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2　法拉第电磁
感应定律
[定位·学习目标]　
1.通过对法拉第电磁感应定律的分析,能够运用法拉第电磁感应定律计算感应电动势的大小,培养物理观念和科学思维核心素养。2.通过探究导体切割磁感线的各种情况,能够分析和计算部分导体切割磁感线产生的感应电动势,培养科学探究和科学思维核心素养。
探究·必备知识
知识点一　电磁感应定律
「探究新知」
1.感应电动势
在 中产生的电动势叫作感应电动势。产生感应电动势的那部分导体相当于 。
电磁感应现象
电源
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容:闭合电路中感应电动势的大小,跟穿过这一电路的磁通量的 成正比。
(2)表达式:E= 。(n为线圈的匝数)
(3)在国际单位制中,电动势E的单位是 ,磁通量Φ的单位是 。
变化率
伏
韦伯
正误辨析
(1)在电磁感应现象中,有感应电动势就一定有感应电流。(　　)
(2)磁通量越大,磁通量的变化量越大,磁通量的变化率就越大,产生的感应电动势也就越大。(　　)
(3)线圈放在磁场越强的位置,线圈中产生的感应电动势一定越大。(　　)
×
×
×
知识点二　导线切割磁感线时的感应电动势
「探究新知」
1.如图所示,可动导体棒MN垂直于磁场方向运动,B、l、v两两垂直,产生的感应电动势E= 。
Blv
2.如图所示,导线的运动方向与导线本身垂直,但与磁感线方向夹角为θ时,
E= 。
Blvsin θ
3.导体棒垂直切割磁感线产生感应电流,导体棒所受安培力的方向与导体棒运动方向 ,导体棒克服 做功,把其他形式的能转化为电能。
相反
安培力
(1)切割磁感线产生电动势的原因是导体内部的自由电荷受到洛伦兹力的作用。(　　)
(2)右手定则判断的就是感应电动势内部电流的方向。(　　)
(3)只要导体棒做切割磁感线运动,导体棒中就产生感应电动势,与电路是否闭合无关。(　　)
正误辨析
√
√
√
突破·关键能力
要点一　对法拉第电磁感应定律的理解和应用
「情境探究」
仔细观察图示,认真参与探究活动。
探究1:如图所示,穿过闭合导体回路的磁通量发生变化,回路中就有感应电流。从电路方面分析,回路中产生感应电流的原因是什么
【答案】 回路中存在电动势。
探究2:如图所示,保持其他条件不变,增大磁体插入线圈的速度,穿过线圈的磁通量变化量如何变化 磁通量变化的快慢如何变化 回路中产生的感应电流如何变化
【答案】 保持其他条件不变,增大磁体插入线圈的速度,整个过程穿过线圈的磁通量变化量不变,插入时间变短,磁通量变化加快,即磁通量的变化率变大,感应电流变大。
探究3:如图所示,保持其他条件不变,增强磁体的磁场,穿过线圈的磁通量变化量如何变化 磁通量变化的快慢如何变化 回路中产生的感应电流如何变化
【答案】 保持其他条件不变,增强磁体的磁场,整个过程穿过线圈的磁通量变化量增大,磁体插入线圈的时间不变,磁通量变化加快,即磁通量的变化率变大,感应电流变大。
1.感应电动势
(1)产生条件:不管电路是否闭合,只要穿过电路的磁通量发生变化,电路中就会产生感应电动势。
(2)方向确定:在内电路中,感应电动势的方向由电源的负极指向电源的正极,跟内电路中的电流方向一致。
「要点归纳」
2.法拉第电磁感应定律
(1)理解。
(2)其他表达式。
[例1] (对法拉第电磁感应定律的理解)(多选)(2025·贵州遵义期中)关于感应电动势的大小,下列说法正确的是(　　 )
[A] 穿过线圈的磁通量的变化率越大,所产生的感应电动势就越大
[B] 穿过线圈的磁通量的变化量减小时,所产生的感应电动势一定也减小
[C] 穿过线圈的磁通量等于0,所产生的感应电动势不一定为0
[D] 穿过线圈的磁通量最大时,所产生的感应电动势就一定最大
「典例研习」
AC
·规律方法·
磁通量、磁通量的变化量与磁通量的变化率的比较
·规律方法·
·规律方法·
[例2] (法拉第电磁感应定律的简单应用)(多选)(2025·广东联考)利用电磁感应原理制成了手掌张合速度测量仪。如图所示,在空心软橡胶直筒中间放置1 000圈半径为2.1 cm的导电圆环回路,且在直筒两端各放置一个磁铁,产生的 4.0×10-2 T 向右的匀强磁场垂直通过导电圆环平面。右手掌心朝上、手指紧握横放的橡胶筒。在 1.0 s 内,压缩橡胶筒使导电圆环半径收缩为 1.9 cm,下列说法正确的是(　 　)
[A] 导电圆环未被压缩时,每圈的初始磁通量为8.0π×10-6 T·m2
[B] 导电圆环回路的平均感应电动势为3.2π×10-3 V
[C] 导电圆环回路的平均感应电动势为1.6π×10-3 V
[D] 导电圆环回路的感应电流方向与手抓握橡胶筒的四指弯曲方向相同
BD
·规律方法·
(1)应用法拉第电磁感应定律解题的一般步骤。
①分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况。
②利用楞次定律确定感应电流的方向。
③灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解。
·规律方法·
要点二　导体切割磁感线时的感应电动势
「情境探究」
仔细观察各图,认真参与探究活动。
探究1:如图甲所示,金属导轨平面垂直于磁感应强度为B的匀强磁场,导体棒ab垂直于导轨放置,以平行于导轨的速度v匀速切割磁感线,导轨间ab的长度为l,导体棒切割磁感线产生的感应电动势可以简化为什么公式
探究2:如图乙所示,导轨平面仍垂直于磁感线,但是导体棒的运动方向与棒本身有一个夹角α,这种情况感应电动势的简化公式又是什么 与探究1对比,你能总结出什么结论
探究3:如图丙所示,对于一般曲线形的导体,感应电动势的简化公式又是什么
【答案】 E=Bl有效v,其中l有效是导体两端点连线在垂直于运动方向的投影长度。
探究4:如果图甲中金属导轨与磁场方向有一个夹角θ,其他条件不变,则感应电动势的简化公式是什么
【答案】 画出示意图如图所示,感应电动势为E=Blv1,v1=vsin θ,因此E=Blvsin θ。
探究5:图丁中导体棒CD在匀强磁场中运动,自由电荷会随着导体棒运动,
并因此受到洛伦兹力,导体棒中自由电荷相对纸面的运动大致沿什么方向
(为了方便,可以认为导体棒中的自由电荷是正电荷)
【答案】 由左手定则可判断自由电荷受到沿导体棒向上的洛伦兹力作用,其相对纸面的运动是斜向右上方的。
探究6:图丁中导体棒一直运动下去,自由电荷是否会沿着导体棒一直运动下去 为什么 导体棒的哪端电势比较高
【答案】 自由电荷不会沿导体棒一直运动下去。因为C、D两端聚集的电荷越来越多,在C、D间产生的电场越来越强,当静电力大小等于洛伦兹力沿导体棒方向的分力大小时,自由电荷不再沿导体棒定向运动。C端电势较高。
「要点归纳」
1.E=Blv的三个特性
(1)正交性:本公式要求磁场为匀强磁场,而且B、l、v三者互相垂直。
(2)有效性:公式中的l为导体的有效切割长度,即导体两端点连线在垂直于速度方向上的投影长度。如图所示,各导体的有效长度l计算如下。
(3)相对性:公式中的速度v是导体相对磁场的速度,若磁场也在运动,应注意速度间的相对关系。
2.三种切割方式产生的感应电动势
[例3] (水平切割磁感线的问题)如图所示,两根间距 L=1 m、电阻不计的平行光滑金属导轨ab、cd水平放置,一端与阻值R=2 Ω的电阻相连。质量 m=1 kg、电阻不计的导体棒ef在外力作用下沿导轨以v=5 m/s的速度向右匀速运动。整个装置处于磁感应强度B=0.2 T的、方向竖直向下的匀强磁场中。求:
「典例研习」
(1)回路中感应电流大小;
【答案】 (1)0.5 A
(2)导体棒所受安培力大小。
【答案】 (2)0.1 N
【解析】 (2)导体棒所受安培力大小为F安=BIL=0.1 N。
[例4] (转动时垂直切割磁感线问题)如图所示,圆盘半径d=1 m,转动方向如图所示,圆盘处于磁感应强度B1=1 T的匀强磁场中,左边有两条间距L=0.5 m的光滑平行倾斜金属导轨,倾角θ=37°,导轨处有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度B2=2 T,用导线把两导轨分别与圆盘发电机中心和边缘的电刷连接,圆盘边缘和圆心之间的电阻r=1 Ω。g取 10 m/s2,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,其余电阻不计。
(1)若圆盘转动的角速度ω1=20 rad/s时,求产生的感应电动势;
【答案】 (1)10 V
(2)若在倾斜导轨上水平放一根长L=0.5 m、质量m=1 kg、电阻R=3 Ω的导体棒MN,欲使导体棒MN能静止在倾斜导轨上,求圆盘转动的角速度ω的大小。
【答案】 (2)60 rad/s
提升·核心素养
「核心归纳」
随着新能源汽车的普及,无线充电技术得到进一步开发和应用。如图所示,给大功率电动汽车进行无线充电时利用的是电磁感应原理。由地面供电装置(主要装置有线圈和电源)将电能传送至电动汽车底部的感应装置(主要装置是线圈),该装置使用接收到的电能对车载电池进行充电,供电装置与车身接收装置之间通过磁场传送能量,由于电磁辐射等因素,其能量传输效率只能达到90%左右。无线充电桩一般采用平铺式放置,用户无须下车、无须插电即可对电动汽车进行充电。目前,无线充电桩可以允许的充电有效距离一般为15～25 cm,允许的错位误差一般为15 cm左右。
[例题] 如图甲为电动汽车无线充电原理图,M为受电线圈,N为送电线圈。图乙为受电线圈M的示意图,线圈匝数为n,横截面积为S,a、b两端连接车载变流装置,某段时间Δt内线圈N产生的磁场平行于圆轴线向上穿过线圈M。下列说法正确的是(　　)
[A] 当线圈N接入恒定电流时,不能为电动汽车充电
[B] 当线圈M中磁感应强度B不变时,线圈M两端产生恒定电压
[C] 当线圈M中的磁感应强度B均匀增加时,线圈M两端产生的电压可能变大
「典例研习」
A
检测·学习效果
1.磁场中放有一线圈,当线圈中的磁通量增大时,线圈中(　　)
[A] 可能没有感应电动势
[B] 可能没有感应电流
[C] 线圈中一定有感应电动势,且感应电动势的大小与磁通量成正比
[D] 线圈中一定有感应电流,且感应电流的大小与磁通量成正比
B
【解析】 当线圈中的磁通量发生变化时,线圈中一定有感应电动势,根据法拉第电磁感应定律,感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比,故A、C错误;若线圈不闭合,线圈中则没有感应电流,故B正确,D错误。
2.如图甲所示,一线圈匝数为100匝,横截面积为0.01 m2,匀强磁场与线圈轴线成30°角向右穿过线圈。若在2 s内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示,则该段时间内线圈两端a、b之间的电势差Uab为(　　)
A
3.(2025·广东东莞联考)如图甲所示,一条南北走向的小路,路口设有出入道闸,每侧道闸金属杆长均为L,当有车辆通过时杆会从水平位置以角速度ω匀速转动直到竖起。此处地磁场方向如图乙所示,B为地磁场总量,BH为地磁场水平分量,Bx、By、Bz分别为地磁场在x、y、z三个方向上的分量大小。则杆在转动升起的过程中,两端电势差的大小为(　　)
B
感谢观看2　法拉第电磁感应定律
[定位·学习目标]　1.通过对法拉第电磁感应定律的分析,能够运用法拉第电磁感应定律计算感应电动势的大小,培养物理观念和科学思维核心素养。2.通过探究导体切割磁感线的各种情况,能够分析和计算部分导体切割磁感线产生的感应电动势,培养科学探究和科学思维核心素养。
知识点一　电磁感应定律
探究新知
1.感应电动势
在电磁感应现象中产生的电动势叫作感应电动势。产生感应电动势的那部分导体相当于电源。
2.法拉第电磁感应定律
(1)内容:闭合电路中感应电动势的大小,跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。
(2)表达式:E=n。(n为线圈的匝数)
(3)在国际单位制中,电动势E的单位是伏,磁通量Φ的单位是韦伯。
正误辨析
(1)在电磁感应现象中,有感应电动势就一定有感应电流。(　×　)
(2)磁通量越大,磁通量的变化量越大,磁通量的变化率就越大,产生的感应电动势也就越大。(　×　)
(3)线圈放在磁场越强的位置,线圈中产生的感应电动势一定越大。(　×　)
知识点二　导线切割磁感线时的感应电动势
探究新知
1.如图所示,可动导体棒MN垂直于磁场方向运动,B、l、v两两垂直,产生的感应电动势E=Blv。
2.如图所示,导线的运动方向与导线本身垂直,但与磁感线方向夹角为θ时,E=Blvsin θ。
3.导体棒垂直切割磁感线产生感应电流,导体棒所受安培力的方向与导体棒运动方向相反,导体棒克服安培力做功,把其他形式的能转化为电能。
正误辨析
(1)切割磁感线产生电动势的原因是导体内部的自由电荷受到洛伦兹力的作用。(　√　)
(2)右手定则判断的就是感应电动势内部电流的方向。(　√　)
(3)只要导体棒做切割磁感线运动,导体棒中就产生感应电动势,与电路是否闭合无关。(　√　)
要点一　对法拉第电磁感应定律的理解和应用
情境探究
仔细观察图示,认真参与探究活动。
探究1:如图所示,穿过闭合导体回路的磁通量发生变化,回路中就有感应电流。从电路方面分析,回路中产生感应电流的原因是什么
【答案】 回路中存在电动势。
探究2:如图所示,保持其他条件不变,增大磁体插入线圈的速度,穿过线圈的磁通量变化量如何变化 磁通量变化的快慢如何变化 回路中产生的感应电流如何变化
【答案】 保持其他条件不变,增大磁体插入线圈的速度,整个过程穿过线圈的磁通量变化量不变,插入时间变短,磁通量变化加快,即磁通量的变化率变大,感应电流变大。
探究3:如图所示,保持其他条件不变,增强磁体的磁场,穿过线圈的磁通量变化量如何变化 磁通量变化的快慢如何变化 回路中产生的感应电流如何变化
【答案】 保持其他条件不变,增强磁体的磁场,整个过程穿过线圈的磁通量变化量增大,磁体插入线圈的时间不变,磁通量变化加快,即磁通量的变化率变大,感应电流变大。
要点归纳
1.感应电动势
(1)产生条件:不管电路是否闭合,只要穿过电路的磁通量发生变化,电路中就会产生感应电动势。
(2)方向确定:在内电路中,感应电动势的方向由电源的负极指向电源的正极,跟内电路中的电流方向一致。
2.法拉第电磁感应定律
(1)理解。
①感应电动势E的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率,而与Φ、ΔΦ的大小没有必然联系,与电路中的电阻无关;感应电流的大小与感应电动势E和电路的总电阻R有关。
②若穿过线圈的磁通量发生变化,且线圈的匝数为n,则感应电动势的表达式为E=n。
(2)其他表达式。
①当ΔΦ仅由B的变化引起时,E=nS。
②当ΔΦ仅由S的变化引起时,E=nB。
(3)E=n计算的是Δt时间内的平均感应电动势,其中n为线圈匝数,ΔΦ取绝对值。当Δt→0时,E=n的值才等于瞬时感应电动势。
(4)在Φ-t图像中,磁通量的变化率是图像上某点切线的斜率。
典例研习
[例1] (对法拉第电磁感应定律的理解)(多选)(2025·贵州遵义期中)关于感应电动势的大小,下列说法正确的是(　　)
[A] 穿过线圈的磁通量的变化率越大,所产生的感应电动势就越大
[B] 穿过线圈的磁通量的变化量减小时,所产生的感应电动势一定也减小
[C] 穿过线圈的磁通量等于0,所产生的感应电动势不一定为0
[D] 穿过线圈的磁通量最大时,所产生的感应电动势就一定最大
【答案】 AC
【解析】 由电磁感应定律计算公式E=n可知,穿过线圈的磁通量的变化率越大,所产生的感应电动势就越大,穿过线圈的磁通量的变化量减小时,磁通量的变化率不一定减小,则所产生的感应电动势不一定也减小,穿过线圈的磁通量等于0,可磁通量的变化率不一定是0,则所产生的感应电动势不一定是0,穿过线圈的磁通量最大时,可磁通量的变化率不一定最大,则所产生的感应电动势就不一定最大,A、C正确,B、D错误。
磁通量、磁通量的变化量与磁通量的变化率的比较
项目 磁通 量Φ 磁通量的 变化量ΔΦ 磁通量的 变化率
物理 意义 某时刻穿过磁场中某个面的磁感线条数 在某一过程中,穿过某个面的磁通量的变化量 穿过某个面的磁通量变化的快慢
当B、S 互相垂 直时的 大小 Φ=BS ΔΦ= =
注意 若穿过的平面中有方向相反 的磁场,则不能直接用Φ=BS, Φ应为抵消以后所剩余的磁通量 若开始和转过180°时平面都与磁场垂直,穿过平面的磁通量是不同的,一正一负, ΔΦ=2BS(以转过后为正),而不是零 在Φ-t图像中,可用图线的斜率表示
[例2] (法拉第电磁感应定律的简单应用)(多选)(2025·广东联考)利用电磁感应原理制成了手掌张合速度测量仪。如图所示,在空心软橡胶直筒中间放置1 000圈半径为2.1 cm的导电圆环回路,且在直筒两端各放置一个磁铁,产生的 4.0×10-2 T 向右的匀强磁场垂直通过导电圆环平面。右手掌心朝上、手指紧握横放的橡胶筒。在 1.0 s 内,压缩橡胶筒使导电圆环半径收缩为 1.9 cm,下列说法正确的是(　　)
[A] 导电圆环未被压缩时,每圈的初始磁通量为8.0π×10-6 T·m2
[B] 导电圆环回路的平均感应电动势为3.2π×10-3 V
[C] 导电圆环回路的平均感应电动势为1.6π×10-3 V
[D] 导电圆环回路的感应电流方向与手抓握橡胶筒的四指弯曲方向相同
【答案】 BD
【解析】 导电圆环未被压缩时,每圈的初始磁通量为Φ=BS1=Bπ=17.64π×10-6 T·m2,A错误;导电圆环回路的平均感应电动势为E=n=nB=3.2π×10-3 V,B正确,C错误;因线圈面积减小,穿过线圈的磁通量减小,根据楞次定律可知,感应电流的磁场与原磁场方向相同,根据右手螺旋定则可知,导电圆环回路的感应电流方向与手抓握橡胶筒的四指弯曲方向相同,D正确。
(1)应用法拉第电磁感应定律解题的一般步骤。
①分析穿过闭合电路的磁场方向及磁通量的变化情况。
②利用楞次定律确定感应电流的方向。
③灵活选择法拉第电磁感应定律的不同表达形式列方程求解。
(2)几点注意。
①公式E=n是求解电路某段时间内平均感应电动势的最佳选择。
②用公式E=nS求感应电动势时,S为线圈在磁场范围内的有效面积。
③通过某一电路截面的电荷量q仅与n、ΔΦ和电路总电阻R总有关,与时间长短无关。
要点二　导体切割磁感线时的感应电动势
情境探究
仔细观察各图,认真参与探究活动。
探究1:如图甲所示,金属导轨平面垂直于磁感应强度为B的匀强磁场,导体棒ab垂直于导轨放置,以平行于导轨的速度v匀速切割磁感线,导轨间ab的长度为l,导体棒切割磁感线产生的感应电动势可以简化为什么公式
【答案】 闭合电路的磁通量的变化量为ΔΦ=BΔS=BlvΔt,根据法拉第电磁感应定律E=,得E=Blv。
探究2:如图乙所示,导轨平面仍垂直于磁感线,但是导体棒的运动方向与棒本身有一个夹角α,这种情况感应电动势的简化公式又是什么 与探究1对比,你能总结出什么结论
【答案】 根据E==,导体棒切割磁感线产生的感应电动势为E=Blvsin α。与探究1的E=Blv对比可知,v与l不垂直时,导体棒垂直切割磁感线的有效长度为l在垂直于v的方向上的投影长度lsin α。
探究3:如图丙所示,对于一般曲线形的导体,感应电动势的简化公式又是什么
【答案】 E=Bl有效v,其中l有效是导体两端点连线在垂直于运动方向的投影长度。
探究4:如果图甲中金属导轨与磁场方向有一个夹角θ,其他条件不变,则感应电动势的简化公式是什么
【答案】 画出示意图如图所示,感应电动势为E=Blv1,v1=vsin θ,因此E=Blvsin θ。
探究5:图丁中导体棒CD在匀强磁场中运动,自由电荷会随着导体棒运动,并因此受到洛伦兹力,导体棒中自由电荷相对纸面的运动大致沿什么方向 (为了方便,可以认为导体棒中的自由电荷是正电荷)
【答案】 由左手定则可判断自由电荷受到沿导体棒向上的洛伦兹力作用,其相对纸面的运动是斜向右上方的。
探究6:图丁中导体棒一直运动下去,自由电荷是否会沿着导体棒一直运动下去 为什么 导体棒的哪端电势比较高
【答案】 自由电荷不会沿导体棒一直运动下去。因为C、D两端聚集的电荷越来越多,在C、D间产生的电场越来越强,当静电力大小等于洛伦兹力沿导体棒方向的分力大小时,自由电荷不再沿导体棒定向运动。C端电势较高。
要点归纳
1.E=Blv的三个特性
(1)正交性:本公式要求磁场为匀强磁场,而且B、l、v三者互相垂直。
(2)有效性:公式中的l为导体的有效切割长度,即导体两端点连线在垂直于速度方向上的投影长度。如图所示,各导体的有效长度l计算如下。
图甲:l=sin β。
图乙:沿v方向运动时,l=。
图丙:沿v1方向运动时,l=R;沿v2方向运动时,l=R。
(3)相对性:公式中的速度v是导体相对磁场的速度,若磁场也在运动,应注意速度间的相对关系。
2.三种切割方式产生的感应电动势
切割方式 感应电动势表达式 条件
垂直切割 E=Blv (1)磁场 为匀强 磁场。 (2)导体 与磁场 方向 垂直
倾斜切割 E=Blvsin θ,其中θ为v与B的夹角
旋转切割 (1)以中点为轴时,E=0(两段的代数和)。 (2)以端点为轴时,E=Bωl2(平均速度取中点位置的线速度,为ωl)。 (3)以任意点为轴时,E=Bω(-)(l1>l2,不同的两段的代数和)
典例研习
[例3] (水平切割磁感线的问题)如图所示,两根间距 L=1 m、电阻不计的平行光滑金属导轨ab、cd水平放置,一端与阻值R=2 Ω的电阻相连。质量 m=1 kg、电阻不计的导体棒ef在外力作用下沿导轨以v=5 m/s的速度向右匀速运动。整个装置处于磁感应强度B=0.2 T的、方向竖直向下的匀强磁场中。求:
(1)回路中感应电流大小;
(2)导体棒所受安培力大小。
【答案】 (1)0.5 A　(2)0.1 N
【解析】 (1)导体棒向右运动,切割磁感线产生感应电动势大小为E=BLv=1 V,
感应电流大小I==0.5 A。
(2)导体棒所受安培力大小为F安=BIL=0.1 N。
[例4] (转动时垂直切割磁感线问题)如图所示,圆盘半径d=1 m,转动方向如图所示,圆盘处于磁感应强度B1=1 T的匀强磁场中,左边有两条间距L=0.5 m的光滑平行倾斜金属导轨,倾角θ=37°,导轨处有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度B2=2 T,用导线把两导轨分别与圆盘发电机中心和边缘的电刷连接,圆盘边缘和圆心之间的电阻r=1 Ω。g取 10 m/s2,
取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,其余电阻不计。
(1)若圆盘转动的角速度ω1=20 rad/s时,求产生的感应电动势;
(2)若在倾斜导轨上水平放一根长L=0.5 m、质量m=1 kg、电阻R=3 Ω的导体棒MN,欲使导体棒MN能静止在倾斜导轨上,求圆盘转动的角速度ω的大小。
【答案】 (1)10 V　(2)60 rad/s
【解析】 (1)圆盘发电机可以看成由无数根沿半径方向的导体棒旋转切割磁感线产生感应电动势,根据法拉第电磁感应定律得E=B1·d·=B1d2ω1,
代入数据得E=10 V。
(2)建立坐标系分析导体棒MN受力如图所示,
根据x轴受力平衡得F安cos θ=mgsin θ,
代入数据得F安=7.5 N,
根据F安=B2IL,
代入数据得I=7.5 A,
根据闭合电路欧姆定律有E′=I(R+r)=30 V,
根据法拉第电磁感应定律有E′=B1d2ω,
代入数据得ω=60 rad/s。
核心归纳
　随着新能源汽车的普及,无线充电技术得到进一步开发和应用。如图所示,给大功率电动汽车进行无线充电时利用的是电磁感应原理。由地面供电装置(主要装置有线圈和电源)将电能传送至电动汽车底部的感应装置(主要装置是线圈),该装置使用接收到的电能对车载电池进行充电,供电装置与车身接收装置之间通过磁场传送能量,由于电磁辐射等因素,其能量传输效率只能达到90%左右。无线充电桩一般采用平铺式放置,用户无须下车、无须插电即可对电动汽车进行充电。目前,无线充电桩可以允许的充电有效距离一般为15～25 cm,允许的错位误差一般为15 cm左右。
典例研习
[例题] 如图甲为电动汽车无线充电原理图,M为受电线圈,N为送电线圈。图乙为受电线圈M的示意图,线圈匝数为n,横截面积为S,a、b两端连接车载变流装置,某段时间Δt内线圈N产生的磁场平行于圆轴线向上穿过线圈M。下列说法正确的是(　　)
[A] 当线圈N接入恒定电流时,不能为电动汽车充电
[B] 当线圈M中磁感应强度B不变时,线圈M两端产生恒定电压
[C] 当线圈M中的磁感应强度B均匀增加时,线圈M两端产生的电压可能变大
[D] 若这段时间Δt内线圈M中磁感应强度大小均匀增加ΔB,则M中产生的感应电动势为
【答案】 A
【解析】 当线圈N接入恒定电流时,穿过线圈M的磁通量不变,不产生感应电动势,不能为电动汽车充电,选项A正确;当线圈M中磁感应强度B不变时,其磁通量不变,不产生感应电动势,不会产生电压,选项B错误;当线圈M中的磁感应强度B均匀增加时,恒定,根据E=nS,可知线圈M两端产生的电压不变,选项C错误;若这段时间Δt内线圈M中磁感应强度大小均匀增加ΔB,则M中产生的感应电动势E=nS,选项D错误。
1.磁场中放有一线圈,当线圈中的磁通量增大时,线圈中(　　)
[A] 可能没有感应电动势
[B] 可能没有感应电流
[C] 线圈中一定有感应电动势,且感应电动势的大小与磁通量成正比
[D] 线圈中一定有感应电流,且感应电流的大小与磁通量成正比
【答案】 B
【解析】 当线圈中的磁通量发生变化时,线圈中一定有感应电动势,根据法拉第电磁感应定律,感应电动势的大小与磁通量的变化率成正比,故A、C错误;若线圈不闭合,线圈中则没有感应电流,故B正确,D错误。
2.如图甲所示,一线圈匝数为100匝,横截面积为0.01 m2,匀强磁场与线圈轴线成30°角向右穿过线圈。若在2 s内磁感应强度随时间的变化关系如图乙所示,则该段时间内线圈两端a、b之间的电势差Uab为(　　)
[A] - V [B] 2 V
[C] V [D] 从0均匀变化到2 V
【答案】 A
【解析】 与线圈轴线成30°角向右穿过线圈的磁感应强度均匀增加,故产生恒定的感应电动势,根据法拉第电磁感应定律,有E=n=nScos 30°,由题图乙可知= T/s=2 T/s,代入数据得E= V,根据楞次定律知a点的电势低于b点的电势,则Uab=- V,故A正确。
3.(2025·广东东莞联考)如图甲所示,一条南北走向的小路,路口设有出入道闸,每侧道闸金属杆长均为L,当有车辆通过时杆会从水平位置以角速度ω匀速转动直到竖起。此处地磁场方向如图乙所示,B为地磁场总量,BH为地磁场水平分量,Bx、By、Bz分别为地磁场在x、y、z三个方向上的分量大小。则杆在转动升起的过程中,两端电势差的大小为(　　)
[A] BxωL2 [B]
[C] BHωL2 [D]
【答案】 B
【解析】 由于小路沿南北方向,则金属杆转动过程切割Bx磁场分量,即金属杆两端电势差的大小为U=BxL=BxL·=,故选B。
课时作业
(分值:60分)
基础巩固练
考点一　对法拉第电磁感应定律的理解和应用
1.(4分)n匝线圈放在如图所示变化的磁场中,线圈的面积为S。下列说法正确的是(　　)
[A] 0～1 s内线圈的感应电动势在均匀增大
[B] 1～2 s内感应电流最大
[C] 0.5 s末与2.5 s末线圈的感应电流方向相反
[D] 第4 s末的感应电动势为零
【答案】 C
【解析】 由法拉第电磁感应定律可得0～1 s内线圈的感应电动势为E=nS,大小不变,故A错误;1～2 s内磁感应强度不变,穿过线圈的磁通量不变,所以感应电流为零,故B错误;结合题图,根据楞次定律可知,0.5 s末和2.5 s末线圈的感应电流方向相反,故C正确;第4 s末磁感应强度为零,但磁通量的变化率不为零,则感应电动势不为零,故D错误。
2.(6分)(多选)如图,MN是一根固定的通电长直导线,电流方向向右。将一未封闭的金属线圈放在导线MN下方,并与导线MN在同一竖直平面内,a、b两点的电势分别为φa、φb。当导线MN中的电流逐渐增大时,下列说法正确的是(　　)
[A] φa=φb
[B] φa>φb
[C] 线圈中无感应电流
[D] 线圈中产生逆时针方向的感应电流
【答案】 BC
【解析】 当导线MN中的电流逐渐增大时,金属线圈内垂直于纸面向里的磁通量逐渐增大,由法拉第电磁感应定律可知,金属线圈中会产生感应电动势,再由楞次定律和安培定则可判断φa>φb,A错误,B正确;根据感应电流产生的条件可知,线圈不闭合,故线圈中不产生感应电流,C正确,D错误。
3.(4分)(2024·四川绵阳期末)如图所示,用同种规格的铜丝做成的a、b两个单匝正方形线圈同轴,边长之比为2∶3。仅在a线圈所围区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,当匀强磁场的磁感应强度均匀减小的过程中,a、b线圈内的感应电动势大小之比和感应电流大小之比分别为(　　)
[A] 1∶1,3∶2 [B] 1∶1,2∶3
[C] 4∶9,2∶3 [D] 4∶9,9∶4
【答案】 A
【解析】 根据E=n,由于穿过a、b两线圈的磁通量的变化率相同,线圈的匝数相同,因此a、b线圈内的感应电动势大小相等,则有Ea∶Eb=1∶1;设a、b两线圈的边长分别为La、Lb,由电阻定律R=ρ可得Ra=ρ,Rb=ρ,又有I=,则通过a、b两线圈的感应电流大小之比为Ia∶Ib=∶=3∶2,故选A。
4.(4分)如图所示,两块水平放置的金属板距离为d,用导线、开关S与一个n匝的线圈连接,线圈置于方向竖直向上的变化磁场B中。两板间放一台压力传感器,压力传感器上表面静止放置一个质量为m、电荷量为q的带负电小球。S断开时传感器上示数为mg,S闭合稳定后传感器上示数为。则线圈中的磁场B的变化情况和磁通量的变化率分别是(　　)
[A] 正在减弱,=
[B] 正在增强,=
[C] 正在减弱,=
[D] 正在增强,=
【答案】 D
【解析】 S闭合稳定后传感器上示数为,说明此时下极板带正电,即下极板电势高于上极板电势,极板间的电场强度方向向上,大小满足Eq+mg=,即E=,又U=Ed,所以两极板间的电压U=,线圈部分相当于电源,则感应电流的方向为顺时针方向(俯视),据此结合楞次定律可判断穿过线圈的磁通量正在增加,磁场B正在增强,线圈中产生的感应电动势为E感=U=n,可得=。故选D。
考点二　导体切割磁感线时的感应电动势
5.(4分)如图所示,MN、PQ为两条平行放置的固定金属导轨,左端接有定值电阻R,金属棒ab斜放在两导轨之间,与导轨接触良好,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面,设金属棒与两导轨接触点之间的距离为l,金属棒与导轨间的夹角为60°,以速度v水平向右匀速运动,不计导轨和棒的电阻,则流过金属棒的电流大小为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 B与l、B与v是相互垂直的,但l与v不垂直,因l垂直于v方向上的投影长度lsin 60°为有效切割长度,所以E=Blvsin 60°=Blv,则I=,选项B正确。
6.(4分)(2024·广东汕尾期末)如图所示,在水平向右的匀强磁场中,一个水平放置的金属棒ab以某一水平速度v0被抛出,并始终保持水平。不计空气阻力,在金属棒ab的运动过程中,下列说法正确的是(　　)
[A] 金属棒ab中不能产生感应电动势
[B] a端的电势高于b端的电势
[C] 产生的感应电动势的方向会变
[D] 产生的感应电动势的大小不变
【答案】 B
【解析】 将一水平放置的金属棒ab以某一水平速度v0抛出,金属棒在运动过程中始终保持水平,但在竖直方向切割磁感线,金属棒ab中能产生感应电动势,由右手定则可知,a端电势高于b端电势,且感应电动势方向不变,故A、C错误,B正确;金属棒在竖直方向切割磁感线,由E=Blvy知竖直方向速度vy大小是变化的,则产生的感应电动势的大小变化,故D错误。
7.(4分)滨州市位于北半球,如图,某同学在滨州市内骑行上学,该同学从西往东沿直线以速度v骑行,该处地磁场的水平分量大小为B1,竖直分量大小为B2,自行车车把为直把、金属材质,车把长为l,车轮的直径为d,辐条长度近似等于车轮半径,只考虑自行车在地磁场中的电磁感应,下列说法正确的是(　　)
[A] 图示位置中辐条A点电势比B点电势低B1vd
[B] 图示位置中辐条A点电势比B点电势高B1vd
[C] 车把左端的电势比车把右端的电势低B2lv
[D] 自行车改为南北骑向,自行车车把两端电动势要降低
【答案】 B
【解析】 该同学从西往东沿直线以速度v骑行,辐条切割地磁场水平分量(由南向北)的
磁感线,根据右手定则判断可知,题图位置中辐条A点电势比B点电势高,电势差为
E=B1r2ω=B1r2=B1rv=B1vd,故A错误,B正确;自行车车把从西往东切割地磁场竖直向下分量的磁感线,由右手定则可知,车把左端的电势比车把右端的电势高B2lv,故C错误;自行车改为南北骑向,自行车车把仍切割地磁场竖直向下分量的磁感线,自行车车把两端电动势仍为B2lv,故D错误。
能力提升练
8.(4分)一外皮绝缘的导线扭成如图所示的三个圆形平面闭合回路,回路半径分别为R、2R、3R。回路中都有匀强磁场B,且B与回路平面垂直并指向纸内,回路外无磁场。当B的大小以速率k增大时,则(　　)
[A] 回路中感应电动势为14πkR2,中间圆环中感应电流方向为顺时针方向
[B] 回路中感应电动势为14πkR2,中间圆环中感应电流方向为逆时针方向
[C] 回路中感应电动势为6πkR2,中间圆环中感应电流方向为顺时针方向
[D] 回路中感应电动势为6πkR2,中间圆环中感应电流方向为逆时针方向
【答案】 C
【解析】 根据楞次定律,半径为3R和R的回路产生的感应电动势与半径为2R的回路产生的感应电动势方向相反,整个回路的感应电动势为E=kπ(3R)2+kπR2-kπ(2R)2=6πkR2,中间圆环中感应电流的方向为顺时针方向。故选C。
9.(4分)(2025·广东东莞期中)如图所示,在磁感应强度为B的匀强磁场中,有半径为r的光滑半圆形导体框ab,O为圆心,OC为一能绕O在框架上滑动的导体棒,Oa之间连一电阻R,导体棒的电阻为0.5R。导体框架的电阻不计,使OC以角速度ω逆时针匀速转动,则下列说法正确的是(　　)
[A] 通过电阻R的电流方向由右向左
[B] 导体棒O端电势低于C端的电势
[C] 回路中的感应电动势大小为
[D] 电阻R两端的电压为
【答案】 C
【解析】 根据右手定则可知,通过电阻R的电流方向是由O经R到a,故A错误;由于流过电路中导体的电流方向为由O经R到C,所以导体棒O端电势高于C端的电势,故B错误;导体棒CO绕O转动切割磁感线产生的感应电动势为E=Bωr2,故C正确;根据闭合电路欧姆定律,回路中的感应电流大小为I==,电阻R两端的电压为U=IR=,故D错误。
10.(4分)如图所示,两条相距为d的、足够长的平行金属导轨位于同一水平面内,其右端接一阻值为R的电阻,质量为m的金属杆静置在导轨上,其左侧的矩形区域MNPQ中匀强磁场的磁感应强度大小为B、方向竖直向下,将该磁场区域以速度v0匀速地向右扫过接入电路电阻为R的金属杆,金属杆与导轨间滑动摩擦力大小为f,杆在运动过程中始终与导轨垂直且两端与导轨保持良好接触,不计导轨的电阻,则下列说法正确的是(　　)
[A] MN刚扫过金属杆时,流经R的电流从上到下
[B] MN刚扫过金属杆时,电阻R的电功率为
[C] 若磁场足够宽,杆可能达到的最大速度为
[D] 若磁场足够宽,杆中的最小电流为零
【答案】 B
【解析】 当MN刚扫过金属杆时,可将磁场视为不动,金属杆向左运动,则根据右手定则可知流经R的电流由下到上,故A错误;当MN刚扫过金属杆时,有E=Bdv0,则回路的电流I==,电阻R的电功率为P=I2R=,故B正确;设金属杆向右运动的速度为v,则金属杆切割磁感线的速度v′=v0-v,感应电流为I′=,安培力为F′=BI′d=,随着金属杆速度v增大,金属杆切割磁感线的速度v′逐渐减小,安培力减小,当安培力等于摩擦力时,金属杆速度达到最大值,有=f,解得vm=v0-,方向向右,故C错误;最终杆与磁场存在速度差,回路中感应电流不为0,故D错误。
11.(18分)(1)如图甲所示,两根足够长的平行金属导轨,间距 L=0.3 m,磁感应强度B1=0.5 T,一根直金属杆MN以v=5 m/s的速度向右匀速运动,杆MN始终与导轨垂直且接触良好。杆MN接入电路的电阻 r1=1 Ω,导轨的电阻可忽略。求杆MN中产生的感应电动势E1。
(2)如图乙所示,一个匝数n=100匝的圆形线圈,面积S1=0.5 m2,电阻r2=1 Ω。在线圈中存在面积S2=0.4 m2、垂直于线圈平面(指向纸外)的匀强磁场区域,磁感应强度B2随时间t变化的关系如图丙所示。求圆形线圈中产生的感应电动势E2。
(3)有一个R=4 Ω的电阻,将其两端a、b分别与图甲中的导轨和图乙中的圆形线圈相连接。试求以上两种情况中,电阻R两端的电势差Uab。
【答案】 (1)0.75 V　(2)6 V　(3)0.6 V　-4.8 V
【解析】 (1)金属杆MN以v=5 m/s的速度向右匀速运动,根据法拉第电磁感应定律可知,杆MN中产生的感应电动势为E1=B1Lv=0.5×0.3×5 V=0.75 V。
(2)根据法拉第电磁感应定律可知,圆形线圈中产生的感应电动势为
E2=n=nS2=100××0.4 V=6 V。
(3)根据右手定则可知,题图甲中a点的电势高于b点的电势,则电阻R两端的电势差
Uab1=E1=×0.75 V=0.6 V;
根据楞次定律可知,题图乙中a点的电势低于b点的电势,
则Uab2=-E2=-×6 V=-4.8 V。

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