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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第二章 方程与不等式
2.1 一次方程（组）
1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．
2．掌握等式的基本性质；能解一元一次方程．
3．掌握消元法，能解二元一次方程组．
4．*能解简单的三元一次方程组．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
1．方程的相关概念
（1）等式：用“=”表示__________关系的式子叫等式．
（2）方程：含有未知数的__________叫做方程．
（3）方程的解：使方程左右两边值相等的__________叫做方程的解，一元方程的解也叫它的__________．
（4）解方程：求方程__________叫做解方程．
（5）一元一次方程：只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________的整式方程，叫做一元一次方程．
注意：一元一次方程必须三个条件：
①一元一次方程只有一个未知数（元）并且是__________方程；
②一元一次方程未知数的系数不为__________；
③一元一次方程未知数的最高次数只能为__________．
（6）二元一次方程：含有__________未知数，并且未知数的项的次数都是__________，这样的整式方程叫做二元一次方程．
（7）二元一次方程组：方程组中有__________未知数，含有每个未知数的项的次数都是__________，并且一共有__________方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．__________（8）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的__________叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有__________个解．
（9）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的__________，叫做二元一次方程组的解．
（10）三元一次方程组：含有__________未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是__________，并且一共有__________方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
2．等式性质：
（1）__________．
如果a=b，那么__________；__________（2）__________．
如果a=b，那么__________；如果a=b且c≠0，那么．
3．解一元一次方程的一般步骤
（1）一般步骤：
①__________：
②__________：
③__________：
④__________：
⑤__________．
（2）理论依据和注意点
①去分母→根据等式性质2
注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）
注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）
注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则
注意点：系数相加，字母及其指数不变
（3）解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
①a≠0时，x=，是__________解；
②a=0，且b=0时，方程有__________解；
③a=0，但b≠0时，方程__________解。
4．二元一次方程组的解法
（1）解二元一次方程组的基本思想是__________，化二元一次方程组为__________
（2）解二元一次方程组的基本方法：
①__________
②__________．
5．用一次方程（组）解决实际问题的基本过程
（1）__________：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
（2）__________：恰当地设未知数．
（3）__________：根据（1）中的相等关系列方程（组）．
（4）__________：正确地解方程（组）．
（5）__________：检验解是不是原方程（组）的解且符合题意．
（6）__________：答案要完整且单位统一．
6．方法技巧
（1）化归思想方法：
所谓化归的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法。对于实际问题能找出问题中所蕴涵的数量关系，能够把实际问题转化为数学中的方程模型，从而得以解决．
要体会“化归思想”“消元思想”在方程组中的作用．
（2）方程思想方法：
方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算．
这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．
列方程解应用题，是方程思想的具体应用．
■考点一 等式的性质
◇典例1：（2025·贵州·模拟）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·山东滨州·中考）如果，则“☆”表示的数是 ．
2．（2025·上海·模拟（一））如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．30克 B．25克 C．20克 D．59克
■考点二 已知方程的解，求参数
◇典例2：（2025·江苏无锡·模拟）若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
◆变式训练
1．（2025·河北·模拟）关于x的方程的解为，则a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025·黑龙江哈尔滨·47中·三模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
■考点三 解一元一次方程
◇典例3：（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
◆变式训练
1．（2025·山东青岛·模拟）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ．
2．（2025·河北邯郸·二十五中·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
(1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
■考点四 二元一次方程组的相关概念
◇典例4：（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·河北邯郸·野河中学&淑村镇中学·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　）
A． B．2 C．4 D．
2．（24-25九年级下·江苏淮安·开明中学·二模）已知是方程的一个解，则的值是 ．
■考点五 解二元一次方程组
◇典例5：（2025·河南安阳林州·模拟）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
◆变式训练
1．（2025·广州·模拟卷）点与点关于原点对称，则的值为 ．
2．（2025·浙江丽水缙云区·一模）解方程组：．
■考点六 解二元一次方程组的应用
◇典例6：（2025·哈尔滨·三模）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
◆变式训练
1．（2025·贵州铜仁沿河·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2025·湖南省张家界市桑植县·三模）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ．
■考点七 实际问题与一次方程（组）
◇典例7：（2025·四川绵阳·中考）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
◆变式训练
1．（2025·黑龙江省佳木斯市二十中学·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（ ）种购买方案
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2025·四川绵阳·中考）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
A 基础达标练
1．（2025·河北邢台信都·模拟）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽合肥·最后一卷）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
3．（2025·江苏镇江丹徒·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
4．（2025·河北锦州·锦州市实验学校·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　）
A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得
B．设有x名客人，根据题意可得
C．有20名客人
D．有12个盘子
5．（2025·株洲市天元中学·适应性训练）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．，
B．若无论取何值时，的值均不变，则
C．若，则、有且仅有组整数解
D．若对任意有理数、都成立，则
6．（2025·湖北荆州沙市·三模）一元一次方程的解为 ．
7．（2025·广东深圳·练习卷三）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ．
某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号．
8．（2025·江苏盐城建湖·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
9．（2025·浙江宁波镇海蛟川书院·一模）若方程组 的解是 则方程组 的解是
10．（2025·浙江省衢州市风华学校·三模）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ．
11．（24-25九下·四川省雅安市石棉县·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元．
(1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格；
(2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？
B 强化提升练
12．（2025·江苏苏州·模拟）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度．
(1)填空： ______， ______；
(2)求几秒后，，之间相距个单位长度；
(3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由．
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2026年中考一轮复习
2.1 一次方程（组）
方程与不等式
第2章
“—”
1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．
2．掌握等式的基本性质；能解一元一次方程．
3．掌握消元法，能解二元一次方程组．
4．*能解简单的三元一次方程组．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
1．方程的相关概念
（1）等式：用“=”表示__________关系的式子叫等式．
（2）方程：含有未知数的__________叫做方程．
（3）方程的解：使方程左右两边值相等的_____________叫做方程的解，一元方程的解也叫它的__________．
（4）解方程：求方程__________叫做解方程．
相等
等式
未知数的值
根
解的过程
（5）一元一次方程：只含有__________个未知数，并且未知数的最高次数是__________的整式方程，叫做一元一次方程．
注意：一元一次方程必须三个条件：
①一元一次方程只有一个未知数（元）并且是__________方程；
②一元一次方程未知数的系数不为__________；
③一元一次方程未知数的最高次数只能为__________．
1
1
整式
0
1
（6）二元一次方程：含有__________未知数，并且未知数的项的次数都是__________，这样的整式方程叫做二元一次方程．
（7）二元一次方程组：方程组中有__________未知数，含有每个未知数的项的次数都是__________，并且一共有__________方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
（8）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的__________叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有__________个解．
两个
1
两个
1
两个
值
无数多
（9）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的__________，叫做二元一次方程组的解．
（10）三元一次方程组：含有__________未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是__________，并且一共有__________方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
公共解
三个
1
三个
2．等式性质：
（1）___________________________________________________．
如果a=b，那么__________；
（2）_______________________________________________________．
如果a=b，那么__________；如果a=b且c≠0，那么．
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等
a±c=b±c
等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等
ac=bc
3．解一元一次方程的一般步骤
（1）一般步骤：
①__________：
②__________：
③__________：
④__________：
⑤__________．
去分母
去括号
移项
合并同类项
系数化为1
（2）理论依据和注意点
①去分母→根据等式性质2
注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）
注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）
注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则
注意点：系数相加，字母及其指数不变
（3）解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
①a≠0时，x=，是__________解；
②a=0，且b=0时，方程有__________解；
③a=0，但b≠0时，方程__________解。
唯一
无穷多
无
4．二元一次方程组的解法
（1）解二元一次方程组的基本思想是__________，化二元一次方程组为________________
（2）解二元一次方程组的基本方法：
①_____________
②_____________．
消元
一元一次方程
代入消元法
加减消元法
5．用一次方程（组）解决实际问题的基本过程
（1）__________：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
（2）__________：恰当地设未知数．
（3）____________：根据（1）中的相等关系列方程（组）．
（4）____________：正确地解方程（组）．
（5）_____________：检验解是不是原方程（组）的解且符合题意．
（6）__________：答案要完整且单位统一．
审题
设未知数
列方程（组）
解方程（组）
检验所得结果
确定答案
6．方法技巧
（1）化归思想方法：
所谓化归的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法。对于实际问题能找出问题中所蕴涵的数量关系，能够把实际问题转化为数学中的方程模型，从而得以解决．
要体会“化归思想”“消元思想”在方程组中的作用．
（2）方程思想方法：
方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算．
这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．
列方程解应用题，是方程思想的具体应用．
■考点一 等式的性质
◇典例1：（2025·贵州·模拟）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
D
◆变式训练
1．（2025·山东滨州·中考）如果，则“☆”表示的数是 ．
2．（2025·上海·模拟（一））如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）

A．30克 B．25克 C．20克 D．59克
A
■考点二 已知方程的解，求参数
◇典例2：（2025·江苏无锡·模拟）若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
A
◆变式训练
1．（2025·河北·模拟）关于x的方程的解为，则a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025·黑龙江哈尔滨·47中·三模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
A
47
■考点三 解一元一次方程
◇典例3：（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
C
◆变式训练
1．（2025·山东青岛·模拟）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ．
2．（2025·河北邯郸·二十五中·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪：
解：去分母，得
去括号得
合并同类项得
解得
经检验，是方程的增根，原方程无解
(1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误，
故答案为：错误，错误；
（2）解：
经检验，当时，，
∴是分式方程的解．
■考点四 二元一次方程组的相关概念
◇典例4：（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　）
A． B．
C． D．
C
◆变式训练
1．（2025·河北邯郸·野河中学&淑村镇中学·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　）
A． B．2 C．4 D．
2．（24-25九年级下·江苏淮安·开明中学·二模）已知是方程的一个解，则的值是 ．
B
■考点五 解二元一次方程组
◇典例5：（2025·河南安阳林州·模拟）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
B
◆变式训练
1．（2025·广州·模拟卷）点与点关于原点对称，则的值为 ．
4
2．（2025·浙江丽水缙云区·一模）解方程组：．
解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
方程组的解．
■考点六 解二元一次方程组的应用
◇典例6：（2025·哈尔滨·三模）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
C
◆变式训练
1．（2025·贵州铜仁沿河·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
D
2．（2025·湖南省张家界市桑植县·三模）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ．
7
■考点七 实际问题与一次方程（组）
◇典例7：（2025·四川绵阳·中考）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
D
◆变式训练
1．（2025·黑龙江省佳木斯市二十中学·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（ ）种购买方案
A．6 B．5 C．4 D．3
C
2．（2025·四川绵阳·中考）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元；
（2）解：设购买本型相册，则购买本型相册，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本型相册，5本型相册；
方案2：购买11本型相册，4本型相册；
方案3：购买12本型相册，3本型相册．
选择购买方案1所需费用为（元）；
选择购买方案2所需费用为（元）；
选择购买方案3所需费用为（元），
，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元．
A 基础达标练
1．（2025·河北邢台信都·模拟）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（ ）
A． B．
C． D．
A
2．（2025·安徽合肥·最后一卷）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（ ）
①若，则；
②若，则；
③若，则；
④若a、b、c中只有两个数相等，则．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
C
3．（2025·江苏镇江丹徒·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
C
4．（2025·河北锦州·锦州市实验学校·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　）
A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得
B．设有x名客人，根据题意可得
C．有20名客人
D．有12个盘子
B
5．（2025·株洲市天元中学·适应性训练）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．，
B．若无论取何值时，的值均不变，则
C．若，则、有且仅有组整数解
D．若对任意有理数、都成立，则
B
6．（2025·湖北荆州沙市·三模）一元一次方程的解为 ．
7．（2025·广东深圳·练习卷三）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ．

某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号．
，，，
8．（2025·江苏盐城建湖·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
6
9．（2025·浙江宁波镇海蛟川书院·一模）若方程组 的解是 则方程组 的解是 。
10．（2025·浙江省衢州市风华学校·三模）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ．
11．（24-25九下·四川省雅安市石棉县·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元．
(1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格；
(2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？
（1）解：设A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆，根据题意，
依题意得，
解方程得，
答：A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆．
（2）解：设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意，，得，
设购买电车的总费用为万元，则
，
∵，
∴时，取得最小值，最小值为
（万元），
∴购买A品牌电车（辆），
答：为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元．
12．（2025·江苏苏州·模拟）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度．
(1)填空： ______， ______；
B 强化提升练
(2)求几秒后，，之间相距个单位长度；
（2）解：设运动时间为秒，
则点表示的数为，点表示的数为，
，之间相距个单位长度，则可分两种情况讨论，
当点在点右侧时，，解得；
当点在点左侧时，，解得；
综上，或秒之后，，之间相距个单位长度；
(3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由．
（3）解：分阶段讨论是否存在：
先讨论点的运动时间，
点从到所需时间：秒，
此时，点表示的数为，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
再讨论点的运动时间，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
当从到，从到时，即，
，
，
若，则，
即，
解得；
从到，从到时，即，
，
，
若，则，即，
解得不满足，舍去；
从到，从返回时，，
，
，
若，则，解得；
从返回，从返回时，，
，，
若，则，解得；
从返回，从返回时，，
，，
若，则，
此时方程无解；
综上，的值为或或．
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【新课标·新思维——2026年中考数学一轮复习】
第二章 方程与不等式
2.1 一次方程（组）
1．能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程．
2．掌握等式的基本性质；能解一元一次方程．
3．掌握消元法，能解二元一次方程组．
4．*能解简单的三元一次方程组．
5．能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性．
1．方程的相关概念
（1）等式：用“=”表示相等关系的式子叫等式．
（2）方程：含有未知数的等式叫做方程．
（3）方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值叫做方程的解，一元方程的解也叫它的根．
（4）解方程：求方程解的过程叫做解方程．
（5）一元一次方程：只含有1个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．
注意：一元一次方程必须三个条件：
①一元一次方程只有一个未知数（元）并且是整式方程；
②一元一次方程未知数的系数不为0；
③一元一次方程未知数的最高次数只能为1．
（6）二元一次方程：含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1，这样的整式方程叫做二元一次方程．
（7）二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组．
（8）二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数多个解．
（9）二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
（10）三元一次方程组：含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫作三元一次方程组．
2．等式性质：
（1）等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．
如果a=b，那么a±c=b±c；
（2）等式两边都乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b且c≠0，那么．
3．解一元一次方程的一般步骤
（1）一般步骤：
①去分母：
②去括号：
③移项：
④合并同类项：
⑤系数化为1．
（2）理论依据和注意点
①去分母→根据等式性质2
注意点：勿漏乘不含分母的项，分子是两项以上的代数式须加上括号；
②去括号→根据去括号法则（分配律）
注意点：一是勿漏乘括号内每一项；二是括号前是“－”，括号内各项都要变号；
③移项→根据移项法则（等式性质1）
注意点：一是移项要变号，二是勿漏项；
④合并同类项→根据合并同类项法则
注意点：系数相加，字母及其指数不变
（3）解系数中含有字母的一元一次方程，最后都要化成ax+b=0的形式，解有三种不同的情况
①a≠0时，x=，是唯一解；
②a=0，且b=0时，方程有无穷多解；
③a=0，但b≠0时，方程无解。
4．二元一次方程组的解法
（1）解二元一次方程组的基本思想是消元，化二元一次方程组为一元一次方程
（2）解二元一次方程组的基本方法：
①代入消元法
②加减消元法．
5．用一次方程（组）解决实际问题的基本过程
（1）审题：弄清题中的已知量、未知量，找出题中的相等关系．
（2）设未知数：恰当地设未知数．
（3）列方程（组）：根据（1）中的相等关系列方程（组）．
（4）解方程（组）：正确地解方程（组）．
（5）检验所得结果：检验解是不是原方程（组）的解且符合题意．
（6）确定答案：答案要完整且单位统一．
6．方法技巧
（1）化归思想方法：
所谓化归的思想方法，是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到困惑，可把它进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，从而使问题得以解决的思维方法。对于实际问题能找出问题中所蕴涵的数量关系，能够把实际问题转化为数学中的方程模型，从而得以解决．
要体会“化归思想”“消元思想”在方程组中的作用．
（2）方程思想方法：
方程思想方法是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加运算．
这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．
列方程解应用题，是方程思想的具体应用
■考点一 等式的性质
◇典例1：（2025·贵州·模拟）已知，，为有理数，若，则下列变形不正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
【详解】解：、∵，
∴，原选项变形正确，不符合题意；
、∵，
∴，原选项变形正确，不符合题意；
、∵，
∴，原选项变形正确，不符合题意；
、∵，
∴当与不为零时，，原选项变形不正确，符合题意；
故选：．
◆变式训练
1．（2025·山东滨州·中考）如果，则“☆”表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或乘以它的倒数，即可求解“☆”的值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
2．（2025·上海·模拟（一））如图，其中①②中天平保持平衡，现要使③中的天平也平衡，需要在天平右盘中放入砝码（ ）
A．30克 B．25克 C．20克 D．59克
【答案】A
【分析】本题考查等式的性质，解题的关键是熟练运用等式的性质，本题属于基础题型．根据等式的性质即可求出答案．
【详解】解：设三角形重为x克，圆形重为y克，
∴，，
∴，
∴．
故选：A．
■考点二 已知方程的解，求参数
◇典例2：（2025·江苏无锡·模拟）若 是关于 x，y 的二元一次方程的解，则 a 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题考查了二元一次方程的解，把解代入得出一元一次方程是解题关键．
根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，再解一元一次方程，可得答案．
【详解】解：将代入得，，
解得，
故选：A．
◆变式训练
1．（2025·河北·模拟）关于x的方程的解为，则a的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】此题考查了一元一次方程的解．注意使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．由关于的方程的解是，即可得，继而求得答案．
【详解】解：关于的方程的解是，
，
解得：．
故选：A．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·47中·三模）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知，求代数式的值．”可以这样解：．根据阅读材料，解决问题：若是关于x的一元一次方程的解，则代数式的值是 ．
【答案】47
【分析】本题考查一元一次方程的解和代数式求值，运用了整体代入的方法．将代入方程得出，然后将代入变形后的代数式求解即可．
【详解】解：∵是关于x的一元一次方程的解，
∴，
∴，
故答案为：47
■考点三 解一元一次方程
◇典例3：（2025·浙江杭州·二模）定义一种新运算“”，其运算规则是，已知，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】本题考查定义新运算规则，解一元一次方程，解答本题的关键是理解新运算规则．
根据新运算规则，得到一元一次方程，即可解答．
【详解】解：∵，
∴
解得．
故选C．
◆变式训练
1．（2025·山东青岛·模拟）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．
先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形三边关系得出底边长，然后根据三角形周长公式计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴等腰三角形的腰长为2，
由它的底边长是偶数，且三角形的三边关系可得底边长为2，
∴这个等腰三角形的周长为．
故答案为：6．
2．（2025·河北邯郸·二十五中·一模）小丁和小迪分别解方程过程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括号，得 合并同类项，得 解得 原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括号得 合并同类项得 解得 经检验，是方程的增根，原方程无解
(1)你认为小丁的解法 ，小迪的解法 ；（均选填“正确”或“错误”）
(2)请写出你的解答过程．
【答案】(1)错误，错误
(2)，过程见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤．
（1）根据解分式方程的步骤进行判断即可；
（2）根据解分式方程的步骤进行求解即可．
【详解】（1）解：小丁的解法错误，小迪的解法错误，
故答案为：错误，错误；
（2）解：
经检验，当时，，
∴是分式方程的解．
■考点四 二元一次方程组的相关概念
◇典例4：（2025·上海·二模）下面哪一组不是关于x和a的方程的解？（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键．
逐个将x的值代入方程，求出a的值，再分别判断即可．
【详解】解：A． 将代入，得
，解得，
∴是关于x和a的方程的解，不符合题意；
B． 将代入，得
，解得，
∴是关于x和a的方程的解，不符合题意；
C． 将代入，得
，解得，
∴不是关于x和a的方程的解，符合题意；
D． 将代入，得
，解得，
∴是关于x和a的方程的解，不符合题意．
故选C．
◆变式训练
1．（2025·河北邯郸·野河中学&淑村镇中学·三模）若是关于x，y的二元一次方程，且，，则的值是（　　）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查二元一次方程的概念，不等式的性质，含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程．根据二元一次方程的定义得到，求出，，然后由，得到，，进而求解即可．
【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程，
得：，
解得：，，
∵，
∴，或，，
∵，
当，时，，符合题意；
当，时，，不符合题意；
∴，，
∴．
故选：B．
2．（24-25九年级下·江苏淮安·开明中学·二模）已知是方程的一个解，则的值是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据是方程的一个解，得，即，进行作答即可．
【详解】解：∵是方程的一个解，
∴，
即，
∴，
故答案为：
■考点五 解二元一次方程组
◇典例5：（2025·河南安阳林州·模拟）已知二元一次方程组，则的值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握通过方程相减直接求解代数式的值是解题的关键．通过观察方程组中两个方程的系数，用第一个方程减去第二个方程，可直接求出的值．
【详解】解：，
得，
，
∴ ，
故选：B．
◆变式训练
1．（2025·广州·模拟卷）点与点关于原点对称，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．
根据关于原点对称的点的横纵坐标均互为相反数列式求解即可．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
得，，
即．
故答案为：4．
2．（2025·浙江丽水缙云区·一模）解方程组：．
【答案】
【分析】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
利用加减消元法，即可解方程组．
【详解】解：，
得：，
解得：，
把代入②得：，
解得：，
方程组的解．
■考点六 解二元一次方程组的应用
◇典例6：（2025·哈尔滨·三模）若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，幂的乘方运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据幂的乘方运算法则，将，分别变形为，，从而得出二元一次方程组：，解二元一次方程组，得出m、n的值，最后代入代数式，求出结果即可．
【详解】解：，，
，，
∴，
解得：，
．
故选：C．
◆变式训练
1．（2025·贵州铜仁沿河·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值．
【详解】解：两个方程组的公共解为，
将代入第一个方程组的，得：①，
代入第二个方程组的，得：②，
将①和②相加：，
整理得：，
两边同时除以 3 ，得：，
因此，的值为，
故选：D．
2．（2025·湖南省张家界市桑植县·三模）在解方程组时，甲同学正确解得，乙同学把c看错了，而得到，那么 ．
【答案】7
【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
把甲乙两同学的结果代入方程组第一个方程计算求出a与b的值，把甲结果代入第二个方程求出c的值即可．
【详解】解：把把代入得：，
得：，
把代入①得：，
把代入得：，
解得：，
，
故答案为：7．
■考点七 实际问题与一次方程（组）
◇典例7：（2025·四川绵阳·中考）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一个问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（ ）
A．5天 B．10天 C．15天 D．20天
【答案】D
【分析】本题考查一元一次方程的行程问题，根据题意找到对应的数量关系是解题关键．
设快马追上慢马的天数为x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可．
【详解】解：设快马追上慢马的天数为x天，则追上时慢马走了天，
由题意，得，
解得，
故快马追上慢马的天数为20天，
故选：D．
◆变式训练
1．（2025·黑龙江省佳木斯市二十中学·一模）为积极响应“环保垃圾分类”政策，某小区计划采购A、B两种类型的垃圾桶，用于提升小区垃圾分类的效率和质量．已知A型垃圾桶每个80元，B型垃圾桶每个60元．小区准备投入1200元资金全部用于购买这两种垃圾桶两种垃圾桶都要买，则共有（ ）种购买方案
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，利用总价单价数量，可列出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，可得出共有4种购买方案．
【详解】解：购买x个A型垃圾桶，y个B型垃圾桶，
根据题意得：，
，
又，y均为正整数，
或或或，
共有4种购买方案．
故选：．
2．（2025·四川绵阳·中考）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
【答案】(1)A型相册每本零售价60元，B型相册每本零售价50元
(2)该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元
【分析】该题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
（1）设这家商场型相册每本的零售价是元，型相册每本的零售价是元，根据“购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买本型相册，则购买本型相册，根据“购买型相册数量大于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，结合为正整数，可得出各购买方案，再求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论．
【详解】（1）解：设这家商场型相册每本的零售价是元，B型相册每本的零售价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：这家商场型相册每本的零售价是60元，型相册每本的零售价是50元；
（2）解：设购买本型相册，则购买本型相册，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m可以为10，11，12，
∴该社团共有3种购买方案，
方案1：购买10本型相册，5本型相册；
方案2：购买11本型相册，4本型相册；
方案3：购买12本型相册，3本型相册．
选择购买方案1所需费用为（元）；
选择购买方案2所需费用为（元）；
选择购买方案3所需费用为（元），
，
∴方案1所需费用最少．
答：该社团共有3种购买方案，方案1：购买10本型相册，5本型相册；方案2：购买11本型相册，4本型相册；方案3：购买12本型相册，3本型相册，方案1所需费用最少，为850元．
A 基础达标练
1．（2025·河北邢台信都·模拟）某同学在解关于的一元一次方程时，误将看作，得到方程的解为，则原方程的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了方程的解和解一元一次方程，能得出关于a的一元一次方程是解此题的关键．
把代入，得，求出a的值，再代入原方程求解即可．
【详解】解：根据题意，得，解得．
把代入一元一次方程，
得，解得．
故选：A．
2．（2025·安徽合肥·最后一卷）已知实数a、b、c满足，有下列结论正确的是（ ）
①若，则；②若，则；③若，则；④若a、b、c中只有两个数相等，则．
A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④
【答案】C
【分析】此题考查等式得性质，一元一次方程的运用，解一元二次方程，按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得出结论即可．灵活利用题目中的已知条件，选择正确的方法解决问题．
【详解】解：①∵，则等式两边除以，可得，故①正确；
②若，则,解得，
，
，故②错误；
③若，则,
，
，故③正确；
④中只有两个数相等，
当时，有，
解得，，
当时，不合题意，
当时，，
，
当时，得,则，
此时不符合题意，
当时，，此时，不符合题意；
故只能是，故④正确
其中正确的是①③④．
故选：C．
3．（2025·江苏镇江丹徒·二模）若两个方程的解相差（为正整数），则称解较大的方程为另一方程的“—方程”．如：方程是方程的“5—方程”．当时，关于的方程是方程的“3—方程”，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．6
【答案】C
【分析】本题主要考查一元一次方程的求解及新定义“ —方程”的应用，熟练求解一元一次方程、理解新定义并据此建立等式是解题的关键．先分别求解两个方程的解，再根据“ —方程”的定义得出关于、、的等式，最后代入代数式求值．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，，
∴．
∵方程是方程的“ —方程”，且解较大的为前者，
∴．
对化简：
，即，，
∴，也就是．
对变形可得．
把代入上式，得．
故选：C
4．（2025·河北锦州·锦州市实验学校·三模）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘；三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2名客人共用1个盘子，则少2个盘子；若3名客人共用1个盘子，则多出来3个盘子．问客人和盘子各有多少？”则下列说法正确的是（　　）
A．设有x名客人，y个盘子，根据题意可得
B．设有x名客人，根据题意可得
C．有20名客人
D．有12个盘子
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用、一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或一元一次方程）是解题的关键．
根据题意可列出二元一次方程组或一元一次方程，然后求解可求出客人数和盘子数，逐项进行判断即可．
【详解】解：A．设有x名客人，y个盘子，
根据题意可列出方程组，选项A不符合题意；
B．设有x名客人，
根据题意可列出方程，选项B符合题意；
C．解方程，得：，
∴有30名客人，选项C不符合题意；
D．∵，
∴（个），
∴有13个盘子，选项D不符合题意．
故选：B．
5．（2025·株洲市天元中学·适应性训练）对、定义一种新运算，规定：其中、均为非零常数，这里等式右边是通常的四则运算．例如：，若，，则下列结论错误的是（ ）
A．，
B．若无论取何值时，的值均不变，则
C．若，则、有且仅有组整数解
D．若对任意有理数、都成立，则
【答案】B
【分析】根据新定义，运用二元一次方程组和有理数的运算计算即可．
本题考查了解二元一次方程组，有理数的混合运算，理解新定义，掌握解二元一次方程组的方法，有理数的混合运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、由题意，得，
解得：，故选项A正确；
B、，
若始终不变，则有种情况：
，则，
，少考虑一种情况，故选项B错误；
C．，
，
，
当为整数时，，，，
当时，
解得：，
，符合题意；
当时，
解得：，
，符合题意；
当时，
解得：，不符合题意；
当时，
解得：，不符合题意；
当时，
解得：，不符合题意；
当时，
解得：，不符合题意，
综上所述，，有且仅有组整数解，故选项C正确；
D．当时，则，
，
，
即，
对任意有理数，都成立，
，故选项D正确．
故选：B．
6．（2025·湖北荆州沙市·三模）一元一次方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程，移项，合并，进行求解即可．熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键．
【详解】解：，
，
∴；
故答案为：．
7．（2025·广东深圳·练习卷三）如图，吉姆同学在某月的月历上圈出个数，正方形的方框内的四个数的和是，那么这四个数是 ．
某月有个星期日，它们的日期之和是，则这个月中最后一个星期日是 号．
【答案】 ，，，
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设正方形的方框内的四个数分别为，，，，根据题意列出方程求出可得出这四个数；设个星期日对应的数分别为，，，，，根据题意列出方程求出进而即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：设正方形的方框内的四个数分别为，，，，
由题意得，，
解得，
∴四个数分别为，，，，
设个星期日对应的数分别为，，，，，
由题意得，，
解得，
∴，
∴这个月中最后一个星期日是号，
故答案为：，，，；．
8．（2025·江苏盐城建湖·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】6
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，将代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用．
【详解】解：将代入原方程组得，
得：，
∴的值为6．
故答案为：6．
9．（2025·浙江宁波镇海蛟川书院·一模）若方程组 的解是 则方程组 的解是
【答案】
【分析】本题考查了换元法解二元一次方程组，把求解的方程组进行合理变形，并把和看做一个整体换元得到一个关于和的新方程组是解答本题的关键.把的两边都除以4变形为，然后把和看做一个整体，用换元法求解.
【详解】解：∵，
∴，即
∵的解为，
∴，
∴.
故答案为：
10．（2025·浙江省衢州市风华学校·三模）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，则阴影部分的面积之和为 ．
【答案】
【分析】本题考查了从图中获取信息列方程组，解题的关键是要求学生会根据图示找出数量关系，然后利用数量关系列出方程组解决问题．
设小长方形的长、宽分别为，，根据图示可以列出方程组，然后解这个方程组即可求出小长方形的面积，接着就可以求出图中阴影部分的面积．
【详解】解：设小长方形的长、宽分别为，，
依题意得，
解得，
小长方形的长、宽分别为，，
．
故答案为：
11．（24-25九下·四川省雅安市石棉县·二模）为了响应国家低碳出行号召和降低经营成本，某市出租车公司准备把油车更换成电车．现有A，B两种品牌的电车可供选择，若购买3辆A品牌电车和4辆B品牌电车，共需花费万元；若购买2辆A品牌电车和6辆B品牌电车，共需花费万元．
(1)求每辆A品牌电车和每辆B品牌电车的价格；
(2)若出租车公司需要购买A，B两种品牌的电车共辆（两种品牌的电车均需购买），购买B品牌电车数量不超过购买A品牌电车数量的，为使购买电车的总费用最低，应购买A品牌电车和B品牌电车各多少辆？购买电车的总费用最低为多少万元？
【答案】(1)A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆
(2)为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，掌握相关知识是解决问题的关键。
（1）根据题意找到等量关系，列二元一次方程组进行求解即可；
（2）设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意，，得；设购买电车的总费用为万元，则，根据一次函数的增减性求出答案。
【详解】（1）解：设A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆，根据题意，
依题意得，
解方程得，
答：A品牌电车万元/辆，B品牌电车万元/辆．
（2）解：设购买B品牌电车辆，则应购买A品牌电车辆，根据题意，
，
得，
设购买电车的总费用为万元，则，
∵，
∴时，取得最小值，最小值为（万元），
∴购买A品牌电车（辆），
答：为使购买电车的总费用最低，购买辆A品牌电车，辆B品牌电车，购买电车的总费用最低为万元．
B 强化提升练
12．（2025·江苏苏州·模拟）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度．
(1)填空： ______， ______；
(2)求几秒后，，之间相距个单位长度；
(3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动时间的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)或秒
(3)存在，的值为或或
【分析】此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上两点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键．
（1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即，即可解答；
（2）设运动时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可；
（3）先讨论点的运动时间，再讨论点的运动时间，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，
点为中点，
，
即，
故答案为：，；
（2）解：设运动时间为秒，
则点表示的数为，点表示的数为，
，之间相距个单位长度，
则可分两种情况讨论，
当点在点右侧时，
，
解得；
当点在点左侧时，
，
解得；
综上，或秒之后，，之间相距个单位长度；
（3）解：分阶段讨论是否存在：
先讨论点的运动时间，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
再讨论点的运动时间，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
点从到所需时间：秒，此时，点表示的数为，
当从到，从到时，即，
，
，
若，则，
即，
解得；
从到，从到时，即，
，
，
若，则，
即，
解得不满足，舍去；
从到，从返回时，，
，
，
若，则，
解得；
从返回，从返回时，，
，
，
若，则，
解得；
从返回，从返回时，，
，
，
若，则，
此时方程无解；
综上，的值为或或．
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