，即 ，
，
.
二次函数图象与性质的解题通法
1.二次函数对称轴为直线，顶点坐标为 ,二次函数图
象是关于它的对称轴对称的轴对称图形.
2.二次函数的大小比较:
①可将点的横坐标代入二次函数解析式中求出函数值进行比较;
②根据二次函数的增减性进行比较;
③利用数形结合的思想，正确找出对应点的位置进行比较.
3.抛物线字母系数与图象的关系:
（1）根据开口方向确定 的取值范围;
（2）根据对称轴的位置确定 的取值范围;
（3）根据抛物线与轴的交点确定 的取值范围;
（4）根据抛物线与轴是否有交点确定 的取值范围;
（5）根据的函数值可以确定
是否成立;
（6）某些特殊形式的代数式符号的判断:
①即时 的值;
②即时 的值;
③即时 的值;
④即时 的值.(共50张PPT)
第三章 函 数
第一节 平面直角坐标系及函数
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，3 6分）
回归教材·理知识
知识点1 平面直角坐标系中点的坐标特征
各象限内
,
,
,
坐标轴上
0
续表
各象限角 平分线上 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标
⑥______;第二、四象限角平分线上的点的
横、纵坐标⑦____________.
相等
互为相反数
续表
与坐标轴 平行的直 线上
纵
横
续表
回归教材·知识点1
1.（北师八上习题改编）已知平面直角坐标系内的点 .
（1）若点在第三象限,则 的取值范围为________；
（2）若点在轴上，则_ _，若点在轴上,则 ____；
（3）若点在第一、三象限的角平分线上，则 ___.
4
2.（人教七下习题改编）已知点，.若 轴,则
点的坐标为_______;若轴,则点 的坐标为______.
知识点2 平面直角坐标系中的距离
点到坐标轴及原点的距离 两点间的距离
点到坐标轴及原点的距离 两点间的距离
【温馨提示】 中点坐标公式:已知任意两点, ,则线段
的中点坐标为 #1.1
续表
回归教材·知识点2
3.（人教七下习题改编）在平面直角坐标系中，点与点 之
间的距离是___.
4.（北师八上习题改编）在平面直角坐标系中，点与点 之
间的距离为3，则 的值为_______.
5.（北师八上习题改编）已知平面直角坐标系内两点和 ，
则, 两点间的距离等于______.
3
或2
知识点3 点的平移、对称与旋转
点的 对称
点的 对称
续表
点的 平移
续表
点的 平移
续表
点的 旋转
续表
回归教材·知识点3
6.（人教七下习题改编）将点向上平移2个单位长度后得到的点 的
坐标是______.将点向右平移3个单位长度后得到的点 的坐标是______.
7.（北师八上习题改编）在平面直角坐标系中,已知点 .
点的对称旋转
关于原点对称
知识点4 函数及其图象
概念
自变量的取 值范围 有分母，则分母不为0;有二次根式,则被开方数大于或等于0;
在实际问题中，还应使自变量的取值符合实际意义
函数值
表示方法 （1）列表法;（2）解析式法;（3） ________
图象画法 列表、描点、连线
函数性质 一般从增减性、对称性、最值等方面研究函数的性质
图象法
续表
回归教材·知识点4
8.（人教八下习题改编）下列各曲线中，不表示是 的函数的是( )
A
A. B. C. D.
知识点5 函数自变量的取值范围
函数形式 自变量的取值范围
整式 全体实数
使分母 _______的实数
使被开方数 _____________的实数
不为0
大于或等于0
函数形式 自变量的取值范围
使分母不为0,且被开方数大于或等于
0的实数
零指数幂或负整数指数幂 使底数不为0的实数
以上复合型 以上各限制条件的公共部分
续表
回归教材·知识点5
9.（北师八上习题改编）函数中,自变量 的取值范围
是( )
C
A. B. C.且 D.且
知识点6 函数图象的分析与判断
类型 方法
实际 问题
类型 方法
几何 图形 判断动点问题的函数图象的一般步骤与方法:
（1）观察几何图形,找出运动起点和终点,由动点移动范围确定自
变量的取值范围;
（2）分清楚整个运动过程分为几段,关注动点运动过程中的特殊
位置（如最高点、最低点、起点和终点）的函数值；
续表
类型 方法
几何 图形 （3）理解每一段运动过程中函数值的变化规律，与图象上升
（或下降）的变化趋势相比对;
（4）以上方法行不通的情况下,需要写出各段函数的解析式进行
判断.
续表
回归教材·知识点6
10.（北师八上习题改编）某人驾车匀速从甲地前往乙地，中途停车休息
了一段时间，出发时油箱中有油,到乙地后发现油箱中还剩 油，则
油箱中所剩油与时间 之间的函数图象大致是( )
C
A. B. C. D.
对接中考·明考向
命题点1 图形与坐标（10年3考）
1.（2021河南，9题，3分）如图， 的顶点
，，点在轴的正半轴上，延长
交轴于点.将绕点 顺时针旋转得到
，当点的对应点落在上时， 的
延长线恰好经过点，则点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
2.（2018河南，9题，3分）如图，已知
的顶点，，点在 轴正半轴上按
以下步骤作图：①以点 为圆心，适当长度为半
径作弧，分别交边，于点， ；②分别以
A
A. B. C. D.
点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点 ；③
作射线，交边于点，则点 的坐标为( )
【练全国 拓视野】
3.（2025·自贡）如图，在平面直角坐标系中，正方形 的边长为
5，边在轴上，.若将正方形绕点逆时针旋转 ，得
到正方形，则点 的坐标为( )
A
A. B. C. D.
4.（2025·辽宁）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点 的坐
标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为 ，
则点的对应点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
求线段长的一般方法
1.与 轴垂直的线段的长：交点的横坐标相减（右减左）.
2.与 轴垂直的线段的长：交点的纵坐标相减（上减下）.
3.斜线段的长：可过线段端点分别作轴， 轴垂线构造直角三角形，利用
勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解.
命题点2 点的坐标规律（10年2考）
1.（2019河南，10题，3分）如图，在 中，顶点
，，，将与正方形 组成的
图形绕点顺时针旋转，每次旋转 ，则第70次旋转结束
时，点 的坐标为( )
D
A. B. C. D.
【练全国 拓视野】
2.（2025·内江）对于正整数，规定函数 .在平面
直角坐标系中，将点中的， 分别按照上述规定，同步进行运算
得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）.例如，点 经过第
1次运算得到点，经过第2次运算得到点 ，经过第3次运算得到
点，经过有限次运算后，必进入循环圈.按上述规定，将点 经过
第2 025次运算后得到点是( )
A
A. B. C. D.
4.（2025·德阳）如图，在平面直角坐标系
中，，，点 在直线
上，且，连接 ，
，将绕点顺时针旋转到 ，
2 004
点的对应点落在直线上，再将绕点 顺时针旋转到
，点的对应点也落在直线上.如此下去， ，则 的
纵坐标是_______.
点的坐标规律解题通法
在规律探索求点坐标的题中,点的坐标的变化形式一般分为两种:①点的坐
标在同一象限内递推变化:②点的坐标在坐标轴上或象限内循环递推变化,
解决这类问题的步骤如下:
1.根据点坐标的变化特点判断变化形式.
2.根据题意求出前几个点的坐标,归纳出变化周期或变化规律.
3.两种变化形式下求第 个点的坐标的方法:
第①种变化形式:根据2中得到的规律,得到第 个点的坐标;
第②种变化形式:先确定循环周期，记次数为 ,
,则第个点与第 个点所在的坐标轴或象限相
同,根据2中得到的关系,得到第 个点的坐标.
命题点3 函数图象的分析与判断（10年5考）
1.（2025河南，10题，3分）汽车轮胎的摩擦系数是
影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车
速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数
与车速 之间的函数关系如图所示.下列说法中
错误的是( )
A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9
B.当 时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小
C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于
D.若车速从增大到 ，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04
√
2.（2024河南，10题，3分）把多个用电器连接在同一个插线板上，同时
使用一段时间后，插线板的电源线会明显发热，存在安全隐患.数学兴趣
小组对这种现象进行研究，得到时长一定时，插线板电源线中的电流 与
使用电器的总功率的函数图象（如图1），插线板电源线产生的热量 与
的函数图象（如图2）.下列结论中错误的是( )
A.当时，
B.随 的增大而增大
C.每增加， 的增加量相同
D.越大，插线板电源线产生的热量 越多
√
3.（2023河南，10题，3分）如图1，点从等边三角形的顶点 出发，
沿直线运动到三角形内部一点，再从该点沿直线运动到顶点.设点 运动
的路程为,，图2是点运动时随 变化的关系图象，则等边三角形
的边长为( )
A
A.6 B.3 C. D.
4.（2022河南,10题,3分）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用
于检测驾驶员是否酒后驾车.酒精气体传感器是一种气敏电阻 图1中的
，的阻值随呼气酒精浓度 的变化而变化（如图2），血液酒精浓度
与呼气酒精浓度 的关系见图3.下列说法不正确的是( )
A.呼气酒精浓度越大， 的阻值越小
B.当时，的阻值为
C.当 时，该驾驶员为非酒驾状态
D.当 时，该驾驶员为醉驾状态
√
【练全国 拓视野】
5.（2025·广东）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，
其电池剩余的能量与骑行里程 之间的关系如图所示.当电池
剩余能量小于 时，摩托车将自动报警.根据图象，下列结论正确
的是( )
C
A.电池能量最多可充
B.摩托车每行驶消耗能量
C.一次性充满电后，摩托车最多行驶
D.摩托车充满电后，行驶 将自动报警
6.（2025·甘肃）如图1，在等腰直角三角形中， ，点
为边的中点.动点从点出发，沿边 方向匀速运动，运动到点
时停止.设点的运动路程为，的面积为，与 的函数图象如图
2所示，当点运动到的中点时， 的长为( )
A
A.2 B.2.5 C. D.4
函数图象的分析与判断的一般方法
1.根据实际问题判断函数图象时,需遵循以下几点:
（1）找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,在函数图象中找
出对应点;
（2）找特殊点:即找交点或拐点,图象在此点处将发生变化;
（3）判断图象趋势:判断函数的增减性.
2.以几何图形为背景判断函数图象的题目一般的解题思路:
先确定自变量与因变量对应的几何量.再根据几何图形的性质确定转折点,
然后判断每个转折点前后自变量的取值范围内相关量的增减性,最后判断
函数图象.
3.对已知函数图象的分析步骤:
先分清图象的横、纵坐标代表的量及函数自变量的取值范围.再找出分段
函数的转折点，函数增减性发生变化的点以及函数图象与坐标轴的交点,
根据这些特殊点的坐标求出几何运动特殊位置上的几何量,从而解决问题.(共35张PPT)
第三章 函 数
第二节 一次函数及其应用
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，9~19分）
回归教材·理知识
知识点1 一次函数的图象与性质
一次函数 图象 经过象限 性质
, 为常数,且 ,特别地， 当 时, 为正比例函数 第一、二、三 象限 从左向右看图象呈上升趋势,随 的增大而
①______
第一、三 象限 增大
一次函数 图象 经过象限 性质
, 为常数,且 ,特别地， 当 时, 为正比 例函数 第一、 三、四 象限 从左向右
看图象呈
上升趋势,
随 的增
大而
①______
增大
续表
一次函数 图象 经过象限 性质
, 为常数,且 ,特别地， 当 时, 为正比 例函数 第一、 二、四 象限 从左向右
看图象呈
下降趋势,
随 的增
大而
②______
第二、四 象限 减小
续表
一次函数 图象 经过象限 性质
, 为常数,且 ,特别地， 当 时, 为正比 例函数 第二、 三、四 象限 从左向右
看图象呈
下降趋势,
随 的增
大而
②______
减小
续表
回归教材·知识点1
1.（人教八下习题改编）对于一次函数 ,下列说法正确的是
( )
B
A.随着 的增大而增大
B.该函数图象与轴的交点坐标为
C.点 在该函数的图象上
D.该函数图象经过第二、三、四象限
知识点2 一次函数解析式的确定
确定一次函数解析式最常用的方法为待定系数法,一般步骤如下:
（1）设:设一次函数的解析式为 （题干中未给解析式时
需设）;
（2）列:把已知条件（图象上的点坐标）代入所设解析式中得到含待定系
数的方程组;
（3）解:解方程组求待定系数, 的值;
（4）写:将所求待定系数的值代入所设的函数解析式中,从而写出函数解析式.
回归教材·知识点2
2.（人教八下习题改编）已知一条直线经过点和点 ,求这条直线
的解析式.
解:设这条直线的解析式是
.根据题意,
得解得
故这条直线的解析式是 .
知识点3 一次函数图象的平移
平移前 平移方式 平移后 口诀
向左平移 个单位长度 ③_________________ 左加右减
自变量
向右平移 个单位长度 ④_________________ 向上平移 个单位长度 ⑤_______________ 上加下减
常数项
向下平移 个单位长度 ⑥_______________
回归教材·知识点3
3.（北师八上习题改编）把函数 的图象向下平移3个单位长度,再向
左平移2个单位长度,得到的函数图象解析式为___________.
知识点4 一次函数与方程（组），不等式的关系
1.一次函数与方程（组）的关系
（1）如图1,一次函数的图象与轴的交点 的横坐标为
方程的解为 .
（2）如图2,一次函数 与
图象的交点为
二元一次方程组
的解为
2.一次函数与不等式的关系
（1）如图1,不等式的解集即的图象在
轴上方时,对应的 的取值范围;
不等式的解集即的图象在 轴下方时,对
应的 的取值范围.
（2）如图2,不等式的解集即
的图象在图象上方时,对应的 的取值范围（即虚线右侧部
分）;
不等式的解集即 的图象在
图象下方时,对应的 的取值范围（即虚线左侧部分）.
回归教材·知识点4
4.（人教八下习题改编）如图，直线经过点, ，
则关于的方程的解是______,关于的不等式 的解集
为________.
5.（北师八上习题改编）如图,已知直线与 相交于点
,则关于,的二元一次方程组 的解是_ _______.
知识点5 一次函数的实际应用
1.一般步骤
（1）根据题意设定问题中的变量；
（2）建立一次函数模型;
（3）确定自变量的取值范围;
（4）与方程（组）或不等式（组）结合解决实际问题.
2.常见类型
（1）简单应用:一般只涉及一个简单解析式的实际问题,要根据解析式求变
量的值、求最大（小）值等.
（2）分段函数问题:函数关系随自变量取值范围的变化而变化,如阶梯收费
问题（水费、电费、出租车收费等）、促销问题、计算机程序等.
（3）双图象问题:问题情境涉及两个相关解析式，如方案选择、相遇问题等.
回归教材·知识点5
6.（人教八下习题改编）小明从家步行到学校需走的路程为1 800米.图中
的折线反映了小明从家步行到学校所走的路程 （米）与时间（分钟）
的函数关系，根据图象提供的信息，当小明从家出发去学校步行15分钟时，
到学校还需步行_____米.
350
对接中考·明考向
命题点1 一次函数的图象与性质（10年4考）
1.（2022 河南,11题,3分）请写出一个随 的增大而增大的一次函数的解
析式：_____________________.
2.（2021河南,12题,3分）请写出一个图象经过原点的函数的解析式
_____________________.
（答案不唯一）
（答案不唯一）
【练全国 拓视野】
3.（2025·广西）已知一次函数的图象经过点，则
( )
D
A.3 B.4 C.6 D.7
4.（2025·内蒙古）在闭合电路中，通过定值电阻的电
流（单位：A）是它两端的电压（单位： ）的正比
例函数，其图象如图所示.当该电阻两端的电压为
时，通过它的电流为( )
A
A. B. C. D.
5.（2025·湖北）已知一次函数，随 的增大而增大.写出一个
符合条件的 的值是_________________.
1（答案不唯一）
6.（2025·天津）将直线向上平移 个单位长度，若平移后的直
线经过第三、第二、第一象限，则 的值可以是______________________
（写出一个即可）.
2（答案大于1且不唯一）
根据一次函数的图象判断, 的符号
1.已知函数值随着自变量的增大而变化的规律，可以推测 的符号.当函数
值随着自变量的增大而增大时， ;当函数值随着自变量的增大而减小
时， .
2.由一次函数的图象与轴的交点，可以推测 的符号.若一次函数的图象与
轴交于正半轴，则;若一次函数的图象与轴交于负半轴，则 .
3.拓展:①直线与直线平行,且 ;
②直线与直线垂直 .
命题点2 一次函数的实际应用（10年8考）
1.（2021河南,21题,9分）猕猴嬉戏是王屋山景区的一大特色，猕猴玩偶非
常畅销.小李在某网店选中， 两款猕猴玩偶，决定从该网店进货并销售.
两款玩偶的进货价和销售价如下表：
类别 价格 A款玩偶 B款玩偶
进货价（元/个） 40 30
销售价（元/个） 56 45
（1）第一次小李用1 100元购进了， 两款玩偶共30个，求两款玩偶各
购进多少个；
解：款玩偶购进20个， 款玩偶购进10个.
（2）第二次小李进货时，网店规定款玩偶进货数量不得超过 款玩偶进
货数量的一半.小李计划购进两款玩偶共30个，应如何设计进货方案才能
获得最大利润，最大利润是多少；
设款玩偶购进个，款玩偶购进个，获利 元，由题意，得
.
款玩偶进货数量不得超过 款玩偶进货数量的一半,
， .
，，随 的增大而增大，
时，， 款玩偶购进20个.
答：款玩偶购进10个、 款玩偶购进20个能获得最大利润，最大利润是
460元.
（3）小李第二次进货时采取了（2）中设计的方案，并且两次购进的玩偶
全部售出，请从利润率的角度分析，对于小李来说哪一次更合算.
（注：利润率 ）
第一次的利润率 ，
第二次的利润率 .
， 对于小李来说第二次的进货方案更合算.
【练全国 拓视野】
2.（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类.已知某体育用
品商店排球的单价为30元/个，篮球、足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
（1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
解：设篮球的单价为元，足球的单价为 元，
选择条件①②，根据题意得解得
答：篮球的单价为60元，足球的单价为50元.
（2）若该学校要购买篮球、足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数
的2倍，请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？
设该学校购买篮球个，则购买足球 个，
根据题意得，解得 .
又， .
设学校要购买篮球、足球的总费用为 元，
根据题意得 .
，随 的增大而增大.
，且 为正整数，
当时， 最小，最小值为540.
答：购买4个篮球时花费最少，最少费用是540元.
解一次函数实际应用题的一般方法
一次函数的实际应用题一般涉及:求一次函数解析式；选择最优方案;利润
最大或费用最少等.
1.求函数解析式:
①文字型及表格型的应用题，一般都是根据题干中给出的数据来求一次函
数解析式;
②图象型的应用题，一般是找图象上的两个点的坐标，根据待定系数法求
一次函数解析式.#2.1.2.2
2.选择最优方案：
若给定自变量的取值，则将自变量的值代入解析式，得到因变量的值，再
进行选取;若给定因变量的取值，则将因变量的值代入解析式，得到自变
量的值，再进行选取;若自变量、因变量均未给定取值，可分别求出
,, 的解集，再根据结果进行选取.
3.利润最大或费用最少：
一般由图象、题干信息或不等式解得自变量的取值范围，然后利用增减性
求最少费用（或最大利润）.#2.1.4.1(共47张PPT)
第三章 函 数
第三节 反比例函数及其应用
回归教材·理知识
对接中考·明考向
（必考，3~12分）
回归教材·理知识
知识点1 反比例函数的图象与性质
1.反比例函数的概念:一般地,形如为常数, 的函数，叫做反比
例函数.自变量 的取值范围是不等于0的一切实数.
2.反比例函数的图象与性质#2
反比例函数 为常数, 的符号
大致图象 （双曲线）
图象特征 双曲线无限接近坐标轴,但与坐标轴永不相交 所在象限 第一、三象限,同号 第二、四象限,异号
性质 增减性及 大小比较 在每一个象限内,随 的增 大而①______; 第一象限内 值始终大于第 三象限内 值 在每一个象限内,随 的增
大而②______;
第二象限内 值始终大于第
四象限内 值.
对称性 （1）关于直线或 成轴对称; （2）关于原点成中心对称，如双曲线上的点 ,关 于原点的对称点 在双曲线的另一支上 减小
增大
续表
回归教材·知识点1
1.（北师九上习题改编）下列函数不是反比例函数的是( )
C
A. B. C. D.
2.（人教九下习题改编）关于反比例函数 ,下列说法错误的是( )
A
A.的值随 的值增大而减小
B.它的图象在第一、三象限
C.它的图象是双曲线
D.若点在它的图象上,则点 也在它的图象上
3.（人教九下习题改编）已知反比例函数 的图象与正比例函
数的图象交于点 ,则其另一个交点坐标为_________.
知识点2 反比例函数中 的几何意义
的几 何意义 ________________________________
如图,过反比例函数的图象上任一点分别作轴、
轴的垂线,两条垂线与轴、 轴围成的矩形的面积等于③____.
基本图 形面积 ________________________________________
____
续表
基本图 形面积 _______________________________________
____
续表
基本图 形面积 _____________________________________
_____
续表
基本图 形面积 ______________________________________________________________________
_ ____
续表
基本图 形面积 _____________________________________________________________
__________
续表
回归教材·知识点2
4.（北师九上习题改编）如图,,分别是 轴的负半轴和正半轴上的动点,
,分别是反比例函数和 图象上的动点,且四边
形是矩形，则矩形 的面积可表示为( )
D
A. B. C. D.
知识点3 反比例函数解析式的确定
待定系 数法 （1）设反比例函数的解析式为 ;
（2）找出反比例函数图象上的一点 ;
（3）将点代入解析式得 ;
（4）确定反比例函数的解析式为
利用 的几何 意义 当已知面积时,可考虑用的几何意义.由面积得 的值，再结合
图象所在象限判断的正负,从而得出 的值,代入解析式即可
回归教材·知识点3
5.（北师九上习题改编）已知点在反比例函数 的图象
上,则该反比例函数的解析式为_ _____.
6.（北师九上习题改编）如图,反比例函数 的图象
上有一点,轴于点,点在 轴的负半轴上,若
的面积为3,则反比例函数的解析式是________.
知识点4 反比例函数的实际应用
1.一般步骤:（1）审题，确定自变量、因变量;（2）明确变量之间的数量
关系;（3）根据数量关系确定反比例函数解析式; （4）根据题意确定自变
量的取值范围;（5）根据反比例函数的性质解决相应问题;（6）对答案进
行检验,符合题意后作答.
2.常见应用公式
（1）行程问题:速度 ;
（2）工程问题:工作效率 ；
（3）压强问题:压强 ；
（4）电学问题:电阻 .
回归教材·知识点4
7.（人教九下习题改编）一辆汽车前灯电路上的电压 保持不变.通过
灯泡的电流强度是电阻的反比例函数.若当电阻为 时，通过
灯泡的电流强度为,则当电阻为 时,通过灯泡的电流强度为
______A.
0.24
对接中考·明考向
命题点1 反比例函数的图象与性质（10年2考）
1.（2020河南,6题,3分）若点，， 在反比例函数
的图象上，则，， 的大小关系是( )
C
A. B. C. D.
【练全国 拓视野】
2.（2025·河北）在反比例函数中，若 ，则( )
B
A. B. C. D.
3.（2025·湖南）对于反比例函数 ，下列结论正确的是( )
D
A.点 在该函数的图象上
B.该函数的图象分别位于第二、第四象限
C.当时，随 的增大而增大
D.当时，随 的增大而减小
反比例函数的图象与性质
函数 图象 所在象限 性质
一、三象限 ，同号 在每个象限内,随
增大而减小
二、四象限 ，异号 在每个象限内， 随
增大而增大
提醒：反比例函数自变量 不为0.
命题点2 反比例函数与一次函数的综合（10年5考）
1.（2024河南，18题，9分）如图，矩形
的四个顶点都在格点（网格线的交点）
上，对角线，相交于点 ，反比例函数
的图象经过点 .
（1）求这个反比例函数的表达式；
解：反比例函数的图象经过点 ，
， ，
这个反比例函数的表达式为 .
（2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点 的三个格点，再画出反
比例函数的图象；
当时，；当时，；当时， .
反比例函数的图象经过，， ，
画图如下：
（3）将矩形向左平移，当点 落在这个反比例函数的图象上时，平
移的距离为__.
【解析】向左平移后， 在反比例函数的图象上，
平移后点 对应点的纵坐标为4，
当时，，解得 .
平移距离为 .
【练全国 拓视野】
2.（2025·江西）如图，直线 与反比例函数
的图象交于点 .
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
解：将点 代入一次函数和反比例函数解析式,
得， ，
解得， ，
一次函数解析式为 ，反比例函数解析式为
.
（2）将直线向上平移，在轴上方与反比例函数图象交于点 ，连接
，，当时，求点的坐标及直线 平移的距离.
，反比例函数的图象关于直线 对称，
点与点关于直线 对称.
, .
设直线平移后的直线对应的表达式为 ，
将点代入得，解得 .
，
点的坐标为，直线向上平移的距离为 .
解反比例函数的一般方法#2.1
问题角度 方法
求反比例函数、一 次函数的解析式 （1）确定反比例函数的解析式 找到或求出图象上
一点的坐标，代入可得（待定系数法）;（2）确定一
次函数的解析式 找到或求出图象上两点的坐标，
用待定系数法求解
问题角度 方法
根据图象求不等式 的解集或者函数值 的取值范围 观察交点两侧区域的两个函数图象上下位置关系,通
过比较确定解集或取值范围
续表
问题角度 方法
涉及面积，求相关 点的坐标 （1）把点的坐标转化为图形边长长度,不规则图形需
转化成规则图形再进行计算;（2）根据反比例函数比
例系数 的几何意义将面积表示出来，再进行求解
涉及相似或全等 把点的坐标转化为三角形边长，根据相似或全等的相
关知识进行计算
续表
命题点3 反比例函数与几何图形结合（10年4考）
1.（2025河南，18题，9分）小军将一副三角板按如图
方式摆放在平面直角坐标系中，其中含 角的三
角板的直角边落在轴上，含 角的三角板
的直角顶点的坐标为 ，反比例函数
的图象经过点 .
（1）求反比例函数的表达式;
解： 含 角的三角板的直角顶点的坐标为 ，反比例函数
的图象经过点 ，
，
反比例函数的表达式为 .
（2）将三角板绕点顺时针旋转 ，边上的点 恰好落在反比
例函数图象上，求旋转前点 的坐标.
， .
含 角的三角板为等腰直角三角形， ，
， ，
如图，连接，旋转到 的位置，
.
的对应点在的图象上， ，
，
由旋转可得 ，
.
2.（2023河南，19题，9分）小军借助反
比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，
在平面直角坐标系中，以反比例函数
图象上的点和点 为顶点，
分别作菱形和菱形，点，
在轴上，以点为圆心，长为半径作，连接 .
（1）求 的值；
解：将代入中，得 ，
解得 .
（2）求扇形 的半径及圆心角的度数；
如图，过点作的垂线，交轴于点 .
，， ，
.
半径为， .
由菱形的性质可知 ，
，
扇形圆心角的度数为 .
（3）请直接写出图中阴影部分面积之和.
，
.
由（2）得 .
在菱形中， .
， ，
.
【练全国 拓视野】
3.（2025·德阳）如图，已知菱形 ，点
在轴上，反比例函数 的图象
经过菱形的顶点，连接， 与反
比例函数图象交于点 .
（1）求反比例函数解析式；
解：把代入 ，
得 ，
反比例函数解析式为 .
（2）求直线的解析式和点 的坐标.
， .
四边形 是菱形，
， .
设直线的解析式为 ，
把代入得， ，
直线的解析式为 .
点 是反比例函数与正比例函数的交点，
联立解析式 ，
解得或
，， .
反比例函数与几何图形相结合的解题通法
1.当求点坐标时，可利用几何图形性质把图形边长转化为横、纵坐标.
2.对于求反比例函数解析式问题，若已知图形的边长或函数图象上某点坐
标，则可直接利用边长求得在函数图象上的点坐标或直接用待定系数法求
解即可.#2.1.2
3.求平移距离问题实质为求某一个点平移后对应点的坐标，切记在平移的
过程中图形的边长不会发生变化,故可通过设出平移后点的坐标，利用勾
股定理或相似三角形的对应线段比，求得平移后的点坐标，再由点坐标平
移规律即可求解.#2.1.3

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