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第16讲　立体几何中的计算问题(1)——线线角与线面角
基础回归
经典回眸
1．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 如图，连接BC1，PC1，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，PC1 平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1.又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1=B1，BB1 平面PBB1，B1D1 平面PBB1，所以PC1⊥平面PBB1.又PB 平面PBB1，所以PC1⊥PB．设正方体棱长为2，则BC1=2，PC1=D1B1=，sin∠PBC1==，所以∠PBC1=．
2．(人A选必一P38练习T1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设BC=CA=CC1=1，则A(1，0，1)，B(0，1，1)，D1，F1，所以=，=，所以|cos〈，〉|===．
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　B　)
A． B．1
C．2 D．3
【解析】 如图，分别取BC，B1C1的中点D，D1，则AD=3，A1D1=，可知S△ABC=
×6×3=9，S△A1B1C1=×2×=．设正三棱台ABC－A1B1C1的高为h，则
VABC－A1B1C1=(9＋＋)h=，解得h=．分别过A1，D1作底面垂线，垂足为M，N，设AM=x，则AA1==，DN=AD－AM－MN=2－x，可得DD1==．由BCC1B1为等腰梯形可得B=2＋D，即x2＋=(2－x)2＋＋4，解得x=，所以A1A与平面ABC所成角的正切值为tan∠A1AD=
=1.
4．(人A选必一P41练习T3)如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为　　．
【解析】 如图，以O为原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，则A(0，0，3)，B(2，0，0)，C(0，3，0)，则=(2，0，－3)，=(0，3，－3)，=(2，0，0)．设平面ABC的法向量为m=(x，y，z)，则令y=1，则m=，所以|cos〈，m〉|===，故直线OB与平面ABC所成角的正弦值为．
要点梳理
1．线线角的计算
(1) 线线角的计算：核心是通过平移使其相交，放到一个三角形中来计算．
(2) 设空间直线l1，l2的夹角为θ，方向向量分别为u，v，则cos θ=．
2．线面角的计算
(1) 两种几何方法
①作垂线：如图(1)，要求直线PA与平面α所成的角，只需过点P作α的垂线，找到垂足O，求θ．
图(1)
②算距离：如图(2)，若不方便过点P作平面α的垂线，也可用等体积法或其他方法求出点P到平面α的距离d，再按sin θ=来求线面角．
图(2)
(2) 向量方法
如图(3)，设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，l与α所成角为θ，则sin θ=
|cos〈s，n〉|=．
图(3)
举题固法
线线角的计算
例 1－1　(人A选必一P43习题T9)如图，M，N分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点．
(1) 求MN和CD′所成角的大小；
【解答】 如图，以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，C(0，2，0)，D′(0，0，2)，M(2，2，1)，N(1，2，2)．=(－1，0，1)，=(0，－2，2)，又MN和CD′所成角的范围为，所以|cos〈，〉|===，故MN和CD′所成的角为．
(2) 求MN和AD所成角的大小．
【解答】 =(2，0，0)，又MN和AD所成角的范围为，所以|cos〈，〉|===，故MN和AD所成的角为．
例 1－2　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　C　)
A． B．
C．　 D．
【解析】 方法一(补形法)：如图(1)，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，所以DE1===2，DB1==，B1E1===．在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1==，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
图(1) 图(2)
方法二(平移法)：如图(2)，连接BD1，交DB1于点O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD(或其补角)为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，所以AD1==2，DM==，DB1==，所以OM=AD1=1，OD=DB1=，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD==，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为．
求异面直线所成角的方法
平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或作平行线，形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上一个相同的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
坐标法 如果几何图形便于建系，可以将问题坐标化，借助向量求解
变式 1　如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=AC=a，M，N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 如图，连接DM，取DM的中点O，连接OC，ON．因为O，N分别为DM，AD的中点，所以ON=AM且ON∥AM，所以∠ONC(或补角)为异面直线AM和CN所成的角．因为△ABC是边长为a的等边三角形，M为BC的中点，所以AM⊥BC，所以AM===a，同理可得DM=CN=a，所以ON=AM=a，OM=DM=a，OC===a．在△CON中，由余弦定理可得
cos∠ONC===，因此，异面直线AM和CN所成角的余弦值为．
线面角的计算
例 2－1　(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　D　)
A．AB=2AD
B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC=CB1
D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
【解析】 如图，不妨设AB=a，AD=b，AA1=c，依题意及长方体的结构特征可知，B1D与平面ABCD所成角为∠B1DB，B1D与平面AA1B1B所成角为∠DB1A，所以sin 30°==，即b=c，B1D=2c=，解得a=c．对于A，AB=a=c，AD=b=c，AB=AD，A错误；对于B，过点B作BE⊥AB1于E，易知BE⊥平面AB1C1D，所以AB与平面AB1C1D所成角为∠BAE，因为tan∠BAE==，所以∠BAE≠30°，B错误；对于C，AC==c，CB1==c，AC≠CB1，C错误；对于D，B1D与平面BB1C1C所成角为∠DB1C，sin∠DB1C===，而0°＜∠DB1C＜90°，所以∠DB1C=45°，D正确．
例 2－2　(2025·深圳一调)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC=2，
∠BAC=120°，D为AA1的中点，E为BC1的中点．
(1) 证明：DE⊥平面B1BCC1；
【解答】 如图(1)，取BC的中点M，连接AM，ME．因为AB=AC，所以AM⊥BC．由于E，D分别为BC1，AA1的中点，所以EM∥CC1∥AD，EM=CC1=AA1=AD，所以四边形AMED为平行四边形，所以DE∥AM．又因为AA1⊥平面ABC，AM 平面ABC，所以AA1⊥AM，EM⊥AM．因为EM，BC 平面B1BCC1，EM∩BC=M，所以AM⊥平面B1BCC1.又因为DE∥AM，所以DE⊥平面B1BCC1.
图(1) 图(2)
(2) 若BB1=6，求直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值．
【解答】 由(1)可知MA，MC，ME两两垂直，如图(2)，以M为坐标原点，以MC，MA，ME所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，则BC=6.于是D(0，，3)，B(－3，0，0)，B1(－3，0，6)，C1(3，0，6)，A1(0，，6)，则=(3，，3)，BC1=(6，0，6)，BA1=(3，，6)．设平面DBC1的法向量为n=(x，y，z)，于是即令z=1，则n=(－1，0，1)．设直线A1B与平面DBC1所成的角为θ,那么sin θ=|cos〈，n〉|=
==，即直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值为．
求直线与平面所成的角的步骤
(1) 综合法：找出平面角，用解三角形的方法求解(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)．
(2) 向量法：要注意线面角的正弦值是直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值．
探究性问题
例 3　(2025·济南一模)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，点P在线段BE上．
(1) 求证：平面ACP⊥平面ABF；
【解答】 因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD，AF⊥AD，AF 平面ADEF，所以AF⊥平面ABCD．因为AC 平面ABCD，所以AF⊥AC．如图(1)，过点A作AH⊥BC，垂足为H，则BH=1，AH=，CH=3，所以AC=2，则AB2＋AC2=BC2，所以AC⊥AB．因为AB∩AF=A，AB，AF 平面ABF，所以AC⊥平面ABF．又因为AC 平面ACP，所以平面ACP⊥平面ABF．
(2) 当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为时，求．
【解答】 以A为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(－1，，2)，=(－3，，2)，=(－2，2，0)．设=λ，λ∈[0，1]，则=(－3λ，λ，
2λ)，所以P(2－3λ，λ，2λ)，故=(2－3λ，λ，2λ)．设平面BCE的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=，得n=(3，，3)．设直线AP与平面BCE的夹角为θ，则sin θ=|cos〈，n〉|==，整理得4λ2－3λ＋=0，即=0，解得λ=或λ=，所以=或=．
图(1) 图(2)
线段AB上的动点M，可设为=λ(0≤λ≤1)，借助参数λ来表示动点M的坐标，从而正常计算平面的法向量或直线的方向向量．
配套热练
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，CD1和A1D与底面所成的角分别为30°和45°，则异面直线B1C与BD所成角的余弦值为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 如图，因为CD1和A1D与底面所成的角分别为30°和45°，所以∠D1CD
=30°，∠A1DA=45°，又AA1=2，则tan∠D1CD=== CD=2，tan∠A1DA==1 AD=2.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，BD∥B1D1，所以∠CB1D1或其补角就是异面直线B1C与BD所成角．又B1C==2，B1D1==4，CD1==4，则由余弦定理得cos∠CB1D1==．
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC=，AA1=AB=BC，则直线A1C与AB1所成角的大小为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系，设AA1=AB=BC=1，则A(0，1，0)，C(1，0，0)，A1(0，1，1)，B1(0，0，1)，则=(1，－1，－1)，=(0，－1，1)．设直线A1C与AB1所成角为θ，则θ∈，所以cos θ=|cos〈，〉|==0，所以θ=．
3．(2025·蚌埠适应考)已知三棱锥P－ABC的体积为1，△ABC是边长为2的正三角形，且PA=2，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为(　C　)
A． B．
C． D．1
【解析】 因为△ABC是边长为2的正三角形，所以S△ABC=×22=．设三棱锥P－ABC的高为h，因为三棱锥P－ABC的体积为1，所以VP－ABC=×S△ABC×h=××h=1，解得h==．设直线PA与平面ABC所成角为θ，则sin θ==．
4．在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB为正三角形，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，则直线PA与平面PCD所成角的正弦值为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 取AB的中点O，连接OP，因为△PAB为正三角形，所以PO⊥AB，又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PO 平面PAB，所以PO⊥平面ABCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，D(1，1，0)，C(－1，3，0)，P(0，0，)，=(－1，－1，)，=(2，－2，0)．设平面PCD的法向量为n=(x，y，z)，则即令z=2，得平面PCD的一个法向量为n=(，，2)．又=(－1，0，)，设PA与平面PCD所成角为θ，则sin θ=|cos〈，n〉|==．
5．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　BCD　)
A．BC1与AC所成的角为90°
B．BC1与CD所成的角为90°
C．BC1与平面ACC1A1所成的角为30°
D．BC1与平面ABCD所成的角为45°
【解析】 如图，由AC∥A1C1且△A1BC1为等边三角形，知BC1与AC所成的角为
∠A1C1B=60°，A错误；由CD⊥平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，知CD⊥BC1，B正确；由AA1⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，知AA1⊥BD，又BD⊥AC，AA1∩AC=A，且AA1，AC 平面ACC1A1，所以BD⊥平面ACC1A1，设AC∩BD=O，所以BC1与平面ACC1A1所成的角为∠BC1O，且sin∠BC1O==，故∠BC1O=30°，C正确；由CC1⊥平面ABCD，知BC1与平面ABCD所成的角为∠CBC1=45°，D正确．
6．在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为　　．
【解析】 如图，连接MD，取MD的中点E，连接EN，CE．在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别为BC，AD的中点，所以DM=AM==．因为E，N分别为MD，AD的中点，所以NE∥AM，且NE=AM=，所以直线AM和CN的夹角为∠CNE．在Rt△MEC中，EC==，所以在△CNE中，由余弦定理得cos∠CNE=
=，所以直线AM和CN夹角的余弦值为．
7．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2，PA=AD=4，E为PA的中点，F为CD上一点，若PF与平面BEF所成角的正弦值为，则CF=　1　．
【解析】 由PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，知AB，AD，AP两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，易得B(2，0，0)，E(0，0，2)，P(0，0，4)，设F(a，4，0)，则=(－2，0，2)，=(a－2，4，0)，=(a，4，－4)．设平面BEF的法向量为n=(x，y，z)，则即令y=2－a，则n=(4，2－a，4)，所以|cos〈，
n〉|===，解得a=1，即CF=2－a=1.
8．(2025·惠州三调)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E分别是C1D1，A1A的中点，F是MC的中点．
(1) 判断A，C，M，A1四点是否共面(结论不要求证明)；
【解答】 如图(1)，连接AC，因为A，C，A1三个不共线的点确定平面ACC1A1，显然M 平面ACC1A1，所以A，C，M，A1四点不共面．
图(1)
(2) 证明：EF∥平面ABCD；
【解答】 方法一：如图(2)，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则E(2，0，1)，F，故=．又平面ABCD的一个法向量为n=(0，0，1)，所以·n=0，故⊥n．又EF 平面ABCD，所以EF∥平面ABCD．
图(2)
方法二：如图(3)，取CD的中点N，CN的中点G，连接MN，FG，AG．因为F为CM的中点，所以FG∥MN，且FG=MN．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，故AE∥DD1∥MN，且AE=DD1=MN，所以FG∥AE且FG=AE，则四边形AEFG为平行四边形，故EF∥AG．又EF 平面ABCD，AG 平面ABCD，故EF∥平面ABCD．
图(3)
方法三：如图(4)，取DD1的中点N，连接EN，FN．在梯形D1MCD中，F为CM的中点，则FN∥CD．因为FN 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以FN∥平面ABCD．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则EN∥AD．因为EN 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以EN∥平面ABCD．因为EN∩FN=N，EN，FN 平面EFN，所以平面EFN∥平面ABCD．又EF 平面EFN，故EF∥平面ABCD．
图(4)
(3) 求异面直线A1B与EF所成角的余弦值．
【解答】 由(2)方法一可知=，又A1(2，0，2)，B(2，2，0)，故=(0，2，－2)，所以cos〈，〉===，故异面直线A1B与EF所成角的余弦值为．
9．(2025·晋城一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB⊥PD．
(1) 证明：平面PAD⊥底面ABCD；
【解答】 因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又AB⊥PD，AD∩PD=D，AD，PD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD．因为AB 底面ABCD，所以平面PAD⊥底面ABCD．
(2) 若PA⊥AD，AB=PA=3，AD=6，=3，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】 由(1)得AB⊥PA，AB⊥AD，又PA⊥AD，则AB，AD，AP两两垂直．以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB=PA=3，AD=6，则P(0，0，3)，B(3，0，0)，C(3，6，0)，D(0，6，0)，=(3，0，－3)，=(0，6，0)．设E(m，n，r)，因为=3，则(0，6，－3)=3(－m，6－n，
－r)，解得m=0，n=4，r=1，所以E(0，4，1)，则=(－3，－2，1)．设平面PBC的法向量为n=(x，y，z)，则即令x=1，得n=(1，0，1)，故cos〈n，〉===－，所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为．
10．(2025·萍乡二模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°．
(1) 求证：平面ABCD⊥平面BDEF；
【解答】 如图，设AC与BD交于点O，连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO．因为FO∩BD=O，FO，BD 平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF．又AC 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面BDEF．
(2) 设点P满足=λ(λ＞0)，直线AE与平面APC所成角的正弦值为，求实数λ的值．
【解答】 连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形，因为O为BD的中点，所以FO⊥BD．又AC⊥FO，AC∩BD=O，AC，BD 平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD，故OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．设AB=2，因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，所以BD=2，AC=2×=2．因为△DBF为等边三角形，所以OF=．所以A(，0，0)，B(0，1，0)，D(0，－1，0)，F(0，0，)，E(0，－2，)，则=(0，－1，)，因为=λ(λ＞0)，即=(0，－λ，λ)，所以P(0，1－λ，λ)，所以=(－，1－λ，λ)，=(，0，0)，=(－，－2，)．设平面APC的法向量为n=(x，y，z)，则令z=λ－1，得n=(0，λ，λ－1)．设AE与平面APC所成角为θ，则sin θ=|cos〈，n〉|==
=，解得λ=0或λ=，又λ＞0，所以λ=．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第16讲　立体几何中的计算问题(1)——线线角与线面角
基础回归
经典回眸
1．(2021·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　 　)
A． B．
C． D．
2．(人A选必一P38练习T1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA=90°，D1，F1分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2024·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台ABC－A1B1C1的体积为，AB=6，A1B1=2，则A1A与平面ABC所成角的正切值为(　 　)
A． B．1
C．2 D．3
4．(人A选必一P41练习T3)如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2，则直线OB与平面ABC所成角的正弦值为　 　．
要点梳理
1．线线角的计算
(1) 线线角的计算：核心是通过平移使其相交，放到一个三角形中来计算．
(2) 设空间直线l1，l2的夹角为θ，方向向量分别为u，v，则cos θ=．
2．线面角的计算
(1) 两种几何方法
①作垂线：如图(1)，要求直线PA与平面α所成的角，只需过点P作α的垂线，找到垂足O，求θ．
图(1)
②算距离：如图(2)，若不方便过点P作平面α的垂线，也可用等体积法或其他方法求出点P到平面α的距离d，再按sin θ=来求线面角．
图(2)
(2) 向量方法
如图(3)，设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，l与α所成角为θ，则sin θ=
|cos〈s，n〉|=．
图(3)
举题固法
线线角的计算
例 1－1　(人A选必一P43习题T9)如图，M，N分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点．
(1) 求MN和CD′所成角的大小；
(2) 求MN和AD所成角的大小．
例 1－2　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C．　 D．
求异面直线所成角的方法
平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或作平行线，形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上一个相同的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
坐标法 如果几何图形便于建系，可以将问题坐标化，借助向量求解
变式 1　如图，在空间四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=BD=AC=a，M，N分别是BC与AD的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为(　 　)
A． B．
C． D．
线面角的计算
例 2－1　(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则(　 　)
A．AB=2AD
B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC=CB1
D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
例 2－2　(2025·深圳一调)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB=AC=2，
∠BAC=120°，D为AA1的中点，E为BC1的中点．
(1) 证明：DE⊥平面B1BCC1；
(2) 若BB1=6，求直线A1B与平面DBC1所成角的正弦值．
求直线与平面所成的角的步骤
(1) 综合法：找出平面角，用解三角形的方法求解(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)．
(2) 向量法：要注意线面角的正弦值是直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值．
探究性问题
例 3　(2025·济南一模)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，点P在线段BE上．
(1) 求证：平面ACP⊥平面ABF；
(2) 当直线AP与平面BCE所成角的正弦值为时，求．
线段AB上的动点M，可设为=λ(0≤λ≤1)，借助参数λ来表示动点M的坐标，从而正常计算平面的法向量或直线的方向向量．
配套热练
1．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1=2，CD1和A1D与底面所成的角分别为30°和45°，则异面直线B1C与BD所成角的余弦值为(　 　)
A． B．
C． D．
2．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC=，AA1=AB=BC，则直线A1C与AB1所成角的大小为(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2025·蚌埠适应考)已知三棱锥P－ABC的体积为1，△ABC是边长为2的正三角形，且PA=2，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为(　 　)
A． B．
C． D．1
4．在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB为正三角形，底面ABCD为梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD=1，AB=2，BC=3，则直线PA与平面PCD所成角的正弦值为(　 　)
A． B．
C． D．
5．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是(　 　)
A．BC1与AC所成的角为90°
B．BC1与CD所成的角为90°
C．BC1与平面ACC1A1所成的角为30°
D．BC1与平面ABCD所成的角为45°
6．在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN夹角的余弦值为　 　．
7．在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AB=2，PA=AD=4，E为PA的中点，F为CD上一点，若PF与平面BEF所成角的正弦值为，则CF=　 　．
8．(2025·惠州三调)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E分别是C1D1，A1A的中点，F是MC的中点．
(1) 判断A，C，M，A1四点是否共面(结论不要求证明)；
(2) 证明：EF∥平面ABCD；
(3) 求异面直线A1B与EF所成角的余弦值．
9．(2025·晋城一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB⊥PD．
(1) 证明：平面PAD⊥底面ABCD；
(2) 若PA⊥AD，AB=PA=3，AD=6，=3，求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．
10．(2025·萍乡二模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°．
(1) 求证：平面ABCD⊥平面BDEF；
(2) 设点P满足=λ(λ＞0)，直线AE与平面APC所成角的正弦值为，求实数λ的值．
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专题四
立体几何
第16讲　立体几何中的计算问题(1)——线线角与线面角
基础回归
1．
【答案】D
【解析】
2．
A
【解析】
3．

【解析】
【答案】B

4．
(人A选必一P41练习T3)如图，在三棱锥O－ABC中，OA，OB，OC两两垂直，OA=OC=3，OB=2，则直线OB与平面ABC所成角的正
弦值为______．
【解析】
图(1)
图(2)
图(3)
举题固法
线线角的计算
目标
1
(人A选必一P43习题T9)如图，M，N分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点．
(1) 求MN和CD′所成角的大小；
1-1
【解答】
(人A选必一P43习题T9)如图，M，N分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱BB′和B′C′的中点．
(2) 求MN和AD所成角的大小．
1-1
【解答】
1-2
【解析】
图(1)
【答案】C
图(2)
求异面直线所成角的方法
平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或作平行线，形成三角形求解
补形法 在该几何体的某侧补接上一个相同的几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解
坐标法 如果几何图形便于建系，可以将问题坐标化，借助向量求解
变式1　
【解析】
【答案】C
线面角的计算
目标
2
(2022·全国甲卷)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则 (　　)
A．AB=2AD B．AB与平面AB1C1D所成的角为30°
C．AC=CB1 D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
【解析】
2-1
【答案】D
【解答】
2-2
图(1)
由(1)可知MA，MC，ME两两垂直，如图(2)，以M为坐标原点，以MC，MA，ME所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
在△ABC中，由余弦定理可得BC2=AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC，则BC=6.
【解答】
2-2
图(2)
求直线与平面所成的角的步骤
(1) 综合法：找出平面角，用解三角形的方法求解(通常是解由垂线、斜线、射影所组成的直角三角形)．
(2) 向量法：要注意线面角的正弦值是直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值．
探究性问题
增分点
(2025·济南一模)如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面互相垂直，已知BC=4，AB=AD=2，点P在线段BE上．
(1) 求证：平面ACP⊥平面ABF；
【解答】
4
图(1)
【解答】
4
图(2)
热练
1．
【答案】B
【解析】
2．
C
【解析】
3．
C
【解析】
4．
【答案】B
【解析】
5．
(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列结论正确的是 (　　)
A．BC1与AC所成的角为90°
B．BC1与CD所成的角为90°
C．BC1与平面ACC1A1所成的角为30°
D．BC1与平面ABCD所成的角为45°
【答案】BCD
【解析】
6．
在棱长为1的正四面体ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，则直线AM和CN
夹角的余弦值为______．
【解析】
7．
1
【解析】
8．
(2025·惠州三调)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E分别是C1D1，A1A的中点，F是MC的中点．
(1) 判断A，C，M，A1四点是否共面(结论不要求证明)；
如图(1)，连接AC，因为A，C，A1三个不共线的点确定平面ACC1A1，显然M 平面ACC1A1，所以A，C，M，A1四点不共面．
【解答】
图(1)
8．
(2025·惠州三调)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E分别是C1D1，A1A的中点，F是MC的中点．
(2) 证明：EF∥平面ABCD；
【解答】
图(2)
图(3)
方法三：如图(4)，取DD1的中点N，连接EN，FN．在梯形D1MCD中，F为CM的中点，则FN∥CD．因为FN 平面ABCD，CD 平面ABCD，所以FN∥平面ABCD．
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AA1的中点，则EN∥AD．因为
EN 平面ABCD，AD 平面ABCD，所以EN∥平面ABCD．
因为EN∩FN=N，EN，FN 平面EFN，所以平面EFN∥平面ABCD．
又EF 平面EFN，故EF∥平面ABCD．
图(4)
8．
(2025·惠州三调)如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，E分别是C1D1，A1A的中点，F是MC的中点．
(3) 求异面直线A1B与EF所成角的余弦值．
【解答】
9．
(2025·晋城一模)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，且AB⊥PD．
(1) 证明：平面PAD⊥底面ABCD；
因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又AB⊥PD，AD∩PD=D，AD，PD 平面PAD，所以AB⊥平面PAD．因为AB 底面ABCD，所以平面PAD⊥底面ABCD．
【解答】
9．
【解答】
10．
(2025·萍乡二模)如图，在几何体ABCDEF中，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且∠DAB=∠DBF=60°．
(1) 求证：平面ABCD⊥平面BDEF；
如图，设AC与BD交于点O，连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．又FA=FC，所以AC⊥FO．因为FO∩BD=O，FO，BD 平面BDEF，所以AC⊥平面BDEF．又AC 平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面BDEF．
【解答】
10．
连接DF，因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形，因为O为BD的中点，所以FO⊥BD.又AC⊥FO，AC∩BD=O，AC，BD 平面ABCD，所以FO⊥平面ABCD，故OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系．
【解答】

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