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微专题2　幂、指、对函数
【考法探析·明规律】
例1　(1)D　(2)B　(3)A　[解析] (1)∵4a=6,6b=4,∴a=log46,b=log64,∵1=log44b.对于A,∵y=xc,c∈(0,1)在(0,+∞)上单调递增,∴ac>bc,故A错误;对于B,∵y=cx,c∈(0,1)在R上单调递减,∴calogb1=0,∴logac(2)方法一(特例排除法):由题知log2x-1=log3y=log5z+2=k,所以x=2k+1,y=3k,z=5k-2.当k=-1时,x=1,y=,z=,此时x>y>z,排除A;当k=2时,x=8,y=9,z=1,此时y>x>z,排除C;当k=5时,x=64,y=243,z=125,此时y>z>x,排除D.故选B.
方法二(数形结合法):由2+log2x=3+log3y=5+log5z,得2+=3+=5+,即-1+==2+.令t1=ln x,t2=ln y,t3=ln z,设-1+==2+=k,则k=-1+,k=,k=2+,作出函数k=-1+,k=,k=2+的图象,如图所示.由图可知,当kt2>t3,即x>y>z;当k=k1时,t1=t2>t3,即x=y>z;当k1t1>t3,即y>x>z;当k=k2时,t2>t1=t3,即y>x=z;当k2t3>t1,即y>z>x;当k=k3时,t2=t3>t1,即y=z>x;当k>k3时,t3>t2>t1,即z>y>x.故选B.
(3)方法一:设f(x)=2x-3-x,则f(x)在R上单调递增.由题知2x-3-x<2y-3-y,即f(x)1,所以ln(y-x+1)>0.
方法二:取x=0,y=1,可排除选项B,C,D.故选A.
自测题
1.B　[解析] 因为y=4.2x在R上单调递增,且-0.3<0<0.3,所以0<4.2-0.3<4.20<4.20.3,即0<4.2-0.3<1<4.20.3,即0a>c,故选B.
2.A　[解析] 若f(x)的奇函数,则f(-x)=-f(x),即==恒成立,所以a=1,则f(x)==1+,因为y=2x-1在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,充分性成立;若f(x)==1+在(0,+∞)上单调递减,因为y=2x-1在(0,+∞)上单调递增,所以1+a>0,所以a>-1,此时不一定有a=1,必要性不成立.综上,p是q的充分不必要条件.故选A.
3.B　[解析] 由=log2a,得a为y=与y=log2x的图象的交点的横坐标,由=b2,得b为y=与y=x2的图象的交点的横坐标,由=2-c,即=,得c为y=与y=的图象的交点的横坐标,作出y=,y=log2x,y=x2,y=的图象如图所示.由图可知c例2　(1)B　(2)ACD　[解析] (1)设x年后A方案的计算量大于B方案的计算量,则N1>3N1,即>3,即xlg>lg 3,则x>==≈≈4.92,所以至少经过5年A方案的计算量大于B方案的计算量.故选B.
(2)方法一:由题意可得燃油汽车的声压级=20×lg∈[60,90],所以=1,∈[60,90]①.同理,=1,∈[50,60]②,=1=102=100③.对于A,由表知≥,可得p1≥p2,故A正确;对于B,②÷③得=1∈[1,10],所以p2≤10p3,故B错误;对于C,=100,即p3=100p0,故C正确;对于D,①÷②得=1∈[100,102],即∈[1,100],即p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
方法二:因为Lp=20×lg,所以-=20×lg-20×lg=20×lg,又因为-≥0,所以lg≥0,即≥1,所以p1≥p2,故A正确;同理,-=20×lg-20×lg=20×lg,因为-=20×lg∈[10,20],所以lg∈,即∈[,10],所以∈,则p2≤10p3,故B错误;因为=40,所以20×lg=40,则lg=2,即=100,所以p3=100p0,故C正确;因为-≤40,即20×lg≤40,所以lg≤2,即p1≤100p2,故D正确.故选ACD.
自测题
1.D　[解析] 由题意得=2.1,=3.15,则2.1ln N1=3.15ln N2,即2ln N1=3ln N2,所以=.故选D.
2.36　[解析] 根据题意,所给模型中y0=20,N=1020,p=10%=0.1,x=6,则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量y==,因为e-0.6≈0.55,所以y=≈≈36,所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约为36万块.限时集训(二)
1.D　[解析] 因为=π-3,===,===,所以原式=(π-3)+-=π-3.
2.A　[解析] 由ln a3.A　[解析] 由幂函数的图象可得04.C　[解析] 设3a=4b=6c=t,则a=log3t,b=log4t,c=log6t,∵abc≠0,∴t>0且t≠1,∴==,==,==.对于A,+=+=≠,故A错误.对于B,+=+=≠,故B错误.对于C,+=+====,故C正确.对于D,+=+==≠=,故D错误.故选C.
5.B　[解析] 设当N取106,1.024×109,4.096×109时训练时间分别为T1,T2,T3.由题意得,T1=klog2106=6klog210,T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210),T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210).因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2,所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4,所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4小时.故选B.
6.D　[解析] 结合图象逐一验证:当T=220,lg P=lg 1026>3时,由图象可知二氧化碳处于固态,故A错误;当T=270,lg P=lg 128∈(2,3)时,由图象可知二氧化碳处于液态,故B错误;当T=300,lg P=lg 9987≈4时,由图象可知二氧化碳处于固态,故C错误;当T=360,lg P=lg 729∈(2,3)时,由图象可知二氧化碳处于超临界状态,故D正确.故选D.
7.C　[解析] 对于A,取x1=3,x2=-2,则左边=e,右边=e3·1=e3,故A错误.对于B,取x1=1,x2=2,则左边=1,右边==,故B错误.对于C,当x1≥0,x2≥0时,+=+,2=2,因为+≥2,当且仅当x1=x2时取等号,所以+≥2;当x1<0,x2<0时,+=2,2=2,所以+=2;当x1≥0,x2<0时,+=+1,若x1+x2<0,则2=2,此时+≥2,若x1+x2≥0,则2=2=2<2,又+1≥2,当且仅当x1=0时取等号,所以此时+>2.当x1<0,x2≥0时,同理可得+>2.综上,+≥2,故C正确.对于D,取x1=-1,x2=-1,则左边=e,右边=()-1=1-1=1,故D错误.故选C.
8.AC　[解析] f(x)=loga|x-1|的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞).设z=|x-1|,可得函数z=|x-1|在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,根据复合函数的单调性可得0f(2025),故C正确,D错误.故选AC.
9.BC　[解析] 由题可知x1+=0,即=-x1,x2+ln x2=0,即ln x2=-x2,则x1,x2分别是直线y=-x与函数y=ex,y=ln x的图象交点的横坐标,因为函数y=ex与y=ln x互为反函数,所以它们的图象关于直线y=x对称,又直线y=-x垂直于直线y=x,所以点(x1,)与点(x2,ln x2)关于直线y=x对称,所以x2==-x1>0,所以x1+x2=0,x1x2<0,+ln x2=0,故B,C正确,A错误;易知-110.4　[解析] 由(log2x)2+3log2x-4=0,得log2x=-4或log2x=1,解得x=或x=2.当m=,n=2时,=2,解得a=216,此时函数f(x)为增函数,不符合题意;当m=2,n=时,a2=,可得a=,此时函数f(x)为减函数,所以f(x)=,则f(-1)==4.
11.2　[解析] 因为L=ln,L(1,e)=ln e,所以L=L+L(1,e)=-L+L(1,e)=-ln+ln e=2.
12.[-2,log34]　[解析] 由2-x-2x≤am+x2-4x,可得2-x-2x-x2+4x≤am,令h(x)=2-x-2x-x2+4x,因为y=2-x-2x与y=-x2+4x在[2,+∞)上均单调递减,所以h(x)=2-x-2x-x2+4x在[2,+∞)上单调递减,所以am≥h(x)max=h(2)=,所以对任意a∈,都有am≥.当m=0时,a0=1≥恒成立,满足题意;当m>0时,幂函数g(a)=am在上单调递增,所以g(a)min=≥,则m≤lo=log34,所以013.B　[解析] 不妨设x10,所以点(x1,y1)到直线y=的距离不超过,又点(0,1)到直线y=的距离为,所以x2<0,所以x1x2>0,故A错误;由题知-=-,所以+=,所以2<,所以<,所以x1+x2<-2,故B正确;因为=,所以y1+y2=,所以y1y2<=,故C错误;因为x1+x2<-2,所以<,所以2×<,又y1+y2=,所以y1+y2>2×,故D错误.故选B.
14.ACD　[解析] 对于A,B,由8a-log3b=2b-log3a,得23a-log3b=2b-log3(3a)+1,所以23a+log3(3a)=2b+log3b+1>2b+log3b,设f(x)=2x+log3x,因为y=2x和y=log3x在(0,+∞)上均单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(3a)>f(b),所以3a>b,故A正确,B错误;对于C,因为幂函数y=x-3在(0,+∞)上单调递减,所以(3a)-30,所以2b>20=1,因为log3b15.BCD　[解析] 对于选项A,因为k>0,M>1,N>1,不妨设M=2.2×102,N=1.15×10,则Ω(M)=3,Ω(N)=2,Ω(M·N)=Ω(2.2×102×1.15×10)=Ω(2.53×103)=4,所以Ω(M·N)≠Ω(M)+Ω(N),故选项A错误;对于选项B,设N=m×10k(1≤m<10),k<0,则Ω(N)=Ω(m×10k)=-k,故选项B正确;对于选项C,lg N=100lg 2≈30.1,则N≈1030.1=100.1×1030,又100<100.1<101=10,所以Ω(N)=31,故选项C正确;对于选项D,当n∈N*时,令2n=m×10k(116.-4050　[解析] 函数f(x)=(x-a)3ln的定义域满足>0,即x(x+b)>0,由f(2-x)=f(x)可知f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(x)的定义域关于x=1对称,所以x(x+b)>0的解集为(-∞,0)∪(2,+∞),所以b=-2.由f(2-x)=f(x),可得(x-a)3ln=(2-x-a)3ln,所以(x-a)3ln=(x+a-2)3ln,则x-a=x+a-2,解得a=1,所以(2025b)a=-4050.微专题2　幂、指、对函数
微点1　指、对、幂函数的图象与性质
例1 (1)[2025·辽南协作体三模] 已知4a=6,6b=4,c=ln 2,则下列结论正确的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　
A.accb
C.logca>logcb D.logac(2)[2025·全国一卷] 已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是 (　 )
A.x>y>z B.x>z>y
C.y>x>z D.y>z>x
(3)若2x-2y<3-x-3-y,则 (　 )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
[听课笔记]

【规律提炼】
1.处理与指、对、幂函数有关的比较大小的方法:
(1)直接利用函数的单调性比较大小(或转化到同一单调区间);
(2)数形结合,利用图象来比较大小;
(3)构造函数,利用单调性比较大小(多结合导数).
2.熟练掌握指、对数函数的性质,能用其单调性解指、对数不等式问题(注意对数函数的定义域).
自测题
1.[2024·天津卷] 若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 (　 )　
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
2.[2025·佛山二模] 已知函数f(x)=(a∈R),若p:f(x)是奇函数,q:f(x)在(0,+∞)上单调递减,则p是q的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.若=log2a,=b2,=2-c,则正数a,b,c大小关系是 (　 )
A.cC.a微点2　函数模型
例2 (1)[2025·淄博三模] 随着人工智能技术的快速发展,训练深度学习模型所需的计算量也在急剧增长.某公司现有新一代AI芯片A,B两套研发方案,若A方案中初始计算量为N1,每年增长50%;B方案中初始计算量为N2(N2=3N1),每年增长20%.当A方案的计算量大于B方案的计算量时,至少经过(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　 )
A.4年 B.5年
C.6年 D.7年
(2)(多选题)[2023·新课标Ⅰ卷] 噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级Lp=20×lg,其中常数p0(p0>0) 是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级:
声源 与声源的距离/m 声压级/dB
燃油汽车 10 60~90
混合动力汽车 10 50~60
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 (　 )
A.p1≥p2 B.p2>10p3
C.p3=100p0 D.p1≤100p2
[听课笔记]

【规律提炼】
提升函数建模与应用能力的关键是:
1.识别模型.实际问题中如何抽象出常见的几种函数关系,以指、对数函数模型居多.
2.参数意义.理解模型中每个参数的实际物理或几何意义.
3.优化求解.利用函数性质(如单调性、最值)解决实际问题中的最优解问题.
自测题
1.[2024·北京卷] 生物丰富度指数 d=是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则 (　 )
A.3N2=2N1
B.2N2=3N1
C.=
D.=
2.[2025·武汉四月调考] 为了响应节能减排号召,某地政府决定大规模铺设光伏太阳能板,该地区未来第x年底光伏太阳能板的保有量y(单位:万块)满足模型y=,其中N为饱和度,y0为初始值,p为年增长率.若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为10%,饱和度为1020万块,那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约为　　　　万块.
(结果四舍五入保留到整数,参考数据:e-0.5≈0.61,e-0.6≈0.55,e-0.7≈0.50)限时集训(二)微专题2　幂、指、对函数
1.+-= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.π+ B.-π
C.3-π D.π-3
2.ln aA.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.[2025·福州二模] 若函数f(x)=xa,x∈(0,+∞)的图象如图所示,则函数g(x)=logax+loga(2-x)的图象大致为 (　 )
A B C D
4.若abc≠0,且3a=4b=6c,则 (　 )
A.=+ B.=+
C.=+ D.=+
5.[2025·北京卷] 在一定条件下,某人工智能语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T=klog2N(单位:小时),其中k为常数,在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加20小时,则当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加(单位:小时) (　 )
A.2 B.4
C.20 D.40
6.在北京冬奥会上,国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术,为实现绿色冬奥作出了贡献.如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lg P的关系,其中T表示温度,单位是K;P表示压强,单位是bar.下列结论中正确的是 (　 )
A.当T=220,P=1026时,二氧化碳处于液态
B.当T=270,P=128时,二氧化碳处于气态
C.当T=300,P=9987时,二氧化碳处于超临界状态
D.当T=360,P=729时,二氧化碳处于超临界状态
7.[2025·杭州二模] 定义“真指数”=(e为自然对数的底数),则 (　 )
A.=· B.=
C.+≥2 D.≤(
8.(多选题)[2025·湖北孝感三模] 已知函数f(x)=loga|x-1|在区间(-∞,1)上单调递增,则 (　 )
A.0B.a>1
C.f(a+2024)>f(2025)
D.f(a+2024)9.(多选题)[2024·湖南怀化二模] 已知函数y=x+ex的零点为x1,y=x+ln x的零点为x2,则 (　 )
A.x1+x2>0
B.x1x2<0
C.+ln x2=0
D.x1x2-x1+x2>1
10.[2025·湖南邵阳三模] 已知减函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)的图象过点(m,n),且m,n是方程(log2x)2+3log2x-4=0的两个实数根,则f(-1)的值为　　　　.
11.[2025·河南部分学校模拟] 对于任意两个正数u,v(u12.若对任意x∈[2,+∞)和任意a∈,都有2-x-2x≤am+x2-4x成立,则实数m的取值范围　　　　.
13.已知函数y=3x的图象上不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=的距离相等,则 (　 )
A.x1x2<0 B.x1+x2<-2
C.y1y2> D.y1+y2<2×
14.(多选题)已知正数a,b满足8a-log3b=2b-log3a,则 (　 )
A.3a>b B.3aC.a-3<27b-3 D.3a15.(多选题)任何一个正实数R都可以表示成R=m×10k(1≤m<10,k∈Z),定义:Ω(R)=比如Ω(1.2×102)=3,Ω(1.23×10)=2,Ω(3.001×10-1)=1,则下列说法正确的是 (　 )
A.当k>0,M>1,N>1时,Ω(M·N)=Ω(M)+Ω(N)
B.当k<0,N>0时,Ω(N)=-k
C.若N=2100,lg 2≈0.301,则Ω(N)=31
D.当n∈N*时,Ω(2n)=Ω(2-n)
16.已知函数f(x)=(x-a)3ln满足f(2-x)=f(x),则(2025b)a=　　　　. (共30张PPT)
微专题2 幂、指、对函数
微点1 指、对、幂函数的图象与性质
微点2 函数模型
◆
◆
考法探析·明规律
备用习题
【考情分析】
考查内容 考题统计 考情分析 必备知识
幂、指、 对函数 2025年Ⅰ卷8； 2023年Ⅰ卷4； 2021年Ⅱ卷7； 2021年Ⅱ卷14 指、对、幂函数的 图象与性质； 指数复合函数的单 调性 常见初等函数的
图象与性质
函数模型 2023年Ⅰ卷10； 2020年Ⅰ卷6 指、对数函数模型 及运算 指、对数模型计算
微点1 指、对、幂函数的图象与性质
例1（1）[2025· 辽南协作体三模]已知,, ,则下
列结论正确的是( )
A. B. C. D.
√
[解析] ,,, ,
,,
,,,,.
对于A,, 在上单调递增,,故A错误；
对于B, , 在上单调递减, ,故B错误；
对于C,,在上单调递减, ,
故C错误；
对于D,,在 上单调递增,,
,在 上单调递减,
, ,故D正确.故选D.
（2） 全国一卷］已知 ,
则,, 的大小关系不可能是( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一（特例排除法）
由题知,所以, ,.
当时,,,,此时 ,排除A；
当时,,,,此时,排除C；
当 时,,,,此时 ,排除D.
故选B.
√
方法二（数形结合法）
由 ,
得 ,
即 .
令,, ,
设 ,
则,,,
作出函数 , ,的图象,如图所示.
由图可知,当 时,,即 ；
当时, ,即;
当 时,,即;
当 时, ,即 ;
当时, ,即;
当时, ,即;
当 时,,即 .
故选B.
（3）若 ,则( )
A. B.
C. D.
[解析] 方法一：设,则在 上单调递增.
由题知,即,得,
则 ,所以 .
方法二：取, ,可排除选项B,C,D.
故选A.
√
【规律提炼】
1.处理与指、对、幂函数有关的比较大小的方法：
（1）直接利用函数的单调性比较大小（或转化到同一单调区间）；
（2）数形结合,利用图象来比较大小；
（3）构造函数,利用单调性比较大小（多结合导数）.
2.熟练掌握指、对数函数的性质,能用其单调性解指、对数不等式问
题（注意对数函数的定义域）.
自测题
1.[2024·天津卷]若,,,则, ,
的大小关系为( )
A. B. C. D.
[解析] 因为在上单调递增,且 ,
所以,即 ,
即.
因为在上单调递增,且 ,
所以,即.
综上可得, ,故选B.
√
2.[2025·佛山二模]已知函数,若 是奇函
数,在上单调递减,则是 的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
[解析] 若的奇函数,则 ,
即恒成立,所以,则 ,
因为在上单调递增,
所以在 上单调递减,充分性成立；
若在 上单调递减,
因为在上单调递增,所以,所以 ,
此时不一定有,必要性不成立.
综上,是 的充分不必要条件.
故选A.
3.若,,,则正数,, 大小关系是( )
A. B. C. D.
√
[解析] 由,得 为与 的图象的交点的横坐标,
由,得为 与 的图象的交点的横坐标,
由,即,得 为与 的图象的交点的横坐标,
作出, ,,的图象如图所示.
由图可知 ,故选B.
微点2 函数模型
例2（1）[2025·淄博三模]随着人工智能技术的快速发展,训练深度
学习模型所需的计算量也在急剧增长.某公司现有新一代芯片,
两套研发方案,若方案中初始计算量为,每年增长； 方案
中初始计算量为,每年增长.当 方案的计算量大
于方案的计算量时,至少经过（参考数据: ,
）( )
A.4年 B.5年 C.6年 D.7年
√
[解析] 设年后方案的计算量大于 方案的计算量,
则,即,即 ,
则,
所以至少经过5年 方案的计算量大于 方案的计算量.
故选B.
（2）（多选题）[2023· 新课标Ⅰ卷]噪声污染问题越来越受到重视.用
声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中常数
是听觉下限阈值, 是实际声压.下表为不同声源的声压级：
声源 与声源的距离/ 声压级/
燃油汽车 10
混合动力汽车 10
电动汽车 10 40
已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声
压分别为,, ,则( )
A. B. C. D.
√
√
√
[解析] 方法一：由题意可得燃油汽车的声压级,
所以, .
同理,,, .
对于A,由表知,可得,故A正确；
对于B, 得,所以 ,故B错误；
对于C,,即,故C正确；
对于D, 得,即,即 ,
故D正确.故选 .
方法二：因为 ,
所以 ,
又因为,所以,即,所以 ,故A正确；
同理, ,
因为,所以 ,即,
所以,则 ,故B错误；
因为,所以,
则,即 ,所以,故C正确；
因为,即 ,所以,即,
故D正确.故选 .
【规律提炼】
提升函数建模与应用能力的关键是：
1.识别模型.实际问题中如何抽象出常见的几种函数关系,以指、对
数函数模型居多.
2.参数意义.理解模型中每个参数的实际物理或几何意义.
3.优化求解.利用函数性质（如单调性、最值）解决实际问题中的最
优解问题.
自测题
1.[2024·北京卷]生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标,
其中, 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度
指数越大,水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数 没有变
化,生物个体总数由变为,生物丰富度指数由2.1提高到 ,
则( )
A. B. C. D.
[解析] 由题意得,,
则 ,即,所以 .
故选D.
√
2.[2025·武汉四月调考] 为了响应节能减排号召,某地政府决定大规
模铺设光伏太阳能板,该地区未来第年底光伏太阳能板的保有量
（单位：万块）满足模型,其中为饱和度, 为初
始值, 为年增长率.若该地区2024年底的光伏太阳能板保有量约为
20万块,以此为初始值,以后每年的增长率均为 ,饱和度为
1020万块,那么2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约为____万块.
（结果四舍五入保留到整数,参考数据： ,
, ）
36
[解析] 根据题意,所给模型中,, , ,
则2030年底该地区光伏太阳能板的保有量,
因为 ,所以 ,
所以2030年底该地区光伏太阳能板的保有量约为36万块.
例1考查指、对数函数的单调性；例2考查指、对数函数的性质；例3
考查指、对函数模型的实际应用.
例1 ［配例1使用］（多选题）[2025·河南豫西二模]已知函数
则不等式 的解集为( )
A. B. C. D.
√
[解析] 当时,令 ,
得,可得；
当 时,令,则,
当 时,,所以在上单调递增,
当 时,,所以在 上单调递减,
所以,
所以当时, 恒成立,
所以当时,不等式 无解.
综上,所求不等式的解集为 .
例2 ［配例1使用］[2022·全国甲卷]已知, ,
,则( )
A. B. C. D.
[解析] 方法一：由可得 .
因为,
所以 ,即,所以 .
又,
所以 ,即,所以.
综上, .
√
方法二：由,可得 .
构造函数,则,
令 ,解得,由,得,
所以 在上单调递增,所以,即 ,
又因为,所以 .
例3 ［配例2使用］基本再生数与世代间隔 是新冠肺炎的流行病
学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间隔指
相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用
指数模型：描述累计感染病例数随时间 （单位:天）的
变化规律,指数增长率与,近似满足 .有学者基于已
有数据估计出, .据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,
累计感染病例数增加1倍需要的时间约为 ( )
A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天
√
[解析] ,,, ,
代入指数模型得.
设初始时间为,到 时累计感染病例数增加1倍,则 ,
等号两边同时取自然对数得,
则 .

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