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模块一　函数、导数与不等式
微专题1　函数的图象与性质的应用
【考法探析·明规律】
例1　(1)A　(2)D　[解析] (1)由题图可知,函数f(x)的定义域不包括±,这说明函数在这两个点上无意义,而选项C,D的定义域包括±,排除C,D.由题图可知,函数f(x)的图象关于原点对称,则f(x)是奇函数,在选项B中,因为f(-x)==f(x),所以选项B中的函数为偶函数,排除B.故选A.
(2)f(x)=cosx的定义域为{x|x≠0},因为f(-x)=cos=-cosx=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以排除B,C;令f(x)=cosx=0,则x-=0或cosx=0,则x2=4或x=+kπ,k∈Z,解得x=±2或x=1+2k,k∈Z,所以f(x)的最小正零点为1,因为f=cos<0,所以排除A.故选D.
自测题
1.B　[解析] 对于A,f(0)==2>0,排除A.对于D,f(x)=-既不是奇函数,也不是偶函数,排除D.对于C,f(x)=-x4-2在[0,+∞)上单调递减,排除C.故选B.
2.D　[解析] 因为函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),所以函数f(x)为偶函数,故A错误;由函数f(x)的图象过原点,得f(0)=0,即a+b=0,所以f(x)=a(2-|x|-1),因为-1<2-|x|-1≤0,且f(x)的图象无限接近直线y=2但又不与该直线相交,所以a<0,且0≤a(2|x|-1)<-a,所以a=-2,故B,C错误;由上面的分析得出f(x)=-2·2-|x|+2=显然f(x)的单调递增区间为[0,+∞),故D正确.故选D.
例2　(1)ABD　(2)A　[解析] (1)因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(0)=0,A正确.当x<0时,-x>0,则f(-x)=[(-x)2-3]e-x+2=(x2-3)e-x+2,所以f(x)=-f(-x)=-(x2-3)e-x-2,B正确.f(-1)=2e-2=2(e-1)>2,C错误.当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则f'(x)=(x+3)(x-1)ex,f'(1)=0,当01时,f'(x)>0,f(x)单调递增,故x=1为f(x)的极小值点,由f(x)是定义在R上的奇函数,得x=-1是f(x)的极大值点,D正确.故选ABD.
(2)f(x)=log2(1+4-x)+x的定义域为R,因为f(-x)-f(x)=log2(1+4x)-x-log2(1+4-x)-x=log2-2x=log24x-2x=2x-2x=0,所以函数f(x)为偶函数.f(x)=log2(1+4-x)+x=log2(1+2-2x)+log22x=log2(2x+2-x),因为y=2x在R上单调递增,y=x+在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以y=2x+在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减.由f(2m-3)自测题
1.B　[解析] 因为f(x)在R上单调递增,所以-≥0,且-a≤e0+ln 1,解得-1≤a≤0,故选B.
2.A　[解析] 因为对任意的x1,x2∈(0,+∞),>1恒成立,不妨设x2>x1>0,则x1-x2<0,所以f(x1)-f(x2)x可化为f(x-1)-(x-1)>0,即g(x-1)>0,因为f(1)=1,所以f(1)-1=0,即g(1)=0,所以g(-1)=-g(1)=0,则即
或即解得x>2或0x的解集为(0,1)∪(2,+∞).故选A.
3.D　[解析] 方法一:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cos x,则h(x)为偶函数,因为当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,所以h(0)=a-2=0,得a=2.
方法二:令f(x)=g(x),得ax2+2ax+a-1=cos x+2ax,即ax2+a-1=cos x.设F(x)=ax2+a-1(x∈(-1,1)),G(x)=cos x(x∈(-1,1)),易知F(x),G(x)都为偶函数.当a≤0时,F(x)<0,G(x)>0,故曲线y=F(x)与y=G(x)无交点;当a>0时,作出F(x)与G(x)的大致图象,如图所示,因为曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,且G(0)=1,所以F(0)=a-1=1,则a=2.
例3　(1)A　(2)B　[解析] (1)由题知f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),所以f=f=f=5-2×=-.故选A.
(2)函数f(x)=ln x+x-的定义域为(0,+∞),易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为f=ln+-=-ln b-b+=-=-f(b),且f(a)+f(b)=0,所以f(a)=f,又函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以a=,所以ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号,所以a2+b2的最小值为2.故选B.
自测题
1.B　[解析] 由函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,可知g(2-x)=-g(2+x),即(2-x-2)f(2-x)=-(2+x-2)f(2+x),可得f(2-x)=f(2+x),所以直线x=2是f(x)的图象的一条对称轴.由g(-1)=(-1-2)f(-1)=3,可得f(-1)=-1,因为f(x)为R上的偶函数,且直线x=2是f(x)的图象的一条对称轴,所以f(3)=f(1)=f(-1)=-1.故选B.
2.4560　[解析] ∵f(x)f(x-2)=4,∴f(x)=,∴f(x+2)===f(x-2),∴4是f(x)的一个周期,又f(x)为偶函数,f(2024)=1,∴f(0)=f(4)=f(2024)=1.∵f(1)f(1-2)=f(1)f(-1)=4,且f(1)=f(-1),f(x)>0,∴f(1)=f(-1)=2,∵f(2)f(2-2)=f(2)f(0)=4,且f(0)=1,∴f(2)=4,∵f(3)f(3-2)=f(3)f(1)=4,且f(1)=2,∴f(3)=2,∴f(i)=506×(2+4+2+1)+f(2025)+f(2026)=4554+f(1)+f(2)=4560.
例4　(1)ABC　(2)②③　[解析] (1)令x=y=0,可得f(0)=0,故A正确;令x=y=1,可得f(1)=f(1)+f(1),即f(1)=0,故B正确;令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),可得f(-1)=0,令x=-1,y=x,可得f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),即f(-x)=f(x),故f(x)是偶函数,故C正确;设函数f(x)=0,此时满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),但函数f(x)没有极值点,故D错误.故选ABC.
(2)对于①,假设存在R上的增函数f(x),满足f(x)+f(2x)=-x,则f(0)+f(2×0)=-0,即f(0)=0,故当x>0时,f(4x)>f(2x)>f(x)>0,故f(4x)+f(2x)>f(x)+f(2x),故-2x>-x,即x<0,与x>0矛盾,故①错误;对于②,取f(x)=-x,该函数为R上的减函数且f(x)+f(2x)=-x,故该函数符合题意,故②正确;对于③,取f(x)=cos x+mx,m∈R,此时f(x)+f(-x)=cos x,由m∈R可得f(x)有无穷多个,故③正确;对于④,假设存在f(x),使得f(x)-f(-x)=cos x, 令x=0,则0=cos 0,但cos 0=1,矛盾,所以满足f(x)-f(-x)=cos x的函数f(x)不存在,故④错误.故说法正确的有②③.
自测题
1.ABC　[解析] 对于A,B,取x=n+1,y=n,n∈N*,则f(1)=f[f(1)]=f[f(n+1-n)]=f(n+1)-f(n)=1,所以数列{f(n)}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以f(n)=1+(n-1)×1=n,所以f(2025)=2025,f[f(2025)]=f(2025)=2025,故A,B正确;对于C,由f(1)=f[f(1)]=f(1)-f(0),得f(0)=0,取y=0,得f[f(x)]=f(x),取x=0,得f[f(-y)]=-f(y),即f[f(x)]=-f(-x),所以f(x)=-f(-x),所以f(x)是奇函数,故C正确;对于D,f[f(-i)]=f(-i)=-f(i)=-,故D错误.故选ABC.
2.-1　|x|-1(答案不唯一)　[解析] 当x1,x2∈[0,+∞)时,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,令x1=x2=0,得f(0)=f(0)+f(0)+1,解得f(0)=-1.不妨令f(x)=|x|-1,x∈R,则f(x)=|x|-1=所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,满足②;因为f(-x)=|-x|-1=|x|-1=f(x),所以f(x)为偶函数,满足③;当x1,x2∈[0,+∞)时,f(x1+x2)=|x1+x2|-1=x1+x2-1,f(x1)=|x1|-1=x1-1,f(x2)=|x2|-1=x2-1,所以f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,满足①.故f(x)=|x|-1(答案不唯一).限时集训(一)
1.C　[解析] 因为f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,所以f(-2)=-f(2)=-(22-3)=-1.故选C.
2.B　[解析] 由题意知f(x)的定义域为(0,+∞),排除A,C;f(x)=ln(x+1)-
ln x=ln=ln,因为当x增大时,f(x)减小,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,排除D.故选B.
3.B　[解析] 方法一:由题可知函数f(x)的定义域为∪.令h(x)=ln,则h(-x)=ln=ln=-h(x),所以h(x)为奇函数.令g(x)=x+a,由f(x)为偶函数,h(x)为奇函数,可得g(x)为奇函数,所以a=0,故选B.
方法二:由题知函数f(x)为偶函数,则f(1)=f(-1),故(1+a)ln=(-1+a)ln 3,解得a=0,故选B.
4.D　[解析] 因为y=2u在R上是增函数,所以根据复合函数的单调性可得u=x(x-a)=-在(0,1)上单调递减,故≥1,解得a≥2,故选D.
5.C　[解析] f(x)=3x3-sin x+x的定义域为R,因为f(-x)=-3x3+sin x-x=-f(x),所以f(x)为奇函数,又f'(x)=9x2-cos x+1≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增,由f(x)+f(4-3x)<0,得f(x)<-f(4-3x)=f(3x-4),所以x<3x-4,解得x>2,则x的取值范围是(2,+∞).故选C.
6.B　[解析] 因为f(x)是定义在R上周期为2的偶函数,所以b=f=f=f,c=f=f=f,易知f(x)在[0,1]上单调递减,因为<<,所以c7.B　[解析] 对于A,由题可得f(x)+f(-x)=(a-1)(ex+e-x),若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0恒成立,即(a-1)(ex+e-x)=0恒成立.因为ex+e-x>0恒成立,所以a-1=0,解得a=1,所以f(x)为奇函数 a=1,故A是假命题.对于B,由题可得f(x)-f(-x)=(a+1)(ex-e-x),若f(x)为偶函数,则f(x)-f(-x)=0恒成立,即(a+1)(ex-e-x)=0恒成立.因为ex-e-x不恒为0,所以a+1=0,解得a=-1,所以f(x)为偶函数 a=-1,故B是真命题.对于C,D,由题可得f'(x)=.当a≥0时,ae2x+1>0,ex>0,所以f'(x)>0,则f(x)为增函数.当a<0时,令f'(x)=0,即=0,得ae2x+1=0,即e2x=-,解得x=-.当x<-时,f'(x)>0,所以f(x)在上单调递增;当x>-时,f'(x)<0,所以f(x)在上单调递减,故C,D均是假命题.故选B.
8.BCD　[解析] 易知f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),值域为[-1,1],故A错误,B正确.因为f(-x)=sin=-sin=-f(x),所以f(x)是奇函数,故C正确.当x∈时,∈,因为函数y=在上单调递减,函数y=sin x在上单调递增,所以f(x)在上单调递减,故D正确.故选BCD.
9.ACD　[解析] 对于A,在f(x+y)=f(x-y)+2f(y)中,取x=1,y=0,得f(1)=f(1)+2f(0),解得f(0)=0,再取x=y=1,得f(2)=f(0)+2f(1)=2,再取x=2,y=1,得f(3)=f(1)+2f(1)=3,故A正确;对于B,由A可知,f(0)x2,则x1-x2>0,因为当x>0时,f(x)>0,所以f>0,由f(x+y)=f(x-y)+2f(y)可得f(x1)-f(x2)=2f>0,则函数f(x)在R上是增函数,取y=x,得f(2x)=2f(x),则f(4)=2f(2)=4,故f(x2-x-2)>4等价于f(x2-x-2)>f(4),得x2-x-2>4,解得x<-2或x>3,故不等式f(x2-x-2)>4的解集是(-∞,-2)∪(3,+∞),故C正确;对于D,将x,y都取为2n-1x,得f(2nx)=f(0)+2f(2n-1x)=2f(2n-1x),则f(2nx)=2f(2n-1x)=22f(2n-2x)=…=2nf(x),故D正确.故选ACD.
10.(-1,1)　[解析] 因为f(x)=2|x|+x2的定义域为R,且f(-x)=2|-x|+(-x)2=2|x|+x2=f(x),所以f(x)为偶函数,又当x≥0时,f(x)=2x+x2单调递增,且f(1)=3,所以由f(a)<3可得|a|<1,解得-111.　[解析] 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以-f'(-x)=-f'(x),所以f'(-x)=f'(x),即g(x)为偶函数.因为f(x)+2g(x)=eax①,所以f(-x)+2g(-x)=e-ax,所以-f(x)+2g(x)=e-ax②,由①②可得f(x)=(eax-e-ax),g(x)=(eax+e-ax),所以f'(x)=(eax+e-ax)=g(x)=(eax+e-ax),所以a=.
12.12　[解析] 因为f(x)=x3-3x的定义域为R,且f(-x)=(-x)3-3(-x)=-x3+3x=-f(x),所以f(x)为奇函数,所以f(x)的图象是以原点O为对称中心的中心对称图形,又 ABCD是中心对称图形,且点A,B,C,D都在f(x)的图象上,所以 ABCD的对称中心为原点O.因为A(-1,2),B(2,2),所以=(-1,2),=(2,2),所以||=,||=2,所以
cos∠AOB===,所以sin∠AOB==,所以S△AOB=||·||·sin∠AOB=××2×=3,所以S ABCD=4S△AOB=4×3=12.
13.A　[解析] 令g(x)=f(x+1)-2,则f(x)=g(x-1)+2,由f(2a+t)+f(a2-1)≤4,可得g(2a+t-1)+2+g(a2-1-1)+2≤4,即g(2a+t-1)+g(a2-2)≤0,又因为g(x)为奇函数,所以g(2a+t-1)≤-g(a2-2)=g(2-a2).因为f(x)是定义在R上的增函数,所以g(x)也是定义在R上的增函数,所以2a+t-1≤2-a2,即t≤-a2-2a+3=-(a+1)2+4.因为a∈[-3,2],所以-(a+1)2+4的最小值为-(2+1)2+4=-5,所以t≤-5,故实数t的取值范围是(-∞,-5].故选A.
14.BCD　[解析] 在f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y)中,令x=0,得f(y)-f(-y)=2f(1)f(y)=2f(y),则f(y)+f(-y)=0,所以f(x)是奇函数,故A错误;由A可得f(0)=0,令x=1,得f(1+y)-f(1-y)=2f(0)f(y)=0,则f(2-x)-f(x)=0,所以-f'(2-x)-f'(x)=0,即f'(2-x)+f'(x)=0,所以f'(2)+f'(0)=0,故B正确;由f(x)+f(-x)=0,得f'(x)-f'(-x)=0,又f'(2-x)+f'(x)=0,所以f'(2+x)=-f'(-x)=-f'(x),所以f'(x+4)=-f'(x+2)=f'(x),故4为f'(x)的一个周期,故C正确;令y=1-x,得f(1)-f(2x-1)=2[f(1-x)]2,则f(1)+f(1-2x)=2[f(1-x)]2,则2[f(x)]2+2[f(1-x)]2=2f(1)+f(1-2x)+f(2x-1)=2f(1)=2,所以[f(x)]2+[f(1-x)]2=1,故D正确.故选BCD.
15.BC　[解析] 因为f(x-2)=-f(-x),所以f(x-2)+f(-x)=0,所以f(x)的图象关于点(-1,0)中心对称,故A错误;令F(x)=f(x-1),则F(-x)=f(-x-1),因为f(x-2)=-f(-x),所以f(-x-1)=-f(x-1),所以F(-x)=-F(x),所以f(x-1)为奇函数,故B正确;因为f(-x)=f(x),所以f(x-2)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x),所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是周期为4的周期函数,在f(x-2)=-f(-x)中,令x=1,得f(-1)=0,则f(1)=0,在f(x-2)=-f(x)中,令x=3,可得f(1)+f(3)=0,令x=4,可得f(2)+f(4)=0,所以f(n)=506×[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(1)=0+f(1)=0,故C正确;f=f(log34-4)=f(log34),易知116.　[解析] 因为f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)在R上单调递增,由f(sin θ+cos θ+2sin θcos θ)-f(1-m)>0,得f(sin θ+cos θ+2sin θcos θ)>f(1-m),所以1-m1-(sin θ+cos θ+2sin θcos θ).设t=
sin θ+cos θ=sin,因为0<θ<π,所以<θ+<,所以-微专题1　函数的图象与性质的应用
微点1　函数图象与函数解析式
例1 (1)[2025·天津八校二联] 函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 (　 )
A.f(x)= B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)=
(2)[2025·汕头三模] 函数f(x)=cosx的部分图象大致为 (　 )
A B C D
[听课笔记]

【规律提炼】
函数图象与函数解析式都是函数的表达方式,解决这种类型的问题要从定义域、值域、单调性、奇偶性等性质突破,同时也考虑是否过定点或判断特殊函数值的正负.
自测题
1.[2025·天津河北区二模] 箕舌线是平面曲线的一种,因其形状如舌而得名.若箕舌线y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.f(x)= B.f(x)=- C.f(x)=-x4-2 D.f(x)=-
2.[2025·安徽安庆二模] 已知函数f(x)=a·2-|x|+b的图象经过原点,且无限接近直线y=2但又不与该直线相交,则 (　 )
A.函数f(x)不具有奇偶性
B.a=2
C.函数f(x)的值域为(-∞,2)
D.函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞)　　　　　　　　　　　　　　　
微点2　函数性质的应用
角度1　函数的奇偶性与单调性
例2 (1)(多选题)[2025·全国二卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=(x2-3)ex+2,则 (　 )
A.f(0)=0
B.当x<0时,f(x)=-(x2-3)e-x-2
C.f(x)≥2,当且仅当x≥
D.x=-1是f(x)的极大值点
(2)[2025·山西临汾三模] 已知f(x)=log2(1+4-x)+x,则满足f(2m-3)A.(1,3) B.
C.(-∞,3) D.(3,+∞)
[听课笔记]

【规律提炼】
1.利用单调性可以比较函数值的大小,但需要将各自变量化到同一单调区间上;
2.函数的奇偶性可以用来求解析式、画出函数图象并判断单调性;与单调性综合可以解不等式、求最值.
自测题
1.[2024·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)=在R上单调递增,则a的取值范围是 (　 )
　　　　　　　　　　　　　　　
A.(-∞,0] B.[-1,0]
C.[-1,1] D.[0,+∞)
2.[2025·云南昆明模拟] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,若对任意的x1,x2∈(0,+∞),>1恒成立,则不等式f(x-1)+1>x的解集为 (　 )
A.(0,1)∪(2,+∞)
B.(-2,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,-2)∪(0,1)
D.(-2,-1)∪(0,1)
3.[2024·新课标Ⅱ卷] 设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a= (　 )
A.-1 B.
C.1 D.2
角度2　函数的奇偶性、对称性与周期性
例3 (1)[2025·全国一卷] 已知f(x)为定义在R上周期为2的偶函数,当2≤x≤3时,f(x)=5-2x,则f= (　 )
A.- B.-
C. D.
(2)[2025·长郡中学二模] 已知函数f(x)=ln x+x-,若f(a)+f(b)=0,则a2+b2的最小值为 (　 )
A.1 B.2
C. D.2
[听课笔记]

【规律提炼】
1.奇偶性的本质是函数的图象具有相应的对称性.奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于y轴对称.
2.函数的四性之间的关系在一轮复习时讲过,记住常见的二级结论(由对称性得到周期)对提高解题速度很有帮助;可类比三角函数的对称性和周期的关系记忆,数形结合.
3.利用复合函数的求导方法去理解抽象复合函数的求导.
自测题
1.[2025·沈阳二模] 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,函数g(x)=(x-2)f(x)的图象关于点(2,0)中心对称,若g(-1)=3,则f(3)= (　 )
A.-3 B.-1
C.0 D.1
2.已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)f(x-2)=4,f(x)>0,f(2024)=1,则f(i)=　　　　.
微点3　抽象函数的性质
例4 (1)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (　 )
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
(2)[2025·北京卷] 关于定义域为R的函数f(x),以下说法正确的有　　　　.
①存在在R上单调递增的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立;
②存在在R上单调递减的函数f(x)使得f(x)+f(2x)=-x恒成立;
③使得f(x)+f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个;
④使得f(x)-f(-x)=cos x恒成立的函数f(x)存在且有无穷多个.
[听课笔记]


【规律提炼】
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数,常见的解题方法是赋值、利用已知函数模型、形成递推等.
自测题
1.(多选题)[2025·山西大同模拟] 已知函数f(x)的定义域为R,f[f(x-y)]=f(x)-f(y),且f(1)=1,则 (　 )
A.f(2025)=2025
B.f[f(2025)]=2025
C.f(x)是奇函数
D.f[f(-i)]=-2025
2.已知函数f(x)具有下列性质:
①当x1,x2∈[0,+∞)时,f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1;
②f(x)在区间(0,+∞)上单调递增;
③f(x)是偶函数.
则f(0)=　　　　;函数f(x)可能的一个解析式为f(x)=　　　　. 限时集训(一)微专题1　函数的图象与性质的应用
1.[2025·四川石室中学二模] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-3,则f(-2)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.1 B.
C.-1 D.-
2.函数f(x)=ln(x+1)-ln x的图象大致为 (　 )
A B C D
3.[2023·新课标Ⅱ卷] 若f(x)=(x+a)ln为偶函数,则a= (　 )
A.-1 B.0
C. D.1
4.[2023·新课标Ⅰ卷] 设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-2] B.[-2,0)
C.(0,2] D.[2,+∞)
5.[2025·湖南邵阳二模] 已知函数f(x)=3x3-sin x+x,则满足f(x)+f(4-3x)<0的x的取值范围是 (　 )
A.(1,+∞) B.(-∞,1)
C.(2,+∞) D.(-∞,2)
6.[2025·江西九江二模] 已知f(x)是定义在R上周期为2的偶函数,且当x∈[0,1]时,f(x)=-sin x.若a=f,b=f,c=f,则a,b,c的大小关系是 (　 )
A.bC.c7.[2025·广东深圳二模] 已知函数f(x)=aex-e-x(a为常数),则下列命题为真命题的是 (　 )
A. a∈R,f(x)为奇函数
B. a∈R,f(x)为偶函数
C. a∈R,f(x)为增函数
D. a∈R,f(x)为减函数
8.(多选题)已知函数f(x)=sin,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(x)的定义域为R
B.f(x)的值域为[-1,1]
C.f(x)是奇函数
D.f(x)在上单调递减
9.(多选题)[2025·重庆一中模拟] 已知对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x-y)+2f(y),f(1)=1,且当x>0时,f(x)>0,则下列结论正确的是 (　 )
A.f(3)=3
B.f(x)在R上单调递减
C.关于x的不等式f(x2-x-2)>4的解集是(-∞,-2)∪(3,+∞)
D.f(2nx)=2nf(x)
10.已知f(x)=2|x|+x2,若f(a)<3,则实数a的取值范围为　　　　.
11.[2025·南通模拟] 已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若f(x)是奇函数,且f(x)+2g(x)=eax,则a=　　　　.
12.[2025·昆明二模] 已知f(x)=x3-3x,A(-1,f(-1)),B(2,f(2)),且点C,D在f(x)的图象上,若四边形ABCD为平行四边形,则四边形ABCD的面积为　　　　.
13.[2025·山东德州三模] 已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且f(x+1)-2为奇函数,若对任意的a∈[-3,2],不等式f(2a+t)+f(a2-1)≤4恒成立,则实数t的取值范围是 (　 )
A.(-∞,-5] B.(-∞,0]
C.[0,+∞) D.[-5,+∞)
14.(多选题)[2025·烟台三模] 已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x,y∈R,都有f(x+y)-f(x-y)=2f(1-x)f(y),且f(1)=1,则 (　 )
A.f(x)为偶函数
B.f'(0)+f'(2)=0
C.4为f'(x)的一个周期
D.[f(x)]2+[f(1-x)]2=1
15.(多选题)[2025·湖南邵阳三模] 已知函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=f(x),f(x-2)=-f(-x),当x∈[0,1]时,f(x)单调递减,则下列说法正确的是 (　 )
A.函数f(x)的图象关于直线x=-1对称
B.函数f(x-1)为奇函数
C.f(n)=0
D.f>f(log45)
16.[2025·湖北鄂东南联盟联考] 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上单调递增,若对△ABC的某个内角θ,不等式f(sin θ+cos θ+2sin θcos θ)-f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是　　　　. (共56张PPT)
微专题1 函数的图象与性质的应用
微点1 函数图象与函数解析式
微点2 函数性质的应用
微点3 抽象函数的性质
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考查内 容 考题统计 考情分析 必备知识
函数奇 偶性 2025年Ⅱ卷10； 2024年Ⅱ卷6； 2023年Ⅱ卷4； 2021年Ⅰ卷13 考查函数的奇偶 性,考查其性质及应用 1.奇偶性的代数、几
何特征（数与形）；
2.奇偶函数的性质
考查内 容 考题统计 考情分析 必备知识
分段函 数、复 合函数 2024年Ⅰ卷6； 2023年Ⅰ卷4 分段函数、复合 函数的单调性 单调性定义、复合函
数单调性的判断
（可结合导数知识综
合考查）
续表
考查内 容 考题统计 考情分析 必备知识
函数 （包括 抽象函 数）的 四性 2025年Ⅰ卷5； 2023年Ⅰ卷11； 2022年Ⅰ卷12； 2022年Ⅱ卷8； 2021年Ⅱ卷8 综合考查函数的“奇偶性、单调性、对称性、周 期性” 1.赋值思想在抽象函
数中的应用；
2.函数对称性与周期
性之间的关系；
3.根据函数的周期性
研究函数的性质
续表
微点1 函数图象与函数解析式
例1（1）[2025·天津八校二联]函数 的部分图象
如图所示,则 的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 由题图可知，函数的定义域不包括 ，
这说明函数在这两个点上无意义，
而选项C,D的定义域包括，排除C,D.
由题图可知，函数 的图象关于原点对称，
则 是奇函数，
在选项B中，因为 ，
所以选项B中的函数为偶函数，排除B.
故选A.
（2）[2025·汕头三模]函数 的部分图象大致
为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 的定义域为 ，
因为 ，
所以为奇函数，所以排除B，C；
令 ，则或，
则或 , ，解得或,，
所以 的最小正零点为1，
因为 ，所以排除A.
故选D.
【规律提炼】
函数图象与函数解析式都是函数的表达方式，解决这种类型的问题
要从定义域、值域、单调性、奇偶性等性质突破，同时也考虑是否
过定点或判断特殊函数值的正负.
自测题
1.[2025·天津河北区二模]箕舌线是平面曲线的一种，因其形状如舌
而得名.若箕舌线的部分图象如图所示，则 的解析式可
能为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 对于A，，排除A.
对于D， 既不是奇函数，也不是偶函数，排除D.
对于C， 在 上单调递减，排除C.
故选B.
2.[2025·安徽安庆二模]已知函数 的图象经过原点，
且无限接近直线 但又不与该直线相交，则( )
A.函数 不具有奇偶性
B.
C.函数的值域为
D.函数的单调递增区间为
√
[解析] 因为函数的定义域为,且 ,
所以函数为偶函数,故A错误；
由函数的图象过原点,得 ,即,
所以,
因为 ,且的图象无限接近直线但又不与
该直线相交,所以 ,且,所以 ,故B,C错误；
由上面的分析得出
显然 的单调递增区间为 ,故D正确.
故选D.
微点2 函数性质的应用
角度1 函数的奇偶性与单调性
例2（1）（多选题）[2025·全国二卷]已知是定义在 上的奇函数,
且当时, ，则( )
A.
B.当时，
C.，当且仅当
D.是 的极大值点
√
√
√
[解析] 因为是定义在上的奇函数，所以 ，A正确.
当时, ,则 ,
所以 ,B正确.
,C错误.
当 时,,则, ,
当时,,单调递减,
当时, ,单调递增,故为的极小值点，
由是定义在 上的奇函数，得是的极大值点，D正确.
故选 .
（2）[2025·山西临汾三模]已知 ，则满足
的实数 的取值范围为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 的定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为偶函数.
,
因为在上单调递增，
在 上单调递减，在上单调递增，
所以在 上单调递减，在上单调递增，
所以函数在 上单调递增，在上单调递减.
由，得 ，即，
整理得，解得 .
故选A.
【规律提炼】
1.利用单调性可以比较函数值的大小，但需要将各自变量化到同一单
调区间上；
2.函数的奇偶性可以用来求解析式、画出函数图象并判断单调性；与
单调性综合可以解不等式、求最值.
自测题
1.[2024· 新课标Ⅰ卷]已知函数在 上单
调递增，则 的取值范围是( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在上单调递增，
所以,且 , 解得 ,
故选B.
√
2.[2025· 云南昆明模拟]已知是定义在 上的奇函数，且
，若对任意的，， 恒成立，则
不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
√
[解析] 因为对任意的,， 恒成立，
不妨设，则，
所以 ，即，
令，则在 上单调递增，
因为是定义在上的奇函数，
所以 是定义在上的奇函数，
所以在 上单调递增.
不等式可化为 ,即,
因为,所以,即 ,所以,
则即 或即
解得或 ,
所以不等式的解集为 .
故选A.
3.[2024· 新课标Ⅱ卷]设函数,
（为常数）,当时,曲线与 恰有一个交
点，则 ( )
A. B. C.1 D.2
√
[解析] 方法一：令 ，
则为偶函数，
因为当 时，曲线与 恰有一个交点，
所以,得 .
方法二：令 ，得 ，
即
设 , ,
易知,都为偶函数.
当 时，,,
故曲线 与无交点；
当时，作出 与 的大致图象，
如图所示，
因为曲线与 恰有一个交点，且,
所以,则 .
角度2 函数的奇偶性、对称性与周期性
例3（1）[2025· 全国一卷]已知为定义在 上周期为2的偶函数，
当时，，则 ( )
A. B. C. D.
[解析] 由题知， ，
所以 .
故选A.
√
（2）[2025· 长郡中学二模]已知函数 ，若
，则 的最小值为( )
A.1 B.2 C. D.
√
[解析] 函数的定义域为，
易知函数 在 上单调递增.
因为 ，
且，所以，
又函数在 上单调递增，所以，所以，
所以 ，当且仅当时取等号，
所以 的最小值为2.
故选B.
【规律提炼】
1.奇偶性的本质是函数的图象具有相应的对称性.奇函数的图象关于
原点对称；偶函数的图象关于轴对称.
2.函数的四性之间的关系在一轮复习时讲过，记住常见的二级结论
（由对称性得到周期）对提高解题速度很有帮助；可类比三角函数
的对称性和周期的关系记忆，数形结合.
3.利用复合函数的求导方法去理解抽象复合函数的求导.
自测题
1.[2025·沈阳二模]已知函数是定义在 上的偶函数，函数
的图象关于点中心对称，若 ，则
( )
A. B. C.0 D.1
√
[解析] 由函数的图象关于点 中心对称，
可知 ，
即 ,可得,
所以直线是 的图象的一条对称轴.
由，可得，
因为为 上的偶函数，且直线是 的图象的一条对称轴，
所以 .
故选B.
2.已知定义在上的偶函数满足, ,
，则 ______.
4560
[解析] ， ,
，是 的一个周期，
又为偶函数， ，
，且，，
,
，且， ，
,且，，
.
微点3 抽象函数的性质
例4（1）（多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷]已知函数的定义域为 ,
，则( )
A. B.
C.是偶函数 D.为 的极小值点
√
√
√
[解析] 令，可得，故A正确；
令 ，可得，即，故B正确；
令 ，则，可得，
令, ,可得，
即 ，故是偶函数，故C正确；
设函数 ，此时满足，
但函数 没有极值点，故D错误.
故选 .
（2）[2025·北京卷] 关于定义域为的函数 ，以下说法正确的有
______.
①存在在上单调递增的函数使得 恒成立；
②存在在上单调递减的函数使得 恒成立；
③使得恒成立的函数 存在且有无穷多个；
④使得恒成立的函数 存在且有无穷多个.
②③
[解析] 对于①,假设存在上的增函数 ,满足,
则,即 ,
故当时, ,
故,
故,即,与 矛盾,故①错误；
对于②,取,该函数为 上的减函数且 ,
故该函数符合题意,故②正确；
对于③,取,,此时,
由 可得有无穷多个,故③正确；
对于④,假设存在 ,使得,
令,则,但 ,矛盾,
所以满足的函数 不存在,故④错误.
故说法正确的有②③.
【规律提炼】
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性
质或一些特殊关系式的函数,常见的解题方法是赋值、利用已知函
数模型、形成递推等.
自测题
1.（多选题）[2025·山西大同模拟]已知函数的定义域为 ,
，且 ，则( )
A. B.
C.是奇函数 D.
√
√
√
[解析] 对于A,B,取,, ,
则 ,
所以数列 是以1为首项,1为公差的等差数列,
所以,
所以 , ,故A,B正确；
对于C,由,得,
取 ,得,
取,得 ,即,
所以,所以 是奇函数,故C正确；
对于D, ,
故D错误.
故选 .
2.已知函数 具有下列性质：
①当,时， ；
②在区间 上单调递增；
③ 是偶函数.
则____；函数可能的一个解析式为 _____________
_______________.
（答案不唯一）
[解析] 当,时， ，
令，得，解得 .
不妨令，，则
所以 在 上单调递增，满足②；
因为，所以 为偶函数，满足③；
当,时， ，
， ，
所以，满足①.
故 （答案不唯一）.
［备选理由］例1考查函数单调性和奇偶性的综合应用；例2涉及抽
象函数及其导数的综合；例3考查抽象函数的性质，难度较大；例4
综合考查函数的性质.
例 1［配例2使用］[2024·广西柳州三模]已知函数是定义在 上
的奇函数，且对于任意的， ，都有
.若函数 ，则不等式
的解集是( )
A. B.
C. D.
√
[解析] ，，
是定义在 上的奇函数， ，
，
是定义在 上的奇函数，
对于任意的， ，都有，
即，
当时，有，即 ，
，在 上单调递增，
又 ,,
，整理得，解得或 .
故选D.
例 2［配例3、例4使用］（多选题）已知函数在 上可导，且
的导函数为.若, 为奇函数，则
下列说法正确的有( )
A. B.
C. D.
√
√
√
[解析] 对于D,由得 ,
所以,所以,
所以 是周期为4的周期函数,
又 ,
所以,故D正确；
对于A,由 为奇函数知的图象关于点中心对称,
所以 ,
由得 ,即,
所以 是周期为4的周期函数,且,可得 ,
故A正确；
对于B,C,因为是周期为4的周期函数,
且的图象关于点 中心对称,
所以的图象关于点中心对称,则 ,
即,所以（ 为常数）,
令,得,所以,
所以 的图象关于直线对称,
又,所以 ,
又,所以,故B错误,C正确.
故选 .
例 3［配例4使用］（多选题）[2022·新高考全国Ⅰ卷]已知函数
及其导函数的定义域均为，记.若 ，
均为偶函数，则( )
A. B. C. D.
√
√
[解析] 方法一：因为 为偶函数,所以,
所以 ,所以,
所以的图象关于直线 对称,所以,故C正确；
因为 为偶函数,所以,所以,
所以 的图象关于直线对称,
由①求导,得 ,即,
所以,所以 的图象关于点中心对称,
所以,
又 的图象关于直线对称,所以的周期 ,
所以, ,故B正确,D错误；
若函数满足题设条件,则函数（ 为常数）也满足题设条件,
所以无法确定的函数值,故A错误.
故选 .
方法二：由方法一知的周期为2,的图象关于直线 对称,
故可设,则 ,显然A,D错误,
故选 .
例 4［配例4使用］[2025·嘉兴二模] 已知函数的定义域为 ,且
,, ,则 ___.
2
[解析] 因为 ,
所以 ,
所以,
由 ,得 ,
所以 ,
所以,所以是周期为6的周期函数,
所以
,,
令得 ,,
所以 ,所以,
令得, ,则,
令得 ,即,
又,所以 ,
所以 .

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